2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题
普通高考数学一轮复习 第33讲 圆锥曲线方程及性质精品学案
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第33讲 圆锥曲线方程及性质一．课标要求：1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
二．命题走向本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲，预测2013年：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．要点精讲1．椭圆 （1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
【优化指导】2013高考数学总复习 8.6圆锥曲线的综合问题课时演练 人教版
【优化指导】2013高考数学总复习 8.6圆锥曲线的综合问题课时演练1．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对2．已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1－2，1＋2)D ．(2，2＋1)解析：∵△ABF 2为锐角三角形，|AF 1|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∴tan ∠AF 2F 1＝b 2a2c＜tan 45°＝1，∴b 2＜2ac ，c 2－a 2＜2ac ，e 2－2e －1＜0， 解得1－2＜e ＜1＋ 2. 又e ＞1，∴1＜e ＜1＋ 2.故选A. 答案：A3．(2012保定调研)有一矩形纸片ABCD ，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B 都落在边AD 上，将B 的落点记为B ′，其中EF 为折痕，点F 也可落在边CD 上，过B ′作B ′H ∥CD 交EF 于点H ，则点H 的轨迹为( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分解析：如图，连结BH ，BB ′.因B 关于EF 的对称点为B ′，故BH ＝B ′H .又B ′H ∥CD ，故B ′H ⊥AD .即B ′H 为H 点到直线AD 的距离．又因B 为定点，AD 为定直线，且BH ＝B ′H ，故满足抛物线的定义，故H 的轨迹为抛物线的一部分．答案：D4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能解析：①若P 在双曲线左支上，设双曲线右焦点为F 2，PF 1的中点为O 1，连结OO 1，PF 2.∴|OO 1|＝|PF 2|2＝|PF 1|＋2a2＝|PF 1|2＋a ，|PF 1|2是以|PF 1|为直径的圆的半径，a 为以A 1A 2为直径的圆的半径，故两圆相外切． ②同理，若P 在双曲线右支上，则可得两圆相内切． 综上得，两圆相切． 答案：B5．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(6，172)，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8 B.192 C ．10D.212解析：抛物线的焦点F (0，12)，如图，根据抛物线的定义得|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－12≥|AF |－12＝10－12＝192.答案：B6．已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率为e ，且|PF 1|＝e |PF 2|，则e 的值为( )A.22B ．2－ 3C.33D ．2－ 2解析：设椭圆的焦距为2c ，则由题意抛物线的准线为x ＝－3c ，由条件|PF 1|＝e |PF 2|得|PF 1||PF 2|＝e ，由于点P 是椭圆与抛物线的公共点，设点P 到抛物线准线的距离为d ，则由抛物线的定义知|PF 2|＝d ，故|PF 1|d＝e ，又点P 是椭圆上的点，故抛物线的准线也是椭圆的左准线．所以a 2c ＝3c ，即c 2a 2＝13＝e 2，解得e ＝33.答案：C7．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝______.解析：设直线l ：y ＝x ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2x 2＝2py得：x 2－2px －p 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2p ，x 1·x 2＝－p 2∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋p ＝3p ， ∴|CD |＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝22p ，∴S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)·|CD |＝12(y 1＋y 2)·22p＝12×3p ×22p ＝32p 2. ∴32p 2＝122， ∴p ＝2. 答案：28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1、A 2、B 1、B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为__________．解析：∵A 1(－a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)， ∴直线A 1B 2的方程为－bx ＋ay ＝ab ① 直线B 1F 的方程为b x －cy ＝bc . ②由①②得T (2ac a －c ，b a ＋c a －c )，∴M (ac a －c ，b a ＋c2a －c)． 又∵M 在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，∴a 2c 2a 2a －c 2＋b 2a ＋c 24a －c 2b2＝1，即3a 2－10ac －c 2＝0. ∴e 2＋10e －3＝0.∵0＜e ＜1，∴e ＝27－5. 答案：27－59．设u ，v ∈R ，且|u |≤ 2，v ＞0，则(u －v )2＋(2－u 2－9v)2的最小值为________．解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆x 2＋y 2＝2上的点与双曲线xy ＝9上的点的距离的最小值．设(m ，n )为双曲线xy ＝9上的一点，其中m ＞0，n ＞0， 则(m ，n )到原点的距离h ＝m 2＋n 2＝ m 2＋9m2≥2×9＝3 2.又因为圆的半径为2，所以圆上的点与双曲线上的点的距离的最小值是2 2. 答案：2 210．(2012湖北七市联考)椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点(3，－12)．(1)求椭圆方程；(2)过点(－65，0)作直线l 交该椭圆于M 、N 两点(直线l 不与x 轴重合)，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．解：(1)由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝ 3＋32＋14＋3－32＋14＝4，解得a ＝2，b ＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)当直线MN ⊥x 轴时，直线MN 的方程为x ＝－65，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1得y ＝±45，∴M (－65，－45)，N (－65，45)．设直线MN 与x 轴交于点P ，且A (－2,0)，得AP ＝45，PN ＝45.∴∠NAP ＝π4，得∠MAN ＝π2.∴若∠MAN 的大小为定值，则必为π2.下面判断当直线MN 的斜率存在且不为0时∠MAN 的大小是否为定值π2.设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和曲线C 的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝12k5k 2＋4，y 1y 2＝－6425k 2＋4，则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k ·(y 1＋y 2)＋1625＝0，∴∠MAN ＝π2，∴∠MAN 的大小为定值π2.11．如图，A (m, 3m )、B (n ，－3n )两点分别在射线OS 、OT 上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →.(1)求mn 的值；(2)求点P 的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线；(3)若直线l 过点E (2,0)交(2)中曲线C 于M 、N 两点(M 、N 、E 三点互不相同)，且ME →＝3EN →，求l 的方程．解：(1)由已知得OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n ) ＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.(2)设P 点坐标为(x ，y )(x ＞0)，由OP →＝OA →＋OB →得 (x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n ) ＝(m ＋n ，3(m －n ))，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n y ＝3m －n，消去m ，n 可得 x 2－y 23＝4mn ，又因mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞0)，它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．(3)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，将其代入C 的方程得3(ty ＋2)2－y 2＝3， 即(3t 2－1)y 2＋12ty ＋9＝0.易知(3t 2－1)≠0(否则，直线l 的斜率为±3，它与渐近线平行，不符合题意)． 又Δ＝144t 2－36(3t 2－1)＝36(t 2＋1)＞0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－12t 3t 2－1，y 1y 2＝93t 2－1.∵l 与C 的两个交点M ，N 在y 轴右侧，x 1x 2＝(ty 1＋2)(ty 2＋2)＝t 2y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋4＝t 2·93t 2－1＋2t ·－12t 3t 2－1＋4＝－3t 2＋43t 2－1＞0，∴3t 2－1＜0，又∵t ＝0不合题意， ∴0＜t 2＜13.又由x 1＋x 2＞0，同理可得0＜t 2＜13.由ME →＝3EN →得(2－x 1，－y 1)＝3(x 2－2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－x 1＝3x 2－2－y 1＝3y 2，由y 1＋y 2＝－3y 2＋y 2＝－2y 2＝－12t 3t 2－1，得y 2＝6t3t 2－1，由y 1y 2＝(－3y 2)y 2＝－3y 22＝93t 2－1， 得y 22＝－33t 2－1.消去y 2，得36t23t 2－12＝－33t 2－1，解之得t 2＝115，满足0＜t 2＜13，故所求直线l 存在，其方程为15x －y －215＝0或 15x ＋y －215＝0.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∴x 214＋y 213＝1(|x 1|≤2)， |PF 2|2＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝14(x 1－4)2，∴|PF 2|＝12(4－x 1)＝2－12x 1. 连结OM ，OP ，由相切条件知： |PM |2＝|OP |2－|OM |2＝x 21＋y 21－3 ＝x 21＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214－3＝14x 21，∴|PM |＝12x 1，∴|PF 2|＋|PM |＝2－12x 1＋12x 1＝2，同理可求|QF 2|＋|QM |＝2－12x 2＋12x 2＝2，∴|F 2P |＋|F 2Q |＋|PQ |＝2＋2＝4为定值．。
高考数学(理)一轮复习精品资料 专题53 圆锥曲线的综合问题(教学案)含解析
圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．高频考点一圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．【例1】椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动点，直线P A与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点．联立得⎩⎨⎧y ＝t3（x ＋2），x 24＋y 2＝1，即(4t 2＋9)x 2＋16t 2x ＋16t 2－36＝0，(8分) 可知－2x M ＝16t 2－364t 2＋9，所以x M ＝18－8t 24t 2＋9，则⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝18－8t 24t 2＋9，yM ＝12t4t 2＋9.同理得到⎩⎪⎨⎪⎧x N ＝8t 2－24t 2＋1，y N ＝4t 4t 2＋1.(10分)由椭圆的对称性可知这样的定点在x 轴上，不妨设这个定点为Q (m ，0)， 又k MQ ＝12t 4t 2＋918－8t 24t 2＋9－m ，k NQ＝4t4t 2＋18t 2－24t 2＋1－m ， k MQ ＝k NQ ，所以化简得(8m －32)t 2－6m ＋24＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧8m －32＝0，－6m ＋24＝0，得m ＝4，即直线MN 经过定点(4，0)．(13分)探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．【变式探究】如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N.(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0.则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2 ＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以所求定值为|MF ||NF |＝23＝233. 高频考点二 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点． ①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值．(2)①证明 设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)， 则B (－x 1，－y 1)，因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜 率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)，可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立．②解 直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1，0)，可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98， 所以△OMN 面积的最大值为98.【感悟提升】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．【变式探究】 设点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与它到定点(1，0)的距离之比为2，并记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设M (－2，0)，过点M 的直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，当线段EF 的中点落在由四点C 1(－1，0)，C 2(1，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线l 斜率的取值范围．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，于是x 0＝x 1＋x 22＝－4k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0＋2)＝2k 1＋2k 2， 因为x 0＝－4k 21＋2k 2≤0，所以点G 不可能在y 轴的右边，又直线C 1B 2和C 1B 1的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝－x －1， 所以点G 在正方形内(包括边界)的充要条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 0＋1，y 0≥－x 0－1，即⎩⎪⎨⎪⎧2k 1＋2k 2≤－4k 21＋2k 2＋1，2k 1＋2k 2≥4k 21＋2k 2－1， 亦即⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋2k －1≤0，2k 2－2k －1≤0.解得－3－12≤k ≤3－12，②由①②知，直线l 斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－12，3－12. 高频考点三 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．【例3】如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．从而|DF 1|＝22.(3分) 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322.所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)探究提高 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．2.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.【答案】（I ）22221a k a k +（II ）02e <≤．所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤，由c e a a ==得，所求离心率的取值范围为02e <≤．3.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <<.因此k 的取值范围是)2.4.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析.直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.5.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得22m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==-- ，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 6.【2016高考上海理数】（本题满分14）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
高考数学一轮复习 8.3曲线与方程精品学案 新人教 学案
2013版高考数学一轮复习精品学案：第八章解析几何8.3曲线与方程【高考新动向】1．考纲点击(1)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;(2)了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法;(3)能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.2．热点提示（1）求点的轨迹、轨迹方程是高考的重点;一般用直接法、定义法或相关点法求解,所求轨迹一般为圆锥曲线；（2）经常在解答题的第一问中出现，属中低档题目；有时也在选择、填空题中出现.【考纲全景透析】1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
注：如果中满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。
2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式.(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.即：注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。
【热点难点全析】（一）用直接法求轨迹方程※相关链接※1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x、y的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。
⒉运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.（2）若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.※例题解析※〖例〗如图所示，设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224x y+=交于A、B两点，P是l上满足1PA PB =的点，求点P的轨迹方程。
2013届高考数学一轮复习课件9.9圆锥曲线的综合应用
解 (1)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，且 m≠n)，
∵椭圆过点 M，N，∴m92m＋＋3922nn＝＝11，. ∴椭圆方程为x92＋y42＝1，
解得m＝19， n＝14.
椭圆的离心率 e＝ac＝
93－4＝
5 3.
(2)设存在点 P(x，y)满足题设条件， 则 y2＝41－x92，
∴当 x＝8 时，△OPQ 的面积取到最大值 30.
[14 分]
批阅笔记
(1)主要考查直线、抛物线、两点间距离、函数单调性等知识， 考查抽象思维能力及数形结合的数学思想．(2)S△OPQ 的函数解 析式不能正确表达，是本题的一个重要失分点．(3)忽视对函 数定义域的限定．
方法与技巧
1．求圆锥曲线方程的方法主要有：定义法、待定系数法、 坐标转移法等．
解 (1)∵直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的左顶点 A 和上顶点
D，A(－2,0)，D(0,1)，∴a＝2，b＝1. ∴椭圆方程为x42＋y2＝1. (2)直线 AS 的斜率 k 显然存在，且 k>0，故可设直线 AS 的方 程为 y＝k(x＋2)，从而 M130，163k.
y＝k(x＋2) 由x42＋y2＝1 ，
e2＝32，所以
e＝
6 2.
圆锥曲线中的探索性问题
例 2 如图所示，椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a> b>0)的焦点 F1，F2 和短轴的一个端点 A 构成等边三角形，点 3， 23在椭圆 C 上，直线 l 为椭圆 C 的左准线． (1)求椭圆 C 的方程； (2)点 P 是椭圆 C 上的动点，PQ⊥l，垂足为 Q，是否存在 点 P，使得△F1PQ 为等腰三角形？若存在，求出点 P 的 坐标；若不存在，说明理由．
高考数学复习 第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座35）—曲线方程及圆锥曲线的综合问题一．课标要求：1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3．了解圆锥曲线的简单应用。
二．命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。
1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测09年高考：1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。
三．要点精讲1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：解为坐标的点都是曲线上的点。
要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。
这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。
这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。
即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。
2013届高考数学第一轮精讲精练复习教案9
2012高中数学精讲精练第九章圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 2.椭圆1422=+y x 的离心率为233.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164x y += 4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为544k k ==-或 【范例导析】 例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案-第33讲-圆锥曲线方程及性质
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第33讲 圆锥曲线方程及性质一．课标要求：1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质； 3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
二．命题走向本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲，预测2013年：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．要点精讲1．椭圆 （1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题一．课标要求：1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3．了解圆锥曲线的简单应用。
二．命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。
1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测2013年高考：1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。
三．要点精讲1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。
这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。
即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。
如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。
这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。
解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB |=|AF |+|BF |．在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y )的取值范围。
（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。
（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。
四．典例解析题型1：求轨迹方程例1．（1）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
（2）双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。
解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ， 将圆方程分别配方得：22(3)4x y ++=，22(3)100x y -+=， 当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ①当M 与2O 相切时，有2||10O M R =- ②将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，即12=③移项再两边分别平方得：12x =+ ④两边再平方得：22341080x y +-=，整理得2213627x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=，轨迹是椭圆。
12=，由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，∴26c =，212a =，∴3c =，6a =， ∴236927b =-=，∴圆心轨迹方程为2213627x y +=。
xy1O 2OP（2）如图，设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中3,1a b ==，∴c =∴已知双曲线两焦点为12(F F ， ∵12PF F ∆存在，∴10y ≠由三角形重心坐标公式有1003x y y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即1133x x y y =⎧⎨=⎩ 。
∵10y ≠，∴0y ≠。
已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠。
点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。
例2．设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。
解析：（1）答案：x 2－4y 2＝1 设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）∴2,200y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。
题型2：圆锥曲线中最值和范围问题例3．（1）设AB 是过椭圆x a y ba b 222210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为F c 10()-，，则△F 1AB 的面积最大为（ ）A. bcB. abC. acD. b 2（2）已知双曲线x a y ba b 2222100-=>>()，的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且||||PF PF 124=，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A.43B.53C. 2D.72（3）已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 222591+=上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ） A. 10B. 105-C. 105+D. 1025+解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半。
又||OF c 1=，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为12cb 。
所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。
点评：抓住△F 1AB 中||OF c 1=为定值，以及椭圆是中心对称图形。
（2）解析：由双曲线的定义， 得：||||PF PF a 122-=，又||||PF PF 124=，所以322||PF a =，从而||PF a 223= 由双曲线的第二定义可得||PF x acca 22-=， 所以x a c =532。
又x a a ca ≥≥，即532，从而e c a =≤53。
故选B 。
点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532a ca ≥成立的条件。
利用这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出e 的取值范围。
（3）解析：易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。
连PB ，PF 。
由椭圆的定义知：||||PB PF +=10，所以||||||||||||(||||)PB PF PA PB PA PF PA PF =-+=+-=+-101010，所以。
由平面几何知识，||||||||PA PF AF -≤，即(||||)||min PA PB AF +=+10，而||()()AF =-+-=3420522，所以(||||)min PA PB +=+105。
点评：由△PAF 成立的条件||||||||PA PF AF -<，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出||||||||PA PF AF -≤这一关键结论。
例4．（1）设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值。
（2）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.①求该椭圆的标准方程；②若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；③过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值。
（3）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l 。
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。
解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ，又因为Q 在椭圆上， 所以，x 2=a 2(1－y 2)， |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2， =(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a2+1+a 2。
因为|y|≤1,a>1, 若a≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=11－a 2时, |PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1 ，若1<a<2,则当y=－1时, |PQ|取最大值2。
（2）①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1，又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为1422=+y x 。
②设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0)，由x=210+x 得x 0=2x －1 y=2210+yy 0=2y －21 由,点P 在椭圆上,得1)212(4)12(22=-+-y x ， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)41(4)21(22=-+-y x 。
③当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1。