求二次函数的表达式学案
《确定二次函数的表达式》导学案
《确定二次函数的表达式》导学案确定二次函数的表达式导学案一、引入部分学习目标：了解二次函数的特点以及确定二次函数的表达式的方法。
思考问题：你对于二次函数有什么了解？二、导入问题问题1：你能给出一个二次函数的例子吗？问题2：二次函数有什么特点？三、概念解释1. 二次函数：二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数。
2.顶点：二次函数的图像是一个开口向上或者向下的抛物线。
抛物线的顶点是图像的最高或者最低点。
3. 轴对称：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，有f(x) = f(-x)成立。
即二次函数的图像关于y轴对称。
四、确定二次函数的表达式的方法1.已知顶点和一点：假设已知二次函数的顶点为（h,k），同时通过顶点外的一点（x₁,y₁），我们可以根据这两个信息确定二次函数的表达式。
思考问题：如果已知顶点为（2,3），通过顶点外的一点（4,4），如何确定二次函数的表达式呢？解答：首先，我们可以通过顶点（2,3）得到二次函数的常数项c。
将顶点的坐标代入二次函数的表达式中，得到3=a(2)²+b(2)+c，即4a＋2b＋c=3然后，将顶点外的一点（4,4）代入二次函数的表达式中，得到4=a(4)²+b(4)+c，即16a＋4b＋c=4现在我们有了两个方程：4a＋2b＋c=316a＋4b＋c=4通过解这个方程组，我们可以得到a、b、c的值，从而确定二次函数的表达式。
2.已知三点思考问题：如果我们已知二次函数通过三个点（1,2），（2,3），（3,4），如何确定二次函数的表达式呢？解答：假设这个二次函数的表达式为f(x) = ax² + bx + c。
将三个点代入二次函数的表达式中，得到以下三个方程：a+b+c=2(1)4a+2b+c=3(2)9a+3b+c=4(3)通过解这个方程组，我们可以得到a、b、c的值，从而确定二次函数的表达式。
二次函数教案【精选3篇】
二次函数教案【精选3篇】总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的总结，它能使我们及时找出错误并改正，快快来写一份总结吧。
那么如何把总结写出新花样呢？这里给大家分享一些关于数学二次函数解题技巧，方便大家学习。
为朋友们精心整理了3篇《二次函数教案》，亲的肯定与分享是对我们最大的鼓励。
二次函数教案篇一一、教材分析：《34.4二次函数的应用》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》(冀教版)九年级上册第三十四章第四节，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象及性质的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。
这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。
这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。
本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
数学思考：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
解决问题：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
求二次函数的表达式教案
《求二次函数的表达式》教案教学目标知识与技能通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法．数学思考与问题解决能灵活地根据条件恰当地选取表达式，体会二次函数表达式之间的转化．情感与态度在学习过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣并获得成就感．难点重点重点：用待定系数法求二次函数表达式．难点：灵活地根据条件恰当地选取表达式．教学设计情境引人我们已经知道，已知一次函数图像上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的表达式，要求出二次函数的表达式得知道图像上几个点的坐标？又应该怎样求出它的表达式？教师投影出示问题，要求学生简单思考后，接着引出本节课题．自主探究1．探究：2cbxyax1的表达式中有几个待定系数？需要图像上的几个点才能求出=+(+)二次函数来？教师充分放手，让学生思考、讨论、尝试解决、同学交流．bbk1ykx的值，需要图教师点拨：(，要写出表达式，需求出)一次函数的表达式：+=，bk像上两个点的坐标，列出二元一次方程组求出．，211322c2yaxbx1三点，能求出这个二次，-)+)+经过(，，()，(-()如果知道抛物线，=函数的表达式吗？如果能，求出这个二次函数的表达式．2cabbx2yaxc的值，需要图像上三个点的坐标，)二次函数的表达式是，=，需求出++，( 列出三元一次方程组．2khayx表达式中有几个待定系数？需要知道图像上的几个点才能求出⑶抛物线：)=(+-A11B21)，两个点能求出它的表达式吗？( 来？如果知道图像上的顶点坐标为(，，-)和点教师要求学生大胆思考、积极发言、耐心交流．2yaxhkahk三个待定系数，应该知道三个点的坐教师点拨：抛物线=(-)+表达式中有、、hk就是顶点的横纵坐标，于是再有一个点的坐标即可．、标，但是2．归纳：2yaxbxcabc的值．关键是求出待定系数求二次函数，=，++由已知条件列出关的表达式，abcabc 的值，就可以写出二次函数的表达式；求抛物线的方程组，求出待定系数于，，，，2kxhya的表达式，只要知道顶点坐标和图像上的异于顶点的另一点坐标即可．-+=)(教师要求学生根据刚才间题归纳总结得出求二次函数表达式的般过程．教师补充完善．3．应用．122页例题)．(见教材第例教师出示例题，让学生独立完成．333B2C2A1，)((2.(补充)求经过，(三点的抛物线的表达式．，)，)，2223332B2C2yaxbxA1c．由)三点的抛物线的表达式为(，+)，解：设经过(=，(+，)，2223?a?b?c?，??2?a??2，??39?a?b?c?2，b?6，解得题意得??24??53??c??.，??ca?2b42??2?52?xx?62y??．∴所求抛物线的表达式为2教师让学生尝试应用，小组交流后集体点评．4．巩固练习．23页练习．教材第教师让两名学生板演．师生共同评价．总结提高1．师生小结．1)通过本节课的学习，你有哪些收获？ (2)你对本节课有什么疑惑？说给老师或同学听听．( 师生共同回顾总结，归纳本节所学的知识．教师聆听学生的收获的同时，认真解决学生的疑惑．2．布置作业．2412题．必做题：教材第页第、24B45题．、选做题：教材第页组教师布置，分层要求．。
二次函数全章经典学案
二次函数学案第1课时 27.1 二次函数一、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 二、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、基本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________．2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．3．下列函数表达式，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2（2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2（5）y ＝x ＋1x四、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)xmm -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式 ___________________________．5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－13 时，x 的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．五、目标检测1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）20y x -= （2）2(2)(2)(1)y x x x =+---（3）21y x x=+（4）223y x x =+-2．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．22(1)y m x =- B ．22(1)y m x =+ C ．22(1)y m x =+ D ．22(1)y m x =- 3． 已知函数27(3)m y m x -=- 是二次函数，求m 的值．4．已知函数()21153my m x x +=-+-是二次函数，求m 的值.5 .已知函数()222845y m m x x =+-++是关于x 的二次函数，则m 的取值范围。
22.1.4求二次函数的表达式(教案)
一、教学内容
本节课选自人教版八年级下册第22章“二次函数”，章节22.1.4“求二次函数的表达式”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握利用三个点确定二次函数表达式的方法。
（1）根据三个点的坐标，列出三元一次方程组；
（2）求解方程组，得到二次函数的系数；
（3）根据系数，写出二次函数的一般式。
五、教学反思
在这节求二次函数表达式的课程中，我发现学生们对于利用三个点来确定二次函数表达式这一部分掌握得还不错，大多数同学能够理解并运用这个方法。然而，我也注意到在求解方程组的过程中，有一部分同学会感到困惑，尤其是三元一次方程组的求解。这让我意识到，我们需要在方程组的解法上多下一些功夫，加强个别辅导，确保学生能够熟练掌握。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调利用三个点列方程组和待定系数法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体实例和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过测量抛掷物体的高度来演示二次函数的基本原理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《求二次函数的表达式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过几个点来确定一条抛物线的情况？”（如投掷物体时的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数表达式的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
学案3：2.4 二次函数与幂函数
2.4 二次函数与幂函数[考情展望]1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系去分析和解决问题．一、二次函数1．二次函数的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．2．二次函数的性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a减在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞增在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞减在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a增对称性函数的图象关于x＝－b2a对称函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x ＝x1＋x22对称．(2)对于函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y ＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．二、幂函数1．定义：形如y＝xα(α∈R)的函数叫幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的性质 函数特征性质y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性奇偶 奇/奇 单调性 增在(0，＋∞)上增 在(－∞，0)上减增增在(0，＋∞)上减 在(－∞，0)上减定点 (1,1)1．当α≠0,1时，幂函数y ＝x α在第一象限的图象特征(如图所示)： (1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y ＝x 2； (2)0＜α＜1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y ＝x 12；(3)α＜0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如y ＝x －1，y ＝x －12.2．幂函数的图象一定不会经过第四象限．1．已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x －2 C ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝x －122．图2－4－1中C 1，C 2，C 3为三个幂函数y ＝x k 在第一象限内的图象，则解析式中指数k 的值依次可以是( )图2－4－1A ．－1，12，3B ．－1,3，12C.12，－1,3 D.12，3，－1 3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( ) A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减D ．单调递增4．函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．5．(2011·陕西高考)函数y ＝x 13的图象是( )6．(2013·浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0考向一 二次函数的图象与性质例1 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．【思路点拨】 解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间．【尝试解答】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝－1，f (x )max ＝f (－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－2a2＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. (3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝x ＋12＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝x －12＋2，x ＞0，其图象如图所示：又∵x ∈[－4,6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．规律方法11.研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性”作草图，再“定量”看图求解，事半功倍.2. 求二次函数最值的类型及解法,1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；2常画出图象结合二次函数在该区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.对点训练 (1)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )(2)设f (x )＝x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值为M (a )，最小值为m (a )．试求M (a )及m (a )的表达式．考向二 二次函数的综合应用例2 设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值．都有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 法一 分a ＞0，a ＝0，a ＜0三种情况求出f (x )在(1,4)上的最小值f (x )min ，再令f (x )min ＞0求解．法二 分离参数a 得a ＞－2x 2＋2x ，然后求g (x )＝－2x 2＋2x的最大值即可．【尝试解答】 法一 当a ＞0时，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋2－1a ，由f (x )＞0，x ∈(1,4)得：⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1f 1＝a －2＋2≥0或⎩⎨⎧1＜1a＜4f ⎝⎛⎭⎫1a ＝2－1a＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4f 4＝16a －8＋2≥0.∴⎩⎨⎧ a ≥1a ≥0或⎩⎨⎧ 14＜a ＜1a ＞12或⎩⎨⎧a ≤14a ≥38，∴a ≥1或12＜a ＜1或∅，即a ＞12，当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a －2＋2≥0f 4＝16a －8＋2≥0，解得a ∈∅；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6，∴不合题意． 综上可得，实数a 的取值范围是a ＞12.法二 由f (x )＞0，即ax 2－2x ＋2＞0，x ∈(1,4)， 得a ＞－2x 2＋2x 在(1,4)上恒成立．令g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12， 1x ∈⎝⎛⎭⎫14，1，∴g (x )max ＝g (2)＝12， 所以要使f (x )＞0在(1,4)上恒成立，只要a ＞12即可．规律方法21.本例中二次项系数不确定，因此使用方法一时需分三种情况讨论.2.由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：1分离参数；2不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f x ⇔a ≥f xmax ，a ≤fx ⇔a ≤f x min .对点训练 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．考向三 幂函数及其性质例3 (1)函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 (2)若a ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a ＞⎝⎛⎭⎫12a ＞(0.2)a B ．(0.2)a ＞⎝⎛⎭⎫12a ＞2a C.⎝⎛⎭⎫12a ＞(0.2)a ＞2a D ．2a ＞(0.2)a ＞⎝⎛⎭⎫12a【思路点拨】 (1)m 2－m －1＝1→求m 的值→验证单调性→对m 的值取舍． (2)构造函数y ＝x α→比较⎝⎛⎭⎫12a与(0.2)a的大小→进而比较2a 与⎝⎛⎭⎫12a 、(0.2)a 的大小． 【尝试解答】 (1)由题意知m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，f (x )＝x－3符合题意，当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，f (x )＝x 0不合题意． 综上知m ＝2.(2)∵a ＜0，∴y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0.2a ＞⎝⎛⎭⎫12a ＞2a ，故选B. 【答案】 (1)A (2)B规律方法3 1.熟知幂函数的定义和单调性是解答此类问题的关键． 2．幂的大小比较的常用方法 分类考查对象 方法底数相同，指数不同 ax 1与ax 2利用指数函数y ＝a x 的单调性 指数相同，底数不同 x α1与x α2利用幂函数y ＝x α的单调性 底数、指数都不同ax 1与bx 2寻找中间变量0,1或bx 1或ax 2思想方法之四 数形结合思想在二次函数中的妙用二次函数是数形结合的完美载体，利用二次函数图象可以较直观形象地解决以下几方面问题：(1)二次函数的单调区间；(2)二次函数在给定区间上的最值；(3)借助二次函数求参数的范围；(4)与二次函数相关的图象交点个数问题．解决以上问题的关键是准确做出二次函数的图象，结合图象求解．——— [1个示范例] ——— [1个对点练] ———例题 1.(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16【解析】 f (x )顶点坐标为(a ＋2，－4a －4)，g (x )顶点坐标(a －2，－4a ＋12)，并且f (x )与g (x )的顶点都在对方的图象上，图象如图，由题意知，A 、B 分别为两个二次函数顶点的纵坐标， 所以A －B ＝(－4a －4)－(－4a ＋12)＝－16.2.(2012·山东高考)设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0【解析】 在同一坐标系内画出f (x )＝1x及g (x )＝x 2＋bx 的草图如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x 的图象上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图象上也明显的显示出来．由图象可知，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＜0.【答案】 B答案1．【解析】 设f (x )＝x α，则有3＝⎝⎛⎭⎫33α，即3＝3－12α，∴－12α＝1，∴α＝－2，∴f (x )＝x －2，故选B.【答案】 B 2．【解析】 根据幂函数的图象知，选A. 【答案】 A 3．【解析】 ∵f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数， ∴2m ＝0，∴m ＝0.则f (x )＝－x 2＋3在(－5，－3)上是增函数． 【答案】 D 4．【解析】 二次函数f (x )的对称轴是x ＝1－a ，由题意知 1－a ≥3，∴a ≤－2. 【答案】 (－∞，－2]5．【解析】 已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断． 【答案】 B 6．【解析】 因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a＝2，所以4a ＋b ＝0，故选A.【答案】 A考向一 二次函数的图象与性质对点训练【解析】 (1)a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．D 项正确．【答案】 D(2)f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，x ∈[0,1]． 当a ≤0时，M (a )＝f (1)＝1－2a ，m (a )＝f (0)＝0； 当0＜a ≤12时，M (a )＝f (1)＝1－2a ，m (a )＝－a 2；当12＜a ≤1时，M (a )＝f (0)＝0，m (a )＝－a 2； 当a ＞1时，M (a )＝f (0)＝0，m (a )＝f (1)＝1－2a .综上，M (a )＝⎩⎨⎧1－2a ，a ≤12，0， a ＞12，m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， a ≤0，－a 2， 0＜a ≤1，1－2a ， a ＞1.考向二 二次函数的综合应用对点训练【答案】 (1)由f (0)＝1，得c ＝1. 因此f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x .x ∈R.因此⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1,1]上恒成立． 则m ＜x 2－3x ＋1在[－1,1]上恒成立， 令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]， 易知g (x )在x ∈[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝－1，应有m ＜－1. 因此实数m 的取值范围是(－∞，－1)．。
人教版九年级数学下册第二十六章二次函数课时学案
人教版九年级数学下册第二十六章二次函数课时学案26．1．二次函数学案一一、学习目标1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次例函数的概念；（2）、能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
二、学习重、难点1．重点：理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；2．难点：理解二次例函数的概念.。
三、教学过程（一）、创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）．自主探究、合作交流：问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。
问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。
问题5：什么是二次函数？形如。
问题6：函数y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？（三）．尝试应用：例1: 关于x 的函数mm xm y -+=2)1(是二次函数, 求m 的值.注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。
例2:已知关于x 的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法)（四）．巩固提高：1．下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
22.1.4.4求二次函数解析式顶点式与交点式学案人教版九年级数学上册
初三数学二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质——求解析式（2） 班级： 姓名：一、课前3分钟复习用配方法解方程： 010422=--x x知识点一：选用顶点式()k h x a y +-=2求二次函数解析式 已知条件选用二次函数的解析式 已知抛物线的顶点及另一点()k h x a y +-=2例1： 1．已知抛物线的顶点为（﹣1，2）且过（0，﹣1），求其解析式．知识点二：选用交点式()()21x x x x a y --=求二次函数解析式已知条件选用二次函数的解析式 已知抛物线与x 轴的两个交点及另一点()()21x x x x a y --=例2：2．已知抛物线过点（﹣3，0）、（5，0），（1，6），求其解析式．三．课堂分层练习A 层：1．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），且经过点（4，1），求二次函数的表达式．2．抛物线的对称轴为直线x ＝3，y 的最大值为﹣5，且与y ＝x 2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（ ）A ．y ＝﹣（x +3）2+5B ．y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5C ．y ＝（x +3）2+5D ．y ＝（x ﹣3）2﹣5 3．如图，抛物线经过A ．B 、C 三点，求它的解析式和顶点P 的坐标．B 层：4．已知一个二次函数，当x ＝1时，函数有最大值﹣6，且图象过点（2，﹣8）．（1）求此二次函数的解析式；（2）若抛物线l 的开口大小和方向与（1）中抛物线相同，且与x 轴的交点为（﹣1，0），（5，0）．求l 的解析式及顶点坐标．C 层：5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），点B （3，0），且OB ＝OC ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积． 分层作业：A 层：1．已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （5，0），C （0，5），求该抛物线的函数关系式．2．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且过（3，0），求出这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示．（1）对称轴方程为 ；（2）当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大；（3）求函数解析式．（4）当52<<-x 时，y 的取值范围是B 层：4．已知二次函数的图象经过点A （3，0）．B （﹣1，0）．且顶点M 的纵坐标是﹣4．（1）求函数解析式；（2）在下方表格中画出它的图象；（3）点P 在图象上，若△P AB 的面积是8，求P 点坐标．C 层5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与x 轴交于另一点B ，与y 轴交于点C （0，3），对称轴是直线x ＝1，顶点是点M ．（1）求二次函数的解析式；（2）求△MBC 的面积；（3）过原点的直线l 平分△MBC 面积，求l 的解析式．课堂小测1．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），y的最大值为12，求该解析式．。
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《求二次函数的表达式》学案班级________ 姓名_______ 12.8 一、知识点：
二次函数的三种表达式
1、二次函数的一般式：y=ax2+bx+c ( 已知任意三点坐标可设一般式)
2、二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k （已知顶点，对称轴或者最值可设顶点式）
3、二次函数的交点式：y=a(x-x
1)(x - x
2
) （已知抛物线与x轴的交点坐标可设交点式）
二、求函数表达式的基本方法是：待定系数法
三、例题讲解
例1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(1,2),B(0,-1),C(-1,0)三点,则这个二次函数解析式
针对练习1、已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(1,1),B(0,3),C(2,-3)三点,则这个二次函数解析式
针对练习2、已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(1,2),B(-1,1),C(2,7)三点,则这个二次函数解析式
例2、已知抛物线的顶点坐标是(1，-3)，且过点（0，-1），求二次函数的解析式。
针对练习3、已知抛物线的顶点坐标是(2，-1)，且过点（1，-3），求二次函数的解析式。
针对练习4、已知二次函数中，当x=1时，函数有最小值为y=-2，且抛物线经过点(2，1)，求二次函数的解析式。
针对练习5、已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(2，1)和(0，6)两点，求二次函数的关
系式。
针对练习6、已知二次函数y=x²+bx+c 图象
如图这个二次函数解析式是__________
例3、已知抛物线与x 轴交于A （－1，0），B （1,0）,且函数经过点(0,1)
式
针对练习7、已知抛物线与x 轴交于A （-2，0），B （3,0）
,且函数经过点(2,4) ，则抛物线
的解析式
针对练习8、已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，已知A(1，0),AB=3,且函数经过点(2,-2) ，
则抛物线的解析式
四、拓展提高
已知函数y=ax2+bx+c 交x 轴于(-1,0)、(3,0)两点,交y 轴于点(0,6),抛物线的对称轴与x 轴交于点D
(1)求二次函数y=ax2+bx+c 的解析式
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使△POD 与△BOC 相似？若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由；。