清华大学《信号与系统》第二十四讲

清华大学电子工程系
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陆建华
第十二章 系统的状态变量分析
§12.5 离散时间系统状态方程的求解
(一) 矢量差分方程的时域求解 离散系统状态方程
n
λ (n + 1) = Aλ (n) + Bx(n)
⎡ n −1 n −1−i ⎤ λ (n) = A λ (0)u (n) + ⎢ ∑ A Bx(i ) ⎥ u (n − 1) ⎣ i =0 ⎦ 零输入 零状态 y (n) = Cλ (n) + Dx(n) ⎡ n−1 ⎤ n = CA λ(0)u(n) + ⎢∑ CAn−1−i Bx(i)⎥ u(n −1) + Dx(n)u(n) ⎣ i =0 ⎦
= C( sI − A) −1 B + D
（三） A矩阵的对角化 A矩阵的对角化说明系统变换成并联结构。这种结构使 每一状态变量之间互不影响，可以独立研究系统参数对 状态变量的影响。对角元素即为特征值。
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§12.6 状态矢量的线性变换
例12-18 将图示系统的A矩阵对角化 解：系统状态方程为
1 p
r ( t ) = [1 1 0] ⎡ ⎣λ ( t )⎤ ⎦
T
−3
λ3 ( t )
λ2 (t ), λ3 (t ) 可控, B = [ 0 1 1] 中的0决定了λ1 (t ) 不可控
λ1 (t ), λ2 (t ) 可观, C = [1 1 0] 中的0决定了λ (t ) 不可观 3
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§12.7 系统的可控制性与可观测性
（三）可控性、可观性与H(s)的关系
H ( s ) = C ( sI − A )
−1
ˆ sI − A ˆ B+D =C
(
)
−1
ˆ +D ˆ B
无重根，D=0
k cb ck bk c1b1 c2b2 =∑ i i ＝ + +" + s − α1 s − α 2 s −αk i =1 s − α i
⎡ − 5 − 1⎤ ⎡2⎤ ( ) ( ) λ t =⎢ λ t + ⎢ ⎥ e(t ) ⎥ ⎣ 3 − 1⎦ ⎣5 ⎦
−5
e(t )
2
5
1 p
3 −1
λ1 (t )
λ2 (t )
1 p
−1
先求A矩阵的特征值 再求A矩阵的特征矢量
c ⎤ ⎡1 1⎤ ⎡c P = ⎢ 11 12 ⎥ = ⎢ ⎥ c c 3 1 − − ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣
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§12.7 系统的可控制性与可观测性
对于有重根的情况：A矩阵呈现约当规范型 在A为约当规范型中，B与每个约当块最后一行相应的那 些行不含零元素，则系统完全可控。（见下例） 在A为约当规范型中，C与每个约当块首行相应的那些列 不含零元素，则系统完全可观。（见下例）
⎤ ⎡−1 ⎡λ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢λ2 ⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢0 ⎢λ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢λ4 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎣0 ⎣λ5 ⎦ ⎢ 1 0 −1 1 0 ⎤ ⎡λ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡λ1 ⎤ ⎢λ ⎥ ⎢0⎥ ⎢λ ⎥ 0⎥ 2⎥ 2 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎤ ⎡ 3 7 15 −2 ⎥ ⎢λ3 ⎥ 0 −1 0 0 ⎥ ⎢λ3 ⎥ + ⎢1⎥ e(t) r(t) = ⎢ − 8⎦ ⎢ ⎥ ⎣2 4 8 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 −2 0 ⎥ ⎢λ4 ⎥ ⎢1⎥ ⎢λ4 ⎥ ⎢ 0 0 0 −3⎥ ⎦⎢ ⎣1⎥ ⎦ ⎣λ5 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣λ5 ⎥ ⎦ 0 0
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§12.6 状态矢量的线性变换
1 ⎡ −1 −1⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ − 7 2 ⎤ ˆ =⎢ B = PB = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣ 3 1 ⎦ ⎣ 5 ⎦ ⎣ 11 2 ⎦
−2
变换后的状态方程为
⎡ −2 0 ⎤ ⎡ − 7 2⎤ (t ) = ⎢ γ γ (t ) + ⎢ e (t ) ⎥ ⎥ ⎣ 0 −4 ⎦ ⎣ 11 2 ⎦
相似变换
不改变A的特征值
表征系统特性的特征值不变
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§12.6 状态矢量的线性变换
（二） 转移函数阵在线性变换下是不变的
选择不同状态变量
ˆ ( sI − A ˆ ) −1 B ˆ ( s) = C ˆ +D ˆ 证明： H
系统物理本质不变 转移函数不变
= CP −1 ( sI − PAP −1 ) −1 PB + D
⎧zΛ(z) − zλ(0) = AΛ(z) + BX (z) ⎨ ⎩Y (z) = CΛ(z) + DX (z)
⎧λ (n) = Z −1{( zI − A) −1 z}λ (0) ⎪ −1 −1 −1 + − ∗ {( z ) } [ X ( z )] I A B Z Z ⎪ ⎨ −1 −1 y ( n ) { ( z ) z}λ (0) = − Z C I A ⎪ −1 −1 −1 ⎪ z { ( ) } [ X ( z )] + Z C I − A B + D ∗ Z ⎩
在A对角阵形式中，若bi或ci两者之一为零，就使上式中对应项消 失，即H(s)原有k个极点，相消后少了几个极点，极点不是k个 （降阶）。零极点相消部分是不可控、不可观部分。因为用转移 函数描述的系统只反映了系统中可观、可控部分，不能反映系统 中不可观、不可控部分。
用转移函数H(s)描述系统是不全面的，而用状态方程和 输出方程系统则更全面、更详尽。
⎡ −1 0 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡d ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ λ t ⎤ + ⎢1 ⎥ e t λ t = 0 − 2 0 ( ) ⎣ ( )⎦ ⎢ ⎥ ( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ dt ⎣ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 −3⎥ ⎦ ⎣1 ⎥ ⎦
1 p 1 p
λ1 ( t )
r (t )
−1
−2
λ2 ( t )
e(t )
A n = Z −1[( zI − A)−1 z ]
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第十二章 系统的状态变量分析
§12.6 状态矢量的线性变换
同一系统可选择不同的状态变量 — 不同的A、B、C、D 每种状态变量之间存在着某种关系 ——A、B、C、D 之间存在着某种变换关系 （一） 线性变换下状态方程的特性
⎛ C ⎞ 与输入有关则用B ⎜ ⎟ CA ⎟ 满秩，则系统完全可观 若 N=⎜ ⎜ # ⎟ ⎜ ⎜ CA k −1 ⎟ ⎟ 与输出有关则用C ⎝ ⎠
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§12.7 系统的可控制性与可观测性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 — 判断系统的可控性和可观测性
⎡1 1 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ 0 −1⎦
⎡1 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎣0 ⎦
k ×1 k ×k k ×1 k ×m m×1
r (t ) = C λ (t )+ D e(t )
r ×1 r ×k k ×1 r ×m m×1
y ( n) = C λ ( n) + D x( n)
r ×1 r ×k k ×1 r ×m m×1
∑
( n) λ
λ ( n)
∑
1/E是延迟器
代替连续中的积分器
e(t )
−7 2
11 2
1 p
γ 1 (t )
1 p
γ 2 (t )
−4
状态变量间相互独立
（四）由状态方程判断系统的稳定性 由A矩阵对角化后的对角元素（特征值）判断
连续系统
位于s平面的左半平面
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离散系统
位于z平面的单位圆内
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第十二章 系统的状态变量分析
§12.7 系统的可控制性与可观测性
= CA n −1Bu (n − 1) + Dδ (n)
(二) An 的计算 利用凯莱－哈密顿定理 （略，详见书P341页）
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§12.5 离散时间系统状态方程的求解
(三) 离散系统状态方程的z变换解
⎧λ (n + 1) = Aλ (n) + Bx(n) ⎨ ⎩ y(n) = Cλ (n) + Dx(n)
信号与系统
第二十四讲
清华大学电子工程系 2005年春季学期
第十二章 系统的状态变量分析
§12.4 离散时间系统状态方程的建立
用差分代替微分
连续
d λ (t ) = A λ (t )+ B e(t ) k ×k k ×1 k ×m m×1 dt
k ×1
离散
λ (n + 1) = A λ (n)+ B x(n)
−1
状态变量间有关联
1 ⎡ −1 −1⎤ P= ⎢ 2⎣ 3 1 ⎥ ⎦
1 ⎡ −1 −1⎤ ⎡ −5 −1⎤ ⎡ 1 1 ⎤ ⎡ −2 0 ⎤ −1 ˆ =⎢ A = PAP = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣ 3 1 ⎦ ⎣ 3 −1⎦ ⎣ −3 −1⎦ ⎣ 0 −4 ⎦
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§12.7 系统的可控制性与可观测性
(t ) 例： e ( t ) λ 2
1 p λ2 ( t )
(t ) 1 p λ (t ) d λ 1 1
r (t )
a c
b
此系统不完全可控
λ1可受e(t)的控制
能将它从起始状态引导到另一状态)
r (t )
λ2不可控(在有限时间间隔内，e(t)不
零输入
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零状态
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