初三几何旋转变换
初中数学九年级旋转知识点
初中数学九年级旋转知识点在初中数学九年级，旋转是一个重要的几何变换方法。
通过旋转，我们可以改变图形的位置和方向，从而帮助我们解决一些几何问题。
本文将介绍九年级数学中与旋转相关的知识点，包括旋转的定义、旋转的性质以及旋转的应用。
一、旋转的定义旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，保持图形内部的点与固定点的距离保持不变。
旋转的固定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。
九年级数学中常用的旋转角度有90度、180度和270度。
二、旋转的性质1. 旋转保持图形面积不变：无论如何旋转一个图形，它的面积都保持不变。
2. 旋转保持图形周长不变：无论如何旋转一个图形，它的周长也保持不变。
3. 旋转保持图形对称性不变：如果一个图形是对称的，那么它的旋转图形也将保持对称性。
三、旋转的应用1. 确定旋转后的图形：通过给出旋转中心和旋转角度，我们可以确定旋转后的图形。
例如，给出一个三角形ABC，旋转中心为点O，旋转90度，我们可以通过连接OA、OB和OC来确定旋转后的图形。
2. 解决几何问题：旋转常常被用于解决一些几何问题。
例如，在证明两个图形相似时，可以通过旋转一个图形使其与另一个图形重合，从而得到相似的证明。
3. 观察图形性质：通过观察旋转后的图形，我们可以揭示一些图形的性质。
例如，通过旋转正方形，可以发现旋转后的图形仍然是正方形，这说明正方形具有旋转对称性。
四、注意事项在进行旋转时，需要注意以下几点：1. 旋转角度是逆时针方向旋转：九年级数学中的旋转一般都是逆时针方向旋转，所以在进行旋转时需要根据旋转角度确定旋转方向。
2. 旋转中心的选择：选择旋转中心时，需要注意选择一个能够旋转整个图形的点，使得旋转后的图形可以被完全覆盖。
3. 使用适当的工具：在实际操作中，可以使用直尺、量角器等几何工具来进行旋转操作，以确保旋转的准确性。
总结：初中数学九年级的旋转知识点是我们在几何学习中重要的一部分。
通过学习旋转的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和解决与旋转相关的问题。
中考数学专题复习旋转类几何变换
旋转类几何变化一、几何变换——旋转旋转中的基本图形利用旋转思想构造辅助线⎧⎨⎩（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化二、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三 、 旋转变换前后具有以下性质：（1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．考点一 旋转与最短路程☞考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。
【例1】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ∆∆≌⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．ENMDCB A【例2】 阅读下列材料对于任意的ABC ∆，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。
①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时，点P 既为费马点 解决问题：⑴如图，ABC ∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ∆、ACE ∆，连接CD 、BE 交于点P ，证明：点P 为ABC ∆的费马点。
几何形的旋转和对称变换
几何形的旋转和对称变换几何形的旋转和对称变换是数学中常见的概念和技巧。
通过旋转和对称变换，我们可以改变几何形的位置和形状，展现出不同的视觉效果和特性。
本文将介绍旋转和对称变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、旋转变换旋转变换是指将几何形绕某个点或某条直线旋转一定角度，从而改变形状和位置。
1. 定义设点A(x, y)绕点O(a, b)逆时针旋转θ度，则旋转后点A的坐标为A’(x', y')。
根据旋转变换的定义，有以下公式：x' = a + (x-a)cosθ - (y-b)sinθy' = b + (x-a)sinθ + (y-b)cosθ2. 性质- 旋转变换不改变几何形的大小。
- 旋转变换保持直线上的点的相对位置关系。
- 旋转角度可以是正数或负数，正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
3. 应用旋转变换在计算机图形学、机器人学和物理学等领域有广泛的应用。
在设计制图中，旋转变换可以用于生成各种艺术效果、模拟物体的运动轨迹等。
在机器人学中，旋转变换可以应用于机器人的路径规划和姿态控制。
在物理学中，旋转变换可以用于分析刚体的运动和转动。
二、对称变换对称变换是指将几何形围绕着某个轴线或中心对称，从而保持形状不变或形状镜像对称。
1. 定义- 轴对称：如果一个几何形上的任意一点到轴的距离和该点的镜像到轴的距离相等，那么这个几何形关于该轴对称。
常见的轴对称有水平轴对称、垂直轴对称和斜对称。
- 中心对称：如果一个几何形上的任意一点关于某个点对称后仍然位于几何形上，那么这个几何形关于该点中心对称。
中心对称即是以某个点为中心，投影方向相反的对称。
2. 性质- 对称变换保持几何形的面积和周长不变。
- 轴对称保持几何形的形状相同，而中心对称保持几何形的形状镜像对称。
- 轴对称和中心对称可以叠加使用，得到更复杂的变换效果。
3. 应用对称变换在几何学、物理学和图像处理等领域具有重要的应用。
初中几何旋转知识点总结
初中几何旋转知识点总结一、基本概念1. 旋转的基本概念旋转是一种平移，比如将一张纸围绕桌子中心旋转，不移动位置但是角度改变。
可以定义一个点O为旋转中心，角度为θ，则旋转变换R(O,θ)将点P绕点O旋转θ度。
2. 旋转的表示方法通常用旋转中心和旋转的角度来表示一个旋转变换，如R(O,θ)表示以点O为旋转中心，按照角度θ进行旋转变换。
3. 旋转的方向根据旋转的角度正负可以表示旋转的方向，当角度为正时，表示顺时针旋转；当角度为负时，表示逆时针旋转。
二、旋转的性质1. 旋转中心的不变性对于任意一个固定的点P，在平面上做旋转变换后，点P相对于旋转中心O的距离不变，即OP'=OP。
2. 旋转中心的互易性两点围绕各自为中心的旋转之后，它们的连接线也围绕旋转后的两个点为中心进行旋转。
3. 旋转的对称性对于一个平面图形，绕着一个点做旋转变换之后，原来的平面图形与旋转后的图形具有对称性。
4. 旋转的组合性对于两个旋转变换R(O1,θ1)和R(O2,θ2)，它们的组合旋转变换是R(O1,θ1) ◦R(O2,θ2)=R(O1O2,θ1+θ2)，即先以O2为中心旋转θ2度，再以O1为中心旋转θ1度，等效于以点O1O2为中心旋转θ1+θ2度。
三、旋转的定理1. 旋转角度的性质（1）相等角度的旋转等效于一次旋转；（2）逆时针旋转θ度等效于顺时针旋转360-θ度；（3）旋转360度等效于不旋转。
2. 旋转的运动规律旋转的运动规律由旋转角度的规律和旋转方向的规律组成，它描述了一个点或者平面图形在旋转中的变化规律。
3. 旋转的应用（1）旋转的应用：如地球自转产生了昼夜交替、太阳绕地球公转产生了四季交替等；（2）旋转对称性：通过旋转对称性，可以简化问题的解决和推理过程。
四、常见问题解析1. 旋转的基本操作（1）绕平面上任一点旋转θ度的变换，可以用旋转矩阵R来表示，即对任意点(A, B)，有(A', B') = R(A, B)。
初中数学九年级旋转知识点总结
旋转是数学中的一个重要概念，初中数学九年级的旋转知识点主要涉及到平面上的图形的旋转。
下面是对旋转知识点的详细总结。
一、旋转的基本概念旋转是指将一个平面上的图形绕着一个圆心旋转一定角度后得到的新图形。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
二、旋转的基本要素1.旋转中心：旋转时固定不动的点，通常用O表示。
2.旋转角度：图形绕旋转中心旋转的角度，通常用θ表示。
3.旋转方向：图形绕旋转中心旋转的方向，可为顺时针或逆时针。
三、旋转的基本性质1.旋转前后的对应关系：旋转前后，图形上的各个点在对应的位置。
2.旋转角度的正负性：顺时针旋转时，旋转角度为负值；逆时针旋转时，旋转角度为正值。
3.旋转的复合性：对一个图形连续旋转两次，相当于对这个图形进行一次旋转，旋转角度为两次旋转角度的和。
四、旋转的具体操作1.给定旋转中心和旋转角度，旋转一个点：将给定点与旋转中心连接，然后以旋转角度为自由度，将连接线旋转相应角度，确定旋转点的新位置。
2.给定旋转中心和旋转角度，旋转一条线段：将给定线段上的两个端点分别旋转，得到旋转线段的两个端点，然后连接这两个点得到旋转线段。
3.给定旋转中心和旋转角度，旋转一个多边形：将多边形上的各个顶点依次旋转，得到旋转多边形的各个顶点，然后连接这些点得到旋转多边形。
五、旋转的性质与判定1.旋转过程中的不变性：旋转前后，图形的形状、大小和角度不变。
2.图形的旋转对称性：图形相对于旋转中心旋转一定角度后，与原图形完全重合。
3.旋转角度的关系：相交的两个线段，经过旋转后的线段之间的夹角等于它们旋转前的夹角。
4.旋转中心判定：判断一个点关于一个给定点旋转一定角度后的位置。
六、旋转的运用1.添加旋转对称部分：先将一个图形旋转一定角度，然后与旋转前的图形拼接，可以得到一个具有旋转对称性的图形。
2.图形的旋转判定：给定一个图形，根据旋转的要素和性质，判断该图形能否通过旋转得到另一个图形。
3.旋转变换的应用：在解决实际问题时，可以运用旋转变换来简化问题的处理过程，比如地球绕太阳的自转等。
九年级旋转知识点归纳
九年级旋转知识点归纳在九年级几何学中，旋转是一个重要的知识点。
旋转可以改变一个图形的方向或位置，使其围绕特定点或轴旋转。
本文将对九年级旋转知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、二维平面旋转1. 旋转中心和旋转角度：在旋转过程中，首先要确定旋转中心和旋转角度。
旋转中心是一个点，图形围绕这个点进行旋转。
旋转角度表示旋转过程中每次旋转所转过的角度，可以用角度度数或弧度来表示。
2. 顺时针旋转和逆时针旋转：顺时针旋转是指图形按逆时针方向旋转，逆时针旋转则相反。
根据题目给出的要求，确定旋转的方向。
3. 旋转的图像：通过旋转变换，一个图形可以得到旋转的图像。
旋转过程中，图形上的每个点都按照旋转中心和旋转角度进行变换，得到新的位置。
4. 旋转的性质：旋转变换有一些性质需要注意。
首先，旋转不改变图形的面积和周长。
其次，旋转可以改变图形的方向和位置，但不改变图形内部的角度大小。
最后，旋转可以多次进行，形成一系列旋转的图像。
二、三维空间旋转1. 旋转轴和旋转角度：在三维空间中，图形可以绕一条直线旋转，这条直线被称为旋转轴。
旋转轴可以是空间中的任意一条直线，需要根据题目给出的条件来确定。
旋转角度表示围绕旋转轴旋转的角度，同样可以用角度度数或弧度来表示。
2. 顺时针旋转和逆时针旋转：三维空间中的旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转，同样需要根据题目确定旋转的方向。
3. 旋转的图像：三维空间中的图像旋转与二维平面类似，每个点按照旋转轴和旋转角度进行变换，得到新的位置。
通过多次旋转，可以形成一系列旋转的图像，展示出三维图形在空间中旋转的情况。
4. 旋转的性质：三维空间的旋转同样具有一些性质。
旋转过程中，图形的体积不变，角度也不变。
旋转可以使图形产生翻转、颠倒等视觉效果，但不改变图形本身的特性。
三、旋转的应用1. 几何图形的旋转：在实际生活中，旋转变换被广泛应用于各种几何图形的设计和制作中。
例如，利用旋转可以制作各种对称图形，使图案更加美观和有趣。
几何形的旋转和切变变换
几何形的旋转和切变变换几何形的旋转和切变变换是数学中常见的几何操作，它们在许多领域中都有广泛的应用，包括计算机图形学、物理学、工程学等。
在本文中，我们将探讨旋转和切变的基本概念、公式以及其在实际应用中的意义。
旋转变换是将一个几何形体绕着某个中心点旋转一定角度的操作。
我们常用极坐标系来描述旋转变换，其中原点代表旋转中心，角度表示旋转的程度。
假设我们有一个点P(x,y)，要将它绕着中心点O旋转θ角度后的新坐标为P'(x',y')，那么有以下公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这些公式通过三角函数来描述坐标的变化。
通过改变θ的值，我们可以实现对几何形体的不同旋转效果。
切变变换是将一个几何形体沿着某个方向进行平移的操作。
它可以分为水平切变和垂直切变两种。
水平切变是将几何形体的每个点在水平方向上进行平移，而垂直切变则是在垂直方向上进行平移。
具体的切变公式如下：水平切变：x' = x + shx * yy' = y垂直切变：x' = xy' = y + shy * x其中shx和shy分别表示水平和垂直方向的切变系数。
通过改变切变系数的大小，我们可以实现对几何形体在平移方向上的不同变换效果。
旋转和切变变换在计算机图形学中有着广泛的应用。
比如，在计算机游戏中，我们经常需要对角色的模型进行旋转和切变，以实现动画效果。
同时，在CAD软件中，旋转和切变变换也被用于设计和编辑图形对象，使其具有更好的可视化效果。
除了计算机图形学，旋转和切变变换还在物理学和工程学等领域中发挥着重要作用。
在物理学中，我们可以通过旋转和切变变换来描述刚体在空间中的运动轨迹，从而研究其力学行为。
在工程学中，旋转和切变变换可以应用于材料力学、流体力学等领域，来研究材料的变形和流体的运动。
综上所述，几何形的旋转和切变变换在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
几何形的旋转了解形的旋转变换及其性质
几何形的旋转了解形的旋转变换及其性质几何形的旋转：了解形的旋转变换及其性质几何学是一门研究形状、大小和相对位置关系的学科。
其中，形的旋转变换是一种常见的变换方式，通过对几何形进行旋转来达到不同的目的。
本文将介绍形的旋转变换以及它的性质。
1. 形的旋转变换概述形的旋转变换是指将一个几何形绕着一个点作圆周运动，保持其大小、形状和方向不变。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种情况。
旋转中心可以是任意点，被旋转的几何形叫做原形，旋转后的几何形称为像形。
2. 旋转的基本性质（1）保角性质：旋转变换不改变角的大小。
（2）保持距离性质：旋转变换保持原始形与新形之间的线段长度不变。
（3）保直线性质：旋转变换保持原始形与新形之间的直线仍然是直线。
3. 旋转的角度与方向几何形的旋转可以通过角度来衡量。
顺时针旋转的角度为正，逆时针旋转的角度为负。
旋转角度可以是任意实数，也可以是特定的角度如90°、180°等。
不同的旋转角度会带来不同的效果和形状变化。
4. 旋转的中心旋转的中心可以是形状自身的一个点，也可以是外部指定的一点。
对于正多边形，旋转中心通常是形状的中心点，而对于任意多边形，则可以选择不同的旋转中心，从而得到不同的旋转变换。
5. 旋转的应用旋转变换在现实生活中有许多应用。
比如，地球绕着自转轴旋转，产生白昼和黑夜交替；风车的叶片沿着中心旋转，产生动力；艺术家可以运用旋转变换创作出绚丽多彩的图案等等。
6. 旋转的组合变换旋转变换可以与其他几何变换如平移、缩放和镜像等进行组合，得到更加复杂的变换效果。
通过适当选择变换的顺序和参数，可以实现多样化的几何形变。
7. 旋转的数学表示旋转变换可以通过矩阵乘法来表示。
对于二维空间中以原点为中心旋转的变换，可以使用如下的矩阵表示：[cosθ -sinθ][sinθ cosθ]其中θ表示旋转的角度，cosθ和sinθ分别为旋转角度θ的余弦和正弦值。
通过矩阵乘法，可以将原始形的坐标与旋转矩阵相乘，得到旋转后形的坐标。
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初三几何——旋转图形
一．解答题（共10小题）
1．（2013•潍坊）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．
2．（2013•福州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是_________个单位长度；
△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是_________；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是_________度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
3．（2013•毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心_________点，按顺时针方向旋转
_________度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
4．（2013•北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．
5．（2012•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．
（1）求证：△ABC≌△BDE；
（2）△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）．
6．（2012•北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．
7．（2010•镇江）如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
8．（2010•福州）（1）如图1，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：△ABC≌△DEF．
（2）如图2，在矩形OABC中，点B的坐标为（﹣2，3）．画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA1B1C1，并直接写出的坐标A1、B1、C1的坐标．
9．（2010•大庆）在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．
活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF 是正方形，求阴影部分的面积．
小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：_________．
活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A 作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长．
小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：_________．AE的长是_________．活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．
10．（2009•株洲）如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
（1）线段OA1的长是_________，∠AOB1的度数是_________；
（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）求四边形OAA1B1的面积．。