第8章空间解析几何小结

KKK
KK K
K KKK
G
例 4 已知 a,b, c 两两垂直，且 a = 1, b = 2, c = 3 ，求 s = a + b + c 的模和它与向量 b 的夹角.
高等数学（赵）
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高等数学阶段小结
截距式： x + y + z = 1 ，（ a, b, c 依次叫平面在 x, y, z 轴上的截距）。 abc
其中：
（1）平面 Ax + By + Cz = 0 过原点, （2）平面 By + Cz = 0 过 x 轴, （3）平面 Cz + D = 0 平行于 xOy 坐标面, （4）平面 z = 0 即为 xOy 坐标面.
K a = ax2 + ay2 + az2
高等数学（赵）
-1-
高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
{ } K
4．非零向量 a = ax , ay , az 的方向余弦
cosα =
ax
;cos β =
ay
;cosγ =
az
ax2 + ay2 + az2
ax2 + ay2 + az2
ax2 + ay2 + az2
p1 p2
.
高等数学（赵）
-4-
高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
8．点 M 0 到直线 L 的距离公式
JJJJJJK K
K
设 s = {m, n, p} 是直线的方向向量， M1 是直线 L 上任一点，则 d
=
M 0MK 1 × s s
。
9．直线与平面的夹角
K
G
设直线的方向向量是 s = {m, n, p} ，平面的法向量是 n = {A, B, C} ，则直线和平面的夹角ϕ 由下
学习重点
1．向量的线性运算、数量积、向量积的概念； 2．两个向量垂直和平行的条件； 3．平面方程和直线方程； 4．平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5．点到直线以及点到平面的距离； 6．常用二次曲面的方程及其图形； 7．以坐标轴为旋转轴旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8．空间曲线的参数方程和一般方程。
⎧⎪F ⎨⎪⎩G
( (
x, x,
y, y,
z z
) )
= =
0 0
中消去
z
后得
到的方程
H
(
x,
y
)
=
0
，C
在
x
O
y
坐标面上的投影曲线方程为
⎧ ⎨ ⎩
H
(
x, y)
z=0
=
0
。
典型例题
JJJJG
JJJJG
例 1 向量 OM 与 x 轴成 45o 角，与 y 轴成 60o 角，它的模为 6 ，它在 z 轴上的坐标是负的，求向量 OM
bx
j ay by
k
az bz
=
ay by
az
G i−
ax
bz bx
az
G j+
ax
bz
bx
ay
G k
。
by
K K KK
KK
KK
KK
又 a × b = a b sinθ （θ 为 a,b 间的夹角）。 a × b 的方向垂直于 a 与 b 所确定的平面，其指向按右
KK 手法则从 a 转向 b 来确定。
5．向量的运算
{ } { } { } K
K
K
设 a = ax , ay , az ， b = bx , by , bz ， c = cx , cy , cz ， λ 是常数，则
( ) ( ) K K
G
G
G KK
（1） a ± b = (ax ± bx ) i + ay ± by j + (az ± bz ) k ，即 a ± b = ax ± bx , ay ± by , az ± bz ；
=
λ
(
K a
⋅
K b
)
；
( ) K K K K
（9） a × b = − b × a ；
( ) K K K K K K K
（10） a + b × c = a × c + b × c ；
( ) K K K K K K K
（11） c × a + b = c × a + c × b ；
（12）
(
λ
aK )
+ +
B1 B2
y y
+ +
C1z C2 z
+ +
D1 D2
=0 =0
的平面束方程为
λ ( A1x + B1 y + C1z + D1 ) + μ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 .
三、曲面与空间曲线
1．曲面及其方程
如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z ) = 0 有下述关系： 1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 F ( x, y, z ) = 0 ， 2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F ( x, y, z ) = 0 ，
面的式子确定：
sinϕ =
Am + Bn + Cp
。
A2 + B2 + C2 m2 + n2 + p2
10．直线与平面垂直和平行的充要条件
直线和平面垂直 ⇔ A = B = C ； mn p
直线与平面平行或直线在平面上 ⇔ Am + Bn + Cp = 0 .
11．平面束方程
过直线
⎧ ⎨ ⎩
A1x A2 x
称方程 F ( x, y, z ) = 0 为曲面 S 的方程，而曲面 S 叫方程 F ( x, y, z ) = 0 的图形。
特别地
以一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面，叫做旋转曲面。旋转曲线和定直线依次
高等数学（赵）
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高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
叫旋转曲面的母线和轴。
2．两平面的夹角
JK
JJK
设平面 π1 和 π 2 的法向量为 n1 = {A1, B1, C1} ， n2 = {A2 , B2 , C2} ，则夹角θ 可由下面的式子确定：
cosθ =
A1 A2 + B1B2 + C1C2
。
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22
高等数学（赵）
高等数学（赵）
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高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
KKK
（5） (λ + μ ) a = λa + μa ；
KK KK （6） a ⋅b = b ⋅ a ；
( ) K K K K K K K
（7） a + b ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c ；
（8）
(λ
K a
)
⋅
K b
=
K a
⋅
( λ bK )
2．空间曲线及其方程
一般式方程：
⎧⎪F ⎨⎪⎩G
( (
x, x,
y, y,
z z
) )
= =
0 0
；
⎧x = x(t)
参数式：
⎪ ⎨
y
=
y
(t
)
⎪ ⎩
z
=
z
(t
)
（α ≤ t ≤ β）。
3．投影柱面与投影曲线
空间曲线
C
:
⎧⎪F ⎨⎪⎩ G
( (
x, x,
y, y,
z z
) )
= =
0 0
关于
x
O
y
坐标面的投影柱面方程为由
( ) ( ) K
G
G
G
K
（2） λa = (λax ) i + λay j + (λaz ) k （ λ 为常数）， λa = λax , λay , λaz ；
KK KK
（3） a ⋅ b = a b cos (a, b) = axbx + ayby + azbz ；
GGG
KK i （4） a × b = ax
高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
本资料对本章的基本概念和基本方法作出归纳和总结，并通过典型习题对其中的重要部分予以突出和强 化。资料仅做课外自习参考之用，勿与其它院系、其它专业传阅交流。
第八章 向量代数与空间解析几何
学习内容和要求
1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3．理解单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4．掌握平面方程和直线方程及其求法。 5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、 垂直、相交等）解决有关问题。 6．会求点到直线以及点到平面的距离。 7．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及 母线平行于坐标轴的柱面方程。 7．了解空间曲线的参数方程和一般方程。 8．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
JJJJG
G
的各个坐标，沿 OM 方向的单位向量 a 。
( ) 例 2
G
G
已知 a = 2 ， b = 5 ，