第1章4节-习题课正式备课

2 区域与曲线
2.1 区域
定义5 若r 0, st. E (0, r ),则称E为有界集 (bounded ， set) 否则称 E为无界集（ unbounded ）。 set 定义6 若E的所有点都为 E的内点，则称 E为开集 (ope nse t) ， 若E的所有聚点都属于 E，则称 E为闭集 (close d t) se 。
(1)、z1 z2 || z1 | | z2 | | (2) | z1 z2 ||| z1 | - | z2 || (3) | z1 - z2 || z1 | | z2 |
z2
z2
z1
- z2
z1 - z2
4 共轭复数(complex conjugate number)
2)若z 0 E , 但z 0不是 E的聚点，即存在 0，使得
N ( z 0 ) - z 0不含 E的点，则 z 0为E的孤立点 (isolate d point)。
注： 聚点的其他等价定义， 参见教材 p22定义1.4之后说明。
定义 4 设有点 z 0 , 点集 E， 1 ）若 0, st . N ( z 0 ) E , 则称 z 0为E的 内点(in te rior poin t) ；
§1.2 复平面上的点集
1 平面点集的基本概念
1.1 原始概念------距离(distance) 定义1:设有点Z1和Z2，则 z1 - z2 为点Z1和Z2的距离,记为 d z1 , z2 1.2 基础概念-----邻域(neighborhood)
定义2:以Z0为心， 为半径的圆 z - z0 即为点Z0的
z z0
的充分必要条件为:
x x0 y y0
lim u ( x, y ) u0
且
x x0
y y 0
lim v( x, y ) v0
• 复变函数的极限四则运算法则： • 设 zlim f ( z ) A ，zlim g ( z ) B ，则 z z0 (1) lim[ f ( z ) g ( z )] lim f ( z ) lim g ( z ) A B
(2)单连通区域的概念也可以推广到扩充复平 面上的区域． 对比定义 1．11，我们有定义：设 D 为扩充 复平面上的区域，若在 D 内无论怎样画简单闭 曲线， 其内部或外部(包含无穷远点)仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域．
扩充复平面上的几个概念： (3)在扩充复平面上， 可以包含在函数的定 点 义域中，函数值也可以取到 ．因此，函数的 极限与连续性的概念可以有所推广。 如果 z0 及 f ( z0 ) 之一或者它们同时取 ，就 称 f (z ) 在点 z0 为广义连续的， 极限就称为广义极 限．在这种广义的意义下，极限和连续性的 - 说法要相应修改．
可以将z表示成三角表示式: z
r (cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z re
i
(r z , Arg z )
复数化为三角表示式与指数表示式的一般方法:
1)先求复数的模;
2)再求辐角. 复数的四则运算满足交换律、结合律和分配律:
图3
第一章
一、知识点复习
复数与复变函数习题课
3复变函数 1)复变函数的概念、2) 复变函数的极限、 3 )复变函数的连续性 熟练掌握 复变函数的极限的计算、复变函数连续性的判定、 复变函数的运算表示 理解 复变函数连续的性质
1.3.2复变函数的极限 定义1.16 设函数 f (z ) 在 z0 的某去心邻域内有定 义，若对任意给定的正数 （无论它多么小） 总存在正数 ( ) ，使得适合不等式 0 z - z0 ( ) 的所有 z ，对应的函数值 f (z )都满足不等式
f ( z) - A 则称复常数 A为函数 f (z ) 当时 z z 0 的极限， 记作 lim f ( z ) A 或 f ( z) A ( z z 0 ) zz
0
z • 定理1 设 f ( z) u( x, y) iv( x, y) ， 0 x0 iy0 则 lim f ( z ) A u 0 iv0
定义 7 若非空点集 E满足： E是开集； 1 ） 2 E中任意两点可以用有限 条相连接的线段所构成 的折线 ） 连起来，而使这条折线 上的点完全属于 E（连通性），则 称E为区域 (re gion.)
2.2 曲线
定义8 设已给 z z (t ) (a t ), 若 Re z (t )和 Im z (t )都在区间[a , ]上连续，则称集合 {z | z z (t ), t [a , ]}为一条连续曲线 (continuous curve 。 )
0
z z0
z z0
z z0
(2) (3)
z z0
lim[ f ( z ) g ( z )] lim f ( z ) lim g ( z ) AB
z z0 z z0
f ( z ) z z0 A lim ( B 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) B
扩充复平面上的几个概念： 例如，在 z0 , f () 时， f (z ) 在 z 0 连续的 - 说法应该修改为
1 任给 0 ，存在 0 ，只要 | z | 时就 有 | f ( z) - f () |
注 以后涉及到扩充复平面时，一定强调“扩充” 二字，凡是没有强调的地方，均指通常的复平面； 以后提到区域及其连通性时，如不加说明，都将 限于通常复平面上来考虑；以后提到极限、连续 时，如不加说明，均接通常意义去理解．
z 4.1 含义 z x iy 的共轭复数： x - iy 。
4.2 性质
| z || z | | z | zz
2
Argz - Argz
z1 z 2 z1 z 2
zz
z1 z 2 z1 z 2
z1 z2 z1 z 2
zz z-z Re z , Im z 2 2i
2 ）若 0, st. N ( z 0 ) E , 则称z 0为E的 外点(oute rpoint) ；
3 ）若 0, st . N ( z 0 )既有 E中的点，又有非 E中 的点, 则称 z 0为E的边界点 (bou n darypoin t ； ) 注： E的全部边界点的集合称 为E的边界， 记为 E (bou n dary)
z (a )及z ( )分别称为曲线的起点和 终点。对满足
a t1 , a t 2 , t1 t 2的t1 , t 2，当 z (t1 ) z (t 2 )成立时，
点称为曲线的重点。凡 无重点的连续曲线称为 简单曲线 (si m pl e rve ) cu 或若尔当 / 约当曲线 (Jordancu rve)。
-邻域,记为 N z0 , 并称0 | z - z0 | 为点z0的去心 邻域。
1.3 点与点集关系概念 定义3:设有点 z0 ,点集 E
1)若 0, N ( z 0 )含E的无穷多点，则 z 0为E的聚点 （accumulati point on ）或极限点（ limit point ）。
z z0
lim f ( z )
• 1.3.3 复变函数的连续 • 定义1.17 设 f (z )在点 z0 的某邻域内有定义， 若 zlim f ( z ) f ( z 0 ) ，则称函数 f (z ) 在点z0 处连续. z 定义1.18若 f (z )在点集 D 内每一个点都连续， 则称函数 f (z )在点集 D 内连续.
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 - arctan 2 x 2 x y - arctan x , z在第三象限
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
N
P O S
z y
x
关于的四则运算作如下规定: 加法: a+=+a= (a) 减法: a-=-a= (a) 乘法: a=a= (a0)
除法 :
a

0,

a
a
(a ),
0 其它运算不确定
(a 0, 但可为)
扩充复平面上的几个概念： （1）扩充复平面上，无穷远点的邻域(对比定义 1．1)应理解为以原点为心的某圆周的外部，即
图1
图2
z(b) z(a)
z(b) z(a)
z(a)=z(b)
简单,闭
简单,不闭
z(a)=z(b)
不简单,闭
不简单,不闭
• 在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞 （点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有 “洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成 C 的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而 形成的区域（如图3).
R(a, b,, c) R(a, b,, c)
z z 为实数 z
第一章
一、知识点复习
复数与复变函数习题课
2 复平面上的点集 1)平面点集的基本概念、2 )区域与曲线 掌握 复平面上点的邻域、去心邻域、内点、外点、聚点与 孤立点、有界集与无界集； 熟练掌握 开集、闭集、区域 理解 简单闭曲线、约当定理、单连通区域
§1.4 复球面与无穷远点
除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上 的点来表示复数. 取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上 的一点S与原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线 与球面相交于另一点N. 称N为北极, S为南极. 对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球 面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面 上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的球 面称作复球面.