静态场中的边值问题
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电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
静态场的边值问题 优秀课件
①变量的分离
2220
x2 y2 z2
令 (x ,y ,z ) f(x )g (y )h (z )，并代入上式
并两边同除以 f(x)g(y)h(z)得
1 2f(x)1 2g(y)12h(z)0 f(x) x2 g(y) y2 h(z) z2
k
2 x
k
2 y
k
2 z
则上式分解成三个独立的全微分方程，即
k xi ,k yi ,k zi ( i 1 ,2 ,3 , ,n )
本征值对应的函数称为本征函数或本征解。
所有本征解的线性叠加构成满足拉普拉斯方程的通解
(x,y,z) n i(x,y,z) nfi(x)g i(y)h i(z)
i 1
i 1
在许多问题中，单一本征函数不能满足所给的边界条件，而级 数形式的通解则可以满足单个解函数所无法满足的边界条件。
令 f = 0，即可得到拉普拉斯方程情况的证明
3、应用 求解边界问题时，可以先将复杂边界条件分解成便于求解 的几个边界条件，则总的边界问题解就是这些解的叠加。
例：
2 0
s1 C 1
s2 C 2
s3 C 3
分解为三个边界问题
21 0
1
s1
C1
1
s2
0
1 s3
0
22 0
静态场的边值问题
边值问题 研究方法
解析法 数值法
分离变量法
镜像法
复变函数法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
• • • •
§5.1 唯一性定理和解的叠加原理
一. 唯一性定理
1、表述
在给定的区域内，泊松方程（或拉普拉斯方程）满足所给 定的全部边界条件的解是唯一的。 2、边界条件的形式
第5章 静态场边值问题的解法
两边同乘 sin
b
b m y n y m y 0 V sin b dy 0 Cn sin b sin b dy n 1 b m y n y
b
并从0 → b积分：
C
n 1
n 0
sin
0 m y n y ∵ sin sin dy 0 b b b / 2
，即
n
具有轴对称性，通解为
P0 1
bn ( R, ) (a n R n 1 ) Pn (cos ) R n
若 与
P1 (cos ) cos
Pn (cos ) -----为勒让德函数
1 P2 (cos ) (3 cos 2 1) 2
三 、求解场方法
（一）、直接积分法（一维场）
适用条件：一些简单对称的问题 例：5.1
（二）.
拉普拉斯方程
—— 分离变量法
•分离变量法的适用条件 •拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式 •解题步骤 •应用实例
•拉普拉斯方程的适用条件 1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导
体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即 0 0 为已知自由电荷产生 ， 的电势， 不满足 2 0 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 2 0 但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
第四章 静态场边值问题的解法
nπ nπ Fn ' sin( x) sh( y ) a a n 1
上 页 下 页
π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
上 页 下 页
返 回
由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
上 页 下 页
若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
返 回 上 页 下 页
例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
上 页 下 页
π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
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返 回
由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
上 页 下 页
若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
返 回 上 页 下 页
例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
静态场的解法
▪ 常遇到旳边值问题有三种： （1）全部边界上旳位函数是已知旳，称为第一类 边值问题，又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。 （2）全部边界上旳法线方向旳位函数旳导数是已 知旳，称为第二类边值问题，又称为纽曼 （Neumann）问题。
（3）混合边值问题，又称为第三类边值问题， 它是第一类和第二类边值问题旳混合型。
式中常数Am、Bm由边界条件决定。 例3.8 无限大介质外加均匀电场，在介质内有一种半 径为a旳球形空腔，介质旳介电常数为ε，求空腔内、 外旳电位分布及电场强度。
解 本题为球坐标系中具有轴对称性旳二维场问题 在空腔内旳通解为
在介质中旳通解为
下面利用边界条件拟定各个系数。 所以B1=0 ③ 系数A1、C1、D1能够由r=a时旳边界条件求出，当 r=a时由φ1=φ2 所以能够得出
所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.7）变为
(3.4.8) 用n替代k，并把式（3.4.5）改写为如下形式
(3.4.9)
它是一种欧拉方程，其解为
(3.4.10)
式中旳系数由边界条件拟定
（3.4.11）
球坐标系中旳拉普拉斯方程为 ▪ 2.在球坐标系旳分离
变量法 在球坐标系中具有轴对称旳二维场旳解
按照梯形算法，每一种小梯形区间宽度为
，
第n个梯形采样点为
则 然后编写程序计算数值解。
2.有限差分法
在一种闭合边界L所界定旳平面域，其定解问 题可表述为
首先是把求解旳场域离散化，即在求解旳场域划提成 网格，网格旳划分有许多种措施，最简朴旳是正方形 网格划分，如图3.6.2所示。然后对偏微分方程进行 离散化，对正方形网格可采用五点差分格式。在二维 场域中取一点P，则沿x轴方向并经过P点旳直线上任 意一点旳数值ux用泰勒公式展开为
（3）混合边值问题，又称为第三类边值问题， 它是第一类和第二类边值问题旳混合型。
式中常数Am、Bm由边界条件决定。 例3.8 无限大介质外加均匀电场，在介质内有一种半 径为a旳球形空腔，介质旳介电常数为ε，求空腔内、 外旳电位分布及电场强度。
解 本题为球坐标系中具有轴对称性旳二维场问题 在空腔内旳通解为
在介质中旳通解为
下面利用边界条件拟定各个系数。 所以B1=0 ③ 系数A1、C1、D1能够由r=a时旳边界条件求出，当 r=a时由φ1=φ2 所以能够得出
所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.7）变为
(3.4.8) 用n替代k，并把式（3.4.5）改写为如下形式
(3.4.9)
它是一种欧拉方程，其解为
(3.4.10)
式中旳系数由边界条件拟定
（3.4.11）
球坐标系中旳拉普拉斯方程为 ▪ 2.在球坐标系旳分离
变量法 在球坐标系中具有轴对称旳二维场旳解
按照梯形算法，每一种小梯形区间宽度为
，
第n个梯形采样点为
则 然后编写程序计算数值解。
2.有限差分法
在一种闭合边界L所界定旳平面域，其定解问 题可表述为
首先是把求解旳场域离散化，即在求解旳场域划提成 网格，网格旳划分有许多种措施，最简朴旳是正方形 网格划分，如图3.6.2所示。然后对偏微分方程进行 离散化，对正方形网格可采用五点差分格式。在二维 场域中取一点P，则沿x轴方向并经过P点旳直线上任 意一点旳数值ux用泰勒公式展开为
静态场中的边值问题
方程（4-47）的通解为
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
该式的系数由问题的边界条件确定。
勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
如果所讨论的空间包含从0→2，因为 必须是单值 的，即，
（4-30） （4-31）
1.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) C0 ln r D0
2.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) Cnr n Dnr n
（4-32）
圆柱坐标中二维场的的通解
由于
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
该式的系数由问题的边界条件确定。
勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
如果所讨论的空间包含从0→2，因为 必须是单值 的，即，
（4-30） （4-31）
1.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) C0 ln r D0
2.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) Cnr n Dnr n
（4-32）
圆柱坐标中二维场的的通解
由于
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
第5章 静态场的边值问题(1)静态场边值问题的基本概念
2
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
9
第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
5
一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
/ 2 A J
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
9
第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
5
一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
/ 2 A J
电磁场与电磁波课件第5章 静态场的边值问题
1 2 ，
然后进行 证明.同样可得出结论,其解唯一.
设φ1φ2是同一有源区域的边值问题
2 的解。 | f1 ( S )
即在区域V内，φ1和φ2满泊松方程，即
1 2 2
2
在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件， 即
5.3.1 导体平面镜像
设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。 若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半 空间中的电场。 分析：上半空间任一点 P处的电位，应等于点 电荷q和无限大导体平 板上感应的负电荷产生 的的电位总和。因此， 上半空间的电位问题可 表示为 ：
2
C (常数)
0
1 2
C 0
5.3 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边
界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程 大为简化。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界 条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜 像电荷，而这种方法称为镜像法。
2 A ( A) A J
人为规定
A 0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2 A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
在没有电流的区域有J 0
2 A0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。 (2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 H 0 B 0 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数
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[ An sin(kxn x) Bn cos(kxn x)][Cnekxn y Dnekxn y ] n1
(4-12a） （4-12b）
❖
b.当
k
2 y
0
时，偏微分方程（4-1）的通解为
(x, y) ( A0x B0 )(C0 y D0 )
（4-13a）
[ An sinh(kyn x) Bn cosh(kyn x)][Cn sin(kyn y) Dn cos(kyn y)]
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
(r,) (r, 2K )
（K为整数），所以（4-33）式中的
A0 0
（4-33）
4.4 球坐标系中的分离变量法
❖ 讨论场问题与坐标 无关时：与坐标 无关的拉普 拉斯方程为
◆ 二维问题的分离变量过程：
❖ 若边界面形状适合用直角坐标表示，则在直角坐标 系中求解，以二维的拉普拉斯方程为例，求解电位 函数，设 (x, y) ，电位函数满足
2
x2
2
y 2
0
❖ 待求的电位函数用二个函数的乘积表示为
f (x)g(y)
将式（4-2）代入式（4-1），得
（4-1） （4-2）
静态场边值问题解满足3个条件：
❖ (1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
❖ (2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
❖ (3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
❖ 第一类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的 电位。为狄里赫利问题（Dirichlet）。
❖ 第二类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的 电位的法向导数。称为诺埃曼问题(Neumann)。
❖ 第三类边值问题的特征是：已知部分边界上任一点 的电位和另一部分边界上任一点的电位的法向导数。 称为混合边值问题(Robbin)。
❖ 勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
1 2
3(cos2
1)
P3 ( x)
1 (5x3 2
3x)
1 (5cos3 2
3cos )
P4
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 8
(35 cos4
30 cos2
3)
个有界解
Pm (x)
1 2m m!
dm dxm
(x2
1)m
（4-51）
Pm (x)称为勒让德多项式。
方程（4-48）是欧拉方程，其解为
f (r) Am r m Bm r (m1)
❖ 方程（4-47）的通解为
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
❖ 该式的系数由问题的边界条件确定。
❖ 要上式对所有的r、值成立，须每项都等于常数。 令第一项等于（ 2），得
d
2 g( d 2
)
2
g
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
❖ 1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
❖ 2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
a：当 kx2 0 时，偏微分方程（4-1）的通解 为
(x, y) ( A0x B0 )(C0x D0 )
或
[ An sin(kxn x) Bn cos(kxn x)][Cn sinh(kxn y) Dn cosh(kxn y)] n1
(x, y) ( A0x B0 )(C0x D0 )
d2 f (x) dx2
kx2
f
(x)
（4-4）
d2 g( y) dy 2
k
2 y
g
(
y)
❖ kx k y 为分离常数，是待定的常数，须满足
kx2
k
2 y
0
（4-5） （4-6 ）
1.当 时 ❖
kx2
k
2 y
Байду номын сангаас
0
方程（4-4）和(4-5)的解为
f (x) A0 x B0
g( y) C0x D0
d d
sin
dg( ) d
m(m
1)g
(
)=0
❖ 引入一个新的自变量x cos ，有
d d dx sin d
d dx d
dx
式（4-49）可变为
d dx
(1
x2
)
dg (x) dx
m(m
1)g
(x)
0
这是勒让德方程。
（4-48） （4-49）
（4-50）
❖ 对于x的变化范围从1到-1的情况，勒让德方程有一
n1
或 (x, y) ( A0x B0 )(C0 y D0 ) [ Anekynx Bnekynx ][Cn sin(kyn y) Dn cos(kyn y)] n1
❖ 拉普拉斯方程的解：
f (x)g(y)
（4-13b）
然后根据所给定的边界条件定出满足所有边界条件 的具体问题的解
g( y) f (x) f (x)g( y) 0
f (x) d 2 f (x) , g( y) d 2g(x)
dx2
dy 2
用 f (x)g(y) 除上式，得
f
1 (x)
d2 f (x) dx2
1 g( y)
d 2 g ( x) dy 2
0
（4-3）
❖ 上式成立的唯一条件是二项中每项都是常数，故有
(4-7)
(4-8) (4-9a）
所以
(x, y) [ Asin(kx x) B cos(kx x)][C sinh(kx y) D cos(kx y)]
(4-10a)
或
(x, y) [ Asin(kx x) B cos(kx x)][Cekx y Dekx y ]
(4-10b)
3.当 , 时， ❖
P5
(x)
1 8
(63x5
70x3
15 x)
1 8
(63 cos5
70
cos3
15 cos
)
❖ 勒让德多项式具有正交性
1
0 Pm (cos )Pn (cos )sind 1Pm (x)Pn (x)dx 0 (m n)
0
[Pm
(cos
)]2sin
d
1
1[Pm
(x)]2dx
2 2m 1
4.2 直角坐标中的分离变量法
◆分离变量法：通过偏微分方程求解边值问题。 ◆基本思想：
1.要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合， 或者至少分段地与坐标面相合； 2.在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个 函数的乘积，其中的每个函数分别仅是一个坐标的 函数。 3.通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求解。
第四章 静态场中的边值问题
❖ 解边界值问题的方法： 1、理论计算方法 ◆ 解析法 ◆ 近似计算法 数值计算法 图解法
2、场的实验研究方法： ◆ 直接测量法 ◆ 电模拟法
4.1 问题的分类
一、分布型问题 ❖ (1) 已知场源分布，求解电场或磁场。 ❖ (2) 已知电场（或电位）、磁场分布，反推场源。 二、边值型问题 ❖ 边值型问题究竟是什么？ ❖ 边值型问题都有哪些类型？ ❖ 怎样保证边值型问题有且仅有惟一解？
❖ 应用镜像法求解的关键： 如何确定像电荷
镜像电荷的确定应应遵循以下两条原则： （根据唯一性定理） ❖ (1) 所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间
中。 ❖ (2) 镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小由满足场
域边界上的边界条件来确定。
一、 静电场中的镜像法
❖ 1. 平面边界的镜像法
❖ 【例4-6】 设在无限大导体平面( z 0 )附近有一点 电荷，与平面距离为 z h，导体平面是等位面，假设 其电位为零，如图4-6所示。求上半空间中的电场。
(m n)
4.5 镜像法
◆ 镜像法的基本思想： 1.电场区域外某个位置上，有一假想镜像电荷。 2.电荷的引入不改变所求电场区域的场方程，镜像 电荷产生的电场与导体面(或介质面)上的感应电荷 (或极化电荷)产生的电场等效。 3.镜像电荷代替导体面(或介质面)上的感应电荷(或 极化电荷)后： 首先所求电场区域内的场方程不变， 其次给定的边界条件仍满足，
（惟一性定理 ）
❖ 静态场边值型问题：已知场量（或其位函数）在场 域边界上的值（含法向导数），求解场域内部任一 点的场量。
❖ 定解条件=泛定方程+边界条件+初始条件。
❖ 衔接条件：在场域内，媒质参数必须是已知的，但 允许它们突变（即存在不同媒质的分界面）或渐变 （是空间坐标的函数）。
在不同媒质分界面的两侧，场量（或其位函数）应 满足边值关系，在偏微分方程定解问题中常被称为 衔接条件。
惟一的，因为常数的梯度恒等于0。
❖ 说明：
① 第一、二、三类边值问题是适定的
因为它们对边界条件提出的要求既是充分的也是必 要的。
求解时先判断问题的边界条件是否足够，当满足必 要条件时，则可断定解是唯一的。
用不同方法得到的形式上不同的解是等价的。
② 定理说明：只要能够找一个满足边界条件的位函 数，且这个位函数又满足拉普拉斯方程，则这就是 所求的解。
dr
❖ 式（4-31）为欧拉方程，场 f (r)与 无关。