数形结合思想在高中数学的应用

数形结合思想在高中数学的应用
青冈一中 李钊
“数形结合”思想是研究高中数学问题的重要思想方法，在高中学数学中有着广泛的应用，恰当地运用数形结合思想可以使我们在解决数学问题的过程中化难为易，从而将复杂问题变为简单问题，抽象问题变为具体问题，找到解决问题的金钥匙。

数形结合作为一种重要的数学思想，更是一种典型的数学解题方法。

它是将知识转化为能力的手段和桥梁，随着新课改的不断进行，信息技术得到广泛的应用，课堂上多媒体应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，是将抽象的数学语言和图象结合起来，是代数和几何有机的互相转化。

本文主要从以下五个方面进行研究： 一、 运用数学结合思想解决函数值域问题 例1.求函数53-+-=x x y 值域.
含有两个绝对值的函数问题是高中数学的一个重要内容，主要体现在高考选修4-4上，研究值域或最值得问题，我们可以利用数形结合的思想，通过函数的图象非常直观地体现函数的最值问题。

这样使问题得到更好的解决.引导学生如何去绝对值符号，把函数写成分段函数的形式，让学生自己动手画函数的图象。

首先将函数进行化简，使其变成分段函数的形式
⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤<≤+-=5,853,23
,82x x x x x y
在做很多题目时，当我们把图像画出来，从图像中非常直观地就可以看出本题的值域了。

利用数和形之间的转化它具有直观性，数与形的完美结合，往往起到事半功倍的效果。

二、运用数形结合思想解决对数不等式问题 例2. 使不等式1)(log 2+>-x x 成立的x 的取值范围。

分析：对于此不等式，不是我们所研究的不等式的形式，运用我们学过的方法根本无法解出来。

如果将它与函数联系起来，设1log )()(2--=-x x f x ，
如果不利用计算机根本无法画出它的图像，所以我们想到将其转化为两个函数的图像的交点的问题。

如右图，在同一坐标系中，作出函数
)(log 2x y -=和1+=x y 的图像，其中)(log 2x y -=
与x y 2log =的图像关于y 轴对称。

由图像知，当
1-<x 时，函数)(log 2x y -= 的图像在直线1+=x y
的上方，故使1)(log 2+>-x x 成立的的x 取值范围是)1,(--∞。

三、数形结合思想在方程根的分布方面的应用
例3. 已知二次方程)0,(01222≠∈=-+-a R a a x ax ，有两个正根，求a 的取值范围。

分析： 设)0(0122)(2≠=-+-=a a x ax x f ，由题设可知，二次函数)(x f 的图象与x 轴的交点落在x 轴的正半轴上。

如图：
所以有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-=≥---=∆>0201)0(0)1(4)22(02a a f a a a 或⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧><-=≥---=∆<0201)0(0)1(4)22(02a
a f a a a ，
解不等式组可得a 的取值范围是21≤<a 。

变式训练：已知函数kx x g x x f =+-=)(,13)(，若方程)()(x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
)31,0.(A )1,3
1
.(B )3,1.(C ),3.(+∞D
分析：将)(x f 写成分段函数的形式，⎩⎨
⎧<-≥-=3
,43
,2)(x x x x x f 如图，作出)
(x f y =的图象，其中)1,3(A ，则3
1
=oA k 关键是准确地作出函数的图象
要使方程)()(x g x f =有两个不相等的实根，则函数)(x f 与)(x g 的图象有两个不同的交点，由图可知，13
1
<<k .
当方程与基本初等函数有关时，可以通过研究函数图象来研究方程的根，方程)(x f =0的根就是函数)(x f 的图象与x 轴的交点的横坐标，方程)()(x g x f =的根就是函数)(x f 与)(x g 图象交点的横坐标。

四、数形结合思想在解三角不等式方面的应用
当不等式问题不能用代数的方法解决时，如果对应的函数比较容易作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的交点问题，进而利用数形结合求解.
例4．解不等式[]π2,0,sin cos ∈>x x x
分析:
函数x y x y sin ,cos 21==. 在[]π2,0得到四个不同的交点,横坐标分别为:4
,4,4
,
4,而当x 在区间
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππππ2,47,45,43,4,0内时,x y cos 1=的图像都在x y sin 2=的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：
⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧<<<<<<πππππ247454340|x x x x 或或． 变式训练.解不等式1cos )13(cos sin )13(sin 222<+++-x x x x ． 分析:原不等式进行适当的变形后可得到： 0cos 3cos sin )13(sin 22<++-x x x x
x
又∵0cos 2≠x ,
∴不等式两边同时除以x 2cos 可得：
03tan )13(tan 2<++-x x ． ∴3tan 1<<x
下面关键分析如何求3tan 1<<x 的解集．我们可以联想正切函数
x y tan =的图像,在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2ππ
内作出x y tan =的函数 图像，再作出两平行
于x 轴的直线1=y 和
3=y 与x y tan =的图
像相交于点21,P P ．
21,P P 两点对应的横坐标分别 为3
,4
21π
π=
=x x ．
又因为正切函数x y tan =的周期为π, 故可求得所求不等式的解集为:⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+
<<+
Z k k x k x ,34
|π
ππ
π 五、数形结合思想在“距离”问题方面的应用
例5．设2≤a ，0>b ，试求222)9
2()(b
a b a --+-的最小值。

分析：观察可知)2,(2a a -是圆222=+y x 上的 一点，)9,(b
b 是等轴双曲线9=xy 222)9
2()(b a b a --+-)2,(2a a -与)9
,(b
b 间距离的平方.知：直线x y =与两曲线交点()1,1
A ，)3,3(
B A （1,1）
B （3，3）
=1
3=
最短，因此最小值为82
AB 。

参考文献：
[1]郭会利. 浅析高中数学常用的几种数学思想. 山西煤炭管理干部学院学报,2009,2.
[2]陈波. 中学数学中数形结合思想的应用. 陕西玉溪师范学报，2001.
[3]许更生. 论数形结合思想在中学数学中的应用.数学学习与研究，2011.。