单纯形替换法
单纯形法基本原理
否
含 有xa
是 无可行解
(a对ik
0 任一
j 0)
否
是 无界解
有某个 否 非基变量的
j 0
唯一 最优解
是
无穷多
最优解
循
环
停止
计 算 i
( bi alk
alk
0)
用 非 基 变 量xk 替 换 基 变 量xl
列出下一个 新单纯形表
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 17
解的判别： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线 规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
max Z 3 x1 4 x2
2x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
3x2
x4
30
x1
,
x2
,
x3
换
x3
x4
出
1
0
40 行
0
1
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
单纯形替换法
V3 V2
V1
5.如何构造单纯形?
对于给定的点x 0和正数，有两种方式构造单纯 形：
(1) V 0 x 0 V 1 V 0 e1 V 2 V 1 e 2 V n V n1 en V 1 V 0 e1 V 2 V 0 ( e1 e2 ) V n V 0 ( e1 e2 en )
如 果 f ( V r ) f ( V l ) ， 转 step 4. 则 如 果 f ( V r ) f ( V l ) ， 转 step 5. 则
step 4.( 延 伸 步) V e V ( V V h ) V ( V r V ) ( V e : 延 伸 点， : 延 伸 系 数 一 般 取 2 ) ，
如 果 f ( V e ) f ( V l ) ( f ( V e ) f ( V r ))， 则 V h : V e , S k 1 [V 0 ,V 1 , ,V n ], 转 step （ 判 断 步 ） 7 .
如 果 f ( V e ) f ( V l ) ( f ( V e ) f ( V r ))， 则 V h : V r , S k 1 [V 0 ,V 1 , ,V n ], 转 step （ 判 断 步 ）, V 2 , V 3 ]构成一个单纯形 。
6.单纯形替换法的几何解释
V0
V2
V
Vr
V
1
Ve
x*
给定单纯形 [V 0 , V 1 , , V n ]。 S
设 f (V h ) max { f (V 0 ) , f (V 1 ) ,, f (V n ) } , f (V l ) min { f (V 0 ) , f (V 1 ) ,, f (V n ) }。
改进的单纯形法迭代计算方法
改进的单纯形法迭代计算方法吴庆丰【摘要】对传统大M法进行改进，若计算检验数的表达式中含有M则只计算含有M的部分，从而简化计算，迭代过程中当人工变量由基变量变为非基变量时，直接去掉人工变量部分的表格然后继续计算，从而再一次降低计算量。
借鉴两阶段法的优点进一步给出了无需给出大M的迭代算法，此法不会破坏目标函数的一致性，而且可以避免传统大M法在利用计算机求解时由于M值的选取不当所导致的计算错误。
%Improved big-M method is presented. If expressions of the calculated test number contain M, the only portion containing M is calculated, and thereby the calculation is simplified. And when artificial variables become nonbasic variables by basic variables in the iterative calculation process, the artificial variables parts of the table can be directly removed and then the calculation is continued. Thus, the amount of computation is again reduced. Taking advantages of two-phase method, an iteration algorithm without giving the big M is further given. This method does not undermine the consistency of the objective function, and the calculation error can be avoided when using traditional big-M method combined with computer to solve, due to the improper selection of the value of M.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)018【总页数】5页(P59-62,69)【关键词】线性规划;单纯形法;大M法;两阶段法【作者】吴庆丰【作者单位】淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000【正文语种】中文【中图分类】O22单纯形法是求解线性规划的基本方法，许多文献对其不断改进。
单纯形搜索方法
1．搜索方法我们这里以二维为例说明搜索方法在二维情况下的单纯形有3个顶点：X GX L二维情况：三个顶点计算各点的函数值，设好点为x L, 最坏点为x H, 次坏点为x G 求除x H（最坏点）以外的其余各点的几何中心x Cx C=∑≠=nHjjxj n&01单形替换法主要有以下集中搜索方法（1）反射以x C为中心，将x H按一定比例反射，得x R;x R=x C+α( x C―x H) (通常α=1)（2）扩张若f(x R)< f(x L),则搜索方向正确，应扩张，（比最好点还要好）x E=x R+r ( x R―x C) r扩张系数r=1.2~2.0⎪⎩⎪⎨⎧≥<RL G H R R E E L G H E R E X X X X X X f X f X X X X X X f X f ,),()(,,),()(构成新的单纯形代替则以若构成新的单纯形代替则以若 （3） 收缩a) 若x R 比x L 差但比x G 好，即f(x L )< f(x R ) < f(x G )反射可行，用x R 替换x H ，新的单纯形x L x G x R b) 若x R 比x G 差但比x H 好，反射走的太远，应收缩反向距离，x K =x C +β( x R ―x C ) β收缩因子，通常β=0.5 ⎪⎩⎪⎨⎧K H K K L G H K X X X X X X X X 则不用差比若则新的单纯形好比若,,, c) 若x R 比x H 差,即反射点比最差点还差，应在x C 内部找收缩点x K ‘x K ‘= x C ―β( x C ―x H )⎪⎩⎪⎨⎧'''',,,K H K K L G H K X X X X X X X X 则不用差比若则新的单纯形好比若 （4） 压缩:若x H ，x C 方向上的所有点都比x H 差（即通过上述三种搜索方法均未找到好点），则压缩，以x L 为中心，其余各点均向x L 靠拢x j = x L ―0.5( x L ―x j ) j=0,1,…n j ≠L。
运筹学 第二章 单纯形法
按最小非负比值规则：
5 0 1 1/ 3 1 1 2 1
x2 x3
5 0 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3 1
0 15 0 1/ 6 0 4 0 1/ 6 1 1 0 1/ 3 0 8 0
至此，检验行已没有负数， 当前解即为最优解。
0
此时对应的LP问题为：
min S 0 x1 0 x2 x3 x4 0 x5 1
x4 1 x1 2 x2 2 x3 s.t 0 x1 3x2 3x3 x4 x5 5 x 0 (i 1,2,3,4,5) i
i 1, ,5
可行基{ x1 , x 2 , x 3 }
令非基变量 x4 , 最优值：
x 5为0，得到最优解
17 max Z 2
15
7 3 15 X 3 ( , , ,0,0)T 2 2 2
此基本可行解对应可行域的顶点(7 / 2, 3 / 2) 其结果与图解法一致。 总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能保证基 可行解的非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行的初等变换不能把0变成1。
此时，
x4
已经从24降到了0，达到了非基的取值，变
成非基变量。从而得到新的可行基{x1 , x3 , x5 } 。 由此得到一个新的基本可行解： X 1 ( 4,0,15,0,1)T
8
此基本可行解对应可行域的顶点(4,0)
目标函数值： ( X1 ) 2 4 8 Z ( X 0 ) 0. Z
T
X 0 (0,0,15,24,5)
(对应可行域的 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
第12讲 单纯形替换法
V0
V2
V
Vr
V
1
Ve
x*
给定单纯形 S = [V 0 , V 1 , L , V n ] 。
设 f (V h ) = max { f (V 0 ) , f (V 1 ) ,L , f (V n ) } , f (V l ) = min { f (V 0 ) , f (V 1 ) ,L , f (V n ) }。
h 3 g 1 l 2
的形心进行反射， 将 x(3) 经 x(1) 和 x( 2) 的形心进行反射，令
1 1 (1) 2 x = x + x( ) = 2 ， 2 0
(
)
在 x 处， f ( x ) = 57 / 4 .令反射得到的点 令反射得到的点
f ( x( ) ) = x + α x − x(
c
= V + γ (V
r
−V )，
收缩点， 收缩系数， (V c : 收缩点， γ ：收缩系数，一般取
γ =
1 ) 。 2
如果 f (V c ) < f (V r ) ， 则V
h
:= V c , S k + 1 = [V 0 , V 1 , L , V n ], 转 step 7 ( 判断步 ).
α = 1, β = 2, γ = 1 / 2, ε = 2 .
第一次迭代： 解： 第一次迭代： 各顶点处的函数值为 f ( x(1) ) = 17 ， f ( x( 2) ) = 12 ， f ( x(3) ) = 27 ，记顶点
x( ) = x( ) ， x( ) = x( ) ， x( ) = x( ) .
c c
= V + γ (V
优化设计3 单纯形法
表示Xr点走的太远，应沿着XrXb缩回一些（压缩), 并且得到 的压缩点为
Xc Xb c(X r Xb ) c为压缩系数，取值c＝0.25~0.75, c取0.5叫正压缩；
压 缩 机 研 究 所 CRI
X b
2 n
n i0
(X
(i)
Xh)
Xh
n i0
X
(i)
2 X h
0 0
2 0
0 2
0 2 0
2 2
X r Xb ( Xb X h ) (1 ) Xb X h
2 0 4 2 2 0 4
映射系数取1
Fr F ( X (r) ) 20 Fl
压 缩 机 研 究 所 CRI
不规则单纯形的计算步骤：
设目标函数f(X)为n维函数，即X为n维向量，因此单纯形应有
n十1个顶点x1,x2,….xn+1。构造初始单纯形时，先在n维空间
中选取初始点
X
0 1
(尽量靠近最优点)，从
X
0 1
出发沿各坐标轴方
向ei以步长h找到其余n个顶点
X
0 j
(j=2,3,…..n+1)
2）膨胀 如果求得的映射点后，Xr比Xl点还好，即 f (X r ) f (Xl ) 则表明所取的探索方向正确，可进一步扩大效果，继续沿 XhXr向前进行扩张，在更远处取一点Xe，并使
X e X b e( X b X h )
压 缩 机 研 究 所 CRI e为扩张系数， e＝1.2~2,一般取2(正膨胀） 所得到的相应单纯形XeXlXg为新的单纯形。 如果 f(xe) > f(Xr) ，说明向前膨胀不利，仍取映射单纯形{Xr， Xl, Xg}. 构成新的单纯形并由新的单纯形继续搜索。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
单纯形替换法、步长加速法、Power法等适用于目标函数的导数不存在或导数过于复杂的情形.
最小二乘法是求解最小二乘问题的特定解法.
求解约束问题的基本方法有Z-容许方向法、梯度投影法、外点法(外部罚函数法)、内点法(内部罚函数法)、乘子法、线性化法、简约梯度法等.
Z-容许方向法：利用线性规划得到搜索方向
p，然
k
后再通过受限的直线搜索确定步长因子
t.
k
梯度投影法：利用对梯度投影的方式得到搜索方向
p，然后再通过受限的直线搜索确定步长因子k t.
k
外点法、内点法、乘子法：通过求解一系列的无约束问题解约束问题.而这一系列无约束问题的目标函数则是根据目标函数及约束函数，通过“惩罚”方式产生.
∶。