高中数学3.3幂函数教案苏教版必修1
高中数学幂函数教案(2) 苏教版必修1
幂函数教学目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．教学重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：y＝x，y＝x2，y＝x 1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？1．幂函数的定义：一般的我们把形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数α是常数．2．幂函数y＝x α图象的分布与α的关系：对任意的α∈ R，y＝xα在第I象限中必有图象；若y＝xα为偶函数，则y＝xα在第II象限中必有图象；若y＝xα为奇函数，则y＝xα在第III象限中必有图象；对任意的α∈ R，y＝xα的图象都不会出现在第VI象限中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）y＝12x；（2）y＝2x-；（3）y＝22x x-+；（4）y＝1122x x-+．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5（2）3.14 1与π 1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）314与221例3 幂函数y＝x m；y＝x n；y＝x 1与y＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数m，n与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①y＝0.2x；②y＝x0.2；③y＝x 3；④y＝3·x 2．其中是幂函数的有（写出所有幂函数的序号）．（2）函数122(2)y x x-=-的定义域是．（3）已知函数21()(1)a af x a x+-=-，当a＝时，f(x)为正比例函数；当a＝时，f(x)为反比例函数；当a＝时，f(x)为二次函数；当a＝时，f(x)为幂函数．（4）若a＝231()2，b＝231()5，c＝131()2，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为．四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．五、作业课本P90-2，4，6．。
高一数学必修一教学设计 3.3幂函数
明目标、知重点 1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =的图象，并通过其图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用．1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质由幂函数y ＝x 、12y x =、y ＝x 2、y ＝x －1、y ＝x 3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图象都过点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递增； (4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调递减．[情境导学]我们知道对于N ＝a b ，N 随b 的变化而变化，我们建立了指数函数y ＝a x ；如果a 一定，b 随N 的变化而变化，我们建立了对数函数y ＝log a x .设想：如果b 一定，N 随a 的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题． 探究点一 幂函数的概念问题 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数；(2)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数； (3)如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长12a s =，这里a 是S 的函数；(5)如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v ＝t －1 km/s ，这里v 是t 的函数．思考1 上述5个问题中函数的对应关系分别是什么？答 (1)乘以1；(2)求平方；(3)求立方；(4)求算术平方根；(5)求－1次方． 思考2 上述5个问题中的函数有什么共同特征？答 问题中涉及到的函数，都是形如：y ＝x α的函数，其中x 是自变量，α是常数． 小结 幂函数定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 思考3 判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？答 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．例1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为________．答案 1解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常函数y ＝1不是幂函数．反思与感悟 只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是． 跟踪训练1 已知y ＝(m 2＋2m －2)x21m -＋2n －3是定义域为R 的幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.探究点二 幂函数的图象和性质问题 如图在同一坐标系内作出函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象，思考下列问题：思考1你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？答(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．思考2例2证明幂函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2，因为x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，所以f (x 1)<f (x 2)，即幂函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．反思与感悟 证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f (x 1)－f (x 2)的正负． 跟踪训练2 求证：函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证明 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－x 31＋1)－(－x 32＋1) ＝x 32－x 31＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22)．∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，又∵x 21＋x 1x 2＋x 22＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22 且⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222≥0，34x 22≥0. 上式中两等号不能同时取得(否则x 1＝x 2＝0与x 1<x 2矛盾)，∴x 21＋x 1x 2＋x 22>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数． 例3 比较大小：(1) 11221.5,1.7；(2)(－1.2)3，(－1.25)3； (3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.解 (1)∵12y x =在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7， ∴11221.5 1.7<；(2)∵y ＝x 3在R 上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3；(3)∵y ＝x －1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.反思与感悟 比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用时进行比较． 跟踪训练3 比较下列各组数的大小：(1) 778818()9---和；(2)(－2)－3和(－2.5)－3；(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1；(4) 223535(4.1),(3.8)( 1.9)--和解 (1) 778818()8--=-，函数78y x =在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则778811()()89>，从而778818()9--<-. (2)幂函数y ＝x －3在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数， 又∵－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3. (3)幂函数y ＝x －0.1在(0，＋∞)上为减函数， 又∵1.1<1.2，∴1.1－0.1>1.2－0.1. (4)2255(4.1)1;<= 2233350(3.8)11;( 1.9)0,--<<=-<∴322535( 1.9)(3.8)(4.1).--<<1．下列函数中不是幂函数的是________．(填序号) ①y ＝x ；②y ＝x 3；③y ＝2x ；④y ＝x －1.答案 ③解析 根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，③中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以③不是幂函数． 2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值等于________． 答案 12解析 由f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，得22＝2α，所以α＝－12，则1121(4)422f --===. 3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为________．答案 1,3解析 y ＝x －1的定义域为x ≠0，12y x =的定义域为x ＞0，只有y ＝x ，y ＝x 3的定义域为R . 4．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．答案 二、四解析 幂函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 3的图象分布在第一、三象限，12y x =的图象分布在第一象限．所以幂函数y ＝x α(α∈{－1，12，1,3})的图象不可能经过第二、四象限．[呈重点、现规律]1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．3．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.一、基础过关1．已知12()f x x =，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是________．(填序号)①f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b)；②f (1a )<f (1b)<f (b )<f (a )；③f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)；④f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )．答案 ③解析 因为函数12()f x x =在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故答案为③.2．函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是________．答案 ②解析 12y x =的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数121y x =-的图象可看作由12y x =的图象向下平移一个单位得到的(如①中的图所示)，将121y x =-的图象关于x 轴对称后即为②.3．下列是23y x =的图象的是________．答案 ② 解析 2323y x x ==∴x ∈R ，y ≥0， f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，即23y x =是偶函数，又∵23<1，∴图象上凸．4．设232555322(),(),()555a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 a >c >b解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，25y x =在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝(25)x 在x >0时是减函数，所以c >b .5．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 答案 1解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意． 6．给出以下结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________． 答案 ④解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确． ④正确．7．已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解 ∵图象与x ，y 轴都无交点， ∴m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，∴m ＝0,1,2.∵幂函数图象关于y 轴对称，∴m ＝0，或m ＝2.当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1；当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.二、能力提升8．函数53y x 的图象大致是________．答案 ②解析函数53y x ==是定义域为R 的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除①③.另外，因为25552333331111(),1,22222222y y y ==⨯<====⨯>，所以当x ∈(0,1)时，函数53y x =的图象在直线y ＝x 的下方；当x ∈(1，＋∞)时，函数53y x =的图象在直线y ＝x 的上方．故答案为②.9.幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m ＝________.答案 1解析 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意． 综上知，m ＝1. 10．若1122(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫23，32 解析 1122(1)(32)a a --+<- ⇔112211()()132a a<+-，函数12y x =在[0，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23＜a ＜32.11.已知函数f (x )＝1x2＋1.(1)判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性并证明； (2)求f (x )在区间[1,3]上的最大值和最小值． 解 (1)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数．证明如下：设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1x 21＋1)－(1x 22＋1)＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)(x 1x 2)2，∵x 2>x 1>0，∴x 1＋x 2>0，x 2－x 1>0，(x 1x 2)2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上减函数． (2)由(1)知函数f (x )在区间[1,3]上是减函数， 所以当x ＝1时，取最大值，最大值为f (1)＝2，当x ＝3时，取最小值，最小值为f (3)＝109.12．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m2＋m )－1，即121222()m m -=+.∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．三、探究与拓展13.已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m －3＜0，解得m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m －3是偶数，而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m ＝1. 而13()f x x-=在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴1313(1)(32)a a --+<-等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .解得a ＜－1或23＜a ＜32. 故a 的取值范围为{a |a ＜－1或23＜a ＜32}.。
高中数学《幂函数》教案4 苏教版必修1
幂函数一、教学目标1、了解简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力。
2、会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力。
3、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、重难点重点是奇函数和偶函数的概念及函数奇偶性的判定。
难点是幂函数的概念及判断函数的奇偶性。
（一）新课引入：在初中我们已学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们将再学习一种新的函数——幂函数，引出课题。
（二）新课讲授：1、先看下面几个具体问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要支付y=x 元，这里y 是x 的函数。
（2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=a 2，这里S 是a 的函数。
（3）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a ，这里a 是S 的函数。
（4）如果某人t 秒内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度V= t-1km/S ，这里V 是t 的函数。
请同学们思考：这些函数有什么共同的特征？（主要观察函数中的常数和变量的位置，右边解析式的形式）结果：他们有以下共同特点（1）指数为常数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）幂的系数为1，由此可得：一般地，函数y=x a 叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数。
注：幂函数中a 的值可以为任意实数例1：判断下列函数是否为幂函数（1）y= x 4；（2）y=21x ； （3）y=－x 2； （4）y=21x ； （5）y=2x 2； （6）y=x 3+2；2、观察下图，思考并讨论以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）函数中自变量取相反的两个数时对应的两个函数值之间有何关系？f(x)=x 2 f(x)=|x|f(－3)=9=f(3) f(－3)=3=f(3)f(－2)=4=f(2) f(－2)=2=f(2)f(－1)=1=f(1) f(－1)=1=－f(1)结论：一般地，图象关于y 轴对称的函数叫做偶函数，在偶函数中f(-x)=f(x)。
高中数学3.3幂函数教案苏教版必修1
3.3 幂函数教学目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．教学重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：y ＝x，y＝x2，y＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数α是常数．2．幂函数y＝x α图象的分布与α的关系：对任意的α∈ R，y＝xα在第I象限中必有图象；若y＝xα为偶函数，则y＝xα在第II象限中必有图象；若y＝xα为奇函数，则y＝xα在第III象限中必有图象；对任意的α∈ R，y＝xα的图象都不会出现在第VI象限中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）y＝12x；（2）y＝2x-；（3）y＝22x x-+；（4）y＝1122x x-+．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5（2）3.141与π1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）314与221例3 幂函数y＝x m；y＝x n；y＝x1与y＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数m，n与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①y＝0.2x；②y＝x0.2；③y＝x3；④y＝3·x2．其中是幂函数的有（写出所有幂函数的序号）．（2）函数122(2)y x x-=-的定义域是．（3）已知函数21()(1)a af x a x+-=-，当a＝时，f(x)为正比例函数；当a＝时，f(x)为反比例函数；当a＝时，f(x)为二次函数；当a＝时，f(x)为幂函数．（4）若a＝231()2，b＝231()5，c＝131()2，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为．四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．五、作业课本P90-2，4，6．x 1。
高中数学 幂函数教案 苏教版
★教学设计★幂函数（一）教材分析本节课选自新课程苏教版必修1第二章第4节，幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。
通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待231,,y x y x y x y x====，等以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。
（二）学情分析学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。
（三）设计思想由于幂函数的性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。
（四）教学目标 1.知识目标（1）了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； （3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
2.能力目标在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。
3. 情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。
（五）教学重点常见的幂函数的图象和性质 （六）教学难点幂函数的图象和性质的总结 （七）教学用具多媒体平台，几何画板课件（八）教学过程 【创设情境】（多媒体投影）问题1.某人买每千克1元的蔬菜，则其需付的钱数p （元）和购买的蔬菜的量（千克）w 之间的有何关系？2.正方形的面积S 和它的边长a 之间有何关系？3.正方体的边长V 和它的边长a 之间有何关系？4.问题2中，边长a 是S 的函数吗？5.问题3中，边长a 是V 的函数吗？6.某人在t 秒内行进了1千米，那么他的行进的平均速度v 为多少？ 学生很容易回答出这六个关系式（都是函数关系式）分别是：1123132,,,,,p w S a V a a S a Vv t -======【提出问题 启发建构】问：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x 表示自变量，用y 表示函数值，上述函数式变成：1123132,,,,,y x y x y x y x y xy x -======，便于看出特征它们都是形如y x α=的函数。
2019-2020年高中数学幂函数教案(1)苏教版必修1
2019-2020年高中数学幂函数教案(1)苏教版必修1教学目标1．了解幂函数的概念，会画出幂函数2132,1,,,x y x y x y x y x y =====的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质。
2．了解几个常见幂函数的性质。
教学重点常见幂函数的概念和性质。
教学难点幂函数的单调性与幂函数的指数关系。
一． 问题情境1．每斤1元的蔬菜w 斤，那么所需付的钱数p 和购买蔬菜量w 的关系如何？2．如果正方形的边长为，那么正方形的面积与边长的关系是？3．如果正方体的边长为，那么正方体的体积与边长的关系是？4．如果正方形场地的面积为，那么正方形的边长为？例1写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性。
（1） （2） （3）思考： ，，的单调性如何？例2根据下列条件对于幂函数的有关性质的叙述，分别指出幂函数的图象具有下列特点之一时的的值，其中}3,2,1,21,31,2,11,2{---∈α （1）图象过原点，且随的增大而上升；（2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随的增大而下降；（3）图象关于轴对称，且与坐标轴相交；（4）图象关于轴对称，但不与坐标轴相交；（5）图象关于原点对称，且过原点；（6）图象关于原点对称，但不过原点。
四．课堂练习1．下列函数是幂函数的是（ ）A. B. C. D.2．函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.3．写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性。
（1） （2） （3）五．课后小结2019-2020年高中数学幂函数教案(I)苏教版必修1教学目标：能较为熟练的运用幂函数的图象和性质解决有关比较大小问题和求变量范围的问题。
教学重点，教学难点：幂函数的概念的进一步理解以及用幂函数的性质比较两个或多个幂指数相同的幂函数的大小。
一． 复习回顾1． 下列函数中，不是幂函数的是（ ）A. B. C. D.2． 函数的图象是（ ）A. B. C. D.例1比较下列各组书的大小：（1），，1 （2），，反思：例2已知幂函数的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值。
高中数学苏教版高一必修一学案 3.3 幂函数
3．3幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(难点)；2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，掌握它们的性质(重点)；3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．预习教材P88－89，完成下面问题：知识点一幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【预习评价】1．下列函数是幂函数的为________(填序号)．①y＝ax m(a，m为非零常数，且a≠1)；②y＝x－1＋x2；③y＝x n(n∈Z)；④y＝(x－2)3.答案③2．若函数f(x)＝(a2－3a－3)x2是幂函数，则a的值为________．解析根据幂函数定义，有a2－3a－3＝1，a2－3a－4＝0，所以a＝4或a＝－1.答案4或－1知识点二幂函数的图象与性质幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)续表 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且 y ≠0} 奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0，＋∞)增， x ∈(－∞， 0]减增 增x ∈(0，＋∞)减， x ∈(－∞，0)减定点 (1,1)【预习评价】1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为________．解析 y ＝x －1的定义域为{x |x ≠0}，y ＝的定义域为{x |x ＞0}，只有y ＝x ，y ＝x 3的定义域为R . 答案 1,32．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限． 解析 幂函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 3的图象分布在第一、三象限，y ＝x 12的图象分布在第一象限，所以幂函数y ＝x α(α∈{－1，12，1,3})的图象不可能经过第二、四象限． 答案 二、四题型一 幂函数的概念【例1】 (1)已知(2，2)在幂函数f (x )的图象上，求f (2)的值； (2)已知函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)x a2－5a ＋5(a 为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的值．解(1)设f(x)＝xα，∵(2，2)在f(x)的图象上，∴f(2)＝(2)α＝2，∴α＝2.故f(x)＝x2，f(2)＝22＝4.(2)∵f(x)为幂函数，∴a2－3a＋3＝1，得a＝1或a＝2.当a＝1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意．当a＝2时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．综上，得a的值为2.规律方法(1)幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数．(2)当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减．【训练1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？解①∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.②若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－4 5，此时m2－m－1≠0，故m＝－4 5.③若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，解得m＝－25，此时m2－m－1≠0，故m＝－25.④若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，得m＝－1.此时m2－m－1≠0，故m＝－1.题型二幂函数的图象及应用【例2】讨论函数f(x)＝的定义域、值域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间．解∵y＝＝13x2，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)．令f(x)＝13x2，∴f(－x)＝13(－x)2＝13x2＝f(x)．∴y＝是偶函数．其图象如图所示．由图可知，函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．规律方法幂函数y＝xα的图象和性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α＞0时，图象过(0,0)和(1,1)，在第一象限图象上升是增函数；α＜0时，图象过(1,1)，不过(0,0)，在第一象限图象下降是减函数，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸，0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．【训练2】若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)．解设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以，将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．互动探究题型三幂函数性质的综合应用【探究1】函数y＝在[－1,1]上是________(填“增函数”或“减函数”)且是________(填“奇函数”或“偶函数”)．解析由幂函数的性质知当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，∴y＝在x∈[0,1]上是增函数．设f(x)＝，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)59＝－x59＝－f(x)，∴f(x)＝是奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称，∴x∈[－1,0]时，y＝也是增函数．当x＝0时，y＝0，故y＝在[－1,1]上是增函数且是奇函数．答案增函数奇函数【探究2】比较下列各组数的大小．(1)；(2)；(2)(34)－2和3－4；(4)(－13)－3和.解(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以.(2)函数y＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，所以(3)3－4＝(32)－2＝9－2，函数y＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，又34<9，所以(34)－2>9－2，即(34)－2>3－4.(4)因为(－13)－3<0,>0，所以(－13)－3<.【探究3】若，则a的取值范围是________．解析函数f(x)＝在区间(0，＋∞)内是减函数，所以等价于⎩⎪⎨⎪⎧a＋1＞0，3－2a＞0，a＋1＞3－2a，解得23＜a＜32.所以a的取值范围是(23，32)．答案(23，32)【探究4】已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．解析 函数f (x )＝x －1的大致图象如图，由题意可知应分三种情况讨论： ①当a ＋1＜0,10－2a ＞0时，f (a ＋1)＜0＜f (10－2a )，此时解得a ＜－1.②当a ＋1＞0,10－2a ＞0时，得a ＋1＞10－2a ， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞10－2a ，10－2a ＞0， ∴3＜a ＜5.③当a ＋1＜0,10－2a ＜0时，得a ＋1＞10－2a ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞10－2a ，a ＋1＜0，无解．综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3,5)． 答案 (－∞，－1)∪(3,5)规律方法 比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同．若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数．课堂达标1．已知函数f (x )＝(m 2＋m ＋1)x m2－2m －1是幂函数，则实数m ＝________. 解析 由函数f (x )＝(m 2＋m ＋1) x m 2－2m －1是幂函数可得m 2＋m ＋1＝1，解得m ＝0或m ＝－1. 答案 0或－12．已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(3，13)，则f (6)＝________. 解析 依题意13＝(3)m ＝，所以m2＝－1，m ＝－2，所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.答案1 363．若y＝x a2－4a－9是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a的值是________．解析由题意得，a2－4a－9应为负偶数，即a2－4a－9＝(a－2)2－13＝－2k(k∈N*)，(a－2)2＝13－2k，当k＝2时，a＝5或－1；当k＝6时，a＝3或1.答案1,3,5，－14．设α∈{－2，－1，12，1,2,3}，则使y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值为________．解析要使y＝xα为奇函数，需α＝－1,1,3，又在(0，＋∞)上单调递减，所以α＝－1.答案－15．函数f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.课堂小结1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》51
幂函数
教学目标：
1、了解幂函数的概念，会画出幂函数，的图像，根据上述幂函数-的图像，了解
幂函数的变化情况和性质。
2、了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比拟两个底数不同而指数
相同的指数式值得大小。
3、进一步体会数形结合的思想。
教学过程：
一、知识回忆：
问题1．请在同一个坐标系下作出以下幂函数图像：，
问题2结合图像比拟上述函数的性质。
二、诊断练习
1比拟以下各数的大小：
1 ;
2 ;
3 ;
2假设幂函数的图象经过点,那么=
3幂函数的图象不经过原点，那么实数=
三、例题讲解：
例1：假设，且求实数的取值范围。
变式：函数在时随增大而增大，求实数的取值范围。
例2：一个幂函数的图象过点，另一个幂函数的图象过点。
（1）求这两个幂函数的解析式；
（2）判断这两个函数的奇偶性；
（3）作出这两个函数的图象，直接写出的解集。
四、当堂反应
1．幂函数过点，那么
2．假设点在函数的图像上，那么的值为
3设，幂函数在的上方，那么的取值范围是
五、课堂小结：。
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．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能常见幂函数的概念、图象和性质；一、问题情境
情境：我们以前学过这样的函数：y ＝x ，y ＝x 2
，y ＝x 1
，试作出它们的图象，并观察其性质．
问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？
二、数学建构
1．幂函数的定义：一般的我们把形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数
x 是变量，指数α是常数．
2．幂函数y ＝x α
图象的分布与α 的关系：
对任意的α∈ R ，y ＝x α在第I 象限中必有图象；
若y ＝x α为偶函数，则y ＝x α在第II 象限中必有图象；
若y ＝x α为奇函数，则y ＝x α在第III 象限中必有图象；
X=1
y=1
y=X
I
II
III
对任意的α∈ R ，y ＝x α的图象都不会出现在第VI 象限中． 3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；
α≤0时，图象过只过定点(1，1)．
（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；
α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．
三、数学运用
例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性 （1）y ＝12
x ； （2）y ＝2
x -；
（3）y ＝22
x x -+； （4）y ＝112
2
x x
-
+．
例2 比较下列各题中两个值的大小． （1）1.50.5
与1.70.5
（2）3.141与π
1
（3）(－1.25)3
与(－1.26)3
（4）314与2
21
例3 幂函数y ＝x m
；y ＝x n
；y ＝x 1
与y ＝x 在第一象限内图象的排列顺序如
图所示，试判断实数m ，n 与常数－1，0，1的大小关系． 练习：
（1）下列函数：①y ＝0.2x ；②y ＝x 0.2；③y ＝x 3；④y ＝3·x 2
．其中是
x
y
O
y ＝x y ＝x m y ＝x -1 y ＝x n
为
本
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。