14-3 球面反射和球面折射成像
光在球面上的反射与折射
光在球⾯上的反射与折射光在球⾯上的反射与折射1.4.1、球⾯镜成像（1）球⾯镜的焦距球⾯镜的反射仍遵从反射定律，法线是球⾯的半径。
⼀束近主轴的平⾏光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上⼀点F （图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
⼀束近主轴的平⾏光线经凸⾯镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上⼀点F （图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜⾯顶点O 之间的距离叫做球⾯镜的焦距f 。
可以证明，球⾯镜焦距f 等于球⾯半径R 的⼀半，即2R f =（2）球⾯镜成像公式f u 111=+υ上式是球⾯镜成像公式。
它适⽤于凹⾯镜成像和凸⾯镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸⾯镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h 之⽐为成像放⼤率，⽤m 表⽰，u h h m υ='=由成像公式和放⼤率关系式可以讨论球⾯镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
1.4.2、球⾯折射成像（1）球⾯折射成像公式r n n v n u n 1221-=+ 这是球⾯折射的成像公式，式中u 、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于R ；则当球⼼C 在出射光的⼀个侧，（凸⾯朝向⼊射光）时为正，当球⼼C 在⼊射光的⼀侧（凹⾯朝向⼊射光）时为负。
若引⼊焦点和焦距概念，则当⼊射光为平⾏于主轴的平⾏光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第⼆焦点，（也称像⽅焦点），此时像距即是第⼆焦距2f，有1222n n R n f -=。
当出射光为平⾏光时，⼊射光（或其延长线）的交点即第⼀焦点（即物⽅焦点），这时物距即为第⼀焦距1f，有1211nn R n f -=，将1f 、2f 代⼊成像公式改写成图1-4-1 图1-4-2 图1-4-6A121=+u fu f反射定律可以看成折射定律在12n n -=时的物倒，因此，球⾯镜的反射成像公式可以从球⾯镜折射成像公式中得到，由于反射光的⾏进⽅向逆转，像距υ和球⾯半径R 的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令12n n -=，υυ-→，R R -→，即可得到球⾯镜反射成像公式R u 211=+υ，对于凹⾯镜0>R ，221R f f ==，对于凸⾯镜0f f ==，厚透镜成像。
光在球面上的反射和折射参考幻灯片
s'0.10m
顶点O的右边，虚像。
如右图，光线从右向
左传播，此时
A 物空间
巳知：S=0.05m， r=0.20m
Байду номын сангаас
P’
O PC
像空间
由球面镜物像公式，
11 2 s s' r
10/8/2020
1 1 2 0.05 s' 0.20
s'0.1m 0
顶点O的左边，虚像。
3.3.4 球面折射对 光束单心性的破坏
-s
考虑光线P－A－P’的光程 PA' P nln'l
n[ (r)2(rs)22(r)(rs)cos]12
n[ (r)2(s'r)22(r)(s'r)cos]12
当A点在镜面上移动时，是位置的变量。由费马原理
可得
dPA ' P 0 rss'r0
d
l
l'
由此可见，若s已知，则反射线与主轴的交点P’到O 点的距离s’随入射线的倾角u（亦即角）而变。也
由费马原理可得
d PAP' 0
d
n(rs)n'(s'r)0
l
l'
折射线与主轴的交点P’到O点的距离s’随入射线的倾角 u（亦即角）而变。
物点发出的单心光束经球面折射后，单心性也被破坏。
10/8/2020
3.3.5 近轴光线条件下球面折射的物像公式
近轴光线条件下，
角很小，在一级近似下，cos≈1，则有：l≈-s ，l’≈s’
10/8/2020 返回第3 章
3.3.1 符号法则
几何光学中的“符号”是人为规定的具有任意 性，需统一；
光在球面上的反射和折射.ppt
n {s r 2 1 1 } n'{s' r 2 1 1 }
2 s r
2 s' r
Fermat原理
M
等
r
P
O
P’
光 程
n n’ r C
-s
s’
n PM n'MP' n PO n'OP'
n {s r 2 1 1 } n'{s' r 2 1 1 } n (s) n's'
f
'
(nL
1)
1 r1
1 r2
C2
O
证明： I1面: s1, s1’, r1 I2面: s2, s2’, r2
-r2
nL
I1 I2
r1 C1
薄透镜
s = s1, s’ = s2’, s2 = s1’
I 面：nL 1 nL 1
s1' s1
r1
II 面：1 nL 1 nL
s2 ' s2
r2
透镜制造者公式
s1’
解：
-s1
n' n n'n s' s r
n=1.5
O1 R
O2 P’ P1’ s2’ s2
s1’
(1). O1面：s1=-, r1=+R, n1=1, n1’=1.5 O2面：s2=R, r2= -R, n2=1.5, n2’=1
s1’ = 3R O1
C
n n’ r
-s s’
单个折射面成像系统的笛卡尔符号规则
线段
笛卡尔坐标规则补充
纵向线段 以球面顶点O为原点，以入射光线进行 的方向为正方向，建立物空间坐标 s 和像空间坐标 ，
球面反射和球面折射成像
球面反射成像
一、凹面镜的反射成像
1
2
3
4
5
f
c
F
成像公式
焦距公式
横向放大率
物点在焦点之内，凹面镜成虚像
y
f
l
l’
y’
c
2
1
F
物点在焦点之外，凹面镜成实像
f
c
l
y
l’
y’
1
1
2
2
F
二、凸面镜的反射成像
f
1
2
3
F
y
1
2
1
2
y’
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
l’
所以成的是缩小正立的虚像，位于镜前右方10 cm处。
解 按题意，l=-30cm，r =30cm，y=10mm
由成像公式可得 cm
二、球面折射成像公式
物方焦距
-
像方焦距
Q
Q´
O
n
n´
r
C
l´
P´
P
y´
y
三、横向放大率
Q
Q´
O
n
n´
r
C
l´
P´
P
y´
y
定义
|β|>1 放大 |β|<1 缩小
β > 0 像正立 β < 0 像倒立
F
F'
四、近轴光线的作图法
共轴球面系统成像（逐次成像）
01
共轴球面系统所成的最终像，可由第一球面所成之像作为第二球面之物、第二球面所成之像作为第三球面之物逐次计算而得。 光学系统的横向放大率为每次球面成像的横向放大率的乘积。
理解几何光学中的球面折射与成像
理解几何光学中的球面折射与成像光学是物理学的一个重要分支，研究光的传播、反射、折射和成像等现象。
在光学中，球面折射与成像是一个重要的概念，它涉及到光线在球面上的传播和折射，以及由此产生的成像效果。
理解球面折射与成像对于我们认识光学现象和应用光学原理具有重要意义。
首先，我们来了解一下球面折射的基本原理。
当光线从一种介质射向另一种介质时，由于介质的折射率不同，光线会发生折射。
而当光线射入球面时，由于球面的曲率，光线会发生弯曲。
这种现象就是球面折射。
球面折射的基本原理可以用斯涅尔定律来描述，即光线在折射时入射角和折射角之间的关系满足sinθ1/sinθ2=n2/n1，其中θ1为入射角，θ2为折射角，n1和n2分别为两种介质的折射率。
在理解了球面折射的基本原理后，我们可以进一步探讨球面折射对成像的影响。
当光线通过球面折射后，会发生折射点的偏移和成像的变化。
具体来说，对于一束平行光线射入球面，经过折射后，光线会集中到球面的一个焦点上。
这个焦点就是球面的主焦点，它是球面折射后光线汇聚的位置。
而对于一个物体，当光线经过球面折射后，会在另一侧的球面上形成一个像。
这个像的位置和形状取决于物体的位置和球面的曲率。
当物体位于球面的主焦点上时，成像会出现在无限远处，形成一个实像。
当物体位于主焦点和球面之间时，成像会出现在球面的另一侧，形成一个放大的虚像。
当物体位于主焦点和球面之外时，成像会出现在球面的同一侧，形成一个缩小的虚像。
除了主焦点外，球面还具有次焦点和次主焦点。
次焦点是光线平行射入球面后汇聚的位置，次主焦点是光线从球面射出后汇聚的位置。
次焦点和次主焦点的位置和主焦点相对应。
当光线从球面射出时，会经过次焦点或次主焦点，然后发散出去。
这种现象在实际应用中有着重要的意义，比如在望远镜和显微镜中，通过调节物镜和目镜之间的距离，可以使光线从球面射出，从而实现放大或缩小的效果。
理解球面折射与成像对于我们认识光学现象和应用光学原理具有重要意义。
几何光学基本定律-球面反射和折射成像
⑵ mp(0.12m)3 正立放大像 p (0.04m)
符号法则：
物点 P 在镜前时，物距为正；物点 P 在镜后时， 物距为负。
像点在镜前时，像距为正；像点在镜后时，像距 为负。
凹面镜的曲率半径 R 取正，凸面镜的曲率半径 R 取负。
实正虚负!
物像关系式 1 1 2 p p R
发散的入射光束的顶点是实物 汇聚的入射光束的顶点是虚物
平面折射成像
Q
y
Q n1 y
n2
i
P
PO
r
p
p
p n2 p n1
p n2 p n1
m y n1p y n2p
n1 n 2 视深较深
虚像
m y 1 y
像正立
例2.点光源P位于一玻璃球心点左侧25 cm处。已知玻璃球半径 是10 cm，折射率为1.5，空气折射率近似为1，求像点的位置。
满足上述条件的光线称为傍轴光线。
R
代入 ＝2
物像关系式:
1 1＝ 2 p p R
发散光入射凹面镜：p R 2
成虚像
R
C
P
P
R
C P
会聚光入射凹面镜： P P点为虚物点，成实像
发散光入射凸面镜：
总是成虚像
P
R
P
C
符号法则：
物点 P 在镜前时，物距为正；物点 P 在镜后 时，物距为负。
像点在镜前时，像距为正；像点在镜后时， 像距为负。
镜面反射： 界面光滑，反射光束中的各条
光线相互平行，沿同一方向传播。
漫反射：
界面粗糙，反射光线可以有 各种不同的传播方向。
反射定律：反射光线总是
i i
位于入射面内，并且与入
光在球面上折射
8
9
二、球面折射公式
如图所示，AOB
是折射率分别为
A
n1和 n2的两种介 n1 S i
r S
n2
质的球面界面，
θ
φ
R为球面的曲率 S1 半径，O为曲率
C
O
R
B
S2
中心，C为球面
l1
l2
顶点，CO的延长线为球面的主轴。通过主轴的平面称为主截
面。主轴对于所有的主截面具有对称性。 设n2 > n1，光线 从点光源S1发出,经球面A点折射后与主轴交于S2 ,令：
得 ： l2= 10cm
最后的像是一个虚像，并落在哑铃中间。
26
例1 如图所示，一根折射率为1.50的玻璃棒，其一
端被磨成半径为20.0mm的半球面。若将它先后放在
折射率为1.00的空气中和折射率为1.33的水中，求在
这两种情况下，在棒轴上距离顶点80.0mm处的物点
的像距和像的横向放大率。
n1（空气；水）
ⅶ）还可以用于描述光线在平面上的折射和反射， 因为平面可以认为是曲率半径无限大的球面。
ⅷ）也可以作为研究各种情况下折射和反射成像规 律的基础。
凸面镜成像原理；凹面镜成像原理
19
三、高斯公式
引入焦点焦距的概念后，可得球面折射的另一种形
式，即高斯公式。
如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大，
即l1=∞，那么由它发出而投射到球面上的平行光线必
ⅴ）上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需 按照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。
18
ⅵ）上式也可以用于描述光线在各种球面上的反 射，这时除了应调整球面曲率半径的符号外，还需 令n2=﹣n1。物空间与像空间重合，且反射光线与 入射光线的传播方向恰恰相反。这种情况在数学处 理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射 率的负值。（仅在数学上有意义）
光在球面上的反射与折射
光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F （图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F （图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即2R f =（2）球面镜成像公式f u 111=+υ上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长 和物长h 之比为成像放大率，用m 表示，u h h m υ='=由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
1.4.2、球面折射成像（1）球面折射成像公式r n n v n un 1221-=+ 这是球面折射的成像公式，式中u 、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于R ；则当球心C 在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C 在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。
若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距即是第二焦距2f，有1222n n Rn f -=。
当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）的交点即第一焦点（即物方焦点），这时物距即为第一焦距1f，有1211nn R n f -=，将1f 、2f 代入成像公式改写成图1-4-1 图1-4-2 图1-4-6A121=+u fu f反射定律可以看成折射定律在12n n -=时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到，由于反射光的行进方向逆转，像距υ和球面半径R 的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令12n n -=，υυ-→，R R -→，即可得到球面镜反射成像公式R u 211=+υ，对于凹面镜0>R ，221Rf f ==，对于凸面镜0<R ，221Rf f ==，厚透镜成像。
光学——球面反射和折射
-u
u`
P
O
r
C
P`
-s
s`
P C s r r sP C s rA C r
nsin i1n sin i2
15
P C s i n u P C s i n u n r s s i n u s r s i n u n
已知:s1 5cm,r1 2cm,
n` P n1,n' 1.6
’ 1
O2
O1
P2’
n=1,n’=1.6 由折射成像公式：
n n n n s1 s1 r1
-s1
s1’
代入数据，可求得s1’.
-s2 -s2’
2、P1’为物对球面O2折射成像
s 2 2 0 1 6 4 c m , r 2 2 c m , n 1 . 6 , n ' 1
s — 物距 s’— 象距 r — 球面曲率半径
令 s=－∞ ，则 s’= r/2 = f’ ， f’ — 象方焦距 令 s’=－∞，则 s = r/2 = f ， f — 物方焦距 反射球面特点: f ’ = f , 物方焦点F 和象方焦点F’重合.
10
焦点:沿主轴方向的平行光束经球面反射后会聚
§1.4 球面反射和折射
• 符号法则 • 球面反射 • 球面折射 • 理想成象的两个普适公式
1
E
(1)线段 y
A
C
Or
-y’
-s
s’
以单球面折射系统为例, 从顶点算起： 沿轴线段
A、光线与主轴交于顶点右方者,线段长度为正； 光线与主轴交于顶点左方者,线段长度为负；
B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，
光的反射与折射成像
光的反射与折射成像光是一种电磁波，它在空气和真空中的传播速度为每秒约299,792.458千米。
光在传播过程中会发生反射和折射现象，这些现象在我们的日常生活中随处可见。
本文将探讨光的反射与折射现象对成像的影响。
一、光的反射成像光的反射是指光线从一种介质射入另一种介质时，在两种介质的交界面上发生改变方向的现象。
根据光的反射定律，入射角等于反射角。
利用这个定律，我们可以解释为什么我们能够看到镜子或者其他光滑表面的反射图像。
当平行的光线照射到光滑平面上时，它们会按照相同的角度反射。
这意味着光线在反射后仍然保持它们的相互位置关系，因此我们能够看到一个与实际物体相同但位于镜面后方的图像。
二、平面镜成像平面镜是一种常见的用于反射成像的光学设备。
平面镜的反射成像规律符合光的反射定律，入射角等于反射角。
因此，对于一束平行光线来说，它们会被平面镜反射后汇聚到一个点上，这个点被称为焦点。
这个焦点与入射光线的垂直平分线相交，形成了虚像。
平面镜成像的特点是图像位置与实物位置关于镜面对称，图像大小与实物大小相等。
例如，如果我们将一根直的铅笔放在一个镜面前，我们会看到铅笔在镜面后形成的反射图像与铅笔在镜面前的位置相对称，且大小相等。
三、球面镜成像球面镜是一种曲面镜，通常由玻璃或者塑料制成，其中一侧为球形。
根据球面镜的形状，我们将球面镜分为凸面镜和凹面镜。
3.1 凸面镜成像当平行光线射入凸面镜时，它们会被逐渐汇聚到一个点上，这个点被称为凸透镜的焦点。
这是因为凸面镜会使平行光线向凸透镜的焦点方向汇聚。
这个焦点与入射光线的垂直平分线相交，形成了实像。
实像的位置取决于物体离凸面镜的距离，距离越远，实像越小。
凸面镜的成像特点是图像位置与实物位置关于焦点对称，图像大小与实物大小有关。
如果物体位于焦点以外，那么图像将位于焦点的一侧，并放大。
如果物体位于焦点内部，图像将位于焦点的另一侧，并缩小。
3.2 凹面镜成像当平行光线射入凹面镜时，它们会被逐渐分散。
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l y y y 3.33 mm l
由横向放大率公式可得
所以成的是缩小正立的虚像，位于镜前右方10 cm处。
大学物理
河南农业大学理学院
1
r f f 2
l l
2
3 F 4 5
c
横向放大率
f
河南农业大学理学院
大学物理
2 2 1
y’
l’
y
c F 1 f
l
物点在焦点之内，凹面镜成虚像
大学物理
河南农业大学理学院
l
y 1
y’
1 2
c F 2
f
l’
物点在焦点之外，凹面镜成实像
大学物理
河南农业大学理学院
二、凸面镜的反射成像
可得
l 36 cm
nl y 由横向放大率公式 nl y
可得 y’=-8 mm
所成的像位于球面顶点右边36cm的位置，且是倒立的实像
大学物理 河南农业大学理学院
§14.3.2 一、凹面镜的反射成像 成像公式 焦距公式
球面反射成像
1 1 2 l l r
1 1 1 l l f
Q y P l
n O r
n´
C
P
´ y´
Q
l´
´
β > 0 像正立 β < 0 像倒立
|β|>1 放大 |β|<1 缩小
大学物理
河南农业大学理学院
四、近轴光线的作图法
F'
FHale Waihona Puke 大学物理河南农业大学理学院
五、 共轴球面系统成像（逐次成像）
共轴球面系统所成的最终像，可由第一球面 所成之像作为第二球面之物、第二球面所成之像 作为第三球面之物逐次计算而得。 光学系统的横向放大率为每次球面成像的横 向放大率的乘积。
大学物理
河南农业大学理学院
例1、设有一个半径为R的球面，球面的左侧是空气，球面 右侧是玻璃长圆柱（n=1.5），过球面顶点O和曲率中心C的 连线是主光轴。设曲率半径是R=12cm，在主光轴上距O点 为15cm的左侧有一支小小的烛焰（如图）。则下述判断中 正确的是 (A) 烛焰在玻璃中呈一倒立的缩小的实像； (B) 烛焰在玻璃中呈一倒立的放大的实像； (C) 烛焰在空气中呈一正立的放大的虚像； (D) 烛焰在空气中呈一倒立的放大的虚像。
大学物理
河南农业大学理学院
§14.3.1
球面折射成像
一、球面折射的一般分析
Q y O P l r l´
n
n´
C
P´
y´ Q´
(1)若P在球面顶点O左方则为实物，物距l为负；反之为虚物，l为正。 (2)若P′在球面顶点O右方则为实像，像距l′为正；反之为虚像，l′为负。 (3)若球面中心C在O右方为凸球面，曲率半径r为正；反之为凹球面，r为 负。 (4)物点和像点到主轴的距离为y和y'。在主轴上方时，y和y'为正；反之为 负。 大学物理 河南农业大学理学院
15cm O
12cm R
C
大学物理
河南农业大学理学院
例2 折射率为1.5的长玻璃棒，左端磨成半径为4cm的凸球 面，长为4mm的物体垂直立于棒轴上，离球面顶点12 cm。 求像的位置与大小。
解 已知r =4cm，n=1，n’=1.5，l=-12cm，y=4mm 由球面折射成像公式
n n n n l l r
二、球面折射成像公式
n n n n l l r
,
Q y P l
n O r
n´
C
P
´ y´
Q
l´
´
像方焦距 物方焦距
nr f ' n n
'
f
n' n
- nr
f f 1 l l
大学物理
河南农业大学理学院
三、横向放大率
y 定义 y
nl nl
成像公式和横向放大率公式与凹面镜相同
1 1 2 3
F
1 2
y
f 凸面镜的焦点
大学物理
2
y’
l
l’ f
凸面镜成像光路图
河南农业大学理学院
例3 凸面镜半径为30 cm。现有一个物体高10 mm，置 于镜前30 cm处，求所成像的位置、大小和虚实。 解 按题意，l=-30cm，r =30cm，y=10mm 由成像公式可得