第9章(组合变形)
建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
组合变形
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,
例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图
混凝土结构原理第9章正常使用极限状态验算课件
对于弹性均质材料截面，EI为常数，M- 关系为直线。
钢筋混凝土是不均质的非弹性材料，因此受弯过程中EI不 是常数。
由于混凝土开裂、 M
弹塑性应力-应变关
EcI0
系和钢筋屈服等影
响，钢筋混凝土适
My
筋梁的M- 关系不
Ms
再是直线，而是随
弯矩增大，截面曲
Mcr
Bs
率呈曲线变化。
9.3.1 截面弯曲刚度的概念及定义
9.2.3 平均裂缝宽度
裂缝宽度是指受拉钢筋截面重心水平处构件侧表面的裂缝 宽度。裂缝宽度的离散性比裂缝间距更大些。
平均裂缝宽度计算式 平均裂缝宽度wm等于构件裂缝区段内钢筋的平均伸长与相
应水平处构件侧表面混凝土平均伸长的差值。
9.2.3 平均裂缝宽度
wm
e smlm
e
l ctm m
e
sm
(1
偏心受压构件：
s sq
Nq (e h0 ) h0 As
0.87 0.12 1 f
h0 2 e
9.2.4 最大裂缝宽度及其验算
确定最大裂缝宽度的方法
最大裂缝宽度由平均裂缝宽度乘以“扩大系数”得到。 “扩大系数”主要考虑两种情况：1）裂缝宽度的不均匀性，
采用扩大系数t；2）荷载长期作用下混凝土的收缩以及受力
则受弯构件的挠度为
f
S (M k
M
q
)l
2 0
S M ql02 q
Bs
Bs
上式仅用刚度B表达时，
f
S
M
k
l
2 0
B
令以上两式相等可得刚度B为，
B
Mk
M q (q 1) M k
Bs
组合变形
第八章组合变形§8-1 组合变形和叠加原理一、组合变形的概念：构件的基本变形：拉压、剪切挤压、扭转、弯曲。
由两种或两种以上基本变形的组合---称为组合变形。
如：梁的弯曲和拉压变形的组合。
轴的扭转和弯曲变形的组合。
梁的弯曲与剪切变形的组合（横力弯曲）。
李禄昌liluchang二、叠加法---解决组合变形问题的基本方法*：1、叠加原理：复杂外力进行简化、分解为几组静力等效载荷。
→ →每一组载荷对应着一种基本变形。
→ →分别计算一种基本变形的内力、应力、应变、挠度。
→ →将所有结果叠加，便是构件发生组合变形时的内力、应力、应变、挠度。
2、叠加原理的几个原则*：⑴、分量（内力、应力、应变、位移）与外力成线性关系。
⑵、与外力加载的先后顺序无关，⑶、材料服从胡克定律（线弹性变形）。
⑷、应用原始尺寸原理。
注意：各分量叠加时，同方向的相同分量可以用代数和叠加。
如：正应力与正应力、切应力与切应力。
3、叠加原理应用的基本步骤：xxσ(1) 、将载荷进行分解，产生几种基本变形;（2）、分析每种基本变形，确定危险截面；（3）、计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力；（4）、将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点；**（5）、计算主应力，选择适合的强度理论，进行强度校核。
而不同方向的分量，应采用不同的求和方法，如：正应力与切应力之间。
σσσ'''=+τττ'''=+22p στ=+xτ不要用这个公式。
斜弯曲PϕyzxyzlP zP yP 不考虑剪应力Kk σσσ'''=+y z z y M z M y I I -sin cos z yP z P y I I ϕϕ=--cos y yyM z P zI I σϕ''=-=-sin ,z z zM y P y I I σϕ'=-=-如果是圆截面？§8-2 弯曲与拉伸的组合变形一、受力及变形特点：xyzlFF轴向拉伸F偏心拉伸zMyM附加力偶1、轴向力：产生拉压正应力:()()12x x zN x M x yA I σσσ=+=+注意两个应力正负号。
材料力学 第九章组合变形杆件强度计算
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
—— 中性轴方程(过截面形心的直线) 中性轴方程(过截面形心的直线)
b 中性轴 α
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
z
d
设中性轴与水平对称轴 z 的夹角为 ,则: 的夹角为α,
y0 tan α = z0
I z sin I y cos
=9.57mm
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合 拉伸(压缩)
当杆受轴向力F和横向力 共同作用时 当杆受轴向力 和横向力q共同作用时,杆将产 和横向力 共同作用时, 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. q F
A B
F
对于弯曲刚度EI较大的杆, 对于弯曲刚度 较大的杆,由横向力引起的弯 较大的杆 曲变形与截面尺寸相比很小,因此, 曲变形与截面尺寸相比很小,因此,由轴向力在弯 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 附加弯矩可以忽略不计 q F F A B w x FA q FS M=FAx-qx2/2-Fw F A M w FN x 附加弯矩 FA
第九章 组合变形杆件 的强度计算
作者:黄孟生
§ 9 -1 概 述
构件发生两种或两种以上基本变形的组合, 构件发生两种或两种以上基本变形的组合,若几种变 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级. 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级.则构 件的变形称为组合变形. 组合变形.
组合变形的实例: 组合变形的实例
F
y
=
Iz = tan Iy
斜弯曲时, 注:① 当 Iy≠Iz 时,则α≠ .斜弯曲时,中性轴与外力作用
线不垂直. 线不垂直. ② 当Iy = Iz 时,则α= 只发生平面弯曲,而不发生斜 .只发生平面弯曲, 弯曲. 弯曲.
浙江建设职业技术学院-建筑力学-思考题
1.6 杆系结构可分为那几种类型？
1.7 画受力图的步骤及要点？
第1章 力学基础 思考题
§0 绪论 §1 力学基础 §2 力矩与力偶 §3 平面力系 §4 轴向拉压 §5 扭转 §6 几何组成 §7 静定结构 §8 梁弯曲应力 §9 组合变形 §10压杆稳定 §11位移计算 §12力法 §13位移法及力 矩分配法 §14影响线 [练习] [思考] [返回]
4.7 制造螺栓的棒材要先经过冷拔，其目的是什 么？钢材经过冷拔后有什么优点和缺点？ 4.8 何谓许用应力？安全因数的确定和工程有哪 些密切关系？利用强度条件可以解决工程中的 什么问题？ 4.9 剪切变形的受力特点和变形特点是什么？ 4.10 挤压变形与轴向压缩变形有什么区别？ 4.11 挤压面与计算挤压面有何不同？ 4.12 试述切应力互等定理。
第3章 平面力系
§0 绪论 §1 力学基础 §2 力矩与力偶 §3 平面力系 §4 轴向拉压 §5 扭转 §6 几何组成 §7 静定结构 §8 梁弯曲应力 §9 组合变形 §10压杆稳定 §11位移计算 §12力法 §13位移法及力 矩分配法 §14影响线 [练习] [思考] [返回]
思考题
3.14一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主 矩都不为零，问能否可能？ 3.15对于原力系的最后简化结果为一力偶的情形，主矩与 简化中心的位置无关，为什么？ 3.16平面一般力系的平衡方程有几种形式？应用时有什么 限制条件？ 3.17对于由个物体组成的物体系统，便可列出个独立的平 衡方程。这种提法对吗？ 3.18如图所示的梁，先将 作用于D点的力F平移至 E点成为F′，并附加一个 力偶，然后求铰的约束反 力，对不对，为什么？
第7章 静定结构的内力分析 思考题
§0 绪论 §1 力学基础 §2 力矩与力偶 §3 平面力系 §4 轴向拉压 §5 扭转 §6 几何组成 §7 静定结构 §8 梁弯曲应力 §9 组合变形 §10压杆稳定 §11位移计算 §12力法 §13位移法及力 矩分配法 §14影响线 [练习] [思考] [返回]
钢筋混凝土构件的变形
第9章钢筋混凝土构件的变形、裂缝验算及耐久性一、填空题1.混凝土构件裂缝开展宽度及变形验算属于正常使用极限状态的设计要求，验算时材料强度采用标准值，荷载采用标准值、准永久值。
2. 增大构件截面高度是提高钢筋混凝土受弯构件抗弯刚度的最有效措施。
3.平均裂缝宽度计算公式中，σ是指裂缝截面处的纵向钢筋拉应力，其值是按荷载sk效应的标准组合计算的。
4.钢筋混凝土构件的平均裂缝间距随混凝土保护层厚度增大而增大，随纵筋配筋率增大而减小。
5.钢筋混凝土受弯构件挠度计算中釆用的最小刚度原则是指在相同符号弯矩范围内，假定其刚度为常数，并按最大弯矩截面处的最小刚度进行计算。
6.裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψ是指裂缝间受拉纵筋平均应变与裂缝截面处的受拉纵筋应变之比，反映了裂缝间拉区混凝土参与工作的程度。
7.结构构件正常使用极限状态的要求主要指在各种作用下的裂缝宽度和变形不应超过规定的限值。
8.结构的耐久性设计要求是指结构构件应满足设计使用年限的要求。
9.混凝土结构应根据使用环境类别和结构类别进行耐久性设计。
10.在荷载作用下，截面受拉区混凝土中出现裂缝，裂缝宽度与受拉纵筋应力几乎成正比。
11.钢筋混凝土和预应力混凝土构件，按所处环境类别和结构类别确定相应的裂缝控制等级最大裂缝宽度限值。
12.平均裂缝间距与混凝土保护层厚度、纵向受拉钢筋直径、纵向受拉钢筋表面特征系数及纵向钢筋配筋率有关。
13.轴心受拉构件的平均裂缝宽度为构件裂缝区段范围内钢筋的平均伸长与相应水平处构件侧表面混凝土平均伸长之差。
14.最大裂缝宽度等于平均裂缝宽度乘以扩大系数，这个系数是考虑裂缝宽度的随机性以及长期荷载作用的影响。
15.受弯构件的最大挠度应按荷载效应的标准组合，并考虑荷载长期作用影响进行计算。
16.结构构件正截面的裂缝控制等级分为三级。
17.环境类别中一类环境是指室内正常环境。
二、选择题1.减少钢筋混凝土受弯构件的裂缝宽度，首先应考虑的措施是[ a ]。
组合变形
第10章组合变形§10-1 组合变形的概念1.组合变形的概念组合变形：构件往往会发生两种或两种以上的基本变形的这类变形。
在前面各章分别讨论了杆件在拉(压)、剪切、扭转和弯曲基本变形时的应力和强度计算。
工程实际中，杆件在荷载作用下所发生的变形，经常是两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为组合变形。
例如图10．1(a)所示屋架檩条的变形，是由y/z两个方向的平面弯曲变形组成的斜弯曲；如图10．1(b)所示厂房柱，在偏心力F作用下，会发生压缩和弯曲的组合变形；如图10．1(c)所示的卷扬机轴在力F作用下，则发生弯曲和扭转的组合变行。
2．组合变形的分析方法及计算原理处理组合变形问题的方法：1.将构件的组合变形分解为基本变形；2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力；3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。
叠加原理是解决组合变形计算的基本原理叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定律，构件产生小变形，所求力学量定荷载的一次函数的情况下，计算组合变形时可以将几种变形分别单独计算，然后再叠加，即得组合变形杆件的内力、应力和变形。
计算原理：（1）圣维南原理以静力等效力系代替构件原有的荷载，为此，要求构件为细长杆，且所求应力的截面远离外力作用点；（2）叠加原理 按各基本变形计算后进行叠加，为此，要求构件处于线弹性范围内，且变形很小，可按构件的原始形状的尺寸进行计算。
在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。
本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。
叠加法的主要步骤：a 、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。
b 、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。
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M y max FPz l
M z max FPy l
2 2 2 2 M My M l F F max z max Pz Py
3 A截面上的应力计算
MT WP
M W
4 D1 和 D2应力状态分析
2 1 1 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 0
M z max ymax M y max zmax M z max M y max t max c max Iz Iy Wz Wy
强度条件
max
5 刚度计算
y
f y max
f max
Fy L3 3EI z
,
Fz L3 f z max 3EI y
合成弯矩为：
2 MB Mz M2 y 1.06 KN m
T
4 按第四强度理论求轴所需直径
r4
1 W
M 2 0.75T 2
M 2 0.75T 2
d 3
32
W
d=5.19mm
Example
图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1 上作用有径向 力Fy = 3.64kN，切向力Fz = 10.0kN，在齿轮2 上作用有 径向力 Fy 5.0kN ，切向力Fz 1.82kN 。若轴的直径d = 52mm ，直径D1 = 200mm ，D2 = 400mm ，许用应力[σ] = 100MPa ，按第四强度理论校核轴的强度。
y
2 k
M y zk Iy
y
Fy
Mz
z z
My
y
y
Mz
z z
My
M z yk M y z k k Iz Iy
1 k 2 k
y
4 强度计算
b
z
危险截面——固定端
M z max Fyl
d
M y max Fz l
危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。
5 强度设计：
t max [ t ]
c max [ c ]
FP 425 7.5FP 30 15 5310
FP 425 12.5FP 160 15 5310
FP 45.1kN FP 171.3kN
一、弯扭组合
1 内力图
2 危险截面A
MT Me
弯矩合成
一、拉(压)弯组合变形的计算
1 荷载的分解
x
F
Fx F cos
Fy F sin
Fx
x
F
z
Fy
2 任意横截面任意点的“σ” 1）内力：
FN ( x) Fx F cos
y
M z ( x) Fy x F sin x
F
M
N
k
2）应力：
Z
FN ( x) A M z ( x) yk Iz
解1 外力分析
例3图
将各力向圆轴的 截面形心简化， 画出受力简图。
受力简图
2 内力分析,作内力图
3 B截面为危险截面。B
截面上的内力为：
T n 1KN m 扭矩： M
T
0.364KN· m
C
A 0.567KN· m D
M z 0.364 KN m 弯矩： M y 1KN m
3 应力分析
在轴力作用下
FN FP 103 N 10 6 FP FP Pa MPa 3 2 A 15 10 m 15 15
在弯矩 My 作用下：
tmax
M y z1 Iy
42.5 10 FP N m 7.5 10 2 m 5310 10 8 m 4
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
求解步骤 1 外力分解和简化 2 内力分析——确定危险面。 3 应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
P
P
z
x
y 将外力进行简化或分解，转化为几组静力等效载荷， 每组载荷对应一种基本变形，分别计算各基本变形引起的 内力、应力、应变和位移，进行叠加得组合变形下的内力 、应力、应变和位移。
max M y max Wy M z max Wz
Wz 2.37 105 mm3
1743 1992 4 9 3.15 10 10 2.37 10 5 10 9
139.4MPa
轴向拉(压)与弯曲组合
FP
FP
R
轴向力与横向力同时作用
不通过截面形心的纵向力 （偏心拉伸与压缩）
425 7.5FP MPa 5310
425 12.5FP MPa 5310
max c
M y z2 Iy
42.5 10 FP N m (20 7.5) 10 2 m 5310 10 8 m 4
4 叠加
FP 425 7.5FP MPa c max tmax 15 5310 FP 425 7.5FP c max tmax MPa 15 5310
解：当载荷位于梁中点时，梁截面的弯矩 My 、Mz 在中点位 臵同时有最大值 Fy l 20 103 sin 5o 4 M z max 1992N m 4 4
M y max Fz l 20 103 cos 5o 4 1743N m 4 4
查型钢表 Wy 3.15 104 mm3
解： 1 计算截面的几何性质
A 15 10 3 m 2 , z1 7.5 10 2 m I y 5310 10 8 m 4
2 计算 m-n截面上的内力
FN FP kN M y ( 35 7.5 )10 2 103 FP 42.5 10FP N m
FN F 120kN
M Fe 720N m
FN F 120kN
M Fe 720N m
m-n截面上边缘产生最大拉应力 F M tmax N A W 120 103 720 + =179.9MPa> 6 2 9 15 (80 12) 10 15 (80-12) 10 / 6
1）荷载的简化
Fp
Fp
M y F ez M z F ey
2）任意横截面任意点的“σ”
内力分析：
h
z
ey
FN ( x) F M z ( x) F e y M y ( x) F ez
ez b
应力分析
x z Mz
FP y My
FP z
MZ
y
My
FP A
Mz y Iz
Fy L3
Fsz z
z
F
y
Fsy
y
3 F L f y2 f z2 ( )2 ( z )2 3EI z 3EI y
f max f
f z Fz I z I z tan tan f y I y Fy I y
z
wz
w
wy
Example
如图所示木制檩条，宽度 L=3m，受均布载荷
M z max FN max Wz A
t
强度条件
max
M z max FN max Wz A
c
二、偏心拉(压)
1 偏心拉(压)的概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。 x x FP FP FP Mz y y z z My My
2、偏心拉(压)的计算
q=800N/m，材料的许用应力及变形分别为 []=12MPa 和 L/200 ，E=9GPa， 试计算截面的尺寸(b/h=0.5)并校核梁的刚度
A L
q B
y q z
a 26°34´
解： 1 分解外载荷q y q
z
a 26°34´
qy qsina800 0.447358N/m
qz qcos a 800 0.894 715N/m
一、组合变形概念
构件同时发生两种或两种以上的基本变形，如几种变形所 对应的应力（或变形）属同一量级，称为组合变形
工程实例: 烟囱，传动轴 吊车梁的立柱
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
M yz Iy
FP M z y M y z A Iz Iy
截面上任意k点的应力
FP A
Iz
FP ey yk Iz
2 Aiz
FP ez zk Iy
2 Ai y
z
zk
y
k
yk
Iy
FP A
e y yk ez z k 1 2 2 iz iy
z
y
在 FN 作用下：
在 Mz 作用下：
Z
Z
Y
F
N
FN ( x) A
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFN
Y
Z
M z ( x) yk Iz
3）叠加：
k k
k
Mz
b
a
d
Z
Z
c 3 强度计算 危险截面——固定端 Y
FN F cos M z max F sin l
Y
危险点——“ab”边各点有最大的拉应力， “cd”边各点有最大的压应力（或最小拉应力）。
1 荷载的分解
x
x
z