2020高考全国试题分类解析(不等式)
2020年高考数学(文)母题题源解密23 不等式选讲(全国Ⅱ专版解析版)
专题23 不等式选讲【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-，当且仅当221a x a -≤≤时取等号，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立． 故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥， 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a b a b +≤+. （2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b )(b−c )≥0时，等号成立. ③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. （二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题. （三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b+≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12nn a a a n+++≥当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．（2020·山西省高三）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）35(,)22-（2）[2,1]-【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式，即可求得结果；（2）求得()f x 的值域以及224y m m =-+的值域，根据二次函数的值域是()f x 值域的子集，求参数的范围即可.【解析】（1）当1a =时，()4|1||2|4f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩ 解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， 3522x ∴-<<.即不等式()4f x <的解集为35(,)22-.（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.2224(1)33m m m -+=-+≥又由于()1221f x x x a a =++-≥+，()f x ∴的值域为[|21|,)a ++∞故|21|3a +≤，21a ∴-≤≤. 即实数a 的取值范围为[2,1]-.【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式，以及由绝对值三角不等式求解绝对值函数的最小值，属综合性基础题.2．（2020·四川省泸县第二中学高三二模）已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 【答案】（1）[]0,1（2【分析】（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；（2）32a b +=⇒9122a b +++=，()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，在乘开，利用基本不等式即可. 【解析】（1）因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以32a b +=，从而9122a b +++=，从而()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()2122263391299a b a b ⎡⎡⎤+⎛⎫++=++≥+=⎢⎢⎥ ⎪++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当()21212a b a b ++=++，即1114,22a b -==时，等号成立，∴1212a b +++ 【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.3．（2020·深圳市宝安中学（集团）高三月考）已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（1）求a 的值.（2）若p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥.【答案】(1)3；(2)证明见解析【分析】(1)根据绝对值的三角不等式求解即可. (2)根据三元的柯西不等式证明即可.【解析】(1)根据绝对值的三角不等式有()()12123x x x x ++-≥+--=. 当且仅当12x -≤≤ 时取等号.故3a =.(2)证明：由(1)有3p q r ++=.利用三元的柯西不等式有()()()22222222221119p q r p q r p q r ++=++++≥++=.故2223p q r ++≥【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式与三元的柯西不等式运用,属于基础题. 4．（2020·江西省高三）已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数a ，b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值. 【答案】（1）()1,3-.（2）【分析】（1）首先将()f x 写成分段函数的形式，然后解出即可； （2）首先求出()min 1322f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，然后利用柯西不等式求解即可. 【解析】（1）()133,212211,2233,2x x f x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，()6f x <等价于12336x x ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩或12216x x ⎧<<⎪⎨⎪+<⎩或2336x x ≥⎧⎨-<⎩， 解得112x -<≤或122x <<或23x ≤<. 故不等式()6f x <的解集为()1,3-. （2）由（1）知()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 1322f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 则223a b +=，故34a b +≤=(当且仅当a =b =)， 即34a b +的最大值为【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.5．（2020·山西省高三月考）已知函数()|1|2|2|)(R f x x x x =-+-∈，记()f x 得最小值为m . （1）解不等式()5f x ≤；（2）若2a b m +=，求22a b +的最小值. 【答案】（1）100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）15. 【分析】（1）利用零点分段法，分1x <，12x ≤≤，2x >三种情况去绝对值，解不等式；（2）利用含绝对值三角不等式求得1m =，即21a b +=，方法一，利用柯西不等式2222(2)(12)()a b a b +≤++，求得22a b +的最小值，方法二，根据12a b =-，代入22a b + ，转化为关于b 的二次函数求最值.【解析】（1）53,1()3,1235,2x x f x x x x x -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，原不等式可等价于5351x x -≤⎧⎨<⎩，或3512x x -≤⎧⎨≤≤⎩，或3552x x -≤⎧⎨>⎩ 解得：1003x ≤≤， 所以原不等式的解集为100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由（1）可知()122122f x x x x x x =-+-=-+-+-，()()122121x x x x ≥---+-=+-≥当且仅当2x =时等号成立，所以1m = 即21a b +=方法一 由柯西不等式得2222(2)(12)()a b a b +≤++2215a b ∴+≥， 当且仅当225a b ==时取等号方法二 由题意得12a b =-222222211(12)5415()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥当且仅当12,55a b ==时等号成立.【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，以及含绝对值三角不等式的应用，柯西不等式求最值，意在考查转化与化归的思想，计算能力属于基础题型. 6．（2020·吉林省高三）已知函数()12f x x x =-+（1）在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并解不等式()2f x ≥； （2）若不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥.【答案】（1）图象见解析，13x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥；（2）证明见解析.【分析】（1）去掉绝对值号，根据一次函数的图象与性质，即可得到函数()f x 的图象，结合图象，即可求解不等式的解集；（2）不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，只需()min 51k f x x -≤⎡+-⎤⎣⎦，求得3k ≥，然后利用作差法，即可证得65k k+≥. 【解析】（1）由题意，函数()31,1121,0131,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=-+=+<<⎨⎪-+≤⎩，在直角坐标系中作出函数()f x 的图象，如图所示：当13x =-时，可得()2f x =，当1x =时，可得()2f x =，所以根据图象可得解不等式()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥.（2）由()12222222f x x x x x x +-=-+≥--=，当且仅当()()2220x x -≤，即01x ≤≤时取等号，所以()1f x x +-的最小值为2， 由不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立， 所以只需()min 512k f x x -≤⎡+-⎤=⎣⎦，可得3k ≥，又由()()22365650k k k k k k k k---++-==≥，所以65k k +≥.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，着重考查转化思想和数形结合思想的应用，属于中档试题.7．（2020·山西省高三）已知函数()12f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得()224m m f x -+=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）35,22⎛⎫-⎪⎝⎭（2）[]2,1- 【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得()f x 值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【解析】（1）当1a =时，()4124f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩， 解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， ∴3522x -<<.即不等式()4f x <的解集为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.()2224133m m m -+=-+≥，又由于()1221f x x x a a =++-≥+，∴()f x 的值域为)21,a ⎡++∞⎣ 故213a +≤，∴21a -≤≤.即实数a 的取值范围为[]2,1-【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.8．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()1211f x x x =-+++（1）求不等式()8f x <的解集；（2）若x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）8,23⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(]0,8. 【分析】由题意可得()32141131x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪-≤-⎩，然后分段解不等式可得答案,(2) x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立,则()2min log f x a ≥,分段求出函数()f x 的最小值，然后解出答案.【解析】由函数()321121141131x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=-+++=+-<<⎨⎪-≤-⎩（1）当1x ≥时，()8f x <，即328x +<，得2x <，所以12x ≤<.当11x -<<时，()8f x <，即48x +<，得4x <，所以11x -<<.当1x ≤-时，()8f x <，即38x -<，得83x >-，所以813x -<≤-所以不等式()8f x <的解集为8,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2) 若x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立,则()2min log f x a ≥ 由()32141131x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪-≤-⎩，当1x ≥时，()325f x x =+≥，当11x -<<时，()43f x x =+>，当1x ≤-时，()33f x x =-≥所以()min 3f x =，则()2min 3log f x a =≥，可得08a <≤所以x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立，则实数a 的取值范围为(]0,8【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，不等式恒成立求参数的范围，含绝对值的不等式关键是利用定义打开绝对值，属于中档题.9．（2020·全国高三）设函数()|2|f x x x =+-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集. （1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n ++.【答案】（1）{|x x <x >（2）证明见解析；【分析】（1）对x 分三类讨论去掉绝对值，解得结果再相并可得结果；（2）两边平方再作差比较可证不等式成立.【解析】（1）当x <((20x x -++++<，解得x <当3x <-((20x x ++++<， 解得x <当3x -时，原不等式化为((20x x +-++<，解得x >所以{|M x x =<x >.（2）欲证|3||mn m n +>+成立，只需证22(3)||)mn m n +>+成立.因为222222(3)|)339mn m n m n m n +-+=--+.()()2233m n =--.又由m ，n M ∈，得23m >，23n >.所以22(3)|)0mn m n +-+>，即22(3)||)mn m n +>+成立.所以|3|||mn m n +>+成立.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了比较法证明不等式，平方后再作差是解题关键，属于中档题.10．（2020·山西省高三）已知不等式23x x -<与不等式()20,x mx n m n R -+<∈的解集相同． （1）求m n -；（2）若(),,0,1a b c ∈，且ab bc ac m n ++=-，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）1；（2）1．【分析】（1）解不等式|23|x x -<得出20(,)x mx n m n R -+<∈的解集，从而求得m ，n ；（2）根据题意，利用基本不等式求得222a b c ++的最小值．【解析】（1）当0x ≤时，不等式解集为空集；当0x >时，2323x x x x x -<⇔-<-<，即13x <<，所以1,3是方程20x mx n -+=的两根，所以10,930.m n m n -+=⎧⎨-+=⎩解得4,3.m n =⎧⎨=⎩所以1m n -=．（2）由（1）可知1ab bc ac ++=， 因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 所以222222222222a b b c a c a b c +++++=++ 1ab bc ac ≥++=（当且仅当a b c === 所以222a b c ++的最小值为1．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．11．（2020·重庆高三）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M .（1）求M ；（2）若正数a ，b 满足3311a b +=Mab ，证明：a 4b +ab 443≥. 【答案】（1）M ＝3（2）证明见解析；【分析】（1）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|，结合绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得所求最大值；（2）由（1）可得3311a b +=3ab ，a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）13=（3311a b +）（a 3+b 3），再由基本不等式即可得证.【解析】（1）函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|≤|2x ﹣1﹣2x ﹣2|﹣|﹣1+1|＝3，当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值3，即M ＝3；（2）证明：正数a ，b 满足3311a b+=3ab ， 故a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）13=（3311a b +）（a 3+b 3）13=（1+13333a b b a++）13≥（）43=，当且仅当a ＝b = 故a 4b +ab 443≥.【点睛】此题考查了绝对值不等式，利用基本不等式证明不等式，属于中档题.12．（2020·福建省高三）已知函数()1f x x a x =-+-.（1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A .（2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 【答案】（1）{|01}A x x =≤≤（2）12 【分析】（1）将0a =代入，则|||1|1x x +-，再利用绝对值不等式的性质即可得解；（2）问题等价于1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立，由此建立关于a 的不等式组，解出即可． 【解析】（1）当0a =时，()|||1|f x x x =+-，即解不等式|||1|1x x +-，由绝对值不等式知，|||1||(1)|1x x x x +---=，当且仅当(1)0x x -时取等号，因此()1f x 的解集{|01}A x x =；（2）由A B ⊆，即[0x ∈，1]，不等式3()||2f x x -恒成立， 即3||12x a xx -+--，整理得1||2x a -， 故1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立， 则1212a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩在[0x ∈，1]上恒成立，得1212a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 故12a =． 【点睛】本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.13．（2020·福建省高三）已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ； （2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.【答案】（1）{}03I x x =<<；（2）见解析.【分析】（1）采用分类讨论的方法，求出各段的范围，然后取并集，可得结果.（2）根据不等式2++≥≤a b a b ，化简式子，可证明该结果. 【解析】（1）当1x ≤时，原不等式化简为323-<x ，即01x <≤；当12x <≤时，原不等式化简为13<，恒成立，即12x <≤；当2x >时，原不等式化简为233x -<，即23x <<. 综上，原不等式的解集{}03I x x =<<.（2）当a ，b ，c I ∈时，a ，b ，c ，3a -，3b -，3c -均为正数， 令111111111333=+++++---T a b b c c a则≤T ()()()33394444+-+-+-≤++=a b b c c a T . 当且仅当32===a b c 时，取等号 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，熟练使用分类讨论的方法（或零点分段法），同时善于观察，识记基本不等式的使用条件：一正，二定，三相等，属中档题.14．（2020·山西省高三）已知函数()2f x x =． (1)求不等式()1f x >的解集；(2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 【答案】（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963． 【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可.(2)代入可得()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【解析】(1)化简得321x x -->①当0x ≤时，()()323f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤；②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即231x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<； ③当3x ≥时，()3f x x =--，不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． (2)249233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭， 所以()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c ++的最小值为1963. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题.15．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>．（1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+． 【答案】（1）{}02x x <<；（2）详见解析．【分析】（1）在1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况下，分别解不等式，最后取并集即可；（2）()f x x a x b a b =-++≥+，结合()f x 的值域为[)3,+∞，可知3a b +=．因此有()()1221a b a b ++≥=⇒++≥⎪⎩()()2218411a b a b ⎧++≥⎪⎨≥⎪+⎩，从而证明出题设不等式. 【解析】（1）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<．综上可知，不等式的解集为{}02x x <<． （2）()f x x a x b a b =-++≥+，当且仅当x a -与x b +异号时，()f x 取得最小值a b +，∵()f x 的值域为[)3,+∞，且0a >，0b >，故3a b +=．()122a b ++≥=（当且仅当12a b =+=时取等号）， ∴()2218a b ++≥．又∵()1a b ++≥12a b =+=时取等号），∴()41a b +≤，∴()411a b +≥， ∴()224(1)91a b a b +++≥+， ∴()224281a b b a b +++≥+． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题. 16．（2020·山西省高三）已知函数()()220f x x a x a a =-++>.（1）求不等式()3f x a ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为()20b b ->【答案】（1）{0x x ≤或4}3a x ≥；（2）见解析 【分析】（1）首先根据题意得到()3,3,3,x a x a f x x a a x a x a x a -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，再对a 分类讨论解不等式即可.（2）首先根据函数()f x 的单调性得到22a b +=，再利用柯西不等式证明即可.【解析】（1）()3,3,3,x a x a f x x a a x a x a x a -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，①当x a <-时，由33x a a -+≥，解得x a <-；②当a x a -≤≤时，由33x a a -+≥得0a x -≤≤；③当x a >时，由33x a a -≥得43a x ≥. 综上可得不等式()3f x a ≥的解集为{0x x ≤或4}3a x ≥. （2）由()3,3,3,x a x a f x x a a x a x a x a -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，可知：当x a ≤时，()f x 为减函数，当x a >时，()f x 为增函数.所以当x a =时，()f x 取到最小值2a ，所以22a b =-，即22a b +=.== 当12a =，1b=时取等号.≤【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查不等式的证明，熟练掌握柯西不等式为解题的关键，属于中档题.17．（2020·陕西省西安中学高三）已知,,a b c R +∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立.（1）求证:22213a b c ++≥（2）求证【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）先根据绝对值不等式求得|1||2|x x ---的最大值，从而得到1a b c ++≥，再利用基本不等式进行证明；（2）利用基本不等式222a b ab +≥变形得222()2a b a b ++≥，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.【解析】（1）∵|1||2||12|1x x x x ---≤--+=，∴1a b c ++≥.∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥，∴222222222a b c ab bc ac ≥++++，∴2222222333222()1a b c a b c ab bc ac a b c ++≥+++++=++≥， ∴22213a b c ++≥. （2）∵222a b ab +≥，()2222222()a ba ab b a b +≥++=+，即222()2a b a b ++≥||()22a b a b ≥+=+.)2b c ≥+)c a ≥+.)a b c ≥++≥【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.18．（2020·江苏省高三）已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 【答案】详见解析【分析】由x ，y ，z 均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；【解析】因为x ，y ，z 均为正数，所以1x +，1y +，1z +均为正数，由柯西不等式得()()()214191111(123)36111x y z x y z ⎛⎫++≥++=⎪+++++++⎡⎭⎤⎣⎦+⎝， 当且仅当222(1)4(1)9(1)x y z +=+=+时，等式成立．因为11131112x y z ++≤+++， 所以2(1)4(1)9(1)36243x y z +++++≥⨯=， 所以4910x y z ++≥．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．19．（2019·四川省高三月考）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤﹣1的解集M ；（2）结合（1），若m 是集合M 中最大的元素，且a +b ＝m （a ＞0，b ＞0），求+ 【答案】（1）1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）5【分析】(1)分段去不等式中的绝对值再求解即可. (2)根据(1)可得1m =,再根据柯西不等式求解最大值即可. 【解析】（1）不等式f （x ）≤﹣1即|2x ﹣1|﹣|x +1|≤﹣1，可得11211x x x ≤-⎧⎨-++≤-⎩或1121211x x x ⎧-⎪⎨⎪---≤-⎩＜＜或122111x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤-⎩， 解得：无解或13≤x 12＜或12≤x ≤1， 综上可得13≤x ≤1，即所求解集为[13，1]；（2）由（1）可得a +b ＝1（a ，b ＞0），由柯西不等式可得（2≤（32+42）（a +b ），即为（2≤25，可得≤5，当且仅当a 925=，b 1625=时取得等号，则5．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及柯西不等式的运用,属于中等题型. 20．（2020·广东省高三月考） 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求2242a b b a+的最小值. 【答案】（1）{3x x ≤-或}1x ≥-；（2）2.【分析】（1）可知所求不等式为122x x x -++≥-，然后分2x -≤、21x -<<、1x ≥三种情况解该不等式，即可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得()min 22f x a b =+=，然后将所求代数式变形为2222442222a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可求得2242a b b a +的最小值. 【解析】（1）根据题意得原不等式为122x x x -++≥-.当2x -≤时，则有122x x x ---≥-，解得3x ≤-，此时3x ≤-； 当21x -<<时，则有122x x x -++≥-，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，则有122x x x -++≥-，解得13x ≥，此时1x ≥. 综上所述，不等式()2f x x ≥-的解集为{3x x ≤-或}1x ≥-； （2）()222f x x a x b x a x b a b =-++≥---=+， 当且仅当()()20x a x b -+≤时等号成立，0a >，0b >，函数()y f x =的值域为[)2,+∞，即22a b +=.()2222224442222222a b a b a b a b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222a b ≥=+-=，当且仅当21a b ==时取等号，因此，2242a b b a+的最小值为2.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求最值，涉及绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.21．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三）已知()12f x x x =-+-. （1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 【答案】（1）12x x ⎧<⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭；（2）见解析 【分析】（1）利用|1||2|x x -+-的几何意义，表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，分析即得解.（2）把||||||()a b a b a f x ++-≥，转化为()||||||a b a b f x a ++-≤，利用绝对值的性质求得||||||a b a b a ++-得最小值即得解.【解析】（1）由()2f x >，即|1||2|2x x -+->.而|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|2x x -+-=的点的坐标为12和52， 故不等式|1||2|2x x -+->的解集为15{|}22x x <>或.（2）证明：要证||||||()a b a b a f x ++-≥，只需证()||||||a b a b f x a ++-≤，∵||||||2||a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当()()0a b a b +-≥时取等号，∴||||2||a b a b a ++-≥由（1），当R x C M ∈时，()2f x ≤∴||||()||a b a b f x a ++-≤∴原命题成立..【点睛】本题考查了绝对值不等式得解集及不等式证明，考查了学生综合分析，转化与划归，逻辑推理得能力，属于中档题.22．（2020·河南省高三三模）已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111abc++的最小值；()2求证：22216a b c ++≥.【答案】()16+；()2证明见解析.【分析】()1根据a ，b ，c 是正实数，且21a b c ++=，可得()1111112a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求出111a b c++的最小值即可；()2由柯西不等式可得()()()22222221122a b c a b c ++++≥++，再结合21a b c ++=，即可证明22216a b c ++≥成立. 【解析】()121a b c ++=，∴()11111122b a c a b ca b c a b c a b a⎛⎫++=++++=+++ ⎪⎝⎭ 246a c bc b c+++≥+当且仅当a b ==时，等号成立.又由21a b c ++=，∴a b ==，c =时，等号成立，即111a b c++的最小值为6+. ()2由柯西不等式可得()()()222222211221a b c a b c ++++≥++=即2221 6a b c ++≥当且仅当112a b c==时，等号成立.又由21a b c ++=，∴13c =，16a b ==时，等号成立.∴22216a b c ++≥成立.【点睛】本题考查利用综合法证明不等式，基本不等式和柯西不等式的运用，考查转化思想，属于中档题. 23．（2020·江西省高三三模）已知()|||1|.f x k x x =+- （Ⅰ）若2k =，解不等式()5f x ≤.（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1||22|f x x x ≤++-的充分条件是1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）(],2-∞. 【分析】（Ⅰ）分区间讨论，去掉绝对值号即可求解；（Ⅱ）由题意可转化为11x x k x ++-≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，根据绝对值不等式可求出11112x x x x x x++-++-≥=，即可求解. 【解析】（Ⅰ）若2k =，不等式()5f x ≤可化为215x x +-≤. 当0x <时，()215x x ---≤，即43x ≥-，∴403x -≤<； 当01x ≤<时，()215x x --≤，即4x ≤，∴01x ≤<； 当1x ≥时，()215x x +-≤，即2x ≤，∴12x ≤≤.故不等式的解集为4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）关于x 的不等式()122f x x x ≤+++在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即1221k x x x x ≤+++--在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，∴11x x k x ++-≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，∵11112x x x x x x++-++-≥=，等号在1x +，1x -同号时等号成立，所以，所求实数k 的范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数取值范围，分类讨论思想，转化思想，属于中档题.24．（2020·河北省高三）已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1.（Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）每个式子通分后把1用a b c ++代换后分子应用基本不等式可证结论；（Ⅱ）变形111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，三个分式中分子a b c ++提取出来并变为()()()12b c a c a b ⎡⎤+++++⎣⎦，即原不等式左边()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭，再用柯西不等式可证得结论．【解析】（Ⅰ）1111111118a b c b c a c a b a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⋅⋅=⋅⋅≥=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当“a=b=c ”时取等号； （Ⅱ）111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭22113333222≥+-=⨯-=， 当且仅当“a =b =c ”时取等号.【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题．25．（2020·南昌市新建一中高三）已知函数()21f x x x =---，函数()421g x x x m =---+-． （1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当()g x 与()f x 的图象有公共点时，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）[)1,+∞．【分析】（1）去绝对值，转化为分段函数，解不等式即可；（2）函数()y g x =与()y f x =的图象有公共点，则方程()()f x g x =有解，利用参变量分离法得出224m x x =-+-有解，利用绝对值三角不等式可求得m 的取值范围.【解析】（1）当()0f x >时，即21x x ->+. 当2x ≥时，则21x x ->+，此时x ∈∅； 当2x <时，则21x x ->+，解得12x <，此时12x <. 综上所述，实数x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （2）因为函数()421g x x x m =---+-与函数()y f x =的图象有公共点， 则42121x x m x x ---+-=---有解．即224m x x =-+-有解，由绝对值三角不等式得()24242x x x x -+-≥---=，所以22m ≥，m 1≥． 所以当()y g x =与()y f x =的图象有公共点时，实数m 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】本题考查解绝对值不等式，以及函数图象有交点的问题，考查绝对值三角不等式以及分类讨论思想的应用，属于中档题．26．（2020·四川省高三三模）已知函数()||f x x a =-. （1）当1a =时，求不等式11()x f x +>的解集； （2）设不等式|21|()x f x x -+的解集为M ，若1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(0,1)(1,)⋃+∞；（2）{1}.【分析】（1）将1a =代入，通过讨论x 的范围，去掉绝对值，解各个区间上的x 的范围，取并集即可； （2）问题转化为||1x a x -≤-+，求出x 的范围，得到关于a 的不等式组，解出即可. 【解析】（1）1a =时，111|1|(1)|1|x x x x x +>⇔+>-≠-111x x x >⎧⇔⎨+>-⎩或111x x x <⎧⎨+>-⎩，解之得：1x >或01x <<∴不等式的解集为(0,1)(1,)⋃+∞ （2）不等式的解集为M ，且1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，依题意不等式21x x a x -+-≤在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴210x -≥，∴|21|()21||x f x x x x a x -+≤⇔-+-≤||111x a x x x a x ⇔-≤-+⇔-≤-≤-+112a a x ≤⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩，当1a >时，M 为∅，显然不满足1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦； 当1a ≤时，1,2a M +⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，112a +∴≥即1a ≥，1a综上，a 的取值范围为{1}.【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，属于中档题. 27．（2020·福建省高三）已知函数()212f x x x =--+，()221g x x m x =-++. （1）求不等式()2f x <的解集；（2）若存在1x ，2x ∈R ，使得()()120f x g x +=，求m 的取值范围. 【答案】（1）{}15x x -<<；（2）73,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据分类讨论的方法，讨论2x -≤，122x -<<，12x ≥三种情况，分别求解，即可得出结果；（2）根据题意，先得到A B ⋂≠∅，其中集合(){},A y y f x x ==∈R ，(){},B y y g x x ==-∈R ，根据绝对值三角不等式，分别求出A ，B ，再由集合间的关系，即可求出结果. 【解析】（1）因为()2f x <，2,2122,x x x ≤-⎧⇔⎨-+++<⎩或12,22122,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--<⎩或1,22122x x x ⎧≥⎪⎨⎪---<⎩2,1,x x ≤-⎧⇔⎨>⎩或12,21,x x ⎧-<<⎪⎨⎪>-⎩或1,25x x ⎧≥⎪⎨⎪<⎩ x ⇔∈∅或112x -<<或15152x x ≤<⇔-<<， 所以()2f x <的解集为{}15x x -<<.（2）因为存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x g x =-成立，所以A B ⋂≠∅，其中集合(){},A y y f x x ==∈R ，(){},B y y g x x ==-∈R . 因为()1212222f x x x x x =--+=--+ 11222x x x =-+--+ ()150222x x ⎛⎫≥---+=- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，“=”成立， 所以52A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭.因为()()2221g x x m x -=--++()222121x m x m ≤---+=-+， 当且仅当()()22210x m x -+≤时，“=”成立， 所以{}21B y y m =≤-+ 所以5212m -+≥-，即5212m +≤，即552122m -≤+≤， 解得7344m -≤≤，所以m 的取值范围为73,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式求函数的最值问题，属于常考题型. 28．（2020·青海省高三）设函数()21|1|f x x x =---. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若方程2()f x x ax =+有两个不等实数根，求a 的取值范围.【答案】（1）(,3)-∞；（2）()()03-∞⋃+∞，，. 【分析】（1）函数()f x 写成分段函数的形式，分类讨论不等式的解集取并集即可；（2）方程2()f x x ax=+有两个不等实数根等价于2211x x x a x-+---=有两个不等实数根，利用基本不等式求出当x ＜0时23x x--+的范围，然后数形结合求出a 的取值范围. 【解析】（1）321()21|1|1x x f x x x x x -≤⎧=---=⎨>⎩，，，∵()3f x <，∴3231x x -<⎧⎨≤⎩或31x x <⎧⎨>⎩，∴1x ≤或13x <<，即3x <，∴不等式的解集为(,3)-∞；（2）方程2()f x x ax =+，即221|1|x x x ax ---=+，显然0x =不是方程的根，故2211x x x a x-+---=，令[)()()211211()23001x x x x x g x x x x x ⎧-∈+∞-+---⎪==⎨--+∈-∞⋃⎪⎩，，，，，， 当x ＜0时，22333x x x x ⎛⎫--+=-++≥ ⎪-⎝⎭，当且仅当x = 作出()g x 的图象，如图所示：∵方程2()f x x ax =+有两个不等实数根，∴由图象可知()()03a ∈-∞⋃+∞，，. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、根据方程的根的个数求参数的取值范围、分段函数的图象与性质，属于中档题.29．（2020·贵州省高三）设函数()16f x x x a =++--.（1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）若()23f x a ≥-，求a 的取值范围.【答案】（1）5722x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【分析】（1）分类讨论x 的值，解不等式()0f x ≤即可；（2）利用绝对值三角不等式得出()min f x ，再解不等式()min 23f x a ≥-，即可得出a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，()|1||2|6f x x x =++--当1x <-时，()(1)(2)625f x x x x =-+---=--当12x -≤≤时，()1(2)63f x x x =+---=-当2x >时，()12627f x x x x =++--=-则()25,13,1227,2x x f x x x x --<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩()0f x ≤等价于1250x x <-⎧⎨--≤⎩或1230x -≤≤⎧⎨-≤⎩或2270x x >⎧⎨-≤⎩ 解得5722x -≤≤，则不等式()0f x ≤的解集为5722x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）要使()23f x a ≥-，只需()min 23f x a ≥-即可.又()1616f x x x a a =++--≥+-，且当()()10x x a +-≤时等号成立.∴()min 1623f x a a =+-≥-，则123a a +≥+当230a +≤，即32a ≤-时，123a a +≥+恒成立 当230a +>，即32a >-时，()22123a a +≥+，得231080a a ++≤ 故423a -≤≤-，从而3423a -<≤- 综上，4,3a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了分类讨论解绝对值不等式以及求绝对值不等式中参数的范围，属于中档题. 30．（2020·重庆高三）已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b +++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解；（2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解. 【解析】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立，故2m =；（2）由题意222a b +=， 由柯西不等式得()222221112(11124)a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎭=⎝， 当且仅当232a =，212b =时，等号成立， ∴222211441235a b a b +≥=++++， 故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.31．（2020·广州市天河外国语学校高三月考）已知函数()123f x x x =--+.（1）求不等式()1f x <的解集；。
2020年高考数学试题解析分项版 专题6 不等式 理
2020年高考试题解析数学（理科）分项版06 不等式一、选择题:1. (2020年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为 （A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞4.(2020年高考浙江卷理科5)设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，y 0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19【答案】 B【解析】：作出可行域，5032701x y x x y y +-==⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩由得，,x y 为整数，所以4,1x y ==，min 344116z =⨯+⨯=故选B .5.(2020年高考浙江卷理科7)若,a b 为实数，则“01ab <<”是11a b b a<>或的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】1111ab ab a b b b a a---=-=或则21111(1)()()ab ab ab a b b a b a ab -----=⋅=因为01ab <<所以2(1)0ab ab -> 即11()()0a b b a -->于是11()()0a b b a -->所以11a b b a<>或成立，充分条件；反之11a b b a<>或成立，即111100ab ab a b b b a a---=<-=>或则11()()a b b a --2(1)0ab ab -=<故0ab <，不必要条件。
故选A6.(2020年高考安徽卷理科4)设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为 （Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ 【答案】B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题. 【解析】不等式1x y +≤对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以2x y +的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.7. (2020年高考天津卷理科2)设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件9. (2020年高考天津卷理科8)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2,.f x x x xx R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11. (2020年高考江西卷理科3)若()log ()f x x 121=2+1，则()f x 的定义域为A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞ 【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须12log (21)0x +>,即0211x <+<,解得x 1-<<02,故选A.12. (2020年高考江西卷理科4)若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为A. (,)0+∞B. -+10⋃2∞（，）（，）C. (,)2+∞D. (,)-10311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】C【解析】因为'()x x f x x x x242-2-4=2-2-=,原函数的定义域为(0,)+∞,所以由'()f x >0可得220x x -->,解得2x >,故选C.13. (2020年高考湖南卷理科7)设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值范围为 A.()21,1+ B. ()+∞+,21 C. ()3,1 D. ()+∞,3答案：A解析：画出可行域，或分别解方程组⎩⎨⎧==mx y x y ，⎩⎨⎧=+=1y x x y ，⎩⎨⎧=+=1y x mxy 得到三个区域端点()0,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21， ⎪⎭⎫ ⎝⎛++1,11m m m ，当且仅当直线my x z +=过点⎪⎭⎫ ⎝⎛++1,11m m m 时，z 取到最大值2112<++=m m z ,解得()21,1+∈m 。
2020年高考新题型专题06 不等式(解析版)
专题06 不等式多项选择题1．（2019秋•崂山区校级期末）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB 为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．a+b2≥√ab（a＞0，b＞0）B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）C．√ab≥21a +1b（a＞0，b＞0）D．a2+b22≥a+b2（a≥0，b＞0）【分析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD，所以：a+b2≥√ab（a＞0，b＞0）．由于CD2＝AC•CB＝ab，所以DE=CD 2OD =aba+b2所以由于CD≥DE，整理得：√ab≥2aba+b =21a+1b（a＞0，b＞0）．故选：AC．2．（2019秋•胶州市期末）已知0＜α＜β＜π2，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣k B．tan（α+β）＝﹣kC．k＞2√2D．k+tanα≥4【分析】由题意利用韦达定理，基本不等式，得出结论．【解答】解：∵已知0＜α＜β＜π2，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，∴tanα+tanβ＝k＞0，tanα•tanβ＝2，∴k＞2√tanα⋅tanβ=2√2，故选：BC．3．（2019秋•海南期末）下列说法中正确的有（）A．.不等式a+b≥2√ab恒成立B．存在a，使得不等式a+1a≤2成立C．.若a，b∈（0，+∞），则ba +ab≥2D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则2x +1y≥8【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断．【解答】解：不等式a+b≥2√ab恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；当a为负数时，不等式a+1a≤2成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；对于2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当4yx =xy，即x=12，y=14时取等号，故D正确．故选：BCD．4．（2019秋•济南期末）下列函数中，最小值为2的是（）A．y＝x2+2x+3B．y＝e x+e﹣xC．y=sinx+1sinx ，x∈(0，π2)D．y＝3x+2【分析】结合二次函数的性质可判断选项A；结合指数函数与正弦函数的性质及基本不等式的条件可判断B，C，直接利用指数函数的性质可判断D/【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2即最小值为2，符合题意；由基本不等式可得，y＝e x+e﹣x≥2，即最小值为2，符合题意；由x∈(0，12π)可得sin x∈（0，1），从而可得y＝sin x+1sinx＞2，没有最小值，不符合题意；由指数函数的性质可知，y＝3x+2＞2，没有最小值，不符合题意．故选：AB．5．（2019秋•菏泽期末）在下列函数中，最小值是2的是（）A．y=x+1xB．y＝2x+2﹣xC．y=sinx+1sinx ，x∈(0，π2)D．y＝x2﹣2x+3【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件分别检验选项ABC，结合二次函数的性质可求D．【解答】解：A：当x＜0时显然不符合题意；B：由于2x＞0，y＝2x+2﹣x≥2，故最小值2，符合题意；C：由x∈(0，12π)可得sin x∈（0，1），y＝sin x+1sinx＞2，没有最小值，不符合题意；D：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2即最小值2，符合题意．故选：BD．6．（2019秋•兰陵县期末）下列不等式的证明过程正确的是（）A．若a＜0，b＜0，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2B．若x，y∈R*，则lgx+lgy≥2√C．若x为负实数，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4D．若x为负实数，则2x+2−x≥2√2x⋅2−x≥2【分析】结合基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等，对各选项进行检验判断即可．【解答】截：由a＜0，b＜0可得ba ＞0，ab＞0，则由基本不等式可得，ba+ab≥2√ba⋅ab=2，故A正确；x，y∈R时，lg x，lg y有可能为0或负数，不符合基本不等式的条件，B错误；若x ＜0，则x +4x＜0，C 错误；x ＜0时，2x ＞0，由基本不等式可得，2x +2﹣x ≥2，故D 正确． 故选：AD ．7．（2019秋•淄博期末）关于x 的一元二次不等式x 2﹣6x +a ≤0（a ∈Z ）的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】设f （x ）＝x 2﹣6x +a ，画出函数图象，利用数形结合的方法得出关于a 的不等式组，从而求出a 的值．【解答】解：设f （x ）＝x 2﹣6x +a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示；若关于x 的一元二次不等式x 2﹣6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则 {f(2)≤0f(1)＞0，即{4−12+a ≤01−6+a ＞0，解得5＜a ≤8，又a ∈Z ， 所以a ＝6，7，8． 故选：ABC ．8．（2019秋•聊城期末）已知a 、b 、c 、d 是实数，则下列一定正确的有（ ） A ．a 2+b 2≥(a+b)22B．a+1a≥2C．若1a ＞1b，则a＜bD．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd【分析】结合基本不等式及不等式的性质检验各选项即可判断．【解答】解：由于2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，故a2+b2≥12(a+b)2，故A正确；B中，当a＝﹣1时显然不成立，B错误；C中：a＝1，b＝﹣1显然有1a ＞1b，但a＞b，C错误；D中：若a＜b＜0，c＜d＜0，则﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，则根据不等式的性质可知ac＞bd＞0，故D正确．故选：AD．9．（2019秋•日照期末）若a，b为正数，则（）A．2aba+b≥√abB．当1a +1b=2时，a+b≥2C．当a+b=1a +1b时，a+b≥2D．当a+b＝1时，a21+a +b21+b≥13【分析】结合基本不等式及公式的变形形式对各选项进行检验即可判断．【解答】解：对A，因为a+b≥2√ab，所以2aba+b≤√ab，当a＝b时取等号，A错误；对B，12(a+b)(1a+1b)=12(2+ba+ab)≥12(2+2√ba⋅ab)=2，当a＝b时取等号，正确；对C，a+b=1a +1b=a+bab，则ab＝1，a+b≥2√ab=2，当a＝b＝1时取等号，正确；对D，(a 21+a +b21+b)(1+a+1+b)=a2+b2+b2(1+a)1+b+a2(1+b)1+a≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1，当a=b=12时取等号，正确．故选：BCD．10．（2019秋•南通期末）对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0的解集可能为（）A．∅B．（﹣1，a）C．（a，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）（a，+∞）【分析】根据函数y＝a（x﹣a）（x+1）的图象和性质，对a进行讨论，解不等式即可．【解答】解：对于a（x﹣a）（x+1）＞0，当a＞0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向上，与x轴的交点为a，﹣1，故不等式的解集为x∈（﹣∞，﹣1，）∪（a，+∞）；当a＜0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向下，若a＝﹣1，不等式解集为∅；若﹣1＜a＜0，不等式的解集为（﹣1，a），若a＜﹣1，不等式的解集为（a，﹣1），综上，ABCD都成立，故选：ABCD．11．（2019秋•启东市校级期末）在下列函数中，最小值是2的函数有（）A．f(x)=x2+1x2B．f(x)=cosx+1cosx (0＜x＜π2)C．f(x)=2√x2+3D．f(x)=3x+43x−2【分析】利用基本不等式即可判断出结果，但一定要注意验证等号是否能够成立．【解答】解：对于选项A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得x2+1x2≥2，当且仅当x2=1x2，即x＝1或﹣1时，等号成立，故选项A正确；对于选项B：∵0＜x＜π2，∴0＜cos x＜1，由基本不等式可得cos x+1cosx≥2，当且仅当cos x=1cosx，即cos x＝1时，等号成立，但是cos x取不到1，所以等号不能成立，故选项B不正确；对于选项C：由基本不等式可得f（x）=2√x2+3=(√x2+3)2√x2+3=√x2+3√x2+3≥2，当且仅当√x2+3=√x2+3，即x2＝﹣2时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；对于选项D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得f（x）＝3x+43x −2≥2√4−2=2，当且仅当3x=43x，即x＝log32时，等号成立，故选项D正确．故选：AD ．12．（2019秋•海淀区校级期末）不等式组{x +y ≥1x −2y ≤4的解集记为D ，下列四个命题中真命题是（ ）A ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≥﹣2B ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2C ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≤3D ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≤﹣1【分析】作出不等式组{x +y ≥1x −2y ≤4的表示的区域D ，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D 为直线x +y ＝1与x ﹣2y ＝4相交的上部角型区域，A ：区域D 在x +2y ≥﹣2 区域的上方，故：∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≥﹣2成立；B ：在直线x +2y ＝2的右上方和区域D 重叠的区域内，∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2，故p 2：∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2正确；C ：由图知，区域D 有部分在直线x +2y ＝3的上方，因此p 3：∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≤3错误；D ：x +2y ≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D 下方，故p 4：∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≤﹣1错误； 故选：AB ．13．（2019秋•葫芦岛月考）已知正数a ，b 满足a +b ＝4，ab 的最大值为t ，不等式x 2+3x ﹣t ＜0的解集为M ，则（ ） A ．t ＝2B ．t ＝4C ．M ＝{x |﹣4＜x ＜l }D ．M ＝{x |﹣l ＜x ＜4}【分析】由基本不等式ab ≤(a+b 2)2，可求ab 的最大值，然后解二次不等式求解M ，结合选项即可判断．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b ＝4， 则ab ≤(a+b 2)2=4，即ab 的最大值为t ＝4，而x2+3x﹣4＜0的解集为M＝（﹣4，1）．故选：BC．14．（2019秋•昆山市期中）下列函数中，最小值是2√2的有（）A．y=x+2x B．y=√x√xC．y=x2+2x2+4+4D．y＝e x+2e﹣x【分析】利用基本不等式的使用法则：“一正二定三相等”即可判断出正误．【解答】解：A．x＜0时，y＜0，无最小值．B．y=√x√x≥2√2，当且仅当x=√2时取等号，正确．C．y＝x2+2x2+4+4≥2√(x2+4)(2x2+4)=2√2，当且仅当x2+4=2x2+4时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；D．y＝e x+2e﹣x≥2√e x⋅2e−x=2√2，当且仅当x＝0时取等号，正确．故选：BD．15．（2019秋•薛城区校级期中）设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝1，那么（）A．a+b有最小值2（√2+1）B．a+b有最大值（√2+1）2C．ab有最大值3+2√2．D．ab有最小值3+2√2．【分析】根据a＞1，b＞1，即可得出a+b≥2√ab，从而得出ab−2√ab≥1，进而得出√ab≥√2+1，从而得出ab有最小值3+2√2；同样的方法可得出ab≤(a+b2)2，从而得出（a+b）2﹣4（a+b）≥4，进而解出a+b≥2(√2+1)，即得出a+b的最小值为2(√2+1)．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴a+b≥2√ab，当a＝b时取等号，∴1=ab−(a+b)≤ab−2√ab，解得√ab≥√2+1，∴ab≥(√2+1)2=3+2√2，∴ab有最小值3+2√2；∵ab≤(a+b2)2，当a＝b时取等号，∴1=ab−(a+b)≤(a+b2)2−(a+b)，∴（a+b）2﹣4（a+b）≥4，∴[（a+b）﹣2]2≥8，解得a+b−2≥2√2，即a+b≥2(√2+1)，∴a +b 有最小值2(√2+1)． 故选：AD ．16．（2019秋•北镇市校级月考）下列各小题中，最大值是12的是（ ） A ．y =x 2+116x 2B ．y =x√1−x 2，x ∈[0，1]C ．y =x 2x 4+1D ．y =x +4x+2，(x ＞−2)【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论． 【解答】解：A ．y 没有最大值； B ．y 2＝x 2（1﹣x 2）≤(x 2+1−x 22)2=14，y ≥0，∴y ≤12，当且仅当x =√22时取等号． C ．x ＝0时，y ＝0．x ≠0时，y =1x 2+1x2≤12，当且仅当x ＝±1时取等号．D ．y ＝x +2+4x+2−2≥2√(x +2)⋅4x+2−2＝2，x ＞﹣2，当且仅当x ＝0时取等号． 故选：BC ．17．（2019秋•莱州市校级月考）若正实数a ，b 满足a +b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最大值14 B ．√a +√b 有最小值√2 C ．1a+1b 有最小值4D ．a 2+b 2有最小值√22【分析】由a +b ＝1，根据2aba+b≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 22逐一判断即可．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1；∴1+a +b ≥1√ab ；∴ab ≤14； ∴ab 有最大值14，∴选项A 正确；√a +√b ≥2√ab ，2√ab ≤1，∴√a +√b 的最小值不是√2，∴B 错误； 1a+1b =a+b ab=1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2≥2ab ，2ab ≤12，∴a 2+b 2的最小值不是√22，∴D 错误． 故选：AC ．18．（2019秋•临沭县期末）给出下面四个推断，其中正确的为（ ） A ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +ab ≥2B ．若x ，y ∈（0，+∞），则lg lg x y ≥2√lgx ⋅lgyC ．若a ∈R ，a ≠0，则4a+a ≥4D ．若x ，y ∈R ，xy ＜0，则x y +yx ≤−2【分析】根据基本不等式的应用条件一正，二定，三相等逐个判断即可．【解答】解：A 正确，∵a ＞0、b ＞0，故ba +ab ≥2√ba ⋅ab =2，当且仅当a ＝b 时上式取等号； B 不正确，∵lg x 和lg y 不一定是正实数，故不可用基本不等式； C 不正确，∵a ＜0时，则4a +a ≥4不成立；D 正确，若x ，y ∈R ，xy ＜0，则−xy＞0，−yx＞0，∴(−xy)+(−yx)≥2√(−xy)⋅(−yx)=2，则xy+yx≤−2，当且仅当x 与y 互为相反数时取等号． 故选：AD ．19．（2019秋•肥城市校级月考）给出四个选项能推出1a ＜1b 的有（ ） A ．b ＞0＞aB ．0＞a ＞bC ．a ＞0＞bD ．a ＞b ＞0【分析】利用不等式的性质，代入验证即可． 【解答】解：1a＜1b ⇔b−a ab＜0⇔ab （a ﹣b ）＞0，A ，ab ＜0，a ﹣b ＜0，ab （a ﹣b ）＞0成立B ，ab ＞0，a ﹣b ＞0，ab （a ﹣b ）＞0成立C ．ab ＜0，a ﹣b ＞0，ab （a ﹣b ）＜0，不成立，D ．ab ＞0，a ﹣b ＞0，ab （a ﹣b ）＞0成立 故选：ABD ．20．（2019秋•泰山区校级期中）设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1＞aB ．a 2+9＞6aC ．（a +b ）（1a+1b）≥4D ．（a +1a）（b +1b）≥4【分析】设a ＞0，b ＞0，a 2+1﹣a ＝（a +12）2+34＞0，A 成立，a 2+9﹣6a ＝（a ﹣3）2≥0，B 不成立，（a +b ）(1a +1b )≥（1+1）2＝4，故C 成立，a +1a ≥2，b +1b ≥2，故D 成立． 【解答】解：设a ＞0，b ＞0， a 2+1﹣a ＝（a +12）2+34＞0，A 成立，a2+9﹣6a＝（a﹣3）2≥0，B不成立（a+b）(1a +1b)≥（1+1）2＝4，故C成立，a+1a ≥2，b+1b≥2，故D成立，故选：ACD．。
专题11 不等式、推理与证明、复数、算法初步-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(解析)
专题11不等式、推理与证明、复数、算法初步考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：线性规划问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题高考对本节的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算与不等式是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．考点2：不等式大小判断问题2024年北京高考数学真题考点3：利用基本不等式求最值2022年新高考全国II卷数学真题考点4：解不等式2024年上海高考数学真题考点5：程序框图2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点6：复数加减乘除运算2022年新高考天津数学高考真题2023年天津高考数学真题2024年天津高考数学真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点7：模运算2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题考点8：复数相等2024年上海高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点9：复数的几何意义2023年北京高考数学真题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题考点1：线性规划问题1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若,x y满足约束条件43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y=-的最小值为（）A．12B．0C．52-D．72-【答案】D【解析】实数,x y满足4330220 2690 x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y=-可得1155y x z=-，即z的几何意义为1155y x z=-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线1155y x z=-过点A，联立43302690x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A⎛⎫⎪⎝⎭，则min375122z=-⨯=-.故选：D.2．（2022年新高考浙江数学高考真题）若实数x，y满足约束条件20,270,20,xx yx y-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则34z x y=+的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340x y z +-=过A 时z 有最大值.由2270x x y =⎧⎨+-=⎩可得23x y =⎧⎨=⎩，故()2,3A ，故max 324318z =⨯+⨯=，故选：B.3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为．【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.5．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A ．2-B ．4C ．8D ．12【答案】C【解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.考点2：不等式大小判断问题6．（2024年北京高考数学真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+【答案】B【解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得1212122222·222x x x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：B.考点3：利用基本不等式求最值7．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥【答案】BC【解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x θθ-==，所以cos ,sin 33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin sin cos 1sin 2cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．考点4：解不等式8．（2024年上海高考数学真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．【答案】{}|13x x -<<【解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.考点5：程序框图9．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）执行下面的程序框图，输出的B =（）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B【解析】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）执行下边的程序框图，输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B考点6：复数加减乘除运算11．（2022年新高考天津数学高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为．【答案】15i -/51i -+【解析】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----==--．故答案为：15i -．12．（2023年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，化简514i23i++的结果为．【答案】4i +/4i +【解析】由题意可得()()()()514i 23i 514i 5213i4i 23i 23i 23i 13+-++===+++-.故答案为：4i +.13．（2024年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，复数)()5i 52i ⋅=．【答案】75i 【解析】))5i 52i 55i 25i 275i ⋅-=-+=.故答案为：75i .14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i -B ．i C ．0D ．1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----===-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．15．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设2i z =，则z z ⋅=（）A ．2-B 2C ．2-D ．2【答案】D【解析】依题意得，2i z =-，故22i 2zz =-=.故选：D16．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2【答案】A【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A17．（2024年北京高考数学真题）已知1i iz=--，则z =（）．A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】C【解析】由题意得()i 1i i 1z =--=-.故选：C.18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i+【答案】B【解析】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）()()()351i 2i 2i +=+-（）A ．1-B ．1C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】()()351i 51i 1i (2i)(2i)5+-==-+-故选：C.21．（2022年新高考全国I 卷数学真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D22．（2022年新高考全国II 卷数学真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.23．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若13i z =-，则1zzz =-（）A ．13i -B ．13i-C ．133-+D ．133--【答案】C【解析】13i,(13i)(13i)13 4.z zz =-=--=+=13i 131333z zz -==--故选：C考点7：模运算24．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】若1i z =--，则()()22112z -+-=故选：C.25．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故()()223|54|z -+-==．故选：B ．26．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．45B ．42C ．25D ．22【答案】D【解析】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 34422z z +=+=故选：D.27．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2C 5D ．5【答案】C【解析】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则()22322i 2i 12i 125++=-+-=故选：C.考点8：复数相等28．（2024年上海高考数学真题）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b mb b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m =，故答案为：2.29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.30．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.31．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-【答案】A【解析】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.32．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【解析】12z i=-12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A考点9：复数的几何意义33．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3)-，则z 的共轭复数z =（）A ．13i +B ．13i-C ．13i -D ．13i-【答案】D【解析】z 在复平面对应的点是(3)-，根据复数的几何意义，13i z =-，由共轭复数的定义可知，13i z =-.故选：D34．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.。
2020年高考数学试题分项版—不等式(解析版)
2020年高考数学试题分项版——不等式（解析版）一、选择题1．(2020·新高考全国Ⅰ，11)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．2．(2020·新高考全国Ⅱ，12)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．3．(2020·浙江，3)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 如图，l 1：x －3y ＋1＝0，l 2：x ＋y －3＝0.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．设初始直线为l ：y ＝－12x ，直线l 通过向上平移经过可行域内的第一个点为l 1与l 2的交点P (2,1)， 因此z 的最小值z min ＝2＋2×1＝4， 所以z ≥4. 二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________． 答案 1解析 画出可行域如图阴影部分所示．由z ＝x ＋7y ，得y ＝－17x ＋17z .平移直线l 0：y ＝－17x ，可知当直线y ＝－17x ＋17z 过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A (1,0)， ∴z max ＝1＋7×0＝1.2．(2020·全国Ⅲ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 7解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋12z ，作直线y ＝－32x ，并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7.3．(2020·天津，14)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．答案 4解析 因为a >0，b >0，ab ＝1， 所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立． 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．(2020·江苏，12)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 方法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1， 可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45.方法二 设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1， 所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0. 由Δ＝25t 2－16≥0， 解得t ≥45⎝⎛⎭⎫t ≤－45舍去. 故x 2＋y 2的最小值为45.5．(2020·浙江，9)已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0，则( )A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0 答案 C解析 由题意，知a ≠0，b ≠0，则方程(x －a )(x －b )(x －2a －b )＝0的根为a ，b,2a ＋b . ①a ，b,2a ＋b 均为不同的根，则不等式可标根为图(1)， 此时应满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，2a ＋b <0，可得a <0，b <0.②a ，b,2a ＋b 中有两个根为相等的根，则 (ⅰ)a ＝2a ＋b >0，即b ＝－a <0，此时(x －a )2(x ＋a )≥0，如图(2)，符合题意．(ⅱ)a ＝b <0，此时(x －a )2(x －3a )≥0，如图(3)，符合题意．综合①②，可知b <0符合题意．6．(2020·全国Ⅰ文，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________． 答案 1解析 画出可行域如图阴影部分所示．由z ＝x ＋7y ，得y ＝－17x ＋17z .平移直线l 0：y ＝－17x ，可知当直线y ＝－17x ＋17z 过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A (1,0)， ∴z max ＝1＋7×0＝1.7．(2020·全国Ⅱ文，15)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，x －y ≥－1，2x －y ≤1，则z ＝x ＋2y 的最大值是________．答案 8解析 作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．z ＝x ＋2y 可变形为y ＝－12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝－12x ，并平移，可知当直线过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，2x －y ＝1，得A (2,3)， 所以z max ＝2＋2×3＝8.8．(2020·全国Ⅲ文，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 7解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋12z ，作直线y ＝－32x ，并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7. 三、解答题1．(2020·全国Ⅰ理，23)[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式f (x )>f (x ＋1)的解集．解 (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≥1，5x －1，－13<x <1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度， 可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示，由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.由图象可知当且仅当x <－76时，y ＝f (x )的图象在y ＝f (x ＋1)的图象上方．所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－76. 2．(2020·全国Ⅱ理，23)[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥112. (2)因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1| ≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，故当(a －1)2≥4，即|a －1|≥2时，f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤－1时，f (x )≥4.当－1＜a ＜3时，f (a 2)＝|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2＜4. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 3．(2020·全国Ⅲ理，23)[选修4—5：不等式选讲] 设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0，∴a 2＋b 2＋c 2>0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a >0，b <0，c <0， ∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bcbc＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号， ∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4．(2020·江苏，21)C ．[选修4－5：不等式选讲] 设x ∈R ，解不等式2|x ＋1|＋|x |<4.解 当x >0时，原不等式可化为2x ＋2＋x <4， 解得0<x <23；当－1≤x ≤0时，原不等式可化为2x ＋2－x <4， 解得－1≤x ≤0；当x <－1时，原不等式可化为－2x －2－x <4， 解得－2<x <－1.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <23. 5．(2020·全国Ⅰ文，23)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式f (x )>f (x ＋1)的解集．解 (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≥1，5x －1，－13<x <1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度， 可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.由图象可知当且仅当x <－76时，y ＝f (x )的图象在y ＝f (x ＋1)的图象上方．所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－76. 6．(2020·全国Ⅱ文，23)[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥112. (2)因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1| ≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，故当(a －1)2≥4，即|a －1|≥2时，f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤－1时，f (x )≥4.当－1＜a ＜3时，f (a 2)＝|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2＜4. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 7．(2020·全国Ⅲ文，23)[选修4－5：不等式选讲] 设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0， ∴a 2＋b 2＋c 2>0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a >0，b <0，c <0， ∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bcbc＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号， ∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.。
2020年新高考(全国卷地区)数学考试试卷结构及题型变化
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。
第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：①新高考全国Ⅰ卷与新高考全国Ⅱ卷相同新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。
2020届全国各地高考试题分类汇编：13 不等式选讲含答案
f
(x)
f
(x
1)
的解集为
,
7 6
．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形
结合能力，属于基础题．
f (x) x a2 | x 2a 1|
2.（2020•全国 2 卷）已知函数
.
（1）当 a 2 时，求不等式 f (x)… 4 的解集；
（2）若 f (x)… 4 ，求 a 的取值范围.
13 不等式选讲
1.（2020•全国 1 卷）已知函数 f (x) | 3x 1| 2 | x 1| ．
（1）画出 y f (x) 的图像；
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）
,
7 6
.
【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 f x的解析式，作出图象；
x
2
1 x
4
或
1 2x
2
x
x
0
4
或
2
x
x0 2 x
4
2 x 1或 1≤≤x
0 0或
x
2 3
,所以解集为
2,
2 3
【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
x
【答案】（1）
x
3 2
或
x
11
2
；（2）
,
1 3,
.
【解析】（1）分别在 x 3 、 3 x 4 和 x 4 三种情况下解不等式求得结果；
f x a 12
（2）利用绝对值三角不等式可得到
，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 a 2 时， f x x 4 x 3 .
2020年高考数学分类之不等式选讲详解
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）
,
7 6
.
【详解】
x 3, x 1
（1）因为
f
x 5x 1,
1 3
x 1 ，作出图象，如图所示：
x 3, x 1 3
（2）将函数 f x 的图象向左平移1个单位，可得函数 f x 1 的图象，如图所示：
四.基本不等式 9．（2020 海南卷 12 山东卷 11)已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 1，则（ ）
A． a2 b2 1 2
B． 2a b 1
2
C． log a log b 2
2
2
D． a b 2
【答案】ABD
【详解】对于
A， a2
b2
a2
1 a 2
2a2
2a1
x 1,
的最大值为_________．
【答案】7
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为 z 3x 2y ，所以 y 3x z ，易知截距 z 越大，则 z 越大，
22
2
平移直线 y 3x ，当 y 3x z 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，
2
22
y 2x x 1
由
x 1
，得
y
2
，
A(1,
2)
，
所以 zmax 3 1 2 2 7 .
故答案为：7.
2x y 2 0,
7．（2020·全国Ⅰ卷高考真题（文理
13））若
x，y
满足约束条件
x
y
1
0,
y 1 0,
则z x7y
的最大值为____________.
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不等式 选择题：
1．（福建卷）不等式
01
31
2>+-x x 的解集是
（ A ）
A ．}2
13
1
|{>-<x x x 或 B ．}2
131|{<<-x x
C ．}2
1|{>x x
D ．}3
1|{->x x
2．（福建卷）下列结论正确的是
（ B ）
A ．当2lg 1
lg ,10≥+
≠>x
x x x 时且 B ．21,
0≥+
>x
x x 时当
C ．x
x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当x
x x 1,20-≤<时无最大值
3．（湖北卷）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：
①“b a =”是“bc ac =”充要条件；
②“5+a 是无理
数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是
（ B ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4. （辽宁卷）6．若011log 2
2<++a
a a
，则a 的取值范围是
（ C ）
A ．),2
1(+∞
B ．),1(+∞
C ．)1,2
1(
D ．)2
1,0(
5. （辽宁卷）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式
1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则
（ C ）
A ．11<<-a
B ．20<<a
C ．2
32
1<<-a D ．2
12
3<<-a
6. (全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的
x 的取值范围是（B ）
（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a 7. （山东卷）01a <<，下列不等式一定成立的是（ A ） （A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ （C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+
8. （天津卷）9．设)(1x f -是函数)1( )(2
1
)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则
使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（A ）
A ．),21(2+∞-a a
B ． )21,(2a a --∞
C ． ),21
(2a a
a - D ． ),[+∞a 9. （天津卷）已知
b 2
1log ＜a 2
1log ＜ c 2
1log ，则
A ．2b ＞2a ＞2c
B ．2a ＞2b ＞2c
C ．2c ＞2b ＞2a
D ．2c ＞2a ＞2b
10. (重庆卷)不等式组⎩⎨⎧>-<-1
)1(log 2
|2|2
2x x 的解集为 (C )
(A) (0,3)； (B) (3,2)； (C) (3,4)；
(D) (2,4)。
11.(江西卷）已知实数a 、b 满足等式,)3
1()21(b a =下列五个关系式： ①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b
其中不可能成立的关系式有
（ B ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
填空题：
7. (全国卷Ⅰ) （13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = 155 。
)3010.02(lg ≈ 解答题：
1（湖北卷）22．（本小题满分14分）
已知不等式n n n
其中],[log 2
113
12
1
2>+++Λ为大于2的整数，
][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足
Λ
,4,3,2,),0(1
1
1=+≤
>=--n a n na a b b a n n n
（Ⅰ）证明Λ,5,4,3,]
[log 222=+<
n n b b
a n
（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b >0，都有
.5
1<n a
解：（Ⅰ）证法1：∵当,1
11,0,211111n
a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤
<≥-----时
即
,1111n
a a n n ≥-- 于是有
.111,,3111,211112312n
a a a a a a n n ≥-≥-≥--Λ 所有不等式两边相加可得
.1
3121111n
a a n +++≥-Λ 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 2
1
1121n a a n >- ∵.]
[log 22.2][log 2][log 21
11,2221n b b
a b
n b n b a b a n n +<
+=+>∴
=
证法2：设n
n f 13
12
1
)(+++=Λ，首先利用数学归纳法证不等式
.,5,4,3,)(1Λ=+≤
n b
n f b
a n
（i ）当n=3时， 由 .)3(112233133331
1
2223b f b
a a a a a a +=++⋅≤+=+≤
知不等式成立.
（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1b
k f b
a k +≤
则1)(1)1(1
1)
1(1)1()1(1++⋅++≤
+++=+++≤
+b
b k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)1
1
)((1)()1()1()1(b
k f b
b k k f b
b
b k f k k b
k ++=
++
+=
+++++=
即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1Λ=+≤
n b
n f b
a n
又由已知不等式得 .,5,4,3,]
[log 22][log 2
1
122Λ=+=
+<
n n b b
b n b a n
（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a
（Ⅲ）∵
,5
1
][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令
则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5
1
<n a。