232功率谱密度的性质
功率谱密度与能量谱密度
∫ ∫ ( ) ( ) ∞ −∞
•
dt （求面积）因为对功率信号变得无意义，所以改成了
1 lim T →∞ T
T 2 • dt
−T 2
（求平均）。
1 这个改动实际上只是差一个系数 T 。如果是周期为 Ts 周期信号，求平均操作可以只在一个
∫ ∫ lim 1 T 2 (•) dt = 1 Ts 2 (•) dt
(2)3dB 带宽：指从功率谱的峰点下降到一半时的频带范围。若 0 频处功率谱密度最高，则
带宽 B 是
Ps Ps
(B) (0)
=
1 2
的解。
(3)等效矩形带宽：若信号的功率谱密度的面积和一个同高的矩形相同，此矩形频谱的带宽
∫∞ −∞
Ps
(
f
)
df
就是该信号的等效矩形带宽。若 0 频处功率谱密度最高，则带宽 B 是 2Ps (0) 。
3. 带宽
带宽是衡量信号频带宽度的一个量，它表示我们通过测量仪器可以感受到的频率范围，通常 带宽只按正频率部分计算。我们对带宽有多种定义。
(1)信号主要能量所占带宽：指这个频带范围内集中了信号的绝大部分能量。带宽 B 是
B
∫−B
Ps
(
f
)
df
∫∞ P ( f ) df −∞
=β
的解，其中
β 是所规定的比例，典型值如 90%、99%等。
∫∞ −∞
s
*
(t
)
s
(
t
+
τ
)
dτ
∫ R (τ ) ≅ lim 1 ∞ s ∗(t ) s (t +τ )dt
对功率信号：
T T →∞
−∞
平稳随机过程的功率谱密度-精品文档
二、谱密度的性质
性质2
i 即 S ( ) R ( ) e d , X X
性质1 S ( )是 的实的、非负的偶函 . X
S ( ) 和自相关函数 R ( ) 是一傅里叶 . X
1 i R ( ) S ( ) e d . X X 2 π
在 x ( t ) 和 F ( ) 之间成立有帕塞 ( Parsev ) x
等式:
2 1 2 x ( t ) d t F ( ) d , x 2 π
x ( t )在 ( , ) 上的总能量
称为x(t)的能量谱密度 帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平稳过程的平均功率
1T 2 2 该过程的 lim E [ X ( t )] d t x T T 2 T 均方值
2 X
1 1 2 lim { E F (, T ) } d . X T 2 π 2 T
S ( ) 或 S ( ) . 平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 XX X
1 T 2 将 lim E X( t) d t 定义为平稳过 T T 2 T
X(t)的平均功率 .
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意
到平稳过程的均方值是常数, 于是
1 T 2 lim E X ( t ) d t T T 2 T
它们统称为维纳-辛钦(hine)公式.
说明
1. 平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, 维纳-辛钦公式成立.
2 . S ( ) 和 R ( ) 都是偶函数, 所以维纳-辛钦 X
公式还可以写成如下的形式:
2.3.2功率谱密度的性质
Pπ S N (ω ) = ∆ω 0
ω ≤ ∆ω ω为其它
sin( ∆ωτ ) RN (τ ) = P ∆ωτ = P ⋅ Sa(∆ωτ )
白噪声的平均功率 W = RN (0) = P
S N (ω )
Pπ S N (ω ) = ∆ω 0
RN (τ )
ω ≤ ∆ω ω为其它
sin(∆ωτ ) RN (τ ) = P ∆ωτ = P ⋅ Sa (∆ωτ )
二、带通白噪声
Pπ S N (ω ) = ∆ω 0 ∆ω ω ± ω0 ≤ 2
ω为其它
∆ωτ RN (τ ) = P ⋅ Sa( ) cos ω0τ 2 = a(τ ) cos ω0τ
结论： 结论： (1)平稳高斯过程与确定时间信号之和也是高 斯过程， 斯过程 ， 确定时间信号可认为是高斯过程的 数学期望。 数学期望 。 除非确定时间信号是不随时间变 化的，否则将不再是平稳过程。 化的，否则将不再是平稳过程。 如果高斯过程的积分存在， ( 2 ) 如果高斯过程的积分存在 ， 它也将是高 斯分布的随机变量或随机过程。 斯分布的随机变量或随机过程。
若平稳过程N(t) 若平稳过程N(t)在有限频带上的功率 N(t)在有限频带上的功率 谱密度为常数，在频带之外为零， 谱密度为常数，在频带之外为零，那 么称N(t) 理想限带白噪声。 N(t)为 么称N(t)为理想限带白噪声。
一、低通白噪声
低通白噪声的功率谱密度集 中在低频端，且分布均匀。 中在低频端，且分布均匀。
2、 若X (t )实平稳则S X (ω)是偶函数即: S X (ω) = S X (−ω) , ,
证明：
1 2 S X (ω ) = lim E[ X T (ω ) ] T → ∞ 2T
功率谱密度
功率谱密度不同形式的数字基带信号具有不同的频谱结构，分析数字基带信号的频谱特性，以便合理地设计数字基带信号，使得消息代码变换为适合于给定信道传输特性的结构，是数字基带传输必须考虑的问题。
在通信中，除特殊情况（如测试信号）外，数字基带信号通常都是随机脉冲序列。
因为，如果在数字通信系统中所传输的数字序列是确知的，则消息就不携带任何信息，通信也就失去了意义。
故我们面临的是一个随机序列的谱分析问题。
考察一个二进制随机脉冲序列。
设脉冲、分别表示二进制码“0”和“1”, 为码元的间隔，在任一码元时间内，和出现的概率分别为p和1-p。
则随机脉冲序列x(t)可表示成:其中研究由上面二式所确定的随机脉冲序列的功率谱密度，要用到概率论与随机过程的有关知识。
可以证明，随机脉冲序列x(t)的双边功率谱公式（1）：其中、分别为、的傅氏变换，。
可以得出如下结论：（1）随机脉冲序列功率谱包括两部分：连续谱（第一项）和离散谱（第二项）。
对于连续谱而言，由于代表数字信息的及不能完全相同，故，因此，连续谱总是存在；而对于离散谱而言，则在一些情况下不存在，如及是双极性的脉冲，且出现概率相同时。
（2）当、、p及给定后，随机脉冲序列功率谱就确定了。
上式的结果是非常有意义的，它一方面能使我们了解随机脉冲序列频谱的特点，以及如何去具体地计算它的功率谱密度；另一方面根据它的离散谱是否存在这一特点，将使我们明确能否从脉冲序列中直接提取离散分量，以及采取怎样的方法可以从基带脉冲序列中获得所需的离散分量。
这一点，在研究位同步、载波同步等问题时，将是十分重要的；再一方面，根据它的连续谱可以确定序列的带宽（通常以谱的第一个零点作为序列的带宽）。
下面，以矩形脉冲构成的基带信号为例，通过几个有代表性的特例对功率谱密度公式的应用及意义做进一步的说明，其结果对后续问题的研究具有实用意义。
例单极性NRZ信号的功率谱，假定p=1/2对于单极性NRZ信号，有，这里，g(t)为图1所示的高度为1、宽度为的全占空矩形脉冲。
2.3.2 功率谱密度的性质
实随机过程X(t) Y(t)的互谱密度的性质 实随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度的性质 X(t)和
1 XY (ω) = SYX (ω) = SYX (ω) = SXY (ω) 、S
1 SXY (ω) = lim E[ XT (ω)YT (ω)] T →∞ 2 T 1 SYX (ω) = lim E[YT (ω) XT (ω)] T →∞ 2 T
7
16 例 : 平稳过程 X (t )的功率谱密度为 S X (ω ) = 4 ω + 13ω 2 + 36 求其自相关函数和均方 值.
16 RX (τ ) = FT [ S X (ω )] = FT [ 4 ] 2 ω + 13ω + 36
1 1
16 5 16 5 RX (τ ) = FT [ 2 2 ] ω +4 ω +9
RX (∞) ≠ 0, 且 振 形 , 也 引 δ 函 解 呈 荡 式 可 入 数 决
1 S X (ω ) = FT [ R X (τ )] = FT [ (1 + cos ω 0τ )] 2 1 1 = FT [ ] + FT [ cos ω 0τ ] 2 2 1 1 = 2πδ (ω ) + π [δ (ω + ω0 ) + δ (ω ω0 )] 2 2
αt
9 S XY (ω ) = 3 + jω
9e 3τ 方法一 RYX (τ ) = RXY (τ ) = 0
τ ≤0 τ >0
14
例 : 设两个随机过程X (t )和Y (t )联合平稳, 其互相关函数为 9e 3τ RXY (τ ) = 0
τ ≥0 求互谱密度S XY (ω )和SYX (ω ). τ <0
功率谱密度和总均方根加速度
功率谱密度和总均方根加速度功率谱密度和总均方根加速度随着科技的不断进步，各种各样的传感器和测量设备，越来越广泛地应用在现代工程中，这些设备不仅收集数据，而且能够分析数据，提供更多有用的信息。
在机械、土木和电子等各个领域，振动测量是一种非常重要的技术，因为它可以用于检测和诊断机器或结构中存在的问题。
在振动测量领域，两种常用的振动参数是功率谱密度和总均方根加速度。
这两个参数可以帮助工程师们更好地了解机器和结构振动情况，以及提供更准确的维护和维修建议。
一、功率谱密度功率谱密度是指信号在不同频率下的功率密度。
它是一个实数函数，表示信号中各个频率分量所占用的功率。
通常情况下，功率谱密度的单位是功率除以频率。
对于振动信号来说，它的单位是米平方每赫兹（m2/Hz）或者是加速度平方每赫兹（m/s2/Hz）。
功率谱密度的优点是它能够提供信号在不同频率下的频谱信息。
通过分析信号在不同频率下的功率谱密度，可以了解信号中存在的频率成分，以及这些频率成分的强度。
这对于检测和诊断机器和结构的振动问题非常有用。
二、总均方根加速度总均方根加速度（RMS）是指一个信号在一段时间内的均方根值。
对于振动信号来说，它的单位是加速度的RMS（m/s2）。
总均方根加速度是一种反映振动信号平均能量的指标，通常用于评估结构或设备的振动安全性。
总均方根加速度与功率谱密度不同之处在于，它是对一个信号在时间上进行的整合，而功率谱密度则是对一个信号在频率上进行的分析。
从某种程度上说，它们互相补充，可以提供更全面的振动信息。
三、结论功率谱密度和总均方根加速度是振动测量中两个重要的参数。
功率谱密度可以提供信号在不同频率下的频谱信息，有利于了解信号中存在的频率成分及其强度；总均方根加速度则可以反映振动信号在时间上的整体能量，有助于评估设备或结构的振动安全性。
在工程领域，这两个参数的应用已经越来越受到重视，未来在振动测量中将发挥更大的作用。
通信技术概论信号的能量谱密度与功率谱密度
2.2.3 功率谱密度我们定义信号()t f 的能量（作用归一化处理）：由电压()t f （或者电流()t f ）在Ω1电阻上消耗的能量：⎰∞∞-=dt t f E )(2， （注释：22u R u i u E ==⋅=/）积分值存在，信号的能量为有限值，称()t f 为能量信号。
对于能量无限大的信号（如周期性信号），我们考虑能量的时间平均值，这显然就是信号的平均功率。
这种信号称作（平均）功率信号。
我们定义信号()t f 的平均功率，为电压()t f 在Ω1电阻上消耗的平均功率（简称功率）：()⎰-∞→=2221T T T dt t f T S lim 式中，T 是为求平均的时间区间。
为了更好地描述能量信号、功率信号，我们引入能量谱密度和功率谱密度概念。
能量谱密度、功率谱密度函数表示信号的能量、功率密度随频率变化的情况。
我们知道，非周期性信号的频谱宽度是无限的，然而，实际上信号的大部分功率是集中在某个有限的频谱宽度内。
通过研究功率谱密度，可以帮助了解信号的功率分布情况，确定信号的频带等。
对于能量信号()t f ，根据付里叶反变换有()()⎰∞+∞-ωωωπ=d e F t f t j 21 则信号的能量： ()()⎰⎰⎰∞∞-∞+∞-ω+∞∞-ωωπ==dt d e F t f dtt f E t j ])[(21 2 ()()()()⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωω-⋅ωπ=ω⋅ωπ=d F F d dt e t f F E t j *21 21 当()t f 为实信号时，)()(*ω=ωF F 。
今后如无特别说明，都是指实信号，这样则得到：()()⎰⎰∞+∞-∞∞-ωω⋅ωπ==d F F dt t f E *)(212()⎰∞+∞-ωωπ=d F 221 式中，令，)( 2Hz J E F /,)()(ω=ω，称)(ωE 为能量谱密度。
信号的能量又可以表示为：⎰∞+∞-ωωπ=d E E )(21 上式就是能量信号的parsverl 公式。
功率谱与功率谱密度
S
* XY
( )
SYX
( )
S
* XY
(
)
S
XY
()
11
总结
1.确定信号的能量谱是能量沿频率轴的密度 函数，而功率谱是功率沿频率轴的密度函 数。
2.确定信号的功率谱是唯一的，而随机信号 只能确定其样本函数的功率谱。
12
记算数平均算子为
A
v
t
lim
T
1 2T
T v t dt
T
平稳随机信号的功率谱密度满足
R S
8
3.4.2基本概念
1.功率谱密度
将平稳信号{X(t),t∈T}的自相关函数的傅里叶变换
SX
RX
e j d
称为功率谱密度。反变换
对样本功率取平均，即为平均功率
PX E PX
对样本功率谱取平均，即为平均功率谱
SX
E SX
,
lim
T
1 2T
E
XT
,
2
7
随机信号的平均功率与相关函数的关系
PX ARX t,t
当x(t)为广义平稳时，
PX RX 0
T
2
1
lim
T 2T
XT
2d
XT 是截断信号xT t 的傅里叶变换
xT t
x t
t
T
T
4
令
S lim 1
T 2T
XT 2
S ( )为功率谱密度，简称功率谱
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证明：
SX
()
lim
T
1 2T
E[
XT () 2 ]
XT () 2 XT ()XT (), 故SX () SX ()
2.4 高斯过程与白噪声
2.4.1 高斯过程
如果对于任意时刻ti (i 1,2, , n),随机过程 的任意n维随机变量X i X (ti )(i 1,2, , n) 服从高斯分布,则X (t)就是高斯过程.
• 高斯过程的特点：
– 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量 的数学期望、 方差和两两之间的归一化 协方差函数所决定。因此，对于高斯过 程，只要研究它的数字特征就可以了。
– 如果过程是宽平稳的，即其均值与时间 无关，协方差函数只与时间间隔有关， 而与时间起点无关，则它的M维分布也 与时间起点无关，故它也是严平稳的。
限带白噪 声
一、低通白噪声
低通白噪声的功率谱密度集 中在低频端，且分布均匀。
SN ()
P
S
N
(
)
ห้องสมุดไป่ตู้
0
为其它
RN
(
)
P
sin(
)
P Sa( )
白噪声的平均功率 W RN (0) P
SN ()
P
S
N
(
)
0
为其它
RN ( )
RN
(
)
P
sin(
)
P Sa( )
二、带通白噪声
fX '(x')
1
e
2
x'2 2 r''(
0)
2 2 r' ' (0)
平稳高斯过程导数的二维概率密度是高斯分布的，平稳 高斯过程与其导数的联合概率密度也是高斯分布的。
2.4.2 噪声
内部噪声是指系统本身的元器件及电路产 生的噪声。
外部噪声是指电子系统之外的所有噪声。
从噪声的分布角度看，具有高斯分布的噪声 就称为高斯噪声，具有均匀分布的噪声就称 为均匀噪声。
结论：
(1)平稳高斯过程与确定时间信号之和也是高 斯过程，确定时间信号可认为是高斯过程的 数学期望。除非确定时间信号是不随时间变 化的，否则将不再是平稳过程。
(2)如果高斯过程的积分存在，它也将是高 斯分布的随机变量或随机过程。
(3)平稳高斯过程导数的一维概率密度也是高斯
分布的,其数学期望为零,方差为 2 r' ' (0) ,即:
高斯状的色噪声是指色噪声的功率谱密度的 形状是高斯形的，它的分布可以是任意的。
白噪声是一种理想化的模型， 实际上，白噪声是不存在的。
W
RN
(0)
N0 2
( ) 0
, 这在实际中是不可能的
白噪声的自相关函数为:
RN
( )
N0 2
( )
白噪声的相关系数为:
rN
(
)
1 0
0 0
证明：
RN
(
)
N0 2
(
)
rN
(
)
RN RN
( )
(0)
RN RN
() ()
rN
(
)
RN RN
– 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相 关的，则即对所有j≠k，有bjk=0，于是
高斯过程是从概率密度的角度来定义的，而白 噪声则是从功率谱密度的角度来定义的。 高斯过程的性质：
性质1: 宽平稳高斯过程一定是 严平稳高斯过程
性质2 : 若平稳高斯过程在任意两个不同时刻 是不相关的, 那么也一定是互相独立的
( )
(0)
1 0
0 0
( ) 0 ( 0)
在实际中，当所研究的随机过程通过某一系统 时，只要过程的功率谱密度在一个比系统带宽 大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以把 它作为白噪声来处理，不会带来多大的误差。
若平稳过程N(t)在有限频带上的功率 谱密度为常数，在频带之外为零，那 么称N(t)为理想限带白噪声。
从功率谱密度的角度看，如果噪声的功率 谱密度是常数，无论具有什么样的分布， 都称它为白噪声。
一般把那些使信号产生失真的误差源称为噪 声。来自外部的噪声也称为干扰。
如果平稳过程N (t)的数学期望为零,并在整个频率
范围内的功率谱为常数S N
()
N0 2
( )
则称它是白噪声过程, 简称白噪声.
白噪声知识点：
2.3.2 功率谱密度的性质
1、S X ()为非负实函数 ,即: SX () 0
证明：
SX
()
lim
T
1 2T
E[
XT () 2 ]
XT () 2 0, 故SX () 0
SX
()
lim
T
1 2T
E[
XT () 2 ]
2、 若X (t)实平稳,则SX ()是偶函数,即: SX () SX ()
P
S
N
(
)
0
0
2
为其它
RN
( )
P Sa(
2
) cos0
a( ) cos0
如果N(t)的功率谱密度在 0附近是常数,则 0
称N (t )为带通限带白噪声, 简称带通白噪声.
RN ( )
P Sa(
2
) cos0
a( ) cos0
RN ( )的包络
带通白噪声的平均功率： W RN (0) P