平移与坐标系
数学用坐标表示平移
函数图像的平移
函数图像的平移
在函数图像中，平移可以改变图 像的位置，但不会改变图像的形 状和大小。通过平移，我们可以 更好地理解函数的性质和变化趋
势。
函数图像的对称性
平移可以与函数的对称性相结合， 例如通过平移奇函数或偶函数的 图像，可以更好地理解函数的对
称性质。
函数图像的周期性
在周期函数中，平移可以用于研 究函数的周期性和振幅变化，帮 助我们更好地理解函数的周期性。
平移解释物理现象
在物理现象的解释中，平移可以用来解释物体的运动轨迹 和速度变化的原因，例如在流体动力学中，平移可以用来 解释流体运动的轨迹和速度。
总结与展望
06
平移在数学中的重要地位
基础概念
平移是几何学中的基本概念，是研究图形变换和运动的基础。通过 坐标表示平移，可以更精确地描述图形的位置和方向变化。
数学用坐标表示平移
目录
• 引言 • 平移在坐标系中的表示 • 平移的数学表示 • 平移的性质和定理 • 平移的应用 • 总结与展望
引言
01
平移的定义
01
平移是图形在平面内沿某一方向 移动一定的距离，而不发生旋转 或翻转。
02
平移不改变图形的形状、大小和 方向，只改变其位置。
坐标系简介
坐标系是用来确定点 在平面上的位置的一 组数轴。
物理学
在物理学中，平移可以用于描述物体的位置和速度，特别 是在经典力学和电磁学中，平移是研究物体运动规律和相 互作用的基础。
计算机图形学
在计算机图形学中，平移是计算机图形处理的基础技术之 一，可以用于实现图像的平移、缩放、旋转等变换操作。
经济学
在经济学中，平移可以用于描述经济现象的变化趋势，如 市场供需关系的变化、经济增长率的变动等。
坐标系与形的平移
坐标系与形的平移平移是几何学中常见的变换方式之一，它可以描述一个图形在平面上沿着一定方向移动的过程。
与之密切相关的是坐标系，它是描述平面上点位置的一种方式。
本文将重点讨论坐标系与形的平移之间的关系，以及如何进行平移操作。
一、坐标系的概念与表示方法在平面几何中，为了确切描述点的位置，我们需要引入坐标系。
坐标系由两条相互垂直的线，即x轴和y轴组成。
通过设定原点和单位长度，我们可以根据点在x轴和y轴上的位置来确定其坐标。
以直角坐标系为例，点的坐标通常表示为(x, y)的形式。
二、形的平移形的平移是指图形按照一定距离和方向在平面上移动，保持图形内部结构不变的过程。
平移的关键是平移向量，它描述了平移的方向和距离。
设平移向量为(a, b)，若点P(x, y)平移后的位置为P'(x', y')，则有：x' = x + ay' = y + b三、平移的性质1. 平移不改变图形的大小、形状和内部角度。
2. 平移前后的图形对应点之间的距离不变。
3. 平移具有可逆性，即一个图形经过平移后，可以再次回到原来的位置。
四、常见平移方式1. 水平平移：在直角坐标系中，若平移向量为(a, 0)，表示图形在x轴方向上移动a个单位长度。
2. 垂直平移：在直角坐标系中，若平移向量为(0, b)，表示图形在y轴方向上移动b个单位长度。
3. 斜线平移：在直角坐标系中，若平移向量为(a, b)，表示图形在斜线方向上同时按照a和b的距离进行平移。
五、平移操作的步骤进行图形平移操作时，可以按照以下步骤进行：1. 确定平移向量，即平移的方向和距离。
2. 对于图形中的每个点，根据平移向量的坐标变换公式计算新位置。
3. 连接新位置的点，得到平移后的新图形。
六、应用举例下面通过一个具体的例子来说明坐标系与形的平移的关系。
假设有一个正方形，其顶点坐标依次为A(1, 1)，B(1, 3)，C(3, 3)，D(3, 1)。
平移与旋转的坐标变换
平移与旋转的坐标变换在平面几何中，平移和旋转是常见的坐标变换操作。
它们可以通过对坐标系中的点进行一系列运算来实现。
本文将介绍平移和旋转的概念与原理，并详细讨论它们在坐标变换中的应用。
一、平移的概念与原理平移是指在平面上将对象沿着指定的方向移动一定的距离。
在坐标系中，平移可以通过对点的坐标进行简单的加减运算来实现。
假设有一个点P(x, y)，若将其沿着(x轴方向移动a个单位，y轴方向移动b个单位)，则新的坐标P'(x', y')可以表示为：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。
二、平移在坐标变换中的应用平移在计算机图形学和计算机视觉等领域有广泛的应用。
在图形学中，平移可以用来实现物体的移动和动画效果。
在计算机视觉中，平移可以用于图像配准和目标跟踪等任务。
三、旋转的概念与原理旋转是指围绕某一点或某一轴线，将对象按一定角度进行转动。
在坐标系中，旋转可以通过对点的坐标进行复杂的数学运算来实现。
假设有一个点P(x, y)，若将其按顺时针方向旋转θ角度，则新的坐标P'(x', y')可以表示为：x' = x * cosθ - y * si nθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度θ的余弦值和正弦值。
四、旋转在坐标变换中的应用旋转在计算机图形学和机器人导航等领域有广泛的应用。
在图形学中，旋转可以用来实现物体的旋转、变形和特效。
在机器人导航中，旋转可以用于定位和路径规划等任务。
五、平移与旋转的联合应用在坐标变换中，平移和旋转通常是同时应用的。
为了实现平移和旋转的组合变换，可以先对点进行旋转变换，然后再进行平移变换。
假设有一个点P(x, y)，首先对其进行旋转变换，得到新的坐标P'(x', y')：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ然后，再对新的坐标P'进行平移变换，得到最终的坐标P''(x'', y'')：x'' = x' + ay'' = y' + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离，θ表示旋转的角度。
1用坐标表示平移
7.2.2 用坐标表示平移
-
教学新知
点平移与坐标变化规律： 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得 到对应点的坐标是（x+a ，y） 或（x-a ，y）；将点（x，y）向上（或下） 平移b个单位长度，可以得到对应点的坐标是（x，y+b）或（x，y-b）.
知识梳理
答案：解：由题意可得：（1）平移后点的坐标为：（0，2）；（2）平移 后点的坐标为：（-2，-2）；（3）平移后点的坐标为：（4，9）；（4） 平移后点的坐标为：（-1，1）；（5）平移后点的坐标为：（3，-4）．
中考在线 考点：坐标与图形变化——平移。
【例1】（2015•大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2） 向右平移2个单位，所得的点的坐标是（ D ）.
【例2】（2015•济南）如图7-2-51，在平面直角坐标系中， △ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个 单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的 对应点A1的坐标为（ D ）.
A.（4，3） B.（2，4） C.（3，1） D.（2，5）
知识梳理
图7-2-51
课堂练习
6.点P（a，b）向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到点（3，-4），则a=__4__，b=___-_5__.
讲评：本题考查了图形的平移变换.根据点的坐标的平移规律可得a-1=3， b+1=-4，再解可得a、b的值.
课堂练习
图7-2-54
课堂练习
讲评：考查了坐标与图形性质，坐标与图形变化-平移.（1）根据长方形 形状求出BC到y轴的距离，CD到x轴的距离，然后写出点B、C、D的坐标即 可；（2）根据图形写出平移方法即可.
直角坐标系中的形平移
直角坐标系中的形平移平移是指将图形沿着指定的方向和距离移动的操作。
在直角坐标系中，平移可以通过增加或减少图形的坐标值来实现。
本文将介绍直角坐标系中的形平移，并讨论与坐标变化相关的数学概念。
一、平移的定义和特点平移是指将一个图形在平面上沿着指定的方向和距离不改变其形状和大小地移动。
在直角坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标值来实现。
平移的特点如下：1. 形状保持不变：平移不改变图形的形状，只是将图形整体移动到新的位置。
2. 大小保持不变：平移不改变图形的大小，只是改变图形的位置。
3. 方向和距离确定：平移的方向由指定的向量决定，平移的距离由向量的模长决定。
二、平移的数学表示在直角坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标值来实现。
设图形的原始坐标为(x, y)，平移向量为(a, b)，则平移后图形的新坐标为(x + a, y + b)。
三、平移的示例为了更好地理解平移的概念，我们来看一个简单的示例。
假设有一个三角形，其顶点坐标分别为A(2, 3)，B(4, 5)，C(6, 3)，现在需要将这个三角形向右平移3个单位，向上平移2个单位。
根据平移的数学表示，我们可以计算得到新的顶点坐标为：A' = (2 + 3, 3 - 2) = (5, 1)B' = (4 + 3, 5 - 2) = (7, 3)C' = (6 + 3, 3 - 2) = (9, 1)通过计算可知，原始的三角形ABC经过平移变为新的三角形A'B'C'，其各顶点的坐标分别为A'(5, 1)，B'(7, 3)，C'(9, 1)。
可以看出，新的三角形与原始三角形相比，保持了相同的形状和大小，只是整体移动到了新的位置。
四、形平移与坐标变化形平移是指将图形沿着指定的方向和距离平移的操作。
在直角坐标系中，形平移可以通过修改图形的坐标值来实现。
形平移的步骤如下：1. 确定平移向量：根据平移的指定方向和距离，确定平移向量的值。
人教版数学七年级下册--坐标系下平移的三种形式
坐标系下平移的三种形式黄山杨叶道我们已经知道图形的平移与平移的方向和平移的距离有关，但平移后的图形与原图形的形状和大小是一致的，只是位置不同而已，且图形上每一点平移的方向和距离都是相同的.因此，研究图形的平移的关键是点的平移.在坐标平面内，研究点的平移十分简单，主要表现为以下三种平移.一、沿x轴的方向平移我们知道，当点A（4，－3）沿与x轴平行的方向向左平移5个单位时，平移后得到的点B的纵坐标不变，仍是－3，而横坐标为4－5=－1，因此，平移后点的坐标是（－1，－3）；类似地，如果点A（4，－3）沿x轴方向向右平移5个单位，则点A的纵坐标仍然不变，横坐标变为4+5=9，于是A点平移后的坐标为（9，－3）.一般地，设点P（x，y）沿x轴方向平移n（n>0）个单位后的点是Q，则向左平移时，点Q的坐标是（x－n，y）；向右平移时，点Q的坐标是（x+n，y）.这就是说：“点沿横轴方向平移时，纵坐标不变，横坐标左减右加.”例1已知点A的坐标是（－2，3），线段AB∥x轴，且AB=2，求点B的坐标.解析：任何两点中的一点都可以看作是由另一点平移得到的，这里的AB=2表明点A、B之间的距离是2，因此，把点A平移2个单位可得点B.注意到AB//x轴，说明点A沿x 轴方向平移2个单位可得点B，可究竟是向左还是向右平移呢？题目并无说明，因此需要一一讨论.如果是向左平移，那么点B的坐标是（－4，3）；如果是向右平移，那么点B的坐标是（0，3）.因此，点B的坐标是（－4，3）或（0，3）.跟踪训练1在平面直角坐标系中，点P（－1，1）沿与x轴平行的方向向右平移2个单位后得到点P1，则点P1在【】A.第一象限B.第二象限C..第三象限D.第四象限二、沿y轴的方向平移与上述探索方法一样，易得如下结论：设点P（x，y）沿y轴方向平移n（n>0）个单位后的点是Q，则向上平移时，点Q的坐标是（x，y+n）；向下平移时，点Q的坐标是（x，y－n）；这就是说：“点沿纵轴方向平移时，横坐标不变，纵坐标上加下减.”例2在数学兴趣小组的一次活动中，小明通过建立平面直角坐标系发现旗杆底端位置在点A（3，1），顶端在点B（3，10），升旗前旗帜的三个顶点的位置分别在点P（3，2），Q（3，3），R（5，2），写出当旗帜的顶端Q升到杆顶B处时，点P和R对应的点的坐标.解析：显然，旗杆平行于y轴，所以升旗时旗帜是沿y轴方向向上平移，由于点Q从（3，3）平移到点（3，10），平移的距离是10－3=7，所以点P（3，2）沿y轴方向向上平移7个单位后是点P′（3，9），点R（5，2）向上平移7个单位后是点R′（5，9）.跟踪训练2在平面直角坐标系中，将点A（5，6）向下平移6个单位后的点的坐标是【】A.（11，6）B.（5，0）C.（5，12）D.（－1，6）三、不沿坐标轴的方向平移如果点的平移方向既不是沿横轴方向，也不是沿纵轴方向，那么它可以看作既沿横轴方向平移，又沿纵轴方向平移.此时，我们可以通过上述的两种平移来解决.例3如何平移点A（－5，3），使它到达点B（2，－1）？解析：先从横坐标来考虑，由于点A到点B，横坐标由－5增加到2，可知点A向右平移2－（－5）＝7个单位长度；纵坐标由3减小到－1，可知只需要再把点（2，3）向下平移3－（－1）＝4个单位长度.因此，把点A向右平移7个单位，再向下平移4个单位可得点B.跟踪训练3将点A（2，1）先向左平移（）个单位，再向下平移（）个单位可得到点（－2，－2），则括号内的数依次应填【】A.2，1B.0，－1C..4，3D.3，4答案1.A2.B3. C。
高中数学中的坐标系与平移变换
高中数学中的坐标系与平移变换在高中数学中，坐标系和平移变换是两个非常重要的概念。
坐标系是一种表示点在平面上位置的方式，而平移变换则是一种改变点位置的操作。
本文将对这两个概念进行详细讨论。
一、坐标系的基本概念1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，由两条垂直的直线（通常称为x轴和y轴）交叉而成。
通过定义一个原点和单位长度，我们可以用有序数对(x, y)来表示平面上的任意一点。
2. 极坐标系极坐标系使用径向距离和极角来描述点的位置。
其中，径向距离表示点到原点的距离，极角则表示点与正向x轴之间的夹角。
3. 其他坐标系此外，还有柱面坐标系、球面坐标系等其他不同形式的坐标系，它们在特定的数学领域和物理领域中具有重要的应用。
二、平移变换的基本原理在数学中，平移是一种将图形沿着指定方向移动的变换方式。
它通过将所有点的坐标值分别增加或减少一个常数来实现。
平移变换的基本原理如下：1. 平移向量平移变换通过一个平移向量来描述移动的方向和距离。
平移向量由两个分量组成，分别表示在x轴和y轴上的移动距离。
2. 平移的公式设点P(x, y)进行平移变换，平移向量为(a, b)，则点P'的坐标可以表示为：P'(x', y') = P(x+a, y+b)三、坐标系与平移变换的关系坐标系与平移变换密切相关，它们之间的关系主要体现在以下几个方面：1. 坐标系对平移变换的作用坐标系为平移变换提供了基础。
在直角坐标系中，通过改变点的坐标值，可以实现平移变换。
而在极坐标系中，则需要通过改变径向距离和极角来实现平移。
2. 平移变换对坐标系的作用平移变换改变了图形中每个点的位置，从而影响了坐标系的布局。
在平移变换之后，原有的坐标系会随之发生改变，因此我们需要根据新的图形位置重新确定坐标系。
3. 坐标系和平移变换的综合应用在几何图形的研究中，我们经常会用到坐标系和平移变换。
通过在坐标系中进行平移变换，我们可以研究图形的性质、计算图形的参数等。
平面直角坐标系与平移
平面直角坐标系与平移平面直角坐标系是几何学中重要的概念之一。
它可以用来表示平面上的点的位置，方便我们进行几何分析和计算。
而平移是指在平面上将一个图形沿着某个方向进行移动的操作。
本文将介绍平面直角坐标系以及平移的概念、性质和应用。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是由两条垂直的坐标轴构成的。
一般来说，我们将水平的轴称为x轴，垂直的轴称为y轴。
两个轴的交点称为原点，记作O。
平面上的每个点都可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标来确定两点之间的距离、计算图形的面积等等。
例如，两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)之间的距离可以用勾股定理表示为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
二、平移的概念及性质平移是指保持图形形状和大小不变，仅仅将其沿着某个方向进行移动的操作。
平移可以用于平面上的点、线段、线、图形等。
在平面直角坐标系中，平移可以通过改变点的坐标来实现。
平移的性质如下：1. 平移不改变图形的形状和大小，只改变它的位置。
2. 平移可以用向量表示。
平移向量是从原图形上的每个点指向平移后对应点的向量。
3. 平移具有可逆性，即可以平移回原来的位置。
三、平移的应用平移在几何学中有广泛的应用。
下面我们列举几个常见的应用场景：1. 图像处理：在计算机图像处理中，平移可以用于图像的移动、旋转等操作。
通过平移，我们可以调整图像的位置，使其适应不同的需求。
2. 地图导航：在地图导航软件中，平移可以用于地图的拖动操作。
通过平移地图，我们可以查看不同区域的详细信息，方便用户进行导航。
3. 机器人路径规划：在机器人路径规划中，平移可以用来计算机器人的位姿及移动方向。
通过平移，机器人可以沿着预定的路径进行移动，完成特定任务。
4. 三角函数应用：在三角函数中，平移可以用来表示函数图像的上下平移、左右平移等。
通过平移，我们可以对函数图像进行调整，使其适应不同情况的需求。
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5
点的纵坐标都减去5,横坐标
不变,分别得到点A2、B2、C2, 依次连接得到三角形A2B2C2, 它与原三角形ABC的大小、位
4
3C
A
2
1
B
置有什么关系?
-5 -4 -3 -2-1-O1 1 2 3 4 x
三角形ABC大小、形状完全相同,三角 形A2B2C2可以看作将三角形ABC向下平 移5个单位得到.
将点（x，y）向左平移a个单位长度，对应点 的横坐标 减去 a ，而纵坐标不变，即坐标变
为_（__x_-a_，__y_）.
6
将点（x，y）向上平移a个单位长度，对应点的纵 坐标 加上 a ，而横坐标不变，即坐标变 为 （x，y+a）.
将点（x，y）向下平移a个单位长度，对应点 的纵坐标 减去 a ，而横坐标不变，即坐标变
6 5
通过点的左右和上下平移
4
共同来完成
3 2
1
先向左平移３个单位长度 再向下平移５个单位长度
x - 7- 6- 5- 4 - 3- 2- -110 1 2 3 4 5 6 7
-2 -3 -4 -5
-6 -7
10
1.把点M（1，2）平移后得到点N（1，-2） 则平移的4） 则平移的过程是： 向右平移2个单位，再向上平移3个单位
-2
A2
-3 -4 -5
(C1,2-3)
(4,-2)
B2(3,14-4)
总结规律2:图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
(－2, －-34) -5
A1 (3, －3)
纵坐标加6
-6
(－2, －3)下平移4个单位(－2, －7) 纵坐标减4
A4 (－2, －7)
3
中医院 电大 西门大厦
第二中学 卫生局
中北超市
图书馆
江夏体育馆
第四中学
多美丽
大酒店
公园
烟草局
老店
新车站方向
4
横纵 坐坐 标：标：
(-7, -6)
中医院
加向 右
应点的坐标;
(-5,2)
A’ (-42,3) 3C
2
B’ (-31,1)
A B
(2) 若将三角形ABC向下平 -5 -4 -3 -2-1-O1 1 2 3 4 x
移5个单位,请画出平移后的 三角形,并写出A、B、C对应 顶点的坐标;
在此平 移中对 应点的 坐标有
--(231,C-3”)
-4 -5
A”
8
1、如果A，B的坐标分别为A（-4，5），B（-4， 2）,将点A向_下__平移__3_个单位长度得到点B；将 点B向__上_平移_3__个单位长度得到点A 。
2、如果P、Q的坐标分别为P（-3，-5），Q（2， -5），,将点P向__右_平移_5__个单位长度得到点 Q；将点Q向__左_平移_5__个单位长度得到点P。
为_（__x_，__y_-a_）.
7
在平面直角坐标系中，有一点P（-4，2）， 若将P： (1)向左平移2个单位长度，所得点的坐标为（_-_6_，__2_）； (2)向右平移3个单位长度，所得点的坐标为（_-_1_，__2_）； (3)向下平移4个单位长度，所得点的坐标为（__-4_, _-_2_）； (4)向上平移3个单位长度，所得点的坐标为（_-_4_, _5_）_；
3.点A′(6,3)是由点A(-2,3)经过_向__右_平 ___移__8个__单__位__长_度__得到的.点B(4,3) 向______上__平_移2个单位长__度___得到B′(4,5)
9
在平面直角坐标系中，有一点（1，3），
要使它平移到点（-2，-2），应怎样平移？
说出平移的路线.
y
7
点沿斜线方向平移，可以
4y
把点A向上平移6个单位呢?
A3 (－2,3 3)
把点A向下平移4个单位呢?
2
(－2,
－3)右平移5个单位(3, 横坐标加5
1
－3)-5 -4 -3 -2-1-O1
1
2
3 4 5x
(－2,
－3)左平移2个单位(－4, 横坐标减2
－3)A(2 －A4,
－-32) -3
(－2, －3)上平移6个单位(－2, 3)
依次连接得到三角形A1B1C1 ,(-5,2) 它与原三角形ABC的大小、位
A1(-432,3C)
2
B1(-31,1)
A B
置有什么关系?
-5 -4 -3 -2-1-O1 1 2 3 4 x
三角形ABC的大小、形状完全相同,三 -2
角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左
-3 -4
平移6个单位得到.
或：向上平移3个单位，再向右平移2个单位
11
图形的平移
对一个图形进行平移,这个图形上所有的点的
坐标都要发生变化;
在此图形平移
例1.如图,三角形ABC三个顶点的坐标中分对别应是点的坐
A(4,3)、B(3,1)、C(1,2).
标y有何关系?
(1) 若将三角形ABC向左平
5
移6个单位,请画出平移后的
三角形,并写出A、B、C的对 C’
y
第二中学 7
卫生局
6
中北超市
5 4
图书馆
3
2 江夏体育馆
1
50m 第四中学
(-2,-6) 加向
电大
-7
-6
-5
-4
-3 -2 -1
多美丽 - 1
0
-2
1
2
345 67
大酒店
x
右
-3
(3,-6)
- 4 公园
-5
西门大厦
-6
烟草局 - 7
老店
新车站方向
5
在平面直角坐标系中， 将点（x，y）向右平移a个单位长度，对应点的横 坐标 加上 a ，而纵坐标不变，即坐标变 为 （x+a，y）.
(4,-2)
B”(3,-142 )
图形的平移
反过来,从图形上所有的点的坐标的某种变化;
我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移
,例1.如图,三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,3)、
B(3,1)、C(1,2).
y
(1) 若将三角形ABC三个顶
5
点的横坐标都减去6,纵坐标
不变,分别得到点A1、B1、C1,C1
7.2 坐标方法的简单应用
7.2.2 用坐标表示平移
1、什么叫做平移？ 把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形 的这种移动，叫做平移. 2 、平移后得到的新图形与原图形有什么关系？
2
如图,将点A(－2, －3)向右平移5个单位长度,得到点
A1,在图上标出这个点,并写出它的坐标.
把点A向左平移2个单位呢?
-5
13
图形的平移
反过来,从图形上所有的点的坐标的某种变化; 例 B我,(31们.,如1)也、图C可,三(1以,角2)看形. A出B对C三这个个顶图点形的坐进ACB标行222的的的分了纵 纵纵别怎坐 坐坐是y样标 标标A::(:的3214---,5553平===)、移---423
(2) 若将三角形ABC三个顶