2020学年高二数学上学期期中试题 文(7)

2019学年上学期期中考试高二数学试卷（文科）时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共三大题，23小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是(***)A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样 D．简单随机抽样，系统抽样2.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是(***)A．P与R是互斥事件 B．P与Q是对立事件C．Q和R是对立事件 D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件3.已知A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是x A，x B，观察茎叶图，下列结论正确的是(***)A．x A<x B，B比A成绩稳定 B．x A>x B，B比A成绩稳定C．x A<x B，A比B成绩稳定 D．x A>x B，A比B成绩稳定4．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝－10x＋200，则下列结论正确的是(***)A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－10C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量在100件左右5.某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(***)A.31B.12 C.23 D.346.在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝(***)A ．18B ．99C ．198D ．2977.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(***) A.103 B.51 C.101 D.201 8.设3log :2<x p ,087:2≥--x x q ,则p 是q ⌝的(***)A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=(***) A.7 B.5 C.5- D.7-10. ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、成等比数列，且a c 2=，则=B cos (***)A.41 B.43 C.42 D.32 11．为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入(***)A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i=+11T T i =++结束是否12.在ABC ∆中，60,B AC ==o，则2AB BC +的最大值为(***)A.72B. 7C. 52D.5Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共30分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ***14．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③b a ＋ab>2；④b >a ，正确的有 ***15．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝ *** _，估计该小学学生身高的中位数为 ***16.若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 *** ．17.若关于x 的不等式022>++mx x 在区间[1,2]上有解,则实数m 的取值范围为 *** 18. 在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，︒=∠==135,2,3ADB AD BD BC ,若AB AC 2=，则=BD *** ．三、解答题:5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3=b ，△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长．20.（本小题满分12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．21.（本小题满分12分）已知数列{n a }是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足n n n n nb b b a b b =+==++112131,1，，（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n n b a 的前n 项和．22.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：频数记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；（II ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.8，求n 的最小值； （III ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？23. (本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.师大附中2018—2019学年度第一学期期中考试高二数学（文科）试题参考答案一、选择题：1－12：DCADB BCADB BA 二、填空题： 13．3214． 15. 3370,030.0 16.6- 17.3->m 18.52+ 三、解答题：19. （Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan 3B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3． （II ）因为△ABC 的面积为32，所以323sin 21=πac ，所以8=ac ，又因为()ac c a ac c a 33cos29222-+=-+=π，所以33=+c a ，所以△ABC 的周长为333+20．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ， D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ii ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． 21.（I ）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-.（II ）由（I ）和11n n n n a b b nb +++= ，得13nn bb +=，又因为1121,1,,3a b b b b b +===因此{}n b是首项为1，公比为13的等比数列.所以，{}n b 通项公式为131-⎪⎭⎫⎝⎛=n n b ，所以()13113-⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n n b a 记{}n n b a 的前n 项和为n S ，则()()()1131133112331113-⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=n n n S Λ所以()()()nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=311331123311133121Λ()()()()476314213113233127311331-131-1313231133131313231133133133132321-n 1-n 11-n 211-n 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=-n S n n n n S n n n nnn 所以所以ΛΛ22．（Ⅰ）当19≤x 时，3800=y ；当19>x 时，5700500)19(5003800-=-+=x x y ，所以y 与x 的函数解析式为)(,19,5700500,19,3800N x x x x y ∈⎩⎨⎧>-≤=.（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于19的概率为0.7，需更换的零件数不大于20的概率为0.9，故n 的最小值为20.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买18个易损零件，则这100台机器中有46台在购买易损零件上的费用为3600，24台的费用为4100，20台的费用为4600，10台的费用为5100，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4070.若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4000.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.23.解：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-=（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2nm =，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列.。