扭转(1)
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扭转习题1
mB
mA
mC
n
（b）
B
A
C
3
解：1.由功率与转速关系计算外力偶矩：
MA
9550 PA n
9550 36 200
1719(N m)
MB 9550 PB 9550 22 1050(N m)
n
200
MC 9550 PC 9550 14 669(N m)
（2）1－1截面的最大剪应力
（3）轴AB的最大剪应力
1 mC=0.2kNm
mB=0.1kNm
φ50 φ40
A
1D
mA=0.3kNm
解：画扭矩图
T
0.3kNm
＋
C
B
0.1kNm
＋
x
8
(1)在AD段上，D1=50mm，T1=300N.m
Ip1=0.1D14=0.1 ×504 ＝6.25×105
当ρ＝20mm 时 ，
＝
T1 I1
300 6.25105
20＝0.9610－2（Mpa)
（2）在AD段上，R1=25mm
m ax1
T1 Ip1
R1
300 6.25105
25 1.2102 (Mpa)
(3)在DC段上， T1=300N.m， D2=40mm ，R2=20mm
Ip2=0.1D24=0.1 ×404 ＝2.56×105
14
6--28实心圆轴如图所示，已知输出扭矩MB=MC=1.64kN.m； MD=2.18kN.m，材料G=80Mpa，【τ】=40Mpa，【θ】=1。/m。 （1）求输入扭矩MA；
（2）试设计轴的直径；
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
扭转1
GI p
d
dx
d
dx
T GI p
代入物理关系式
扭转变形计算式
G
d
dx
得：
T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
二、圆轴中τmax的确定
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
第四章 扭 转
§4-1 扭转概念和工程实例 §4-2 自由扭转杆件的内力计算 §4-3 关于切应力的若干重要性质 §4-4 圆轴扭转时横截面上的应力 §4-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算 §4-6 圆轴扭转破坏分析 §4-7 矩形截面杆的自由扭转
§4-1 扭转概念和工程实例
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。
0
2π( 4
)
d/2
πd
4
4 0 32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
材料力学 扭转(1)
注意：对于空心圆截面
π D 4 d 4 Ip 32
π D 3 d 3 Wp 16
四、扭转强度计算 1、强度条件：
max [ ]
变截面圆轴: max
M W p max
M n max 等截面圆轴: max Wp
2、强度条件应用：
4
D 32
AC 外
d 4 6.38 cm 4
（3）计算应力
AC max
T D T I P1 2 WP1
37.5 106 Pa 37.5 MPa
0 0
Mn
t布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均
匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式：
Mn
dA.r
A 2
0 2
2
0
r0 td r0 t 2
d
Mn 2 2r0 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
m
x
0, M n T 0
Mn T
取右段为研究对象：
T
Mn Mn
x
T
m
x
0, T M n 0
Mn T
内力偶矩——扭矩 M n。
x
3、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢 量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。
即该轴满足强度条件。
n 360 r/ min 例 AB轴传递的功率为 N 7.5 kW ，转速 。 如图所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。 ， 已知D 3 cm d 2 cm 。试计算AC以及CB段的最大切应力。
扭转角公式(一)
扭转角公式(一)扭转角公式什么是扭转角公式？扭转角公式是用来计算两条直线之间的扭转角的数学公式。
它在几何学和物理学中非常常见，被广泛应用于各种领域。
扭转角公式的公式表达式扭转角公式的一般表达式如下：θ = arccos((a·b) / (|a|·|b|))其中，θ代表两条直线之间的扭转角，a和b分别是两条直线的方向向量。
·表示向量的点积，|a|表示向量a的模。
扭转角公式的解释扭转角公式用于计算两条直线之间的夹角，其基本思想是计算两条直线方向向量的夹角。
当两条直线的方向相同时，夹角为0度；当两条直线的方向完全相反时，夹角为180度。
以三维空间为例，假设有两条直线a和b，它们的方向向量分别为a = (1, 0, 0)和b = (0, 1, 0)。
根据扭转角公式，我们可以计算出它们之间的夹角θ。
θ = arccos((1·0 + 0·1 + 0·0) / (sqrt(1^2+0^2+0^2)·s qrt(0^2+1^2+0^2)))= arccos(0 / (1·1))= arccos(0)= 90°所以，直线a和直线b之间的夹角θ为90度。
扭转角公式的应用举例1. 机械工程中的轴扭转角计算在机械工程中，轴的扭转角是一个非常重要的参数。
通过扭转角公式，可以计算出轴在旋转过程中的扭转程度，从而为该设计提供参考依据。
2. 电子游戏中的摄像机跟踪角度计算在电子游戏中，摄像机通常会跟踪某个对象或角色。
通过计算摄像机与目标之间的扭转角，可以确定摄像机应该以何种角度跟踪目标，从而提供更好的游戏体验。
3. 导航系统中的车辆与目标之间的角度计算在导航系统中，需要计算车辆与目标之间的夹角，从而确定车辆应该如何转向以达到目标。
扭转角公式可以用于计算这种夹角，提供导航系统更准确的指引。
总结扭转角公式是一种用于计算两条直线之间夹角的数学公式。
材料力学(扭转) PPT课件
y
3、斜截面上的 应力分析
x
n
x
z
t
Fn 0 dA zdAcos sin dAsin cos 0
Ft 0 dA dAcos cos dAsin sin 0
sin 2
讨论：
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
功率、转速和外力偶矩之间的关系
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m) n
T
第三章 扭转
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例4-1 NA=19kW,NB=44kW,
TA
NC=25kW, n=150rpm
求：作图示传动轴的扭矩图
解：1. 求外力偶
TA
TA= 9549 19 =1210Nm
150
同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm
TA
Mn
2.截面法求内力( 设正法)
Mn IPFra bibliotek变形
Mnl GI p
强度条件 max
Mn Wp
刚度条件 d Mn 180
dx G I p
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩；
2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 法；
3．掌握扭转切应力的计算方法；
45
第三章 扭转
材料力学 03章1-3扭转
Tn1
TB
1210
Tn 2
x
Tn
-1590
A
B
C
19 TA 9549 1210 Nm 150 同样 TB =2800Nm, TC =1590Nm
Tn
-2800
x
-1590
接下来该讨论圆轴扭转时的应力问题了！
关于应力的三个问题：
存在什么应力 应力如何分布 应力如何计算 TK 先研究一个比较简单的问题 TK A
MA A
MD D x
PA 60kW , PB 10kW P C 20kW , P D 30kW
试画轴的扭矩图。
1面 MB
3面
T3
MD D x
解：求外力偶矩
B MB B
P 由M 9549 解得： n M A 1910 N m M B 318 N m M C 637 N m M D 955 N m
Me
Pk t Pk Pk M t
Me
e
Me
n r / min(转 / 分）；
rad /（弧度 9549 Pk 2 n n M e 9549 60 n
2. 扭矩
横截面上的内力偶矩
确定方法：截面法 符号：T 由静平衡确定其大小 正负规定：右手法则
TK
y
dy o dx
a
,
b
c x
TK
（ dy)
与
( dx)
,
z
d
组成一力偶，由力偶平衡得：
( dy)dx ( dx)dy 0
,
,
剪应力互等定理 ：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成 对出现，且大小相等，方向或指向、或背离两面的交线。
TB
1210
Tn 2
x
Tn
-1590
A
B
C
19 TA 9549 1210 Nm 150 同样 TB =2800Nm, TC =1590Nm
Tn
-2800
x
-1590
接下来该讨论圆轴扭转时的应力问题了！
关于应力的三个问题：
存在什么应力 应力如何分布 应力如何计算 TK 先研究一个比较简单的问题 TK A
MA A
MD D x
PA 60kW , PB 10kW P C 20kW , P D 30kW
试画轴的扭矩图。
1面 MB
3面
T3
MD D x
解：求外力偶矩
B MB B
P 由M 9549 解得： n M A 1910 N m M B 318 N m M C 637 N m M D 955 N m
Me
Pk t Pk Pk M t
Me
e
Me
n r / min(转 / 分）；
rad /（弧度 9549 Pk 2 n n M e 9549 60 n
2. 扭矩
横截面上的内力偶矩
确定方法：截面法 符号：T 由静平衡确定其大小 正负规定：右手法则
TK
y
dy o dx
a
,
b
c x
TK
（ dy)
与
( dx)
,
z
d
组成一力偶，由力偶平衡得：
( dy)dx ( dx)dy 0
,
,
剪应力互等定理 ：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成 对出现，且大小相等，方向或指向、或背离两面的交线。
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
取右段为研究对象：
x
m
x
0, T M n 0
T
x
Mn T
内力偶矩——扭矩 M n。
3、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢 量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。
T
Mn
Mn
T
+
Mn
-
4、内力图（扭矩图）
M
n 2
τ
2 r0 t
τ
p
τ
s
τ
b
r0 l
γ
剪切虎克定律：
在弹性范围内切应力与 切应变成正比关系。
p,
G 剪切虎克定律
G —— 剪切弹性模量 2、三个材料常数E,G, 之间关系
弹性模量E，剪切弹性模量G，泊松比 是表征材料性质的三个常 数，其数值均由实验确定。对于各向同性材料，可以证明这三个常数之
y
'
dy
d x d z
O
'
假设单元体四个侧面上的 剪应力分别为 , , , 。 x x y y 根据静力平衡条件 d yd z F y 0 自动满足
x
z
dx
Fx 0
存在τ'
y
'
dy
d x d z
d yd z
O
M
z
0
'
3、切应力的计算公式：
M
n
A
dA . r0
2 2
2
0
r0 td r0 t 2
M
d
n 2
2 r0 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
l
1、剪切虎克定律
为扭转角
r0 l
即
r0 l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 m——
d / dx－扭转角变化率
2、物理关系
由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内
max P
→
G
G
G
d dx
方向垂直于半径。
3、静力关系： 由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
M
n
A d A G
2
d dx
B
T1 (9.55 10
3
C
A
D
500 300
3
) N m 15.9kN m
150 ) N m 4.78kN m
T2 T3 (9.55 10
300 200 3 T4 (9.55 10 ) N m 6.37kN m 300
二、分别计算各段的扭矩
表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 扭矩图作法：同轴力图。
例1 一传动轴如图，转速 n = 300r/min； 主动轮输入的功率 P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。试作轴的扭矩图。 解：一、计算作用
在各轮上的外力偶矩
T2 T3 T1 T4
M n ( x) M A mx
M n ( x) m(l x)
3、绘扭矩图
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（Mn- x曲线）－扭矩图。
§3-3 薄壁圆管的扭转 切应力的重要性质
一、薄壁圆管横截面上的应力 (壁厚
t 1 r 10 0
, r0为平均半径）
1、实验观察： 2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不 变，各圆周线只是绕轴线转动了 一个角度。 纵向线——倾斜了同一个角度， 小方格变成了平行四边形。
m
60 N k 2n
9.55
Nk n
(kN m)
二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
1、扭转杆件的内力 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号 T 表示。扭矩大小可利用截面法来确定。 2、截面法求内力 T T 取左段为研究对象：
m
x
0,
Mn T 0
Mn T
T
Mn Mn
A dA
2
Mn
τρ
dA
令 I p A dA
d dx T GI p
M
n
GI
d
p
ρ
dx
扭转变形计算式
d G 代入物理关系式 dx
得：
Mn Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
二、圆轴中τmax的确定
横截面上 — max
M IP
n
M
nmax
[ ]
3）确定外荷载: M nmax≤ W P [ ] m
例 已知 Mn=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条件设 t 计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
Mn πd
3
Mn π 16
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4 、汽车传动轴
传动轴
5、拧螺母的不同方式
二、扭转的概念
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶， 且力偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
Me
mA
阻抗力偶
主动力偶
me
发生扭转变形的杆——轴。
圆周线——形状、大小、间距不 变，各圆周线只是绕轴线转动了 一个角度。
纵向线——倾斜了同一个角度 ，小方格变成了平行四边形。
'
结论：
横截面上
0, 0
0 0
Mn
t
D
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D , 可认为切应力沿壁厚均
匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
D’
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
tg
DD ' dx Rd dx
楔形体扭转变形
tg
dd dx
d
dx
tg
DD ' dx
Rd dx
tg
dd dx
d
dx
d dx
第三章
§3-1 扭转的概念
§3-2 扭矩和扭矩图
扭 转
外力偶矩的计算
§3-3 薄壁圆管的扭转 切应力的重要性质
§3-4 圆轴扭转时的应力和强度条件
§3-5 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3-6 圆轴扭转破坏现象分析 §3-7 矩形截面杆的扭转
§3-1
扭转的概念
一、扭转的工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
M n max Wp
变截面圆轴: max
M W p
max
2、强度条件应用： 1）校核强度: max 2）设计截面尺寸:
M
n max
WP
≤
WP D 3 实心 , 16 3 D 4 (1 ) 空心 . 16
WP≥
1、实心圆截面：
Ip
d
dA
2 A
2 0
(2 π d )
2
4
d
O
2 π(
4
4
d /2
)
0
πd 32
Wp
Ip d /2
πd 16
3
d A 2π d
2、空心圆截面：
D
Ip
2 d 2
2 π
π
3
d
d
4
d D
32
D
4
4
D d
O
πD 32
x
d y d z d x d x d z d y
得
z
dx
切应力互等定理：
在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并 且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。
§3-4 圆轴扭转时的应力和强度条件
一、圆轴扭转时横截面上的应力
1、几何关系：
由实验找出变形规律 →应变的变化规律 1）、实验观察变形规律： 圆周线——形状、大小、间 距不变，各圆周线只是绕轴 线转动了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角 度，小方格变成了平行四边 形。
2）、扭转平面假设： 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小 以及间距不变，半径仍为直线。 3）定性分析横截面上的应力
（1） 0 0
（2） 0 0 因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力 大小相等，并且方向垂直于其半径方向。
4）剪应变的变化规律：
TA A
Ⅰ
TB
Ⅱ
TC
B
22
C
解： 1、求内力，作出轴的扭矩图
Mn图（kN· m）
14
2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度
22
Mn图（kN· m）
AB段
1 , max
M
n1
22 10 N mm
6
14