湘教版 作业 1.1.1 命题的概念和例子

1．1命题及其关系

1．1.1命题的概念和例子

一、基础达标

1．下列语句是命题的是()

A．2012是一个大数

B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点

C．对数函数是增函数吗？

D．a≤15

答案 B

解析A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．

2．下列命题是真命题的是()

A．{∅}是空集

B．{x∈N||x－1|<3}是无限集

C．π是有理数

D．x2－5x＝0的根是自然数

答案 D

解析x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．

3．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是正确的．如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，在所得的命题中，真命题有() A．0个B．1个

C．2个D．3个

答案 C

解析把α、β换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，由直线与平面垂直的判定定理可知，该命题是正确的；把α、γ换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥β，且a⊥b⇒β⊥b”，它是判断直线与平面的位置关系的，显然是错误的；把β、γ换成直线a、b，则该命题改为“a∥α，b⊥α⇒a⊥b”，显然成立．

4．已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．

其中真命题的序号是( )

A ．①②③

B ．①②

C ．①③

D ．②③

答案 C

解析 ①是真命题；②标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，是假命题；③圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切，是真命题．

5．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是________．

①若a ∥b ，则α∥β ②若α⊥β，则a ⊥b

③若a 、b 相交，则α、β相交 ④若α、β相交，则a 、b 相交

答案 ④

解析 ④中如果α、β相交，a 和b 可以相交，也可以异面．

6．下列命题，是真命题的是________．

①若ab ＝0，则a 2＋b 2＝0

②若a >b ，则ac >bc

③若M ∩N ＝M ，则N ⊆M

④若M ⊆N ，则M ∩N ＝M

答案 ④

解析 ①中，a ＝0，b ≠0时，a 2＋b 2＝0不成立；②中，c ≤0时不成立；③中，M ∩N ＝M 说明M ⊆N .故①②③皆错误．

7．若x ∈Z ，给出下列语句：

(1)x 2－2x －3＝0；

(2)x 2＋1<0；

(3)|x |>5；

(4)x ∈R .

试判断它们是否为命题？若是，判断其真假，并说明理由．

解对语句(1)无法判断真假，因为不给定变量x的值时，不能确定x2－2x －3的值是否为0，∴(1)不是命题；对语句(2)可以判断真假，因为对任意的整数x都有x2＋1≥1成立，故x2＋1<0是一个假命题；对语句(3)同(1)一样，无法判断其真假，故(3)也不是命题；由于整数一定是实数，∴可以判断(4)是正确的，即(4)是一个真命题．

二、能力提升

8．l1、l2、l3为空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

答案 B

解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．

9．给定下列命题：

①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；

②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；

③对角线相等的四边形是矩形；

④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.

其中真命题的序号是()

A．①②③B．①②④

C．①③④D．②③④

答案 B

解析①中k＞0，则Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题．

10．给出下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，是真命题的是________(填序号)．

答案 ②④

解析 命题①是假命题，“两条直线”应改为“两条相交直线”；命题②是面面垂直的判定定理，是真命题；命题③是假命题，垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交；命题④是面面垂直的性质定理的另一种说法，是真命题．

11．判断下列命题的真假．

(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有最大值；

(2)正项等差数列的公差大于零；

(3)函数y ＝1x 的图象关于原点对称．

解 (1)假命题．当a >0时，抛物线开口向上，有最小值．

(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如正项数列20,17,14,11,8,5,2，它的公差是－3.

(3)真命题．y ＝1x 是奇函数，所以其图象关于原点对称．

12．已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得如果A 那么B 为真命题．

解 若A 则B ，即“若x >1＋a 5，则x >1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，

解得a ≥4.

三、探究与创新

13．已知p ：x 2＋2mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程x 2＋(m －2)x ＋1＝0(m ∈R )无实根，求使p 为真命题且q 为真命题的m 的取值范围．

解 若p 真，则⎩

⎨⎧

Δ＝4m 2－4>0，m >0，解得m >1； 若q 为真，则Δ＝(m －2)2－4<0，