中学数学解题研究(数形结合思想)[1]

江西师范大学12届学士学位毕业论文 题目：数形结合的思想方

【摘要】在中学数学中有很多数学方法，其中数形结合思想是中学数学中一种

重要方法，它将代数与几何相结合，利用数形之间相互转换，有利于分析题中的数量之间关系，丰富想象，化繁为简，化难为易，一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论。提高分析和解题的能力从而达到简易的解题方法，最终方便我们的解题。我将从以下几个方面来探讨数形结合思想在中学数学中的应用：（1）在集合中的应用；（2）在解方程中的应用；（3）在解不等式中的应用；（4）在解析几何上的应用；（5）在解决最值、值域问题上的应用。通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。

【关键词】中学数学 数形结合 应用 思想

目录 江西师范大学12届学士学位毕业论文 1.引言„„„„„„„„„„„„„1

2.数形结合思想的概念„„„„„„„„1 3.数形结合思想在中学数学中的应用„„„„„„„2 3.1数形结合思想在集合中的应用…………….2 3.2数形结合思想在方程的应用…………………3 3.3数形结合思想在不等式中的应用………………4 3.4数形结合思想解决最值、值域问题…………….6 3.5数形结合思想在解析几何中的应用…………….8 4.培养学生数形结合思想的一些教学措施„„„„„„9 5.小结…………………………..10 6.参考文献……………………..11中学数学解题研究期中论文

1 1.引言 在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。 一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的。而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系。例如函数图象与函数表达式之间的关系。 对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩。那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？那么我们平时又该如何培养自己的数形结合思想呢？

2.数形结合思想的概念 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一中学数学解题研究期中论文 2 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。

3.数形结合思想在中学数学中的应用

3.1数形结合思想在集合中的应用 (a)利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。 例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。（选自《王后雄高考标准诠释》） 解：我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。用n表示集合的元素，则有：

()()()()()()()nAnBnCnABnACnBCnABC 807739437593371267213965 即：参加竞赛总人数为965人. (b)利用数轴解决集合的有关运算

例2．已知集合13Axx,3Bxaxa

⑴若AB，求a的范围。 ⑵若BA，求a的范围。

B(理) A（数）

C(化) 中学数学解题研究期中论文

3 分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使AB，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有： 331aa，这时a的值不可能存在．要使BA，

当0a时集合A应该覆盖集合B，应有0331aaa成立，即01a。

当0a时，B，显然BA成立。故BA时的取值范围为：1a

在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系 ，本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与方法是画出图形，形象的表示出各数量关系间的联系，从而求解。在解例题二这一类题目时要先化简集合，确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解。

3.2数形结合思想在解方程中的应用 在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来。

例3．设方程211xk，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况。 解：我们可把这个问题转化为确定函数21211yxyk与图像交点个数

的情况，因函数1yk始终表示平行于轴的所有直线（无论k取何值），函数211yx可以先转换成从函数211yx，然后根据二次函数图象性质画出211yx图像，进一步画出211yx的图象，从而可以直观看出：

a -1 3 3a

a -1 3 3a 中学数学解题研究期中论文

4 （1）当1k时，12yy与没有交点，这时原方程无解； （2）当1k时，12yy与有两个交点，原方程有两个不同的解，分别是11xx与； （3）当10k时，12yy与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个； （4）当0k时，12yy与有三个交点，原方程不同解的个数有三个； （5）当0k时，12yy与有两个交点，原方程不同解的个数有三个。 通过图像我们可以清楚的看出k在什么范围内两个函数它们交点的个数，从而大大的简化了我们做题，提高了做题的效率。在方程意义下去研究二次方程且带有字母代数的，往往非常棘手，但如果先把它转化成二次函数，并画出二次函数图象，在运用图象的性质去研究，问题就迎刃而解了，本题就是很好的佐证，将二次函数图象与一次函数图象相结合，再根据k的范围就能很快得出交点个数，即方程解的个数。所以在今后解类似题目时可以将复杂的代数转化成函数，再画出图像。

3.3数形结合思想在解不等式中的应用

解不等式,就是要对不等式进行同解变形,使之变为与原不等式同解的最简不等式.不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力，发展学生思维提出了教高的教学要求.结合图形研究,可以避免复杂的讨论,化繁为简.

例4解不等式125292xxx

解:移项得 0125292xxx， 通分得0252762xxx

-1 -1 0 1

x

1