第五章：动态元件与动态电路导论

1 i ( t ) i ( t0 ) L

t
t0
u ( )d
其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。
*若 u 与 i 取非关联参考方向，则
d ( t ) d i (t ) u(t ) L dt dt
5.2.3 电感元件的储能
关联参考方向下，电 感吸收的电功率为：
n 1 1 1 1 1 式中 ... Ceq C1 C2 Cn k 1 Ck

t

id
Ceq可称为n个电容串联的等效电容。
*并联 n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同 一电压 u。
i
+
i
i1 i2
C2 Cn
in +
u
-
C1
u
-
Ceq
根据电容的伏安关系，有
du du du i1 C1 , i2 C 2 ,...,in C n dt dt dt
C
8Ω 2Ω 10V
*电容电压具有记忆性和连续性。
1 u ( t ) u ( t0 ) C

t
t0
i ( ) d
*电容可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
1 2 wC ( t ) C u ( t ) 2
5.1.5 电容元件的串、并联
*串联 n个电容相串联的电路，各电容的端电流为同 一电流 i。
之间的关系可以用 u-q 平面上的一条曲线来
确定，则此二端元件称为电容元件。
电容元件的符号：
i
+q +
-q u -
电容元件的定义式：
f ut , qt 0
线性时不变电容元件的定义式：
qt Cut
其中：q—电荷，单位：库仑（c） u—电压，单位：伏特（v） C—电容（正常数），单位：法拉（F）
t 310 3 t
i (t ) i (3 10 ) 10 i (t ) i (5 10 ) 10
3 3

1d 4 103 t A 0d 1 A 1d 8 103 t A
3
510 3 t
i (t ) i (7 10 ) 10
3

710 3
方法2：求面积法 。 求出特殊时间点上的电流值，再绘制其波形图。
由于
1 t 1 t i (t ) i (0) u ( )d u ( )d L 0 L 0
用求面积法，易于求得：
i (1m s) 103 103 1A i (8m s) 103 0 0 , , , i (3m s) 1A i (7m s) 1 A
*若 u 与 i 取非关联参考方向， 则
dq ( t ) du ( t ) i (t ) C dt dt
5.1.3 电容元件的储能
关联参考方向下，
i (t)
+
C
u(t) -
电容吸收的电功率为：
du ( t ) p ( t ) u ( t )i ( t ) u ( t )C dt
p (t ) i (t ) u (t )
其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。
方法1：分段积分求表达式 。
1 0 t 1m s 0 1m s t 3m s u (t ) 1 3m s t 5m s 0 5m s t 7m s 1 7m s t 8m s

i ( t0 )
L i di

若取尚未建立磁场时刻为初始时刻，可得 t 时 刻电感的储能为：
1 wL (t ) L i 2 (t ) 2
例：已知电感两端电压波形
如图所示，i(0)=0，求 电感的电流及功率 。
i(t) + 1mH
u(t) -
解：
1 t i (t ) i (0) u ( )d L 0
由KVL，端口电流
du du i i1 i2 ... in (C1 C 2 ... C n ) C eq dt dt
式中 Ceq C1 C 2 ... C n Ceq为n个电容并联的等效电容。
C
k 1
n
k
例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零， 给定 C1 1F , C2 2F , C3 3F , C4 4F试求ab间的等 值电容C C4 C1 a
电容器的两个主要参数：电容，额定电压。
电容器的电路模型：
L
C
C
G
C
G
5.2 电感元件
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6 （理想）电感元件的定义 电感元件的伏安特性 电感元件的储能 电感元件的特点 电感元件的串、并联 电感线圈的参数和电路模型
5.2.1 （理想）电感元件的定义
Leq的倒数表示式为
1 Leq
i
+ i1 L2 i2

k 1
n
1 Lk
i
+
u L1 -
Ln
u -
Leq
i1 A
L1 例：如图所示电路，给定 L1 1H , L2 2H , L3 3H , i2 0 2 A, i3 0 3 A 试确定其最简单的等值电路。 L 解：在t=0 ，应用KCL于A点，得L
i2
L2 L3
i3
中的初始电流为
-
1
L23
i1 0 i2 0 i3 0 2 3 5 A
L2 L3 2 3 图中 L23 1.2 H L2 L3 2 3 L L1 L23 1 1.2 2.2 H
5.2.6 电感线圈的参数和电路模型
1 i ( t ) i ( t0 ) L

t
t0
u ( ) d
*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
1 2 wL (t ) L i (t ) 2
5.2.5 电感元件的串、并联
*串联 n个电感相串联的电路，流过各电感的电流为同 一电流 i。
根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感
电感器

i
（磁通链）
电感器的两个主要参数：电感，额定电流。
电感器的电路模型：
R
L
R L C
L
5.3 动态电路导论
动态电路（只讨论线性非时变动态电路）
包含至少一个动态元件（电容或电感）的 电路为动态电路。
含有一个独立的动态元件为一阶电路。（电路 方程为一阶常系数微分方程） 含有二个独立的动态元件为二阶电路。（电路 方程为二阶常系数微分方程） 含有三个或三个以上独立的动态元件为高阶电 路。（电路方程为高阶常系数微分方程）
5.1 电容元件
5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 （理想）电容元件的定义 电容元件的伏安特性 电容元件的储能 电容元件的特点 电容元件的串、并联 电容器的参数和电路模型
5.1.1 （理想）电容元件的定义
电容元件的定义：一个二端元件，如果在任
一时刻 t，它的电荷 q(t) 同它的端电压 u(t)
i (t ) i (0) 10
3
3

t
0
1d 103 t A
3
0 t 1m s 1m s t 3m s 3m s t 5m s 5m s t 7m s 7m s t 8m s
i (t ) i (10 ) 10
3

t
10 3 3
0d 1 A
解：C C1C2 1 2 2 F 12
C1 C2
1 2
3
C3
C2
b
2 11 C3 C12 C3 3 F 3 3
ab间等值电容为
11 4 C4C3 3 1.913F Cab C4 C3 4 11 3
5.1.6 电容器的参数和电路模型
i (5m s) 103 ( 103 ) 1 A
5.2.4 电感元件的特点
*电流有变化，才有电压。
d i (t ) u (t ) L dt
i(t) + L
u(t) -
*在直流稳态电路中，电感可视作短路。
8Ω 2Ω 10V 6Ω L
8Ω 2Ω 10V
6Ω
*电感电流具有记忆性和连续性。
请点击查看关于电容元件的储能分析
从 t0 时刻到目前时刻 t，电容吸收的电能（即 电场能量的增量）为：
wC [t0 , t ] p( )d
t0
t

u(t )
1 C u 2 ( t ) u 2 ( t0 ) 2

u ( t0 )
C u du

若取尚未充电时刻为初始时刻，可得 t 时刻电 容的储能为：
换路、暂态与稳态的概念
US (t=t1)
(t=0)
R C
uc
-
+
uc
US
暂态
稳 态
暂态
t1 换路：电路结构或参数发生突然变化。
的端电压 u k Lk di 和KVL，可求得n个电感相
dt
串联的等效电感
Leq
L
k 1
n
k
i + +
L1 u1 -
L2 + u 2
Ln + un -
i
+
u -
u -
Leq
*并联 n个电感相并联的电路，各电感的端电压是同一 电压u。根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2, 1 t 3,…,n)电感的电流 ik ud 和KCL，可求 Lk 得n个电感相并联时的等效电感Leq