是直角三角形吗
直角三角形的性质与判定
初中八年级数学学科主备人：年月课题第一章直角三角形直角三角形的性质与判定I（一）本课（章节）需10 课时，本节课为第1课时，为本学期总第1课时教学目标知识与技能：1、体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形；2、学会用符号和字母表示直角三角形；3、经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质；4、会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形;5、理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半。
过程与方法：通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法。
情感态度与价值观：体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。
重点直角三角形性质和判定的探索及运用难点直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程教学方法课型教具教学过程：一、创设情境，导入新课1、什么叫直角三角形？从定义可以知道直角三角形具有一个角是直角的性质，要判断一个三角形是直角三角形需要判断这个三角形中有一个角是直角。
直角三角形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？判断一个三角形是直角三角形除了判断一个角是直角还有没有别的方法呢？这节课我们来探究这些问题。
二、合作交流，探究新知1、直角三角形两锐角互余动脑筋：如图，在Rt△ABC中，两锐角的和个案修改BA∠A+∠B=______.为什么？直角三角形两锐角互余试试看：(1) 如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠A=40°，则∠BCD=_____.](2 )在△ABC 中，∠B=50°高AD 、CE 交于H ，则∠AHC=____2、利用两锐角互余判断三角形是直角三角形。
动脑筋：如图，在△ABC 中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC 是直角三角形吗？为什么？定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
一定是直角三角形吗教案
第一章勾股定理２. 一定是直角三角形吗一、教学目标叙写１．学生通过预习教材9页，完成“引入”、“做一做”，经历探索是否为直角三角形的条件．２．学生通过合作深入探究“做一做”，验证猜想是否为直角三角形的条件，进一步发展空间观念和动手作图能力．３．学生通过“四、整理反思”，类比勾股定理、直角三角形的判定的区别和联系，从而进一步加深理解．４．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．５．学生通过完成“五、当堂评价”，运用直角三角形的判定进行简单的推理和计算．二、教学重难点１．重点：1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；２．难点：理解勾股定理逆定理的具体内容.三、教学过程（一）、复习回顾1.我们昨天学习的勾股定理内容还记得吗？说说有些什么样的证明方式？2.直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？3.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？（二）、自主探究内容1：探究下面有三组数，分别是一个三角形的三边长c,，①5，12，13；②7，24，ba,25；③8，15，17；并回答这样两个问题：1．这三组数都满足22c2+吗？ba=2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。
注：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长c b a ,,，满足222c b a =+，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。
经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足222c b a =+，可以构成直角三角形；②7，24，25满足222c b a =+，可以构成直角三角形；③8，15，17满足222c b a =+，可以构成直角三角形。
一定是直角三角形吗
一定是直角三角形吗知识点1 勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.如果三角形三边长a ,b ,c 满足a ²+ b ²= c ²,那么这个三角形是直角三角形.知识点2 勾股数应用举例1.判断由线段a ,b ,c 组成的三角形是不是直角三角形:（1）15=a ,8=b ,17=c ;（2）13=a ,14=b ,15=c .2.像15、8、17这样,能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数,称为勾股数.例1.在以线段a ,b ,c 的长三边的三角形中,不能构成直角三角形的是( )A ．4a =,5b =,6c =B ．::5:12:13a b c =C ．2a 3b =,5c =D ．4a =,5b =,3c =满足a ²+ b ²= c ²的三个正整数,称为勾股数例2.在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 为CD 上一点,且14CF CD =,试判断△AEF 是否是直角三角形？试说明理由．例3.四边形ABCD 中,AD ⊥DC,AD =8,DC =6,CB =24,AB =26.求四边形ABCD 的面积.例4.下列几组数中,为勾股数的是（ ）A ．4,5,6B ．12,16,18C ．7,24,25D ．0.8,1.5,1.7例5.如图所示的一块地,已知AD =4m ,CD =3m, AD ⊥DC,AB =13m ,BC =12m,求这块地的面积.例6.已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足（a ﹣6）²+108-+-c b =0,则三角形的形状是（ ）A .底与腰不相等的等腰三角形B .等边三角形C .钝角三角形D .直角三角形例7.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是（ ）A ．三内角之比1:2:3B ．三边长的平方之比为1:2:3C ．三边长之比为3:4:5D ．三内角之比为3:4:5A DCB例8.如图,在四边形ABCD中,AB=2cm,BC=5cm,CD=5cm,AD=4cm,∠B=90°,求四边形ABCD的面积｡例9.如图,△ABC中,,∠C=90°,O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且BC=4cm,CA=3cm,AB=5cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于_____cm．例10.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对例11.笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A．B．其中AB＝AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A,H,B在一条直线上）,并新修一条路CH测得BC＝5千米,CH＝4干米,BH＝3千米,（1）问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线？请通过计算加以说明;（2）求原来路线AC的长．。
1.2《一定是直角三角形吗》
90 120 60 120
90 60
150
12
13
150
30
24
0
25
30 Hale Waihona Puke 15017
180
180
5
7
8
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形。 几何语言表示：
∵△ABC中
2 2 2 a +b =c
3、若三角形ABC的三边a,b,c ， a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （n＞1）
试判断△ABC的形状.
例题解析
例、一个零件的各边尺寸如图，按规定这 个零件中，∠A和∠DBC都应为直角，这个 零件符合要求吗？
D
13 5 3
B
C
4
A
12
变式练习、如图，四边形ABCD中，AB⊥AD， 已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm， BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
课堂小结
1. 勾股定理的逆定理（判断一个三角 形是否为直角三角形） 2. 勾股数
随堂练习
1、如果三角形的三边长a＜b ＜ c满足 _______________，那么这个三角形是直 角三角形； 2、写出三组勾股数： _______________________________; 3、一艘帆船在海上航行，由于风向的原 因，帆船先向正东方向航行9千米，然后 向正北方向航行40千米，这时它离开出发 点_________千米。
B
4
C
28，96，100 70，240，250
判断：
1、由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以0.3，0.4， 0.5为边长的三角形不是直角三角形（ ）
直角三角形的判定
猜想：大边所对的角是什么角？
问：三边之间有什么关系？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 。
反过来
逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满 足 a2
+
2 b
=
2 c ，那么这个三角形是直
角三角形。
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
0 是 ∠ A=90 ____ _____ ;
不是 ____
_____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a=9 b=40 c=41
0 ∠ B=90 ____ _____ ; 是 0 ∠ C=90 是 _____ _____ ;
• 例２已知:在△ ABC中, AB=３cm，AC=４cm， BC=5cm，AD是BC边上的高。求: AD的长。
4, 三角形三边长a、b、c满足条件 (a b) c 2ab, 则此三角形是(
2 2
)
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等边三角形
中考链接
已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
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直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角的和为90°(互余 )； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方 ； 反之,一个三角形满足什么条件， 才能是直角三角形呢?
思考:
一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形?
第二讲 一定是直角三角形吗
第二讲一定是直角三角形吗？一、预习设计：1、勾股定理：条件：结论：2、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?(1)3, 4, 5, (2)6, 8, 10 （3）9,12,15勾股逆定理：条件：结论：3、勾股数：。
下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。
（1）12，18，22 (2) 9, 12, 15 （３）12，35，36 （4）15,36,39二、师生互动：例１、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。
工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？例２、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？例3、（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写下表并验证。
2倍3倍4倍3,4,5 6,8,105,12,13 15,36,398,15,17 32,60,687,24,25（2）如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。
三、训练达标：基础巩固：1. 下列说法正确的是( )A. 若a、b、c是ABC的三边，则222+=a b cB. 若a、b、c是Rt ABC的三边，则222+=a b cC. 若a、b、c是Rt ABC的三边90+=a b cA∠=，则222D. 若a、b、c是Rt ABC的三边90a b c+=∠=，则222C2、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）Ａ、８，15，17；Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，403、下列几组数中，是勾股数的是（）A、4，5，6B、12，16，20C、-10，24，26D、2.4，4.5，5.14、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ＡＢＣ是（）Ａ、等腰三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、等腰直角三角形Ｄ、等腰三角形或直角三角形5、有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来﹙﹚A．13，12，12 ； B．12，12，8； C．13，10，12 ； D．5，8，46、三角形的三边长a, b, c 满足等式（a+b ）2-c 2=2ab,则此三角形的是 三角形。
【课件】一定是直角三角形吗++课件北师大版数学八年级上册
第一章 勾股定理
今天你学到了什么？
1. 如果三角形的三边长, , 满足2+2=2,
那么这个三角形是直角三角形.
2. 满足 + = 的三个正整数，称为勾股
数.
教学过程——课后巩固
第一章 勾股定理
完成相关作业
教学过程——结束新课
第一章 勾股定理
感谢观看
教学过程——典例解析
第一章 勾股定理
解：连接AC，
∵AB=8，∠B=90°，BC=6，
∴ = ，
在△ACD中，CD=24, AD=26
∴ = =
= =
∵ + =
∴ + =
∴△ACD是直角三角形.
∴S=S△ACD-S△ABC= × × −
× × =
∴这块土地的面积是96.
教学过程——课后反思
第一章 勾股定理
如果三角形的三边长为, , ，满足
2+2=2,则该三角形是直角三角形.
如果2+2＞2是什么三角形？
如果2+2＜2是什么三角形？
教学过程——课堂小结
AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（
）
A．锐角三角形
C．钝角三角形
B．直角三角形
D．无法确定
教学过程——典例解析
认真阅读课本第9页例题，体会勾股
定理逆定理在解决实际问题中的应用.
第一章 勾股定理
教学过程——典例解析
例
第一章 勾股定理
有一块土地，如图所示，已知∠B=90°,
AB=8,BC=6,CD=24, AD=26,求这块土地的面积.．
90°
一定是直角三角形吗123
议一议：
理由：锐角三角形和钝角三角形三边
不满足a2 +b2=c2 .
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
提问1 提问2 提问3 同学们还能找出哪些勾股数呢？ 今天的结论与前面学习的勾股定理 有哪些异同呢？ 到今天为止，你能用哪些方法判断一个 三角形是直角三角形呢？
登高望远
练习1 练习2
例．一个零件的形状如图（a）所示，
按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直
角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如 图（b）所示，这个零件合格吗？
C
13
D
D
C
A
B
(a)
4
A
5 3
B
12
(b)
解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
3.已知∆ABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三 直角 三角形, ______ ∠A 是最大角. 角形为_______
4.以∆ABC的三条边为边长向外作正方形,依次得 到的面积是25,144，169,则这个三角形是 直角 三角形. ______
5.四边形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,
一定是直角三角形吗
八年级数学
问题1 在一个直角三角形中三条边满足什么样 的关系呢？
答：在一个直角三角形中两直角边的平方和 等于斜边的平方 问题2 如果一个三角形中有两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是否就 是直角三角形呢？
下面有三组数分别是一个三角形的三边 长 a , b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
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D D
4
5 13
C
12
A
图1
B
A 3 B
图2
——勾股数
3,4,5；9,12,15；5,12,13；15,36,39
c b 我们知道直角三角形两条直角边长 a ,与斜边长 之间满足 c2 等式： a 2 b 2 ，并且能够找到一些满足这个等式的正整数 组（即勾股数组）。那么勾股数组到底有多少呢？它们有一 定的规律吗？其实，勾股数组有无数个。下面是一种寻找勾 股数组的方法：对于任意两个正整数
n n n
如图所示，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4， ∠ABC=90°，AD=12，DC=13。动动脑筋吧！ 你能求出这个四边形的面积吗？怎么求？
D
A
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
他们用13个等距的结把一根绳子分 成等长的12段，一个工匠同时握住 绳子的第1个结和第13个结，两个 助手分别握住第4个结和第8个结， 拉紧绳子，就会得到一个直角三角 形，直角就在第4个结处。
按照这种做法真能得到一个直角 三角形吗？
画一画：
分别以下列每组数为三边作三角形（单位：cm） (1)3,4,5 (2)3,4,6 (3)4,5,6 (4)5,12,13
m, n(m n), m2 n 2 , m2 n 2和2mn
这三个数就是一组勾股数组。你能验证这个结论吗？
17世纪的法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并 且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题。1637年， 他提出了数学史上的一个著名猜想——费马大定理。
即当 n 2 时，找不到任何的正整数组，使等式 x y z 成 立。费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注， 他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它。1995年， 英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑 世间无数智者300 多年的谜。
现在认为古埃及 人得这种做法的 道理了吧！
下列几组数能否作为直角三角形的三条边？ 说说你的理由。
(1) 9,12,15
(3)12,35,36
(2)15,36,39
(4)12,18,22
一个零件的形状如图1所示，按规定这个零 件中和都应为直角.工人师傅量得这个零件 各边尺寸如图2, 这个零件符合要求吗？
• 以上题中的两条较短边长为直角边，画一个直角 三角形。
• 把上述你所画的两个三角形分别剪下来，叠合一起， 你发现了什么？
6
10 8
6 8
如果三角形的三边长a，b，c有关系
a b c
2 2
2
那么这个三角形是直角三角形. 能够成为直角三角形三边长的三个正 整数，称为勾股数（或勾股弦数）。
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
找一找：
量一量：
这4组数都满足 a b c 吗？
2 2 2
利用量角器，判断你所画的三角形的形状。
猜一猜：
让我们猜想一下，一个三角形三边长数量应满足 怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角 形？
• 任意想出三个数，要求：其中两个数的平方和等 于 第三个数的平方。 • 动手画：以上题中你想出来的三个数为边长，画一 个三角形。