递归算法与递归程序#
递归和尾递归 (图解+实例)
1 如果 n=0,n=1f(n)=nf(n) 如果 n>1图1：以递归的方式计算4的阶乘上图（1）展示了利用递归计算4！的过程。
它也说明了递归过程中的两个基本阶段：递推和回归。
在递推阶段，每一个递归调用通过进一步调用自己来记住这次递归过程。
当其中有调用满足终止条件时，递推结束。
比如，在计算n!时，终止条件是当n=1和n=0，此时函数只需简单的返回1即可。
每一个递归函数都必须拥有至少一个终止条件；否则递推阶段永远不会结束了。
一旦递推阶段结束，处理过程就进入回归阶段，在这之前的函数调用以逆序的方式回归，直到最初调用的函数为止，此时递归过程结束。
以递归的方式计算n的阶乘的函数实现：C函数fact的工作方式如下：它接受一个整数n作为参数，如果n小于0，该函数直接返回0，这代表一个错误。
如果n等于0或1，该函数返回1，这是因为0!和1!都等于1，以上是终止递归的条件。
否则，函数返回n-1的阶乘的n倍。
而n-1的阶乘又会以递归的方式再次调用fact来计算，如此继续。
代码实例（1）：fact.c1/*fact.c*/2#include "fact.h"3int fact(int n){4if (n<0)5return0;6else if(n==0)7return1;8else if(n==1)9return1;10else11return n*f(n-1);12}为理解递归究竟是如何工作的，有必要先看看C语言中函数的执行方式。
我们先来看看C程序在内存中的组织方式（见图2-a）。
基本上，一个可执行程序由4个区域组成：代码段、静态数据区、堆与栈。
代码段包含程序运行时所执行的机器指令。
静态数据区包含在程序生命周期内一直持久的数据，比如全局变量和静态局部变量。
堆包含程序运行时动态分配的存储空间，比如malloc分配的内存。
栈包含函数调用的信息。
当C中调用了一个函数时，栈中会分配一块空间来保存与这个调用相关的信息。
算法总结之递推与递归
算法总结之递推与递归递推算法递归算法⼤致包括两⽅⾯的内容：1）递归起点； 2）递归关系递推起点递归起点⼀般由题⽬或者实际情况确定，不由递归关系推出。
如果⽆法确定递归起点，那么递归算法就⽆法实现。
可见，递归起点是递归算法中的重要⼀笔。
递推关系递归关系是递归算法的核⼼。
常见的递归关系有以下⼏项：1）⼀阶递推；2）多阶递推；3）间接递推；4）逆向递推；5）多维递推。
下⾯通过栗⼦来详细介绍⼀下上述类别的递推关系。
1. ⼀阶递推在计算f(i)时，只⽤到前⾯项中的⼀项，如等差数列。
公差为3的等差数列，其递推关系为：f(i)=f(i-1)+3eg. 平⾯上10条直线最多能把平⾯分成⼏部分？分析：以直线数⽬为递推变量，假定i条直线把平⾯最多分成f(i)部分，则f(i-1)表⽰i-1条直线把平⾯分成的最多部分。
在i-1条直线的平⾯上增加直线i，易得i与平⾯上已经存在了的i-1条直线最多各有⼀个交点，即直线i最多被分成i段，⽽这i段将会依次将平⾯⼀分为⼆，即直线i将最多使平⾯多增加i部分。
所以，递推关系可表⽰为：f(i)=f(i-1)+i易得当0条直线时，平⾯为1部分。
所以f(0)=1为递推起点。
上述分析可⽤下⾯代码表⽰（c++）：#define MAX 100int f[MAX] //存放f（i）int lines(int n){//输⼊n为直线数⽬//输出最多部分数int i;f(0)=1;for(i=1;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+3;}return f[i];}2. 多阶递推在计算f(i)时，要⽤到前⾯计算过的多项，如Fibonacci数列。
eg.求Fibonacci的第10项。
分析：总所周知，Fibonacci数列中的第n项等于第n-1项加上n-2项。
所以递推关系为f(i)=f(i-1)+f(i-2);且f[0]=f[1]=1。
C++代码如下：#define MAX 100int f[MAX];int fib(int n){//输⼊n为项数//输出第n个fib数int i;f[0]=0;f[1]=1;for(i=2;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+f[i-2];}return f[n]}3. 间接递推在计算f[i]时需要中间量，⽽计算中间量要⽤到之前计算过的项。
数据结构与算法分析论文(递归的讨论)
数据结构论文——递归算法的讨论所谓递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。
然后递归调用函数（或过程）来表示问题的解。
一个过程(或函数)直接或间接调用自己本身,这种过程(或函数)叫递归过程(或函数)。
递归过程一般通过函数或子过程来实现。
递归方法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。
递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。
在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
递归算法解决问题的特点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。
(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。
(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。
递归次数过多容易造成栈溢出等。
所以一般不提倡用递归算法设计程序。
下面就让我们结合例子详细讨论一下递归算法。
一、递归算法的原理递归算法简单的说就是在函数中调用函数自身，不断调用，直到满足函数得出计算结果(某个条件)。
因为其需要不断循环的调用自身，所以称为递归调用。
递归的原理,其实就是一个栈(stack), 比如求5的阶乘,要知道5的阶乘,就要知道4的阶乘,4又要是到3的,以此类推,所以递归式就先把5的阶乘表示入栈, 在把4的入栈,直到最后一个,之后呢在从1开始出栈, 看起来很麻烦,确实很麻烦,他的好处就是写起代码来,十分的快,而且代码简洁,其他就没什么好处了,运行效率出奇的慢。
还有一个十分形象的例子：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事……如此循环往复到最终的要求。
递归分为2种，直接递归和间接递归。
直接递归，比如方法A内部调用方法A自身。
间接递归，比如方法A内部调用方法B，方法B内部调用方法C，方法C 内部调用方法A。
C语言常用算法程序汇总
C语言常用算法程序汇总C语言是一门广泛应用于计算机编程的语言，具有较高的效率和灵活性。
在C语言中，常见的算法程序包括排序算法、查找算法、递归算法等等。
以下是一些常用的C语言算法程序的汇总：1.排序算法：-冒泡排序：通过多次迭代比较相邻元素并交换位置，将最大的元素逐渐移动到正确的位置。
-插入排序：将待排序的元素与已排序的部分依次比较并插入到正确的位置。
-选择排序：每次从待排序的元素中选择最小的元素并与已排序的部分交换位置。
-快速排序：通过选择一个基准元素，将数组划分为两个子数组进行递归排序。
2.查找算法：-顺序查找：逐个比较数组中的元素，直到找到目标元素或到数组末尾。
-二分查找：通过比较目标元素与数组中间元素的大小，逐步缩小范围，直到找到目标元素。
-哈希查找：通过散列函数将目标元素映射到哈希表的索引位置进行查找。
3.递归算法：-阶乘：通过递归调用自身计算一个正整数的阶乘。
-斐波那契数列：通过递归调用自身计算斐波那契数列的第n个数。
-二叉树遍历：通过递归调用自身遍历二叉树的各个节点。
4.图算法：- 最短路径算法：如Dijkstra算法和Floyd算法，用于计算图中两个节点之间的最短路径。
-拓扑排序：通过对有向无环图进行排序，使得所有的边从排在前面的节点指向排在后面的节点。
- 最小生成树：如Prim算法和Kruskal算法，用于找到图中连接所有节点的最小子树。
5.动态规划：-最长公共子序列：通过寻找两个字符串中的最长公共子序列，解决字符串匹配问题。
-背包问题：通过动态规划解决在给定容量下选取物品使得总价值最大的问题。
-最大子序列和：通过动态规划解决一个数组中选取连续子序列使得和最大的问题。
以上只是一些C语言中常用的算法程序的汇总，实际上，还有很多其他的算法，如逆波兰表达式、霍夫曼编码、最小割等等。
通过学习这些算法，可以更好地理解C语言的应用和开发。
MATLAB递归算法,附程序
递归树
递归树的结点有两个域，如下图：
T(size)指问题大小为size时，函数的复杂度。
nonrec.cost指问题大小为size时的非递归代价。
根结点的每个子结点都代表了这个问题分拆的一个子问题的复杂度。
就这样递归地分解问题。
一直到达叶子结点，也就是base-case.在前面的讨论中，我们没有涉及base-case，在使用递归树分析复杂度时，我们假设base-case的复杂度为1。
举一个例子就可以很明白的说明如何构造递归树。
Example1: 由递归方程T(n)=2T(n/2)+n构造递归树
首先，构造根接点
它的子结点是
……,以此类推。
所以，最后的递归树为：
递归树规则:
根结点的复杂度=所有非叶结点的非递归复杂度+叶子结点的复杂度。
所以，在上面的例子中，每层的非递归复杂度为n,而base-case出现在大约lgn 层(n/2^d =1;d = lgn)。
由于base-case的复杂度为1，所以T(n)≈nlgn，即递归树是分析和计算递归方程的一个重要工具。
它可以直观地表示出递归函数的复杂度，并使人易于理解。
五大基础算法
五大基础算法算法是计算机科学中的一个重要概念，它是指为解决某一问题而设计的一系列计算步骤的有序集合。
在计算机科学中，算法是非常重要的，它们是计算机程序的核心部分，可以解决各种计算机科学问题，从简单到复杂都有。
基础算法是算法学习中最基本、最常用的一类算法，在日常生活当中也得到广泛应用。
接下来我们就来介绍五大基础算法。
一、排序算法排序算法是将一组数据按照某种规则进行排序的算法。
在日常生活中，我们经常使用排序算法来对一些数据进行排序，例如比赛名次，商品价格等等。
常见的排序算法有冒泡排序、快速排序、选择排序和插入排序等。
冒泡排序是一种较为简单的排序算法，它的基本思想是对相邻的数据进行比较和交换，从而达到排序的目的。
具体实现过程中需要通过两个嵌套的循环来进行比较和交换。
快速排序则是一种比较高效的排序算法，它的基本思想是采用“分治”策略，将数据分为两个子序列，一个比关键字小，一个比关键字大。
通过递归的方式不断进行分治，最终完成排序。
选择排序是通过选择最小的元素放到前面的位置，从而达到排序的目的。
插入排序则是通过将元素插入到已经排好序的序列中，使得整个序列有序。
二、递归算法递归算法是指函数调用自身的一种算法。
在计算机科学中，递归算法是一种基本的算法思想，它可以解决一些复杂的问题。
例如，二叉树的遍历、图的遍历、背包问题等等都可以使用递归算法来解决。
三、查找算法查找算法是在一个数据集中查找某一个元素的算法。
常见的查找算法有线性查找、二分查找和哈希查找等。
线性查找是将数据集中的元素与目标元素逐一比较，直到找到目标元素为止。
二分查找也叫折半查找，它的基本思想是先找到中间元素，再与目标元素进行比较。
通过每次缩小查找范围，最终找到目标元素。
哈希查找则是通过哈希函数将数据集映射到不同的散列表中，从而进行查找的算法。
四、贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的算法思想。
贪心策略是指每一步都选择当前局部最优解，从而最终达到全局最优解的策略。
常用特殊算法
6．2．1 递推算法的适用性
但并不是所有的递归算法都适合改写成递推算 法， 最起码的条件是求解过程允许从有明确结果的低 阶问题开始。阶乘问题就允许从 1！开始，推算到我 们希望的某一阶为止，因此，采用递推算法来求解阶 乘问题就比递归算法好得多。 但有很多递归算法的求 解起点是有限制的，不允许从低阶问题开始求解，也 就不能改写成递推算法。例如有名的“梵塔问题”就 是这样， 一阶梵塔的解法是明确的， 如果 N 阶梵塔的 解法已知，就可以推出 N＋1 阶梵塔的解法，看起来 很适合采用递推算法， 但该问题就是不允许从一阶梵 塔开始，必须从 N 阶梵塔开始。 “梵塔问题”已经成 为递归算法的经典实例， 没有其它算法比用递归算法 更直观有效。
6．3．1 回溯算法的特点
回溯算法有以下基本特点： 问题的求解必须是由有限的若干部分组成的，例如一条从迷宫入口到迷宫出口的路 径是由若干（中间没有分支的） “路段”组成的；一种服装的裁剪下料方案是由各 个衣片的摆放位置组成的； 一种配方是由各种原料的取舍用量组成的； 一局棋局是 由开局、中盘、残局、结局各阶段的下法组成的。如果我们把问题解的所有可能的 组成部分称为“元素”的话，那么元素的范围必须是有限的，例如配方问题中原料 的种类和用量是有一定范围的。 一个问题如果有多个解的话， 各个解的区别在于它 们的组成元素的取舍不同。问题的一个解的部分元素构成“部分解” ，不同解之间 可以有相同的“部分解” ，例如配方 A 包含有 6 种原料，配方 B 包含有 7 种原料， 两种配方中有 4 种原料是相同的，它们都可以是符合要求的配方。 回溯算法求解问题的过程是由“部分解”向“完整解”推进的过程（开始时部分解 是空的，一个元素也没有） 。推进的方法是在“部分解”的基础上增加一个新元素， 如果新增加这个元素之后仍然满足问题的规定条件（约束条件） ，我们就得到一个 新的“部分解” ，然后再试着增加一个新的元素。如果新增加这个元素之后破坏了 问题的规定条件，我们就将这个新元素取出来， “回溯”到没有增加这个新元素时 的状态，另外选取别的元素再试。将这种试探一直进行下去，当“部分解”完全满 足问题的条件时，这时的“部分解”就称为“完整解” ，可以将其输出。当搜索完 全部可能组合之后仍然没有得到“完整解” ，就证明该问题无解。 在回溯算法进行的过程中，各步的处理方法都是相同的，符合递归算法的特点，因 此，回溯算法中一般都配合递归算法来进行。在递归的过程中，可供选择的元素范 围越来越小， 约束条件也越来越苛刻， 从而保证递归过程可以在有限的时间之内结 束。在递归过程中，问题的“部分解”是作为全局数据处理，而当前可供选择的元 素范围和当前约束条件的动态值是作为局部数据处理（需要用户堆栈保护） 。
计算机算法设计五大常用算法的分析及实例
计算机算法设计五⼤常⽤算法的分析及实例摘要算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。
也就是说，能够对⼀定规范的输⼊，在有限时间内获得所要求的输出。
如果⼀个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执⾏这个算法将不会解决这个问题。
不同的算法可能⽤不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。
其中最常见的五中基本算法是递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法。
本⽂通过这种算法的分析以及实例的讲解，让读者对算法有更深刻的认识，同时对这五种算法有更清楚认识关键词：算法，递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法AbstractAlgorithm is the description to the problem solving scheme ,a set of clear instructions to solve the problem and represents the describe the strategy to solve the problem using the method of system mechanism . That is to say, given some confirm import，the Algorithm will find result In a limited time。
If an algorithm is defective or is not suitable for a certain job, it is invalid to execute it. Different algorithms have different need of time or space, and it's efficiency are different.There are most common algorithms: the recursive and divide and conquer、dynamic programming method、greedy algorithm、backtracking、branch and bound method.According to analyze the five algorithms and explain examples, make readers know more about algorithm , and understand the five algorithms more deeply.Keywords: Algorithm, the recursive and divide and conquer, dynamic programming method, greedy algorithm、backtracking, branch and bound method⽬录1. 前⾔ (4)1.1 论⽂背景 (4)2. 算法详解 (5)2.1 算法与程序 (5)2.2 表达算法的抽象机制 (5)2.3 算法复杂性分析 (5)3．五中常⽤算法的详解及实例 (6)3.1 递归与分治策略 (6)3.1.1 递归与分治策略基本思想 (6)3.1.2 实例——棋盘覆盖 (7)3.2 动态规划 (8)3.2.1 动态规划基本思想 (8)3.2.2 动态规划算法的基本步骤 (9)3.2.3 实例——矩阵连乘 (9)3.3 贪⼼算法 (11)3.3.1 贪⼼算法基本思想 (11)3.3.2 贪⼼算法和动态规划的区别 (12)3.3.3 ⽤贪⼼算法解背包问题的基本步骤： (12)3.4 回溯发 (13)3.4.1 回溯法基本思想 (13)3.3.2 回溯发解题基本步骤 (13)3.3.3 实例——0-1背包问题 (14)3.5 分⽀限界法 (15)3.5.1 分⽀限界法思想 (15)3.5.2 实例——装载问题 (16)总结 (18)参考⽂献 (18)1. 前⾔1.1 论⽂背景算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。
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一、教学目标1、知识与技能(1)．认识递归现象。
(2)．使用递归算法解决问题往往能使算法的描述乘法而易于表达(3)．理解递归三要素：每次递归调用都要缩小规模；前次递归调用为后次作准备：递归调用必须有条件进行。
(4)．认识递归算法往往不是高效的算法。
(5)．了解递归现象的规律。
(6)．能够设计递归程序解决适用于递归解决的问题。
(7)．能够根据算法写出递归程序。
(8)．了解生活中的递归现象，领悟递归现象的既有重复，又有变化的特点，并且从中学习解决问题的一种方法。
2、方法与过程本节让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手，引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题，同时让同学们做三个递归练习，巩固提高。
然后让学生做练习(2)和练习(3)这两道题目的形式相差很远，但方法和答案却是完全相同的练习，体会其中的奥妙，加深对递归算法的了解。
最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。
3、情感态度和价值观结合高中生想象具有较强的随意性、更富于现实性的身心发展特点，综合反映出递归算法的特点，以及递归算法解答某些实践问题通常得很简洁，从而激发学生对程序设计的追求和向往。
二、重点难点1、教学重点（1）了解递归现象和递归算法的特点。
（2）能够根据问题设计出恰当的递归程序。
2、教学难点(1)递归过程思路的建立。
(2)判断问题是否适于递归解法。
(3)正确写出递归程序。
三、教学环境1、教材处理教材选自《广东省普通高中信息技术选修一：算法与程序设计》第四章第五节，原教材的编排是以本节以斐波那契的兔子问题引人，导出递归算法，从而自定义了一个以递归方式解决的函数过程。
然后利用子过程解决汉诺塔的经典问题。
教材经处理后，让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手，引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题，同时让同学们做三个递归练习，巩固提高。
然后让学生做练习(2)和练习(3)这两道题目的形式相差很远，但方法和答案却都是完全相同的练习，体会其中的奥妙，加深对递归算法的了解。
最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。
教学方法采用讲解、探究、任务驱动和学生自主学习相结合2、预备知识学生已掌握了用计算机解决问题的过程，掌握了程序设计基础，掌握了解析法、穷举法、查找法、排序法设计程序的技巧。
3、硬件要求建议本节课在多媒体电脑教室中完成，最好有广播教学系统或投影仪，为拓展学习，学生机应允许上互联网。
4、所需软件学生机要安装VB6.0或以上版本。
5、所需课时2课时（90分钟）四、教学过程导入：大家玩汉诺塔游戏：图4-5(1)汉诺塔游戏的部分界面这个游戏盘子在A、B、C三根柱子上不停运动，有没有规律，和你在照过镜子时遇到的情况相同吗？当你往镜子前面一站，镜子里面就有一个你的像。
但你试过两面镜子一起照吗?如果甲、乙两面镜子相互面对面放着，你往中间一站，嘿，两面镜子里都有你的千百个“化身”!为什么会有这么奇妙的现象呢?原来，甲镜子里有乙镜子的像，乙镜子里也有甲镜子的像，而且这样反反复复，就会产生一连串的“像中像”。
这是一种递归现象。
由同学们总结出递归算法的概念递归算法：是一种直接或者间接地调用自身的算法。
在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
4-16：著名的意大利数学家斐波那契(Fibonacci)在他的著作《算盘书》中提出了一个“兔子问题”：假定小兔子一个月就可以长成大兔子，而大兔子每个月都会生出一对小兔子。
如果年初养了一对小兔子，问到年底时将有多少对兔子? (当然得假设兔子没有死亡而且严格按照上述规律长大与繁殖)我们不难用以前学过的知识设计出如下算法：①输入计算兔子的月份数：n②If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1③i = 3④ c = a + b：a = b：b = c⑤i=i+1,如果i≤n则返回④⑥结束参考程序如下：Private Sub Command1_Click()n = Val(Text1.Text)If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1For i = 3 To nc = a + ba = bb = cNext iText2.Text = "第" & n & "月的兔子数目是：" & cEnd Sub图4-5(2)斐波那契兔子程序运行结果图开动脑筋：我们有没有更简单的方法解决该问题呢？4.5.1 从斐波那契的兔子问题看递归算法1．斐波那契的兔子问题子(1)分析问题。
我们可以根据题意列出表4-3来解决这个问题：表4—3兔子问题分析表这个表格虽然解决了斐波那契的兔子问题(年底时兔子的总数是144只)，但仔细观察一下这个表格，你会发现兔子的数目增长得越来越快，如果时间再长，只用列表的方法就会有困难。
(例如，你愿意用列表的方法求出5年后兔子的数目吗？)我们需要研究表中的规律，找出一般的方法，去解决这个问题。
交流仔细研究表4-8，你有些什么发现？每一个月份的大兔数、小兔数与上一个月的数字有什么联系，能肯定这个规律吗？恭喜你，你快成功了？(2)设计算法。
“兔子问题”很容易列出一条递推式而得到解决。
假设第N个月的兔子数目是F(N)，我们有：这是因为每月的大兔子数目一定等于上月的兔子总数，而每个月的小兔子数目一定等于上月的大兔子数目(即前一个月的兔子的数目)。
由上述的递推式我们可以设计出递归程序。
递归程序的特点是独立写出一个函数(或子过程)，而这个函数只对极简单的几种情况直接给出解答，而在其余情况下通过反复的调用自身而把问题归结到最简单的情况而得到解答。
空中加油站：自定义函数的定义格式:Function procedurename(arguments) [As type]StatementsEnd Function其中的procedurename是函数名，arguments是函数中的参数表，type是函数返回值的数据类型，[]表示可有可无的部分，statements是过程中的代码调用函数的格式：procedurename(arguments)(3)编写程序。
窗体中开设一个文本框Textl用于填人月数N，设置命令框Commandl，点击它即执行程序求出第N月的兔子数。
然后用文本框Text2输出答案。
根据递推式可以写出递归程序如下：Function Fib(ByVal N As Integer) As Long文本框2 If N < 3 Then Fib = 1 Else Fib = Fib(N - 1) + Fib(N - 2)End FunctionPrivate Sub Command1_Click()N = Val(Text1.Text)Text2.Text = "第" & N & "月的兔子数目是：" & Fib(N)End Sub(4)调试程序因为这个算法的效率不高，建议在调试程序时月份数不要大于40。
图4-5(4)斐波那契兔子程序运行结果图(5)检测结果挑战自我：（以下部分由学生自己完成）(1)利用递归方法编写一求N的阶乘。
分析：根据N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*……*3*2*1可以推出下列式子：这是一个典型的递归算法，参考程序如下：Function F(ByVal n As Integer) As LongIf n = 1 Then F = 1 Else F = n * F(n - 1)End FunctionPrivate Sub Form_Click()Dim n As Integern = Val(InputBox("请输入正整数N：", "求N的阶乘")) Print "输入的正整数是"; n;Print "，阶乘是"; F(n)End Sub图4-5(5)求阶乘程序的运行结果图(2)对一正整数N，用数字l和2组成一条加法算式，使其和为N，共可以列出多少条不同的式子？(“l+2”和“2+1”看作是不同的式子)。
算法设计：假设和为N时可列式子的方法数是F(N)，那么第一个加数可选择1或2。
当第一个加数为1时剩下加数的和为N一1，故方法数为F(N一1)；当第一个加数为2时，剩下加数的和为N-2，故方法数为F(N-2)。
于是可以得到如下式子：这是一个典型的递归算法，参考程序如下：参考程序如下：Function F(ByVal n As Integer) As LongIf n <= 2 Then F = n Else F = F(n - 1) + F(n - 2)End FunctionPrivate Sub Form_Click()Dim n As Integern = Val(InputBox("请输入正整数N：", "输入式子的总和"))Print "当总和是"; n; "时"Print "可以列出不同的由1和2组成的加法式子"; F(n); "条"End Sub图4-5(6)书上P137练习2程序运行结果图(3)罗光明在上楼梯时，有时一步一级楼梯，有时一步两级。
如果楼梯有N级，他上完这N级楼梯有多少种不同的方法？设计算法假设楼梯级数为N时的方法数是F(N)，那么第一步可选择1或2级楼梯。
当第一步为1级时剩下楼梯的级数为N-1，故方法数为F(N-1)；当第一步为2级时，剩下楼梯的级数为N-2，故方法数为F(N-2)。
于是可以得到如下式子：这是一个典型的递归算法，参考程序如下：程序如下：Function F(ByVal n As Integer)As LongIf n<=2 Then F=n Else F=F(n-1)+F(n-2)End Functi 0nPrivate Sub Form_Click()Dim n As Integern=Val(InputBox("请输入楼梯级数N："，"输人楼梯级数"))Print "当楼梯级数"；n；"时，"Print "可以有"；F(n)；"种不同的上楼梯方法。
"End Sub同学们比较一下你们所做的练习(2)和(3)的程序代码，不知同学们有没有发现一个有趣的现象？为什么会这样？本节小结：递归算法的特点递归过程一般通过函数或子过程来实现。