第一章 瞬变非周期信号与连续频谱(3)
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03第1章_瞬变非周期信号与连续频谱
其中： j ( f ) X( f ) X( f )e
X ( f ) Re2 [ X ( f )] Im2 [ X ( f )] 幅值谱 ( amplitude spectrum )
Im[ X ( f )] ( f ) arctg 相位谱 Re[ X ( f )] ( phase spectrum )
T
T
n
x(t )
2 2 2 0
n 0 (n 1) 0 0
Cn
t
T
2 d 0 T
非周期信号的频谱分析
2, Fourier 变换
Fourier 变换的推导 ( 1 ) 由以上思路推导公式
x(t ) lim xT (t )
( x(t )e j 2ft dt)e j 2ft df
令为 X( f )
非周期信号的频谱分析
非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般 为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为 有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换 （Fourier transform）。 傅立叶变换的定义
非周期信号的频谱分析
对比:方波谱
非周期信号的频谱分析
例：矩形脉冲信号(rectangular pulse signal) G(t ) （窗函数(window function)）
E, t T / 2 G(t ) 0, t T / 2
矩形脉冲信号的 Fourier 变换为
a
m 1
k
m m
x (t ) am X m ( f )
m 1
k
测试技术第一章 三、四节 瞬变非周期信号及其
sincθ 的图象
sincθ ≡
sinθ
θ
W( f )
T
sin πfT W( f ) = T πfT
− 3/T
− 1/T
1/T
3/T 2/T
− 2/T
f
W(f )
sin πfT W( f ) = T πfT
W(f)函数只有实部，没有虚部。 函数只有实部，没有虚部。 函数只有实部 W(f)中T 称为窗宽。 中 称为窗宽。 抽样信号： 抽样信号： W(f)以 以 为周期并随 f 2 /T 的增加作衰减振荡。 的增加作衰减振荡。 W(f)是偶函数，在f=n/T（n=±1, 是偶函数， f=n/T（n=± 是偶函数 ±2, ……）处其值为0。 ）处其值为0 其幅频谱与相位谱如图示。 其幅频谱与相位谱如图示。 频率为负时，相角为 频率为负时，相角为π
a) k=1
b) k=0.5
幅值增大 频带变窄
c) k=2
幅值减小 频带变宽
尺度改变性质举例
1、奇偶虚实性 、
∞
e − j 2πft = cos( 2πft ) − j sin( 2πft )
X ( f ) = ∫ x(t )e − j 2πft dt = Re X ( f ) − j Im X ( f )
−∞
Re X ( f ) = ∫ x ( t ) cos 2πftdt Im X ( f ) = ∫ x ( t ) sin 2πftdt
第三节 瞬变非周期信号及其连续频谱
频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期， 频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期， →周期信号 一般非周期信号是指瞬变非周期信号→ 一般非周期信号是指瞬变非周期信号→ 简称为瞬变信号 当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号 当信号中各个频率比不是有理数时， 右图就是一个典 型的瞬变信号。 型的瞬变信号。 前面已给大家举 了很多有关瞬变信号 的例子。 的例子。
第三节瞬变非周期信号与连续频谱
1 j0t j 0 t cos 0 t (e e ) 2
因此：
x(t ) w(t ) z (t ) 1 j0t j0t w(t ) (e e ) 2 1 j 0 t 1 j0t e w(t ) e w(t ) 2 2
X ( ) f[ x(t )] 1 j 0 t 1 j 0 t f[ e w(t )] f[ e w(t )] 2 2 1 1 W ( 0 ) W ( 0 ) 2 2 T sin c[( 0 )T ] T sin c[( 0 )T ]
2、变换公式
正变换：
X ( )
逆变换：
x(t )e
jt
dt
1 x(t ) 2
X ( )e
jt
d
在数学上，x（t）和X（ω ）互称为傅立叶变换 对，可记为：
x(t ) X ( )
FT
x(t ) X ( )
IFT
X（ω ）一般为复数，可表示为：
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号两 种，其频谱各有独自的特点。准周期信号具有离散的 频谱，但各谐波成分的频率比不是有理数，例如：
x(t ) sin t sin 2t
通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号， 这种信号的频谱是连续谱。
一、傅立叶变换（Fourior Transform）
jt0
X () e
j ( ) t0
5、频移特性
若：
x(t ) X ( )
FT
则：
x(t )e
j0t
X ( 0 )
FT
6、时间尺度变换特性
信号及其分类
为什么要对信号进行频域描述？
信号的时域与频域描述是否包含同样的信息量？
1.时域描述：以时间为独立变量 ，反映信号
幅值—时间变化的关系
不能提示信号的频率组成
2.频域描述：信号的频率组成及其幅值相角之
大小
揭示：幅值——频率， 相位——频率
幅频谱
相频谱
例：周期方波
x(t) x(t nT0 )
x(t) A 0 t T0
2 T0
x(t)
sin
nw0tdt
2
n=1,2,3…..
w0
2
T0
合并同类项： x(t) a0 An sin(nw0t n )
An
a
2 n
bn2
n1
tg n
an bn
即：
n
arctg
an bn
也可写成： x(t) a0 An cos(nw0t n ) n1
T0
T0 t 0 2
x(t) A 2A t T0
o t T0 2
解：a0
1 T0
T0
2
2 T0
2
x(t)dt
T0
T0
2A
A
2 (A t)dt
0
T0
2
an
2 T0
T0
2 T0 2
x(t) cosnw0tdt
4 T0
T0 2 0
(
A
2 At ) T0
例1－2：画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图
解：
cosw0t
非周期信号及其频谱
但若各正（余）弦信号的频率比不是有理数，例如 x(t)= sinω0t+sin2πω0t，各正（余）弦信号间找不到公共的周期，它们在合成 后不可能经过某一周期重复，所以合成后不可能是一个周期信号。但 是这样的一种信号在频域表达上却是离散频谱，这种信号称为准周期 信号。在工程技术领域内，不同的相互独立振源对某对象的激振而形 成的振动往往是属于这一类的信号。
1.2 傅里叶变换与非周期信号的频谱
在式
x(t)
x(t
)e
j2ft
dt
e
j2ft
df
括号里的积分中，t是积分变
量，因此积分的结果是一个以频率f为自变量的函数，记作
X ( f ) x(t)e j2ftdt
此式称为函数 x(t) 的傅里叶变换（FT）。傅里叶变换是把时域函数
x(t) 变换为频域函数 X(f)的桥梁，其功能与式
单乘积。
（3） δ 函数的频谱
将 δ 函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数，即
( f )
(t)e j2ftdt e0
(t)dt 1
可根见据，傅时里域叶的变脉换冲的信对号称具性有、无时限移宽性广和的频频移谱性，等而，且可各得频到率下上列的傅信里叶
号变强换度对都: 相等。在信号的检测中，一般爆发电火花的地方（如雷电、火
(t )
0
t0 t0
(t)dt
0 s (t)dt 1
s (t)
O t
(a)
(t)
(1)
Ot
(b)
在工程上，常将 δ 函数用一个高度等于1的有向线段来表示，如下 图所示，这个线段的高度表示 δ 函数的积分，亦称 δ 函数的强度（并非 幅度值）。用这种方法表示的 δ 函数称为单位脉冲函数。
非周期信号的频谱分析第三节连续时间Fourier变换的课件.ppt
F( j)
πF (0)
()
若信号不存在直流分量即F(0)=0
则t
f
( )d
F
1
j
F( j)
18
例3 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
y(t)=p(t0.5) 1
t
0
1
t
0
1
解： f (t) = t p(t 0.5)dt = t y(t)dt
由于 p(t 0.5) F Y ( j) = Sa (0.5)e j0.5
F F1 ( j)
1 Sa (0.5)e j0.5 j
利用修正的微分特性，可得
F( j) = π( f () f ()) () F1 ( j) j
= 3π () 1 Sa (0.5)ej0.5 j
与例4结果 一致！ 24
23
10. 频域微分积分特性
若f (t) F( j)
则( jt)n f (t) F (n) ( j)
由上式利用时域微分特性，得
2
F[ f '(t)] = (j)F(j) = A 2jsin( )
2
因此有
F( j) = 2A sin( ) = ASa( )
2
2
21
20
例6 试利用微分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 2 1
f '(t) 1
t
0
1
t
0
1
解： f '(t) = p(t 0.5) F Sa(0.5)e j0.5
f1(t) d n f (t
f )
2 (t) F F ( j)
1
2π n
[F1( j) F( j)
信号分析基础2
xt dt
４．在数学上，称X(w)为x(t)的傅立叶变换，称x(t) 为X(w)的傅立叶逆变换，两者互称为傅立叶变换对． 1 jwt X ( w ) x ( t ) e dt F ( x(t )) 2 x(t ) X ( w)e jwt dw F 1 ( X ( w)) X ( f ) x(t )e j 2ft dt j 2ft x ( t ) X ( f ) e df
④当f(t)是虚奇函数时,频谱函数F(w)是实奇函数。
（二）对称性
x(t ) X ( f )
证明：
X (t ) x( f )
xt
X f e j 2ft df
以-t代替t得
x t
X f e j 2ft df
将t与f互换，即得X（t）的傅立叶变换为
1 a
2a dt 2 a 2
2a F ( ) 2 2 , ( ) 0 a
a
例2 求奇对称指数信号的频谱
e at f (t ) at e
解:
t0 t 0
dt e
0 ( a j ) t
0
e
( a j ) t
1 a
F ( )
我们可以从周期函数的傅立叶级数取T→∞时 的极限入手，对于周期信号：
jn0t f ( t ) C e n n C 1 T0 / 2 f (t )e jn0t dt n T0 T0 / 2
1 T0 / 2 x(t ) [ x(t )e jnw0t dt]e jnw0t T0 / 2 n T0 1 T0 / 2 [ x(t )e jnw0t dt]e jnw0t w0 T0 / 2 n 2
测试技术_瞬变非周期信号及其频谱
机械工程测试、信息、 信号处理
——瞬变非周期信号与其频谱
第 一 组 信 号 及 分 析 日期：2014年9月9日
信号分析
课程内容
1
信号及其描述
2
3
信号的描述及分类
周期信号及其频谱 瞬变非周期信号与其频谱 随机信号及其主要特征参数
课程内容
4 5
contents
1
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
周期信号 确定性信号
0 d
d jt jt x(t )e dt e 2
X ( ) x(t )e
jt
dt
1 2
x(t )e jt dt e jt d
7
信号分析
得到频率组成（谱线）
频谱离散、每条谱线只出现在原 周期信号基波频率的整倍数上、 幅值谱中各个频率的幅值随着频 率的升高而减小
工程上常用频谱图形来直观描述
14
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
傅立叶变换的主要性质
15
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
傅立叶变换的主要性质
1.奇偶虚实性
x (t ) 若为实偶函数，则 X ( f ) 为实偶函数
21
信号分析 5 卷积性质 函数 x( t ) 与 y (t )
定义为 这样，若 则有
瞬变非周期信号与其频谱
的卷积记作
x (t ) y (t )
x (t ) y (t )
≌
x( ) y(t )d
x1 (t ) X 1 ( f ),
x 2 (t ) X 2 ( f ),
——瞬变非周期信号与其频谱
第 一 组 信 号 及 分 析 日期：2014年9月9日
信号分析
课程内容
1
信号及其描述
2
3
信号的描述及分类
周期信号及其频谱 瞬变非周期信号与其频谱 随机信号及其主要特征参数
课程内容
4 5
contents
1
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
周期信号 确定性信号
0 d
d jt jt x(t )e dt e 2
X ( ) x(t )e
jt
dt
1 2
x(t )e jt dt e jt d
7
信号分析
得到频率组成（谱线）
频谱离散、每条谱线只出现在原 周期信号基波频率的整倍数上、 幅值谱中各个频率的幅值随着频 率的升高而减小
工程上常用频谱图形来直观描述
14
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
傅立叶变换的主要性质
15
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
傅立叶变换的主要性质
1.奇偶虚实性
x (t ) 若为实偶函数，则 X ( f ) 为实偶函数
21
信号分析 5 卷积性质 函数 x( t ) 与 y (t )
定义为 这样，若 则有
瞬变非周期信号与其频谱
的卷积记作
x (t ) y (t )
x (t ) y (t )
≌
x( ) y(t )d
x1 (t ) X 1 ( f ),
x 2 (t ) X 2 ( f ),
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W ( f ) t e j 2ft dt
T 2 T 2
e j 2ft dt 1 jfT e e jfT j 2f
1 jfT sin fT e e jfT 2j
T为窗宽
sin fT Wf T T sin cfT fT
Page: 7
傅里叶变换
1 X 2
xt e
jt
dt
FT
xt X e d
jt
xt X
IFT
2f 代入上式
X f xt e
j 2ft
dt
xt X f e
傅里叶变换
周期信号频谱谱线的频率间隔 当周期
2 0 T0 时，其频率间隔 趋于无穷小，
，
T0 谱线无限靠近。
非周期信号 ，变量
T0 离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。
结论：瞬变非周期信号的频谱是连续的。
连续取值以至
Hale Waihona Puke Page: 5傅里叶积分
设有一个周期函数 x(t) , 在
xt X f
时域
xt t0 X f e
j 2ft0
频域
xt e
j 2f 0t
X f f0
Page: 17
卷积特性
如果
x1 t X 1 f x2 t X 2 f
x1 t x2 t X1 f X 2 f x1 t x2 t X1 f X 2 f
从面积的角度来看（也称为δ函数的强度）
t dt lim
0
S t dt 1
Page: 20
δ 函数及其频谱2 • 采样性质
任何函数 f ( t )和δ ( t - t0)的乘积 是一个强度为f ( t0)的 δ函数
δ ( t - t0)，而该乘积在无限区间的积分则是f (t)在 t = t0时刻的函 数值f ( t0) 。
j 2ft
df
Page: 8
傅里叶变换
两者之间的关系为
X f 2X
j f
一般 X ( f ) 是实变量 f 的复函数，可以写成
X f X f e
式中 |X ( f )| 为信号 x(t) 的连续幅值谱，φ(f)为 信号 x(t) 的连续相位谱。
以傅里叶级数表示为
xt
n
T0 T0 , 2 2
区间
c e
n
jn 0t
1 式中 cn T0
T0 2 T 0 2
xt e jn0t dt
1 xt T n 0
T0 2 T 0 2
xt e
combt , Ts e j 2kf s t dt
Page: 26
周期单位脉冲序列的频谱2
因为在区间（-Ts/2, Ts/2）内只有一个δ 函数, 则
梳状函数的傅里叶级数的复指数函数形式为
梳状函数的频谱也是梳状函数
Page: 27
周期单位脉冲序列的频谱3
Page: 28
谢 谢！
该特性在信号分析中占有重要地位！！
Page: 18
矩形窗函数的频谱
Page: 19
δ 函数及其频谱1
• 定义
在ε时间内激发一个矩形脉冲 S t ，其面积 为1。当ε趋于0时， S t 的极限就称为δ函数， 记做δ(t)。 δ函数称为单位脉冲函数。 δ(t)的特 点有：
, t 0 t 0, t 0
Page: 9
特别提醒：
非周期信号幅值谱| X(f) |与周期信号的幅值谱| cn|是有区别的-----量纲不同 后者的量纲与幅值的量纲一样；而前者的量纲 则与幅值量纲不同，它是单位频宽上的幅值，确 切地说是频谱密度函数
Page: 10
矩形窗函数的频谱
T 1 t 2 ωt 0 t T 2
combt , Ts
其傅立叶级数的复指数形式
def
n
t nT
s
式中Ts 周期; n 整数
combt , Ts
k
j 2kf s t c e k
式中f s 1 / Ts , 系数ck 为 1 ck Ts
Ts 2 T s 2
0 0 0 0
sin 2f 0t j
1 f f 0 f f 0 2 1 cos 2f 0t f f 0 f f 0 2
Page: 25
周期单位脉冲序列的频谱1
定义— 等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用
----对连续信号的离散采样非常重要！
Page: 21
δ 函数及其频谱3
δ 函 数 与 其 他 函 数 的 卷 积
Page: 22
δ 函数及其频谱4
均匀谱
Page: 23
重要傅里叶变换对
Page: 24
正余弦函数的频谱密度函数
1 j 2f t sin 2f 0t j e e j 2f t 2 1 j 2f t cos 2f 0t e e j 2f t 2
Page: 11
矩形窗函数及其频谱
Page: 12
Sinc函数
sin c
def
sin
Page: 13
傅立叶变换的主要性质
Page: 14
对称性应用举例
Page: 15
时间尺度改变特性举例
a) k=0.5（磁带快录慢放） b) k=1
c) k=2（慢录快放）
Page: 16
时移和频移特性
jn 0t
jn0t dt e
Page: 6
傅里叶积分
当
T0 时, 则
d , n0 , " " " "
d jt jt x(t ) xt e dt e 2 1 jt jt xt e dt e d 2
Page: 1
第一章 信号及其描述
• 信号的分类与描述 • 周期信号与离散频谱 • 瞬变非周期信号与连续频谱
• 随机信号
Page: 2
瞬变非周期信号
• 非周期信号
– 准周期信号 – 瞬变非周期信号
• 傅里叶变换 • 傅里叶变换的性质 • 几种典型信号的频谱
Page: 3
常见瞬变非周期信号
Page: 4
T 2 T 2
e j 2ft dt 1 jfT e e jfT j 2f
1 jfT sin fT e e jfT 2j
T为窗宽
sin fT Wf T T sin cfT fT
Page: 7
傅里叶变换
1 X 2
xt e
jt
dt
FT
xt X e d
jt
xt X
IFT
2f 代入上式
X f xt e
j 2ft
dt
xt X f e
傅里叶变换
周期信号频谱谱线的频率间隔 当周期
2 0 T0 时，其频率间隔 趋于无穷小，
，
T0 谱线无限靠近。
非周期信号 ，变量
T0 离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。
结论：瞬变非周期信号的频谱是连续的。
连续取值以至
Hale Waihona Puke Page: 5傅里叶积分
设有一个周期函数 x(t) , 在
xt X f
时域
xt t0 X f e
j 2ft0
频域
xt e
j 2f 0t
X f f0
Page: 17
卷积特性
如果
x1 t X 1 f x2 t X 2 f
x1 t x2 t X1 f X 2 f x1 t x2 t X1 f X 2 f
从面积的角度来看（也称为δ函数的强度）
t dt lim
0
S t dt 1
Page: 20
δ 函数及其频谱2 • 采样性质
任何函数 f ( t )和δ ( t - t0)的乘积 是一个强度为f ( t0)的 δ函数
δ ( t - t0)，而该乘积在无限区间的积分则是f (t)在 t = t0时刻的函 数值f ( t0) 。
j 2ft
df
Page: 8
傅里叶变换
两者之间的关系为
X f 2X
j f
一般 X ( f ) 是实变量 f 的复函数，可以写成
X f X f e
式中 |X ( f )| 为信号 x(t) 的连续幅值谱，φ(f)为 信号 x(t) 的连续相位谱。
以傅里叶级数表示为
xt
n
T0 T0 , 2 2
区间
c e
n
jn 0t
1 式中 cn T0
T0 2 T 0 2
xt e jn0t dt
1 xt T n 0
T0 2 T 0 2
xt e
combt , Ts e j 2kf s t dt
Page: 26
周期单位脉冲序列的频谱2
因为在区间（-Ts/2, Ts/2）内只有一个δ 函数, 则
梳状函数的傅里叶级数的复指数函数形式为
梳状函数的频谱也是梳状函数
Page: 27
周期单位脉冲序列的频谱3
Page: 28
谢 谢！
该特性在信号分析中占有重要地位！！
Page: 18
矩形窗函数的频谱
Page: 19
δ 函数及其频谱1
• 定义
在ε时间内激发一个矩形脉冲 S t ，其面积 为1。当ε趋于0时， S t 的极限就称为δ函数， 记做δ(t)。 δ函数称为单位脉冲函数。 δ(t)的特 点有：
, t 0 t 0, t 0
Page: 9
特别提醒：
非周期信号幅值谱| X(f) |与周期信号的幅值谱| cn|是有区别的-----量纲不同 后者的量纲与幅值的量纲一样；而前者的量纲 则与幅值量纲不同，它是单位频宽上的幅值，确 切地说是频谱密度函数
Page: 10
矩形窗函数的频谱
T 1 t 2 ωt 0 t T 2
combt , Ts
其傅立叶级数的复指数形式
def
n
t nT
s
式中Ts 周期; n 整数
combt , Ts
k
j 2kf s t c e k
式中f s 1 / Ts , 系数ck 为 1 ck Ts
Ts 2 T s 2
0 0 0 0
sin 2f 0t j
1 f f 0 f f 0 2 1 cos 2f 0t f f 0 f f 0 2
Page: 25
周期单位脉冲序列的频谱1
定义— 等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用
----对连续信号的离散采样非常重要！
Page: 21
δ 函数及其频谱3
δ 函 数 与 其 他 函 数 的 卷 积
Page: 22
δ 函数及其频谱4
均匀谱
Page: 23
重要傅里叶变换对
Page: 24
正余弦函数的频谱密度函数
1 j 2f t sin 2f 0t j e e j 2f t 2 1 j 2f t cos 2f 0t e e j 2f t 2
Page: 11
矩形窗函数及其频谱
Page: 12
Sinc函数
sin c
def
sin
Page: 13
傅立叶变换的主要性质
Page: 14
对称性应用举例
Page: 15
时间尺度改变特性举例
a) k=0.5（磁带快录慢放） b) k=1
c) k=2（慢录快放）
Page: 16
时移和频移特性
jn 0t
jn0t dt e
Page: 6
傅里叶积分
当
T0 时, 则
d , n0 , " " " "
d jt jt x(t ) xt e dt e 2 1 jt jt xt e dt e d 2
Page: 1
第一章 信号及其描述
• 信号的分类与描述 • 周期信号与离散频谱 • 瞬变非周期信号与连续频谱
• 随机信号
Page: 2
瞬变非周期信号
• 非周期信号
– 准周期信号 – 瞬变非周期信号
• 傅里叶变换 • 傅里叶变换的性质 • 几种典型信号的频谱
Page: 3
常见瞬变非周期信号
Page: 4