高等数学讲义---一元函数微分学

第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分
（甲）内容要点
一、导数与微分概念
1、导数的定义
设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限
x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim
0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，0x x dx dy
=，0)(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则0000
()()()lim x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。

右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x
+++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0
000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x ---→∆→-+∆-'==-∆ 则有
)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义
如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-
法线方程：00001()()(()0)()
y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数)(x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。

例如，||)(x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。

4．微分的定义
设函数)(x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式
0()()y A x x o x ∆=∆+∆ （0→∆x ）
其中)(0x A 为x ∆为无关，()o x ∆是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小，则称)(x f 在0x 处可微，
并把y ∆中的主要线性部分x x A ∆)(0称为)(x f 在0x 处的微分，记以0x x dy
=或0)(x x x df =。

我们定义自变量的微分dx 就是x ∆。

5．微分的几何意义 )()(00x f x x f y -∆+=∆是曲线)(x f y =在点0x 处相应
于自变量增量x ∆的纵坐标)(0x f 的增量，微分0x x dy =是曲线
)(x f y =在点))(,(000x f x M 处切线的纵坐标相应的增量（见图）。

6．可微与可导的关系
)(x f 在0x 处可微⇔)(x f 在0x 处可导。

且000()()x x dy A x x f x dx ='=∆=
一般地，)(x f y =则()dy f x dx '=。