收敛数列的性质

§2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性） 若数列}{n a 收敛，则它的极限唯一.证法一 假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>∀ε，12,N N ∃∈，当1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ，由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二 （反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a ,aa n n =∞→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取02>-=ab ε， 由定义，1N ∃∈，当1N n >时有ε<-a a n ⇒2b a a a n +=+<ε. 又2N ∃∈，当2N n >时有 ε<-b a n⇒2b a b a n +=->ε，因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a ba a <+<2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性） 如果数列}{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>∃M ，使对n ∀有 Ma n ≤||证明 设aa n n =∞→lim 取1=ε，0>∃N 使得当N n >时有 1<-a a n即1||||||<-≤-a a a a n n⇒1||||+<a a n . 令|)|,|,||,||,|1m ax (21N a a a a M +=则有对n ∀Ma n ≤||即数列}{n a 有界.注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如})1{(n-. ②在证明时必须分清何时用取定ε，何时用任给ε.上面定理3.2证明中必须用取定ε，不能用任给ε，否则N 随ε在变，找到的M 也随ε在变，界M 的意义就不明确了.性质3（保序性） 设aa n n =∞→lim ，ba n n =∞→lim ，(1) 若b a >，则存在N 使得当N n >时有nn b a >;(2) 若存在N ，当N n >时有nn b a ≥，则b a ≥（不等式性质）.证明 （1）取02>-=b a ε，则存在1N ，当1N n >时2||ba a a n -<-,从而22ba b a a a n +=-->.又存在2N ，当2N n >时2||b a b b n -<-⇒22ba b a b b n +=-+< ⇒ 当),m ax (21N N n >时n n a ba b <+<2.（2）（反证）如b a <，则由⑴知必N ∃当N n >时nn b a >这与已知矛盾.推论（保号性） 若ba a n n >=∞→lim 则N ∃，当N n >时b a n >.特别地，若0lim ≠=∞→a a n n ，则N ∃，当N n >时n a 与a 同号.思考 如把上述定理中的nn b a ≥换成nn b a >，能否把结论改成nn n n b a ∞→∞→>lim lim ？例 设≥n a （ ,2,1=n ），若a a n n =∞→lim ，则a a n n =∞→lim证明 由保序性定理可得 0≥a .若0=a ，则0>∀ε，1N ∃，当1N n >时有2ε<n a ⇒ε<n a 即aa n n ==∞→0lim .若0>a ，则0>∀ε，2N ∃，当2N n >时有 εa a a n <-||⇒ε<-≤+-=-aa a aa a a a a n n n n |||||| .数列较为复杂，如何求极限？ 性质4（四则运算法则） 若}{n a 、}{n b 都收敛，则}{n n b a +、}{n n b a -、}{n n b a 也都收敛，且nn n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim )(lim ，nn n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim .特别地，nn n n a c ca ∞→∞→=lim lim ，c 为常数如再有0lim ≠∞→n n b 则}{nn b a也收敛，且n n nn nn n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim .证明 由于nn n n b a b a )1(-+=-，nn n n b a b a 1⨯=，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，0>∀ε，1N ∃，当1N n >时 ε<-a a n ；2N ∃，当2N n >时ε<-b b n ,取),m ax (21N N N =，则当N n >时上两式同时成立. （1）|||||||||)()(|||b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=-,由收敛数列的有界性，0>∃M ，对n ∀有M b n ≤||故当N n >时，有ε|)|(||a M ab b a n n +<-,由ε的任意性知ab b a n n n =∞→lim .（2） 0lim ≠=∞→b b n n .由保号性，00>∃N 及0>k ，对0N n >∀有k b n >||（如可令2||b k =）.取),m ax (20N N N =，则当N n >时有|||||||||||11|b k b k b b b b b b b b n n n n ε<-<-=-,由ε的任意性得b b nn 11lim=∞→ . 用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算：∑∑=∞→=∞→=Nk k nn Nk k nn x x1)(1)(lim lim ，∏∏=∞→=∞→=Nk k nn Nk k nn x x1)(1)(lim lim .但将上述N 换成∞，一般不成立.事实上∑∞=1k 或∏∞=1k 本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.性质5（两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列}{n a 、}{n b 、}{n c ，如N ∃，当N n >时有nn n b c a ≤≤，且∞→n lim =n a ∞→n lim l b n=，则∞→n lim lc n=.证明 ∞→n lim =n a ∞→n lim lb n=⇒0>∀ε，21,N N ∃, 当1N n >时， εε+<<-l a l n ；当2N n >时，εε+<<-l b l n ,取),,m ax (210N N N N =，则当N n >时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有N n >时 εε+<≤≤<-l b c a l n n n ⇒ε<-||l c n 即∞→n lim l c n =.该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.推论 若N ∃，当N n >时有n n b c a ≤≤（或a c b n n ≤≤）且a b n n =∞→lim ，则a c n n =∞→lim . 例 求证∞→n lim0!=n a n（0>a ）.证明 k ∃∈使得a k >，从而当k n >时有<0!n a n n ak a n a k a k a a a k ⨯≤⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=!121 , 由于∞→n lim n a k a k ⋅!=!k a k ∞→n limn a 0= 由推论即可得结论.例 设1a ，2a ，…，m a 是m 个正数，证明∞→n lim ),,,max(2121m n n m n n a a a a a a =++.证明 设),,m ax (21m a a a A =，则 ≤A nnm n n a a a ++21A m n ≤1>m ⇒∞→n lim n m1=，由迫敛性得结论. 例1 )1(1lim>=∞→a a nn .在证明中, 令01>-=nn a h ， nn h a )1(+=，得n ah n <<0，由此推出0→n h .由此例也看出由n n n y z x <<和nn n n y a x ∞→∞→==lim lim , 也推出a z n n =∞→lim .例2 证明1lim=∞→nn n .证明 令 n nh n +=1,)3(2)1(2)1(1)1(22>-≥++-++=+=n h n n h h n n nh h n nnn n n n n ，120-<<n h n两边夹推出 0→n h ，即1→nn .在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例:例3 求极限 93164lim 22++++∞→n n n n n .解 3434lim 93164lim 22911622=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n .例4 求极限 )10()1(lim <<+++∞→a a a n n .解 a a a a a n n nn -=--=+++∞→∞→1111lim )1(lim . 例5 )11(lim )13(lim 1lim 13lim )113(lim n n n n n n n n n n n n n n n ++=++=+⨯+∞→∞→∞→∞→∞→313)1lim 1lim )(1lim 3lim (=⨯=++=∞→∞→∞→∞→n n n n n n .例6 求01110111lim b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ，k m ≤，0≠m a ，0≠k b . 解 原式=k k k k k k k m m k m m n n b n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim ⎪⎩⎪⎨⎧≠==k m k m b a mm,0,,即有理式的极限⎩⎨⎧0高次，则为分子最高次低于分母最，为最高次系数之比分子分母最高次数相同.如327103542lim 323=---+∞→n n n n n . 例7=-+∞→)1(lim n n nn 11lim112n n →∞===+.例8 设0,>b a ，证明 ),max (limb a b a nn n n =+∞→.证明),max(),max(2),max(),max(b a b a b a b a b a nn n n n n n →≤+≤=. 二、 数列的子列 (一) 引言极限是个有效的分析工具.但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”. (二) 子列的定义定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<<，则数列12,,,,k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序.简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列.如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列.由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8 数列}{n a 收敛的充要条件是：}{n a 的任何非平凡子列都收敛． 证明 必要性: 设}{,lim k n n n a a a =∞→是}{n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当Nk >时有.ε<-a a k 由于,k n k ≥故当N k >时有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了}{kn a 收敛（且与}{n a 有相同的极限）．充分性: 考虑}{n a 的非平凡子列}{2k a ，}{12-k a 与}{3k a ．按假设，它们都收敛．由于}{6k a 既是}{2k a ，又是}{3k a 的子列，故由刚才证明的必要性，.lim lim lim 362k k k k k k a a a ∞→∞→∞→==(9)又}{36-k a 既是}{12-k a 又是}{3k a 的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→=(10)（9）式与（10）式给出122lim lim -∞→∞→=k k k k a a ．所以由课本例7可知}{n a 收敛．由定理2．8的证明可见，若数列}{n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与}{n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列}{n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列}{n a 一定发散．例如数列},)1{(n -其偶数项组成的子列})1{(2n-收敛于1，而奇数项组成的子列})1{(12--k 收敛于1-，从而})1{(n-发散．再如数列}2{s in πn ，它的奇数项组成的子列}212{s in π-k 即为})1{(1--k ，由于这个子列发散，故数列}2{sin πn 发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．。