静电场之均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场

[解析](1)设λ > 0，圆环上所带电量为Q = 2πaλ。 r z2 a2
如图所示，圆环上所有电荷到场点P的距离都是
z
E
在P点产生 的电势为
U
kQ r
kQ z2 a2
电随势着在距原离点的处增最加高而，减并小。P
r
P点的场 强为
E
dU dz
(z2
kQz a2 )3/2
.
Q Oa
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
0
dz
(z2 a2 )3
z zM
可得 zM a / 2.
极值为
EM
23 9
kQ a2
0.3849
kQ a2
Q
如果z >> a，电势 和场强分别为
U kQ , |z|
E kQz z kQ | z |3 | z | z2
z E Pr
Oa
这是点电荷的电势和场强公式，其中z/| z|表示符号。
圆环电荷在中心 产生的电势最大， 当距离比较远时， 其电势接近点电 荷的电势。
圆盘电荷在中心附近产生 的场强最大，该场强表示 “无限大”带电平面的场 强；圆盘两边的场强方向 不同，因而不连续。
当距离增加时，场强 持续减小；当|z| > 3a 时，圆盘电荷的场强 接近于点电荷的场强。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量 为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同 宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
z2 R2
bO
d RR
U 2kπ (
z2 a2
z2
b2
)
2kQ a2 b2
(
z2 a2
在z = 0处 z2 b2 ) 的电势为
如果b = a，可得带电圆环中心的电势U = kQ/a； 如果b = 0，则得带电圆盘中心的电势U = 2kQ/a。
U 2kQ ab
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(1)一个半径为a的均匀带电圆环，带电量为Q(Q > 0)，求圆环 轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标的变化规 律是什么？(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q > 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐 标变化的规律是什么？(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀 带电圆圈，带电量为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。 对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
这是点电 荷的场强。
当z >> a时，可得
E
2kQ a2 [1 (1
a2 z2
)1/
2
]
2kQ a2
1 2
a2 z2
kQ z2
如果z < 0，轴 线上的场强为
E
dU dz
2kQ a2
d dz
(
z2 a2 z) 2kQ (1 a2
z) z2 a2
当z→-0时，E→-2kQ/a2 = -σ/2ε0，这是无 限大均匀带电平面在另一面产生的场强。
电势曲线在中间下凹，在两边上 凹，两部分的接合点是拐点，两 个拐点对应电场强度的极值。
圆环电荷在中心 处的场强为零。 场强随距离先增加再减 小，当距离z = ±0.7a 时，场强最大。
当距离比较大时，其场 强与点电荷的场强接近。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为
(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量 为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同 宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
[解析](2)当电荷均匀分布在外半径为a、内半径为b的z 圆圈上时，如图所示，圆圈的面积为S = π(a2 - b2)， E
电荷的面密度为σ = Q/S，
Pr
在圆圈上取一半径为R，宽度为dR 的圆环，在场点P产生的电势为
dU k 2πRdR
场点P的
a
U k2π
z2 R2 电势为
b
a
RdR Q
Q(Q > 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电
势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？
[解析](1)设Q > 0，当电荷均匀分布圆盘 上时，电荷的面密度为σ = Q/πa2，
z E
Pr
如图所示，在圆盘上取一半径为R，宽度
为dR的圆环，其面积为dS = 2πRdR， a
dR
所带的电量为dq = σdS，
σ = Q/πa2， U 2kπ ( z2 a2 | z |)
z E
Pr
电势
U
2kQ a2
(
z2 a2 | z |)
当z = 0时电势最高U = 2kQ/a。
a
dR
OR
Q
当|z| >> a时，电势为
U
2kQ a2 [|
z
| (1
a2 z2
)1/ 2 |
z
|]
2kQ a2 [|
z
|
a2 2z2
OR Q
环电荷在场点P dU kdq k 2πRdR
产生的电势为
z2 R2
z2 R2
a
全部电荷在场点P U k2π
RdR
2kπ ( z2 a2 | z |).
产生的电势为
0 z2 R2
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为 Q(Q > 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电 势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？
当z > 0时，E > 0，场强的方向与z轴正向相同；
kQz
当z < 0时，E < 0，场强的方向与z轴正向相反。 E (z2 a2 )3/2
在z = 0处电场强度E = 0；在z→±∞处 E→0，因此E在z从0到±∞之间有极值。
令
dE kQ[(z2 a2 )3/2 3z2 (z2 a2 )1/2 ]
]
kQ |z|
这是点电荷的电势。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆
z2 a2 | z |)
圆盘两边场强的方向不同。
如果z > 0，轴 线上的场强为
E
dU dz
2kQ a2
d( dz
z2
a2
z)
2kQ a2
(1
z )
z2 a2
当z→+0时，E→2kQ/a2 = σ/2ε0，这是无 限大均匀带电平面在正面产生的场强。
圆盘两边的 场强不连续。
轴上的场强可 统一表示为
E
|
z z
|
2kQ a2
(1
| z | ). z2 a2
圆盘电荷在中心 产生的电势最大， 该点左右两边的 电势虽然连续， 但是导数不连续， 因而圆盘两边的 场强不连续。
两边的电势曲 线都是向上凹 的，没有拐点。
当|z| > 3a时， 圆盘电荷的电 势接近于点电 荷的电势。