3.1.1 两角差的余弦公式 课件
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3.1.1 两角差的余弦公式 课件
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(3)由 A＝(A＋B)－B 利用两角差的余弦公式求解． (4)利用两角差的余弦公式解题时，要掌握诸如 α＝α＋2 β＋ α－2 β，2β＝(α＋β)－(α－β)，…角的交换．
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第三章 三角恒等变换
【解】 在△ABC 中，由 cos B＝－23，可得 sin B＝ 35，由
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
新知初探思维启动
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝__c_o_s_α_c_o_s_β_＋__s_i_n_α_s_i_n_β____
简记符号 使用条件
C(α－β) α，β为任意角
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第三章 三角恒等变换
想一想 cos(α－β)＝cos α－cos β一定成立吗？ 提示：cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立． 如：cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°. 做一做 化简：cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝________.
如何利用规律实现更好记忆呢？
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
ห้องสมุดไป่ตู้
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
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第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
如何利用规律实现更好记忆呢？
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
3.1.1 两角差的余弦公式课件
sin α，sin β的值，就可以求得cos(α－β)的值．
例 1、利用差角公式求cos15o 的值。
解法 1：cos15o = cos 45o − 30o
= cos45o cos30o +sin45o sin30o
= 2 3 2 1 × + × 2 2 2 2
=
解法 2：cos15o = cos 60o − 45o = cos60o cos45o +sin60o sin45o
返回
例 3、已知sinα = ，α ∈
5
4
π 2
，π ，cosβ = − ，β是第三象限角，
13
5
求cos （α − β）的值。
解 ： 由sinα =
4 5
，α ∈
π 2
，π ，得
？
联 系 公 式 C（α −β ） 和 本题的条件，要计算
cos （α − β），
注：思维
的有序性和表 应作哪些准备？ 3 2 cosα = − 1 − sin α = − ； 5 达的条理性是 5 由cosβ = − ，β是第三象限角，得 13 三角变换的基
解：(1)原式＝cos(15° －105° )＝cos(－90° )＝0. 1 (2)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)]＝cos(－60° )＝ . 2 (3)原式＝cos 40° cos 70° ＋sin 70° sin 40° ＝cos(70° －40° )＝cos 30° ＝ 3 . 2
6+ 2 4
=
1 2
×
4
2 2
+
3 2
×
1 2
点评：
=
2+ 6
在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数时， 关键在于把待求的 角转化为已知角或者特殊角(如 30°，45°等)的差，然后求值．
例 1、利用差角公式求cos15o 的值。
解法 1：cos15o = cos 45o − 30o
= cos45o cos30o +sin45o sin30o
= 2 3 2 1 × + × 2 2 2 2
=
解法 2：cos15o = cos 60o − 45o = cos60o cos45o +sin60o sin45o
返回
例 3、已知sinα = ，α ∈
5
4
π 2
，π ，cosβ = − ，β是第三象限角，
13
5
求cos （α − β）的值。
解 ： 由sinα =
4 5
，α ∈
π 2
，π ，得
？
联 系 公 式 C（α −β ） 和 本题的条件，要计算
cos （α − β），
注：思维
的有序性和表 应作哪些准备？ 3 2 cosα = − 1 − sin α = − ； 5 达的条理性是 5 由cosβ = − ，β是第三象限角，得 13 三角变换的基
解：(1)原式＝cos(15° －105° )＝cos(－90° )＝0. 1 (2)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)]＝cos(－60° )＝ . 2 (3)原式＝cos 40° cos 70° ＋sin 70° sin 40° ＝cos(70° －40° )＝cos 30° ＝ 3 . 2
6+ 2 4
=
1 2
×
4
2 2
+
3 2
×
1 2
点评：
=
2+ 6
在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数时， 关键在于把待求的 角转化为已知角或者特殊角(如 30°，45°等)的差，然后求值．
人教版高中数学第三章1两角差的余弦公式(共14张PPT)教育课件
2
10
练习： P142 .3
c o s(α - β ) c o s α c o s β + sin α sin β
学 例3.已知
sinα= 54，α2,，co sβ
=
-
5 13
，
以 β是第三象限角，求cos(α-β)的值
致
用
c o s(α - β ) c o s α c o s β + sin α sin β
变角: β=α+βα
分析：c o c so s
cα o β s co s sα i α β n sinα
5 4 12 3 135135
16 65
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β).
作业：P152. 2、3
再见
c o s(α - β ) c o s α c o s β + sin α sin β
思考题：已知α ， β 都是锐角, c o sα
=
4， 5
cosα+β 5 求cosβ的值 13
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
c o s(α - β ) c o s α c o s β + sin α sin β
例1.利用差角余弦公式求c o s 1 5 的值
学 分析: cos15cos4530
以
高中数学 3.1.1两角差的余弦公式课件1 新人教A版必修4
是第三象限角
5
2
13
求 cos( ) 33 65
第三章 三角恒等变换
• 4、
求 1 cos15 3 sin15的值
2
2
1 cos15 3 sin15 cos 60cos15 60 sin15sin15
2
2
cos 600 150 2 2
第三章 三角恒等变换
• 5、
cos 1 , cos( ) 11 ,且、 （0， ），求cos
知识运用
第三章 三角恒等变换
• 1、解决引例中的问题． W 30 cos(600 ) 12 9 3
第三章 三角恒等变换
• 2、计算
cos15
cos 600 450 6 2 cos 450 300 4
第三章 三角恒等变换
• 3、已知 sin 4 , ( , ),cos 5 ,
2
三角 函数
cos120 cos30
sin120 sin 30
三角函 3 数值 2
3
1
1
2
2
2
提出猜想
第三章 三角恒等变换
cos( ) cos cos sin sin
理论证明：
第三章 三角恒等变换
• 方法一（利用三角函数线）
y
P1
1
A
P C
O
B
M1
x
第三章 三角恒等变换
方法二：（利用向量）
第三章 三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
3．1.1 两角差的余弦公式
一、走入生活
第三章 三角恒等变换
• 例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水 平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水 平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F 的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F作用 在物体上的功W．
课件9：3.1.1 两角差的余弦公式
类型 3 给值求角
典例 3 已知 α、 β 均为锐角，且 cos α＝255，
cos β＝ 1100，求 α－β 的值．
解：因为
α、β
均为锐角，所以
sin
α＝
55，sin
β＝3
10 10 .
所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝2
5 5×
1100＋
55×3 1010＝
迁移探究 (变换条件)若把本例中的“α，β∈0，π2”改 为“α， β∈2π，π”，求 cos β 的值． 解：因为 α， β∈2π，π，所以 π＜α＋β＜2π， 由 cos(α＋ β )＝－1665，得 sin(α＋ β )＝－6635， 又 sin α＝45，
所以 cos α＝－35， 所以 cos β＝cos[(α＋β )－α]＝ cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1665×－35＋－6653×45＝－230245.
＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝cos
60°cos
105°＋sin
60°sin
105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
【答案】(1)B
2 (2) 2
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法 1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接 展开求解． 2．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数 值，再利用两角差的余弦公式求解． 3．求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特 殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1两角差的余弦公式课件
0
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值
α +β α 变角: β =
分析： cos
cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5
问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、余 弦来表示cos(α -β )？
思考：你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
OA cosα ,sinα
OB cosβ , sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
3.1.1两角差的余弦公式
学习目标
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明 过程 ； 2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式 进行简单的三角函数式的求值、化简和 证明。
公式引入：
.已知OP为角的终边，求单位圆上向量 OP 的坐标
Y P
O X
两个向量的数量积
a b a b cosθ 其中θ
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
对于任意角
α , β
结 论 归 纳
cos( α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
差角的余弦公式
C
αβ
∈[0，π
]
a x1 , y1
b x2 , y2
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值
α +β α 变角: β =
分析： cos
cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5
问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、余 弦来表示cos(α -β )？
思考：你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
OA cosα ,sinα
OB cosβ , sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
3.1.1两角差的余弦公式
学习目标
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明 过程 ； 2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式 进行简单的三角函数式的求值、化简和 证明。
公式引入：
.已知OP为角的终边，求单位圆上向量 OP 的坐标
Y P
O X
两个向量的数量积
a b a b cosθ 其中θ
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
对于任意角
α , β
结 论 归 纳
cos( α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
差角的余弦公式
C
αβ
∈[0，π
]
a x1 , y1
b x2 , y2
3.1.1两角差的余弦公式PPT
π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式： 两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角 已知一个角的正弦 的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的 象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝ ，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝ ， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ ＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用 掌握两角差的余弦公式， 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出， 数值可以直接写出，利用诱导公式还可进 一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求 函数值.我们希望再引进一些公式， 更多的非特殊角的三角函数值， 更多的非特殊角的三角函数值，同时也为 三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.
两角和与差的余弦ppt课件
P2
β
P0
x
OP1 (cos,sin) OP2 (cos ,sin )
OP1 OP2 1
cos cos P1OP2
OP1 OP2 OP1 OP2
OP1 OP2
cos cos sin sin
3
二、两角和与差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin (C ) cos( ) cos cos sin sin (C )
(2)sin x ysin x cos x ycos x
(3)
cos
3
cos
3
【评】公式的正用、逆用和灵活运用。
11
例5、已知：sin
2 ，
3
2
，
，cos
3, 5
,
3
2
求：cos 的值。
练习：已知锐角、满足sin 5 ，cos 3 10
5
10
求： 的值。
【评】和差角公式与同角三角函数公式的综合运用，在由sin
C C
13
第3章 三角恒等变换
3.1.1 两角和与差的余弦
1
两角和与差的余弦
一、问题情境：
cos 60
1 2
cos 45
2 2
问题1：cos15 cos60 45 ？
问题2：cos 能否用α的三角函数与β的 三角函数来表示？
2
两角和与差的余弦
y
(cos,sin) P1
α o
(cos ,sin )
的值求 cos 的值，或由cos 的值求sin 的值时，要注意根据角 的范围，确定三角函数值的符号。
12
四、课堂小结:
1 、两角和与差的余弦公式：
cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin
β
P0
x
OP1 (cos,sin) OP2 (cos ,sin )
OP1 OP2 1
cos cos P1OP2
OP1 OP2 OP1 OP2
OP1 OP2
cos cos sin sin
3
二、两角和与差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin (C ) cos( ) cos cos sin sin (C )
(2)sin x ysin x cos x ycos x
(3)
cos
3
cos
3
【评】公式的正用、逆用和灵活运用。
11
例5、已知：sin
2 ，
3
2
，
，cos
3, 5
,
3
2
求：cos 的值。
练习：已知锐角、满足sin 5 ，cos 3 10
5
10
求： 的值。
【评】和差角公式与同角三角函数公式的综合运用，在由sin
C C
13
第3章 三角恒等变换
3.1.1 两角和与差的余弦
1
两角和与差的余弦
一、问题情境：
cos 60
1 2
cos 45
2 2
问题1：cos15 cos60 45 ？
问题2：cos 能否用α的三角函数与β的 三角函数来表示？
2
两角和与差的余弦
y
(cos,sin) P1
α o
(cos ,sin )
的值求 cos 的值，或由cos 的值求sin 的值时，要注意根据角 的范围，确定三角函数值的符号。
12
四、课堂小结:
1 、两角和与差的余弦公式：
cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin
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π 4 π 3π 解：∵ sin(α＋ )＝ ，且 <α< ， 4 5 4 4 π π ∴ <α＋ <π， 2 4 π ∴ cos(α＋ )＝－ 4 42 3 1－ ＝－ ， 5 5
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
π π ∴ cos α＝ cos [(α＋ )－ ] 4 4 π π π π ＝ cos(α＋ )cos ＋ sin(α＋ )sin 4 4 4 4 3 2 4 2 2 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 2 5 2 10
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
5 又因为 cos β＝－ ， β 是第三象限角，所以 13 sin β＝－ 1－ cos2β＝－ 5 12 1－－ 2＝－ ， 13 13
所以 cos(α－ β)＝ cos αcos β＋ sin αsin β 3 5 4 12 33 ＝ (－ )× (－ )＋ × (－ )＝－ . 5 13 5 13 65
4 sin(A＋ B)＝ sin(π－ C)＝ sin C＝ ， 5 3 2 4 5 6＋4 5 ∴ cos A＝ cos[(A＋ B)－ B]＝－ × (－ )＋ × ＝ . 5 3 5 3 15
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
跟踪训练
π 4 π 3π 3．已知 sin(α＋ )＝ ，且 <α< ，求 cos α 的值． 4 5 4 4
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
【名师点评】
(1) 对于角度大的式子的化简问题，
应先根据诱导公式将角度化小(一般是化成锐角)．
(2) 在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分 常见的，要注意培养这种能力．
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
跟踪训练 1．不查表求下列各式的值：
(1)cos 43° cos 88° ＋sin 43° sin 92° ； 1 3 (2) cos 105° ＋ sin 105° . 2 2
3 解：∵ sin α＝ >0，∴ α 为第一、二象限角． 5 4 当 α 为第一象限角时， cos α＝ ； 5 4 当 α 为第二象限角时， cos α＝－ . 5
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
15 ∵ cos β＝ 且 β 为第一象限角． 17 8 ∴ sin β＝ ； 17 ∴当 α 为第一象限角时， 4 15 3 8 84 cos(α－ β)＝ × ＋ × ＝ ； 5 17 5 17 85 当 α 为第二象限角时， 4 15 3 8 36 cos(α－ β)＝ (－ )× ＋ × ＝－ . 5 17 5 17 85
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
题型三 例3
由三角函数值求角
设A， B为锐角△ ABC的两个内角，向量 a＝(2cos
A,2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)．若a，b的夹角为60°，
求A－B的值．
解：∵a＝(2cos A,2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)， ∴|a|＝2，|b|＝3， 又 a，b 的夹角为 60° ， ∴a· b＝|a||b|cos 60° ＝2cos A· 3cos B＋2sin A· 3sin B，
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
新知初探思维启动
两角差的余弦公式 公式
cos αcos β＋sin αsin β cos(α－β)＝_______________________
简记符号
C(α－β) α，β为任意角
使用条件
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第三章
三角恒等变换
想一想
cos(α－β)＝cos α－cos β一定成立吗？ 提示：cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立． 如：cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°. 做一做
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
法二：原式＝ cos 15° ＝ cos(45° － 30° ) ＝ cos 45° cos 30° ＋ sin 45° sin 30° 6＋ 2 2 3 2 1 ＝ × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4 (2)原式＝ cos 80° cos 35° ＋ sin 80° sin 35° ＝ cos(80° －35° ) 2 ＝ cos 45° ＝ . 2
化简：cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝________.
1 答案： 2
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 例1 给角求值 计算：(1)cos(－15°)；
(2)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°.
【解】 (1)法一：原式＝ cos(30° － 45° ) ＝ cos 30° cos 45° ＋ sin 30° sin 45° ＝ 6＋ 2 3 2 1 2 × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
1 ∴ 2× 3× ＝ 6cos(A－ B)， 2 1 ∴ cos(A－ B)＝ . 2 ∵ A、 B 为锐角， π π ∴－ <A－ B< ， 2 2 π ∴ A－ B＝ ± . 3
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
【名师点评】
解这类问题一般分三步：第一步，求
角的某一三角函数值；第二步，确定角所在的范围； 第三步，根据角的范围写出所求角．
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
方法感悟
1．两角差的余弦公式中，α、β可以是单个角，也可以是两个 角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 如例3. 2．在两角差的余弦公式的求值应用中，一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式 的结构形式，然后逆用公式求值．如例1(2)．
第三章
三角恒等变换
第三章
三角恒等变换
第三章
三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1 两角差的余弦公式
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
学习导航
学习目标 公式的 运用 重点难点 重点：公式的导出与应用． 两角差的余弦公 掌握 实例 ― ― → 式的推导过程 ― ― →
理解
难点：公式的运用技巧．
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
驾驶员之家 /ks/ 2016年新题库科目一模拟考试 驾驶员之家 /aqks/ 2016年安全文明驾驶常识模拟 考试 驾驶员之家 /chexing/c1.html C1驾驶证能开什么车 驾驶员之家 /chexing/c2.html C2驾驶证能开什么车 驾驶员之家 /chexing/c3.html C3驾驶证能开什么车 驾驶员之家 /chexing/c4.html C4驾驶证能开什么车 驾驶员之家 /chexing/a1.html A1驾驶证能开什么车 驾驶员之家 /chexing/a2.html A2驾驶证能开什么车 驾驶员之家 /chexing/a3.html A3驾驶证能开什么车 驾驶员之家 /chexing/b1.html B1驾驶证能开什么车 驾驶员之家 /chexing/b2.html B2驾驶证能开什么车
解：(1)原式＝cos 43° cos 88° ＋ sin 43° sin 88° 2 ＝ cos(43° － 88° )＝ cos(－45° )＝ cos 45° ＝ . 2 (2)原式＝cos 60° cos 105° ＋sin 60° sin 105° 2 ＝ cos(60° － 105° )＝ cos(－ 45° )＝cos 45° ＝ . 2
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第三章
三角恒等变换
精彩推荐典例展示
名师解题 例4 利用角的分拆与配凑求值
4 2 已知△ABC 中，sin C＝ ，cos B＝－ ，求 cos A. 5 3
抓信息 破难点
2 (1)由 cos B＝－ 知 B 为钝角， A、 C 为锐角． 3 (2)由诱导公式知 cos(A＋ B)＝－ cos C，可求出 cos(A＋ B)， sin(A＋ B)的值．
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第三章
三角恒等变换
(3)由 A＝ (A＋ B)－B 利用两角差的余弦公式求解． α＋ β (4)利用两角差的余弦公式解题时，要掌握诸如 α＝ ＋ 2 α－ β ，2β＝ (α＋ β)－ (α－ β)，…角的交换． 2
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第三章
三角恒等变换
2 5 【解】 在△ ABC 中，由 cos B＝－ ，可得 sin B＝ ，由 3 3 2 cos B＝－ <0，知 B 为钝角，∴ C 为锐角，∴ cos(A＋ B)＝ 3 cos(π－ C)＝－cos C＝－ 3 1－ sin2C＝－ ， 5
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第三章
三角恒等变换
【名师点评】
利用差角的余弦公式求值时，不能
机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用
公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这
两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代 入公式即可求解．
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三角恒等变换
跟踪训练
3 15 2．已知 sin α＝ ，cos β＝ ，β 为第一象限角， 求 cos(α 5 17 － β)的值．
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第பைடு நூலகம்章
三角恒等变换
题型二
给值求值
例2
4 π 5 已知 sin α＝ ，α∈ ( ，π)，cos β＝－ ，β 是第三 5 2 13
象限角，求 cos(α－ β)的值．
π 4 【解】 因为 α∈ ( ， π)， sin α＝ ， 2 5 由此得 cos α＝－ 1－ sin2α＝ － 4 3 1－ 2＝－ . 5 5
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三角恒等变换
π π ∴ cos α＝ cos [(α＋ )－ ] 4 4 π π π π ＝ cos(α＋ )cos ＋ sin(α＋ )sin 4 4 4 4 3 2 4 2 2 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 2 5 2 10
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第三章
三角恒等变换
5 又因为 cos β＝－ ， β 是第三象限角，所以 13 sin β＝－ 1－ cos2β＝－ 5 12 1－－ 2＝－ ， 13 13
所以 cos(α－ β)＝ cos αcos β＋ sin αsin β 3 5 4 12 33 ＝ (－ )× (－ )＋ × (－ )＝－ . 5 13 5 13 65
4 sin(A＋ B)＝ sin(π－ C)＝ sin C＝ ， 5 3 2 4 5 6＋4 5 ∴ cos A＝ cos[(A＋ B)－ B]＝－ × (－ )＋ × ＝ . 5 3 5 3 15
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三角恒等变换
跟踪训练
π 4 π 3π 3．已知 sin(α＋ )＝ ，且 <α< ，求 cos α 的值． 4 5 4 4
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三角恒等变换
【名师点评】
(1) 对于角度大的式子的化简问题，
应先根据诱导公式将角度化小(一般是化成锐角)．
(2) 在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分 常见的，要注意培养这种能力．
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三角恒等变换
跟踪训练 1．不查表求下列各式的值：
(1)cos 43° cos 88° ＋sin 43° sin 92° ； 1 3 (2) cos 105° ＋ sin 105° . 2 2
3 解：∵ sin α＝ >0，∴ α 为第一、二象限角． 5 4 当 α 为第一象限角时， cos α＝ ； 5 4 当 α 为第二象限角时， cos α＝－ . 5
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三角恒等变换
15 ∵ cos β＝ 且 β 为第一象限角． 17 8 ∴ sin β＝ ； 17 ∴当 α 为第一象限角时， 4 15 3 8 84 cos(α－ β)＝ × ＋ × ＝ ； 5 17 5 17 85 当 α 为第二象限角时， 4 15 3 8 36 cos(α－ β)＝ (－ )× ＋ × ＝－ . 5 17 5 17 85
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三角恒等变换
题型三 例3
由三角函数值求角
设A， B为锐角△ ABC的两个内角，向量 a＝(2cos
A,2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)．若a，b的夹角为60°，
求A－B的值．
解：∵a＝(2cos A,2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)， ∴|a|＝2，|b|＝3， 又 a，b 的夹角为 60° ， ∴a· b＝|a||b|cos 60° ＝2cos A· 3cos B＋2sin A· 3sin B，
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三角恒等变换
新知初探思维启动
两角差的余弦公式 公式
cos αcos β＋sin αsin β cos(α－β)＝_______________________
简记符号
C(α－β) α，β为任意角
使用条件
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三角恒等变换
想一想
cos(α－β)＝cos α－cos β一定成立吗？ 提示：cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立． 如：cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°. 做一做
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三角恒等变换
法二：原式＝ cos 15° ＝ cos(45° － 30° ) ＝ cos 45° cos 30° ＋ sin 45° sin 30° 6＋ 2 2 3 2 1 ＝ × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4 (2)原式＝ cos 80° cos 35° ＋ sin 80° sin 35° ＝ cos(80° －35° ) 2 ＝ cos 45° ＝ . 2
化简：cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝________.
1 答案： 2
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三角恒等变换
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 例1 给角求值 计算：(1)cos(－15°)；
(2)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°.
【解】 (1)法一：原式＝ cos(30° － 45° ) ＝ cos 30° cos 45° ＋ sin 30° sin 45° ＝ 6＋ 2 3 2 1 2 × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4
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1 ∴ 2× 3× ＝ 6cos(A－ B)， 2 1 ∴ cos(A－ B)＝ . 2 ∵ A、 B 为锐角， π π ∴－ <A－ B< ， 2 2 π ∴ A－ B＝ ± . 3
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【名师点评】
解这类问题一般分三步：第一步，求
角的某一三角函数值；第二步，确定角所在的范围； 第三步，根据角的范围写出所求角．
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方法感悟
1．两角差的余弦公式中，α、β可以是单个角，也可以是两个 角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 如例3. 2．在两角差的余弦公式的求值应用中，一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式 的结构形式，然后逆用公式求值．如例1(2)．
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三角恒等变换
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三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1 两角差的余弦公式
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三角恒等变换
学习导航
学习目标 公式的 运用 重点难点 重点：公式的导出与应用． 两角差的余弦公 掌握 实例 ― ― → 式的推导过程 ― ― →
理解
难点：公式的运用技巧．
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解：(1)原式＝cos 43° cos 88° ＋ sin 43° sin 88° 2 ＝ cos(43° － 88° )＝ cos(－45° )＝ cos 45° ＝ . 2 (2)原式＝cos 60° cos 105° ＋sin 60° sin 105° 2 ＝ cos(60° － 105° )＝ cos(－ 45° )＝cos 45° ＝ . 2
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名师解题 例4 利用角的分拆与配凑求值
4 2 已知△ABC 中，sin C＝ ，cos B＝－ ，求 cos A. 5 3
抓信息 破难点
2 (1)由 cos B＝－ 知 B 为钝角， A、 C 为锐角． 3 (2)由诱导公式知 cos(A＋ B)＝－ cos C，可求出 cos(A＋ B)， sin(A＋ B)的值．
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(3)由 A＝ (A＋ B)－B 利用两角差的余弦公式求解． α＋ β (4)利用两角差的余弦公式解题时，要掌握诸如 α＝ ＋ 2 α－ β ，2β＝ (α＋ β)－ (α－ β)，…角的交换． 2
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2 5 【解】 在△ ABC 中，由 cos B＝－ ，可得 sin B＝ ，由 3 3 2 cos B＝－ <0，知 B 为钝角，∴ C 为锐角，∴ cos(A＋ B)＝ 3 cos(π－ C)＝－cos C＝－ 3 1－ sin2C＝－ ， 5
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利用差角的余弦公式求值时，不能
机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用
公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这
两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代 入公式即可求解．
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3 15 2．已知 sin α＝ ，cos β＝ ，β 为第一象限角， 求 cos(α 5 17 － β)的值．
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给值求值
例2
4 π 5 已知 sin α＝ ，α∈ ( ，π)，cos β＝－ ，β 是第三 5 2 13
象限角，求 cos(α－ β)的值．
π 4 【解】 因为 α∈ ( ， π)， sin α＝ ， 2 5 由此得 cos α＝－ 1－ sin2α＝ － 4 3 1－ 2＝－ . 5 5