沪教版-八年级数学-正比例函数与反比例函数复习讲义

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沪教版下第十八章《正比例函数和反比例函数》全章复习讲义-word

《正比例函数和反比例函数》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和反比例函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过正比例函数和反比例函数的图像和性质，能够用数形结合的观点解决有关的题型.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y, 如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。

y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 要点二、正比例函数1.定义：定义域是一切实数的函数y=kx（k 是不等于零的常数）叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数. 注意：正比例函数的定义域是一切实数.2.图象：一般地，正比例函数y=kx （k为常数，k≠ 0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k）的一条直线，. 我们把正比例函数y=kx 的图像叫做直线y=kx.3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.画直线y=kx 的图像. 为了方便，我们通常取原点O（0，0）和点（1，k）.4.正比例函数的性质：（1）当k>0 时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大.（2）当k<0 时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐减小.要点三、反比例函数1、定义k定义域为不等于零的一切实数的函数y ，（k 为不等于零的常数）叫做反比例函x数，其中k 也叫比例系数.2、图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。

沪教版八年级数学第一学期18.1：函数的概念、正比例函数

第七讲函数的概念、正比例函数函数的概念一、知识点 1. 变量与常量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。

3. 函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果y 是x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x a =时的函数值.符号“()y f x =”表示y 是x 的函数，f 表示y 随x 变化而变化的规律. 二、例题讲解例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中，m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量m 的函数？解：物体所受的重力G 随它的质量m 的变化而变化，由G mg =可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量m 的函数.例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程y （千米）关于时间x （时）的函数解析式及定义域.分析：本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为0x ≥. 解：函数解析式为50y x =，定义域为0x ≥. 例3 求下列函数的定义域：（1）23y x =+; （2）11y x =-；（3）y = 解：（1）对于整式23x +，无论x 取什么实数，它都有意义，所以函数23y x =+的定义域是一切实数；（2）对于分式11x -，当1x =时，它没有意义.所以函数11y x =-的定义域是1x ≠；（3，当12x ≥-时，它有意义，所以函数y = 域是12x ≥-.说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例4 已知()f x =12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，就是当12x =-时，求21y x =-+的值，只需要把12x =-代入后计算即可. 解：131322.241212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎝⎭⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭例5 等腰三角形的周长等于20cm ，请写出这个等腰三角形的底边长()x cm 和腰长()y cm 之间的解析式. 分析根据周长的定义，得220x y +=，整理得20220,2xy x y -=-=，即 1102y x =-+.函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.答案：1102y x =-+ 说明：1. 变量2x +是不是变量x 的函数？解：对于代数式2x +，给定x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以2x +与x 有着确定的依赖关系，可以把变量2x +看做y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的2. 对于“”中的“f ”怎样理解？答：记号“()f x ”表示“y 是x 的函数”，这个记号比较抽象，“f ”并不是表示一个变量，()f x 也不是表示“f ”与“x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为x ，用f 表示变量y 随着x 的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如()()g x h x 、等，以免引起混乱.三、巩固练习1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？（1）正方形的周长C 与它的边长a ；（2）银行一年定期存款的本金x 元与利息y 元；（3）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ；（4）长方形的宽一定时，其长与面积；（5）等腰三角形的底边长与面积；（6）关系式y x=中的y 与x .答案：（1）变量是周长C 与边长a ，是函数关系；（2）变量是本金x 元与利息y 元，是函数关系；（3）变量是顶角的度数x 与底角的度数y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系；（5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是y 与x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域；（1）2y x =-；（2）y =答案：一切实数答案：1x ≥- （3）234y x x =+-；（4）11y x =-；答案：一切实数答案：1x ≠（5）1y x x =+；（6）y =答案：0x ≠ 答案：0x ≥≠且x 23. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积12S ah=，当a 为定长时，在此式子中（ A ）.A. S 、h 是变量，a 是常量B. ,,S h a 是变量，12是常量 C. ,a h 是变量，1,2S 是常量 D. S 是变量，1,,2a h是常量4. 下列函数中，自变量的取值范围是113x <<的是（ D ）.A.y =B.y =C.y = D.y = 5. 如果()f x =()3f =___6. 已知()234x f x x +=+，则()0f =___34____,f=____814_____. 7. 若12y x y -=+，则y 用x 的代数式表示为y =___211x x+-___.8. 设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.答案：()0.10y x x x =≥且是整数提高题1. 若函数2221x x y x --=-，则与函数值0y =对应的x 的值是（ D ）. A. 1x =-或2x =B. 1x =或2x =-C. 1x =-且2x =D. 2x = 2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积V （立方厘米）关于自变量x （厘米）的函数解析式为__()2202V x x =-__,定义域为_010x <<_. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量y （升）与时间x （分）之间关系的图像大致是（ C ）A.正比例函数一、知识点1. 正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为yk x =或()0y kx k =≠.解析式形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，其中，常数k 叫做比例系数，正比例函数y kx =的定义域是一切实数.2. 正比例函数的图像和基本性质 XXX二、例题例1 若函数()31m y m x -=-是正比例函数，则m =_________,函数的图像经过_________象限.分析由正比例函数的解析式可知，31m -=，所以4m =.把4m =代入函数解析式，得3y x =，再由正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解：4m =，图像经过第一、三象限. 例2 若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -,求y 与x 的函数解析式. 分析由y 与21x +成正比例，可以设()()210y k x k =+≠.再把点A 的坐标()3,1-代入函数解析式，即可求出k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.解:y 与21x +成正比例，∴ 设()()210y k x k =+≠.把点A()3,1-代入，得15k =-，()1215y x ∴=-+例3 已知点()11,x y 和()22,x y 在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？分析由条件当12x x >时，12y y <，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值y 随着x 的值增大而减小，即比例系数小于零.解：由题意，函数值y 的值随着x 的值增大而减小，0,2k k ∴<<例4 直角三角形的一条直角边是6，写出它的面积y 关于另一条直角边x 的函数关系式并画出这个函数的图像.解：由直角三角形的面积公式，得162x y ⨯=.()30y x x ∴=>说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量x 的取值范围，因为定义域为X0x >，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点.1. 如何理解正比例函数的性质：当0k >时，y 随着x 的值增大而逐渐增大，当0k <时，y 随着x 的值增大而逐渐减小？答：从解析式来看，当0k >时，若12x x <，由不等式的性质有12kx kx <，即12y y <；当0k <时，若12x x <由不等式的性质有12kx kx >，即12y y >;也可以结合正比例函数的图像去理解：当0k >时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值y 相应地从小到大逐渐变化.当0k <时类似.2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性质.三、巩固练习 1. 填空：（1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_2y x =-__;函数的图像经过第__二、四__象限.（2）正比例函数2y x =-的图像上一点横坐标为2，纵坐标是__-4___, 函数值随x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线PO 的解析式：___34y x =___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过原点（0,0）的一条直线；② y 的值随x 的值增大而增大.请你举出一个满足上述条件的函数：____2y x =_（答案不唯一）___. 2. 选择：（1）下列函数中，正比例函数的是（ B ）A.3y x =B. 32y x =- C.213x y += D. 2y x = （2）下列各点中，在直线2y x =上的点有（ A ）.A.21⎫-⎪⎪⎝⎭ B. (2,2 C. 5,10D. ()2,1-（3）函数y kx =的图像经过点（1,4），那么()2y k x=-的图像经过第（ B ）象限.P-3/2-20yXA. 一、三B. 二、四C. 一、二D. 三、四 3. 已知y 是x 的正比例函数，当2x =时，12y =（1）求y 与x 的函数解析式；（2）求当x =y 的值；（3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1）14y x =；（2）4y =；（3）略 4. 正比例函数2112y k x k ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图像经过第二、四象限，求函数的解析式.答案：12y x =-5. 已知3y -与x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7）（1）求y 与x 的函数解析式；（2）求当4x =时，y 的值；（3）求当3y =-时，x 的值.答案：（1）23y x =+；（2）11；（3）-3 6. 如果28my mx -=是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(),x y ，有0xy <.求m 的值.答案：-37. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离y （米）与时间x （分）之间的关系.根据图像回答：（1）小明家与学校的距离是___3000__米；（2）小明骑自行车的平均速度是___200___米/分；（3）写出小明汽车途中，离开家的距离y （米）与时间x （分）的函数关系式及定义域：___()200015y x x =≤≤提高题1. 正比例函数y kx =的图像上有一点A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为（2,0）.若三角形OAB 的面积为6，试求k 的值. 答案：3或-32. 已知正比例函数的自变量x 减小2时，对应的函数值增加4.求该正比例函数的解析式. 答案：2y x =-3. 已知点()()122,,1,A y B y -是正比例函数y kx =的图像上的两个点.若12y y >，试判断k 的取值范围. 答案：0k <家庭作业一、填空题： 1. 若()21m y m x=+是正比例函数，则m =___1___.2. 已知函数()g x =，则()2g =___3___. 3. 在直角坐标系中，若点(),4M x -和点()3,N y 关于x 轴对称，则x y +=_7__.4. 如果正比例函数3xy =的图像过点()6,k ，那么k =___2___. 5. 已知矩形的周长为12，若矩形一边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()2606y x x x =-+<<___.6. 若等腰三角形顶角的度数为y ，底角的度数为x ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()1802090y x x =-<<___.7. 若等腰三角形的周长是20cm ，腰长与底边长分别是ycm 和xcm ，那么y 与x 的函数关系式为__102xy =-__,定义域为__010x <<__. 8. 若()25y a x b =+-+是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则a b +=__2__. 9. 若等腰梯形的周长为20cm ，上底长ycm ，底角为30，腰长xcm ，则y 与x 的函数关系式为__2102y x +=-__.10. 若y 成正比例，且当4x =时，3y =-则当32x =时，y =__-___. 二、选择题11. 若()2,P x y 是1P 关于y 轴的对称点，而点1P 在第三象限内，则（ A ）A. 0,0x y >>B. 0,0x y ><C. 0,0x y <<D. 0,0x y <> 12. 若点()111,P x y 与()222,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ）A. 1212x x y y +=+；B. 1212x x y y -=-；C.1212y y x x =； D. 1221x y x y =. 13. 平面直角坐标系中有点()4,3A -,那么点A 到x 轴的距离是（ A ）A. 3 ;B. -3 ;C. 4 ;D. -4. 14. 点()11,A x y 与()11,B y y 之间的距离是（ A ）A. 11x y -；11y - ；C.D. 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高；C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长；D. 商品的价格确定时，销售额与销售量；E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标；F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、简答题16. 求下列函数的定义域：（1）322612y x x x =--+；（2）y =；答案：一切实数答案：72x ≥（3）6y x =-；（3）y =答案：126x x ≥-≠且答案：143x <17. 已知()225f x x =-+，求()()5+13f f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、.答案：5539f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；()225f a a =-+；2243a a --+ 18. 已知正比例函数23y x =-. (1) 当x 取何值时，3y >-； (2) 当x 取何值时，3y =-； (3) 当x 取何值时，3y <-；(4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）()()999;2;3(4)222x x x <=>略四、综合题已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各（1）在函数34y x =的图像上取一点A （横坐标为4），点A 的坐标是__()4,3__;设点A 关于y 轴对称的点为A ’，那么A ’的坐标是__()4,3-__;（2）过原点和点A ’画直线OA ’，它与直线34y x =关于y 轴对称吗？___对称____; （3）如果在函数34y x =的图像上选取另一点B ，点B 关于y 轴对称的点B ’在直线OA ’上吗？ ________在_______;（4）已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，那么k 的值是多少？ _____34y x =-____.x(分)。

沪教版八年级上册-函数的概念、正比例函数讲义

【知识精要】1. 函数(1) 变量和常量变量：可以取不同数值的量；常量：保持数值不变的量。

区别：表示量的数值变还是不变。

(2)函数的定义：在某个变化过程中变化有两个变量，设为X和Y，如果在X的允许取值范围内，变量Y 随着X的变化而变化，他们之间存在着确定的依赖关系(对应法则)，那么变量Y叫做变量X 的函数，X叫做自变量。

注意：(1) 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系；(2) 自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域；(3) 函数三要素：自变量、因变量、对应法则。

(3) 函数解析式：两个变量之间依赖关系的数学式子；(4)函数的定义域和函数值定义域：如果y是x的函数，自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域。

函数值：如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。

符号“y=f(x)”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律(对应法则)。

值域：函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。

2. 正比例函数(1) 概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么就说这两个变量成正比例；用数学符号语言记为ykx=或y=kx(0k≠).解析式形如y=kx(0k≠)的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数。

正比例函数解析式右边是常数与自变量的乘积的形式，且这个常数不为0；自变量的指数为1。

(可用来判断一个函数是不是正比例函数)(2) 定义域：一切实数。

(3) 图像一般地，正比例函数y=kx(k是常数，且k0≠)的图像是经过原点O(0，0)和点M(1，k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.(4) 正比例函数的性质①当k>0时，函数图像经过第一.三象限；当k<0时，函数图像经过第二.四象限。

②当k>0时，自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大；当k<0时，自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小。

八年级数学专题讲座四正比例函数和反比例函数

八年级数学专题讲座四正比例函数和反比例函数
汇报人：XXX 2024-01-27
目录
• 函数基本概念与性质 • 正比例函数图像与性质 • 反比例函数图像与性质 • 正、反比例函数关系探究 • 典型例题分析与解答 • 练习题与课堂互动环节
01
函数基本概念与性质
函数定义及表示方法
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，如果对于$x$在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，$y$都有唯一确定的值与之对应，那么就说$y$是$x$的函数，记作$y=f(x)$。
例题2
已知一个反比例函数的图像经过点 A(-2, 3)，求这个反比例函数的解析式，并判断点 B(3, -2) 是否在这个函数的图像上。
涉及正、反比例函数关系的典型例题
例题1
已知 y 与 x+1 成正比例，且当 x = 2 时，y = -6。求 y 与 x 的函数关系式。
例题2
已知 y = y1 + y2，其中 y1 与 x 成正比例，y2 与 x 成反比例，且当 x = 1 时，y = 4；当 x = 2 时，y = 5。求 y 与 x 的函数关系式。
教师将总结本节课的知识点，强调正比例函数和反比例函数的概念、性质和应用，帮助学生加深对这两个函数的理解和掌握。
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比例常数小于0时
当比例常数k < 0时，随着x的增大，y减小，函数图像在第一象限和第三象限内是减函数。
正比例函数应用举例
速度与时间的关系
在匀速直线运动中，速度v与时间t成正比。例如，如果一辆汽车以恒定速度行驶，那么它行驶的距离与时间是成正比的。
工作总量与工作时间的关系
在固定工作量的情况下，工作效率与工作时间成反比。但如果工作效率恒定，那么工作总量与工作时间成正比。

数学沪科版八年级(上册)12.2.1正比例函数的图象与性质+

k 的符号
经过的象限
正比例函数 y=kx(k≠0) 的图象
① 当k>0时
y=kx 的图像在一、三象限
y
y=kx(k>0)
O
x
② 当k<0时 y=kx 的图像在二、四象限 y=kx(k<0) y
O
x
画函数图象时的选点
(0,0)，(1,k)
性质 1 当k>0时,y随 x 的增大而增大；当k<0时,y随 x的增加而减小.
(2)形如 y=kx ( k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.
思考：一次函数与正比例函数的关系？
正比例函数是一次函数的特殊情形 . 即 : 正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
练习
1、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1)
y=-
3 x
(2)
y=-
x 3
y
Hx
O
A
(3) y=1-x2
(4) y=2x+8
x+1 (5) y= 2
(6) y=3x2-x(3x-2)
(7) y=kx
2、已知函数 y=(a-3)x3-│a│+a+2 (1) 当 a 取何值时，这个函数是一次函数？ (2) 当 a 取何值时，这个函数是正比例函数？并写出函数的表达式.
下面，来研究一次函数的图象与性质. 请画出正比例函数y=2x、y=-2x的图像
4、已知 y 与 x 成正比例，且当 x=1 时，y=5.写出 y 与 x 之间的函数表达式.
变式：已知 y-2 与 3x 成正比例，且当 x=1 时，y=5. 写出 y 与 x 之间的函数表达式.

沪教版八年级数学暑假同步讲义第18讲函数单元复习(解析版)

正比例函数和反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，从本章开始，我们以运动．变化的观点为指导，引入变量和函数的初步的概念，学习两种与现实生活密切相关的简单函数．通过对这两类函数的解析式．定义域．它们的图像和性质的逐一研究，深化了函数概念的理解，并得出研究函数的一般方法．函数的概念与性质是初中阶段的重点．(1)理解函数的意义，掌握函数的定义域和对应法则,会求出x a 时的函数值．(2)本章研究了两个最简单的函数，即正比例函数与反比例函数的定义．图像和性质.这是本章的重点．要理解这两个函数的概念，能借助直观的图像，得到它们的一些基本性质，并知道它们在现实生活中的广泛应用．会用这些概念和性质，采用一定的方法，并渗透数形结合的思想，去解决一些简单的实际问题．(3)掌握函数的三种常用表示法，即解析法．列表法和图像法．知道各种表示法的优缺点，善于把这些方法结合起来，对函数进行分析与研究，还要善于利用图表获取信息．处理信息去解决问题，善于用数形结合的思想研究性质．知识结构正反比例函数单元复习内容分析班假暑级年八2 / 14一．函数的意义1．在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果x 在它的允许值范围内变化，y 随着x 的变化而变化，也就是他们之间存在着相依关系，就说变量y 是变量x 的函数．2．当一个变量取一个确定值时，按照某一对应法则，另一个变量也有确定的值与它对应，这就反映了两个变量间的对应关系，就目前我们涉及的函数，对于自变量在它自己允许值范围内的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与它对应，这里的对应法则就是函数的要素之一．3．自变量可取值的范围，我们称它为定义域.每一个函数都有定义域，定义域是函数的要素之一.函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体就称为函数的值域，这也是函数的要素之一．二．正比例函数和反比例函数正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x =≠图像经过(0,0)(1,)k 和两点的直线双曲线性质当0k >时，图像经过第一．三象限；当0k <时，图像经过第二．四象限当0k >时，图像经过第一．三象限当0k <时，图像经过第二．四象限增减性当0k >时，y 的值随着x 的值增大而增大当0k >时，y 的值随着x 的值增大而减小当0k >时，在每个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小；当0k >时，在每个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大．三．函数的常用表示法 1．数学方法—“待定系数法”，待定系数法是数学中常用的方法；2．数学思想—“数形结合”的思想，在解函数题时要充分利用所给函数图形，会正确画图．知识精讲【习题1】下列说法正确的是（）． A ．21x +不是x 的函数B ．汽车的行驶速度与驾驶员的身高存在函数关系C ．凡是过原点的直线的解析式都是正比例函数D ．反比例函数4y x=，当0x <时，y 随x 的增大而减小【答案】D【解析】A 答案中是函数关系；B 答案中两者不存在函数关系；C 答案中过原点的直线也可以是x 轴和y 轴．【总结】本题主要考查函数的概念，以及正、反比例函数的性质．【习题2】 y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，那么y 与z 的关系是（）．A ．成正比例B ．成反比例C ．可能成正比例也可能成反比例D ．既不成正比例也不成反比例【答案】B【解析】∵y 与x 成正比例，∴kx y =，∵x 与z 成反比例，∴z m x =，∴zkm y =．【总结】本题主要考查两个变量成正比例或者成反比例的概念．【习题3】若函数231(1)mm y m x ++=+是正比例函数，则m 的值为（）．A ．3m =-B ．0m =C ．30m m =-=或D ．30m m ==或【答案】C【解析】1132=++m m ，则0=m 或3-．【总结】本题主要考查正比例函数的概念．【习题4】函数3y x =．2y x =-．34y x =的共同点是（）． A ．图像经过相同的象限 B ．随着x 逐渐增大，y 值逐渐减小C ．图像都经过原点D ．随着x 逐渐增大，y 值逐渐增大选择题【答案】C【解析】都是正比例函数，因此图像都过原点．【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【习题5】若正比例函数的图像经过点(12)-，，则这个函数的图像一定经过点（）．A ．(21)-，B ．1(2)2-，C ．(12)-，D ．1(2)2，【答案】C【解析】正比例函数解析式为x y 2-=，代入C 中的点坐标，成立．【总结】本题主要考查正比例函数图像上点的坐标特征．【习题6】如图，过原点的一条直线与反比例函数(0)ky k x=≠的图像分别交于A 、B 两点．若A 点的坐标为()a b ，，则B 点的坐标为（）．A ．()a b ，B ．()b a ，C ．()b a --，D ．(a --，【答案】D【解析】正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称．【习题7】已知0ab >，则函数by x a=的图像经过（）．A ．二、三象限B ．二、四象限C ．一、三象限D ．一、四象限【答案】C【解析】∵0ab >，∴0>ab．【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质．【习题8】已知：点P 是反比例函数(0)ky k x=≠的图像上任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（）． A ．2B ．2-C ．±2D ．4【答案】C【解析】过反比例函数xky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k ．【总结】本题主要考查反比例函数图像性质中面积不变性的运用．【习题9】已知反比例函数3k y x+=在它的图像所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大，则k 的取值范围是（）． A ．0k >B ．0k <C ．3k >-D ．3k <-【答案】D 【解析】()0<=k xky 在每个象限内y 随着x 的增大而增大．【总结】考查反比例函数的定义和图像性质．【习题10】函数11y x =-的定义域是_________．【答案】1>x ．【解析】需要满足01>-x ，则1>x ．【总结】本题主要考查函数的定义域的求法，当含有二次根式时，被开方数要非负，同时保证分母不为零．【习题11】已知2()2f x x=-，则(2)f =_________．【答案】12+．【解析】2(2)=2+122f =-．【总结】本题主要考查利用代入法求函数的值．【习题12】正比例函数的图像经过(21)，，那么这个正比例函数的解析式是_________．【答案】x y 21=．【解析】主要考查利用待定系数法求正比例函数解析式．【习题13】反比例函数12y x=-的比例系数是_________．【答案】21-．【解析】xky =中k 叫做比例系数．填空题【总结】本题主要考查反比例函数比例系数的概念．【习题14】反比例函数2k y x-=的图像经过点(23)--，，那么这个反比例函数的解析式是 _________．【答案】xy 6=．【解析】待定系数法求反比例函数解析式．【习题15】反比例函数mny x=，当m 、n 异号时，它的图像位于第_______象限．【答案】二、四．【解析】m ．n 异号时，则0<mn ．【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质．【习题16】若函数23my mx -=，当m =______时，此时函数是正比例函数，且图像在第一、三象限，y 随x 的减小而_________．【答案】2；减小．【解析】132=-m ，则2±=m ；∵图像在第一、三象限，则2=m ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念以及正比例函数的图像的性质．【习题17】已知y8x =时，16y =，那么当64x =-时，y =__________，当64y =-时，x =__________．【答案】-32；-512【解析】∵y成正比例，∴3x k y =．∵当8x =时，16y =，∴3816k =，∴8=k ，∴38x y =．当64x =-时，326483-=-⨯=y ；当64y =-时，6483-=x ，则512-=x ．【总结】本题一方面考查两个变量成正比例的概念，另一方面考查求函数值的问题．【习题18】要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q (米3)和水泵抽水时间t (小时)的函数关系式为__________， t 的取值范围为_________________．【答案】t Q 30600-=；200≤≤t 【解析】工作总量=工作时间×工作效率．【总结】本题主要考查函数与实际问题的结合．【习题19】已知函数y ax =和4ay x-=的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是__________．【答案】(12)，或(12)--，．【解析】当1=x 时，a ax y ==，a xay -=-=44，则a a -=4，解得：2=a ．所以两个函数的解析式为：2y x =和2y x=，联立，解得交点坐标为：(12)，或(12)--，．【总结】本题主要考查待定系数法求解析式以及利用解析式求交点坐标．【习题20】已知：函数55y x x =--，求：（1）自变量的取值范围；（2）(4)A m ，在这个函数图像上，求m 的值；（3）当11x =-时，函数值y 等于多少？（4）当x 取什么值时，函数值是3？【答案】（1）（1）5≤x ；（2）19；（3）-59；（4）1．【解析】（1）5≤x ；简答题（2）当4=x 时，194545=--⨯=m ；（3）当11-=x 时，()()59115115-=----⨯=m ；（4）355=--x x ，x x -=-535，两边平方可得：0429252=+-x x ，则11=x ，2542=x ；代入到原方程中，254=x 不满足方程，则1=x ．【总结】本题主要考查根据函数解析式求函数值．【习题21】市出租车起步价是7元（路程小于或等于3千米），超过3千米加收1.2元，求出租车车费y 与行程x （3x >）之间的函数关系式．【答案】4.32.1+=x y ．【解析】()4.32.132.17+=-+=x x y ．【总结】本题主要考查根据实际问题确定函数解析式．【习题22】近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距是0.25米．求y 与x 的函数关系式．【答案】xy 100=．【解析】用待定系数法求反比例函数解析式．【习题23】现有100本图书借给学生每人2本，写出余下书数y (本)与学生数x (人)之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】()5002100≤≤-=x x y ．【解析】考查实际问题．【习题24】已知等腰三角形的周长为24，设腰长为x ，底边长为y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并求出自变量x 的取值范围．【答案】()126224<<-=x x y ．【解析】由三角形三边关系可得：x x y x x +<<-，将x y 224-=代入不等式中，可得： 126<<x ．【总结】本题主要考查函数关系式与实际问题之间的关系．【习题25】某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x 与售价y写出y 关于x 的函数解析式并画出函数图像．【答案】x y 1.2=，图像略．【解析】x x x y 1.21.02=+=【习题26】当k 为何值时，函数321()3k y k x -=+，（1）是正比例函数，并求出此时的函数解析式；（2）是反比例函数，此时函数的图像在什么象限？【答案】（1）x y 34=；（2）x y 32=，此时函数在一、三象限．【解析】（1）123=-k ，则1=k ，函数解析式为x y 34=；（2）123-=-k ，则31=k ，函数解析式为xy 32=，此时函数图像在一、三象限．【总结】本题一方面考查正、反比例函数的概念，另一方面考查反比例函数的性质．【习题27】已知反比例函数(0)ky k x =≠的图像经过直线3y x =m ）．求m 和k 的值．【答案】33=m ，9=k ．【解析】∵m ）在直线3y x =上，∴33=m∵在反比例函数xky =上，∴9333=⨯=k ．【总结】本题主要考查反比例函数图像上的点与图像的关系．【习题28】已知y 是x 的正比例函数，并且当2x =时，8y =，如果(24)A m m -+，是它图像上的一点，求m 的值．【答案】32=m ．【解析】∵y 是x 的正比例函数，并且当2x =时，8y =，∴x y 4=，∵(24)A m m -+，是x y 4=上的一点，∴m m 442=+-，∴32=m ．【总结】本题主要考查正比例函数图像上的点与图像的关系．【习题29】若双曲线21k y x-=的图象经过第二、四象限，求k 的取值范围．【答案】21<k ．【解析】由题意，可得：012<-k ，所以21<k ．【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题30】在反比例函数21m y x--=的图像上有三点11()x y ，，22()x y ，，33()x y ，，若1230x x x >>>，比较1y ，2y ，3y 的大小．【答案】312y y y <<．【解析】012<--m ，则函数y 随着x 增大而增大．【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题31】若11()A x y ，、22()B x y ，、33()C x y ，是函数3y x=图象上的点，且1230x x x <<<，求1y 、2y 、3y 、0的大小关系．【答案】3120y y y <<< 【解析】函数3y x=y 随着x 增大而减小．【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题32】已知反比例函数3m y x+=经过点A (2)m -，和B 2)n n （，，（1）求m 和n 的值；（2）若图像上有两点111()p x y ，和122()p x y ，，且120x x <<，试比较1y 和2y 的大小．【答案】（1）1-=m ，1±=n ；（2）21y y <．【解析】（1）∵反比例函数3m y x +=经过点A (2)m -，，∴23+=-m m ，解得：1-=m ．∴反比例函数解析式为：x y 2=，∵()n n B 2，在x y 2=上，∴nn 22=，∴1±=n（2）∵120x x <<，∴21y y <．【总结】本题一方面考查利用待定系数法确定反比例函数的解析式，另一方面考查反比例函数图像的性质．【习题33】已知点A 坐标为(60)-，，点(1)B a -，在直线3y x =上，求AOB ∆的面积．【答案】9．【解析】∵点(1)B a -，在直线3y x =上，∴(13)B --，∴93621210=⨯⨯=⋅⋅=y B A B OA S △．【总结】本题主要考查函数在求几何图形面积中的应用．【习题34】已知M 是反比例函数(0)ky k x =≠图像上一点，MA ⊥x 轴于A ，若4AOM S ∆=，求这个反比例函数的解析式．【答案】x y 8=．【解析】过反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点作x 轴的垂线（或y 轴的垂线)构成的三角形的面积为k 21．解答题【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．【习题35】已知直线y kx =过点(23)-，，点A 是直线y kx =上一点，点B 的坐标(40)，，且12ABC S ∆=，求点A 的坐标．【答案】()64-，A 或()64，-．【解析】∵直线y kx =过点(23)-，，∴x y 23-=∵点A 是直线32y x =-上一点，∴可设⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m A 23,∵12ABC S ∆=，∴1221=⋅⋅y A OB ，即1223421=-⨯⨯m ，则4±=m∴()64-，A 或()64，-．【总结】本题综合性较强，注意两种情况的讨论．【习题36】已知直线12y x =与双曲线ky x=交于A 点，且点A 的横坐标为4．若双曲线ky x=上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积．【答案】15．【解析】∵点A 的横坐标为4，∴其纵坐标为2214=⨯，∴()2,4A ． ∵()24，A 在x k y =上，则反比例的解析式为xy 8=，∴()81，C ．过点C 、A 分别作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则4==AOF COE S S △△．∴AOE COA CEFA COE S S S S △△梯形△+=+ ∴CEFA COA S S 梯形△= ∵()1538221=⨯+⨯=CEFA S 梯形∴15=COA S △．【总结】本题综合性较强，要注意分析坐标与距离的关系，另外注意利用割补法求面积．【习题37】正方形ABCD 的边长为8厘米，现点P 由点B 出发，沿BC →CD 边，设点P从B 点移动了x cm ，ABP S y ∆=2cm ，求y 关于x 的解析式，并写定义域．【答案】当80≤≤x 时，x y 4=；当168≤<x 时，32=y ．【解析】当P 在BC 上运动时，x x y 4821=⨯⨯=；当P 在CD 上运动时，328821=⨯⨯=y ．【总结】本题主要考查动点与三角形面积的关系，注意分类讨论．【习题38】如图，正比例函数y kx =（k ＞0）与反比例函数3y x=的图像交于A ．C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，求ABCD S 四边形．【答案】6．【解析】∵正比例函数y kx =（k ＞0）与反比例函数3y x=的图像交于A ．C 两点． ∴A 、C 关于原点对称， ∴OB OD =，∴OAD OAB S S △△=，OCD OCB S S △△=． ∵23=AOB S △，23=COD S △，∴3462AOB AOD DOC COB ABCD S S S S S =+++=⨯=△△△△四边形．【总结】本题一方面考查反比例函数与正比例函数的交点坐标的特征，另一方面考查反比例函数图像的性质．【习题39】已知反比例函数(0)ky k x =≠的图像上有一点A ，过点A 向x 轴，y 轴分别作垂线，垂足分别为点B 、C ，且矩形ABOC 的面积为15．求这个反比例函数的解析式．【答案】x y 15=或x y 15-=．【解析】过反比例函数xky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k ．【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．【习题40】已知正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22(0)ky k x=≠的图像交于A ．B两点，点A 的坐标为（2，1）．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；（2）求点B 的坐标．班假暑级年八14 / 14【答案】（1）x y 21=，xy 2=；（2）()12--，B 【解析】用待定系数法求函数解析式；正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称．【习题41】如图所示，在函数1y x=的图象上有三点A ．B ．C ，过这三点分别向x 轴．y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴．y 轴围成的矩形的面积分别为1S 、2S 、3S ，比较1S 、2S 、3S 的大小．【答案】123S S S ==．【解析】过反比例函数x ky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k．【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．。

沪教版八年级数学上册正反比例函数第三节函数的表示教案

第三讲函数的表示法【知识要点】1．函数的表示法：（1）列表法：把两个变量之间的依赖关系用表格来表达；（2）图像法：把两个变量之间的依赖关系用图像来表示；（3）解析法：把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达；【注意】解析法是比较常用的方法，也是考试重点考察的方法。

2．正、反比例函数与实际问题（1）根据实际问题，判断两个变量是成正比例还是反比例；（2）设函数解析式，待定系数法确定函数解析式；（3）确定函数定义域；【学习目标】1. 掌握函数的三种表示法，并掌握列表法与解析法的相互转化、图像法与解析法的相互转化；2. 对于实际问题，熟练确定函数解析式并给出定义域。

【典型例题】1．由图表和图像求函数关系【例1】下面给出的是函数)(x f y =的部分数值对应表，x 1 -2 3 2 4 -4 y 3 4 5 4 1 0 则与4)(=x f （A ）-2 （B ）1 （C ）2（D ）2±【分析】理解了列表法，即能直接从表中找到对应的关系．【解答】（D ），在表中找关系，当4)(=x f ，2,2x =- 【例2】下列图形可以作为某个函数的图象的是（）y yO x O x O x O x（A ）（B ）（C ）（D ）【分析】用图象反映函数的概念。

【解答】定义域内的任意一个x 至多有一个y 的值与之对应．所以选（B ）。

【例3】某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则其中的图形较符合该学生走法的是（）1. （B ）（C ）（D ）【分析】前一段时间，路程走得多，后一段时间路程走得少，开始时与家里的距离是0 【解答】（C ），根据分析只有（C ）适合，故选（C ）．2．函数的嵌套【例4】已知xx f -=11)(，当≠x时，下列各式中与)]([x f f 相等的一个是（）（A ）)(1x xf （B ）)(1x f x + （C ）)(1x xf - （D ）)(1x f x - 【分析】计算出)]([x f f 与对应的项进行比较．【解答】（C ）【例5】已知12)3(2++=-x x x f ，那么=+)3(x f （）（A ）49142++x x （B ）1682++x x （C ）242+-x x （D ）49142+-x x【分析】16)3(8)3()3(2+-+-=-x x x f ，∴163(8)3()3(2++++=+）x x x f ．【解答】（A ），化简分析的式子可以得到答案。

上海沪科版初中数学八年级上册12.2 第1课时正比例函数的图象和性质1

例函数解析式的特点；(重点)
的形式，如果 x 的次数是 1，则是一次函
2．理解和掌握正比例函数图象的性数，否则不是一次函数；在一次函数中，
质，能利用所学知识解决相关实际问题；如果常数项 b＝0，那么它是正比例函数．
(难点)
解： (1)是一次函数，不是正比例函
3．经历利用正比例函数图象直观分析数；
解析：将 x＝－1，y＝－2 代入正比例函数 y＝kx(k≠0)中，求出 k 的值为 2，即可根据正比例函数的性质判断出函数的大致图象，故选 C.
方法总结：本题考查了正比例函数的图象，知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当 k>0 时，图象过第一、三象限；当 k<0 时，图象过第二、四象限．
－6；
m＝－5.所以当 m＝－5 时，函数 y＝(m－
x (3)y＝2πx; (4)y＝－；
2
5)xm2－24＋m＋1 是一次函数； (2)因为 y＝ (m－ 5)xm2－ 24＋ m＋ 1 是
1 (5)y＝； (6)y＝8x2＋x(1
x
一次函数，所以 m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m ＋1＝0.所以 m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1，这
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12．2 一次函数
第 1 课时正比例函数的图象和性质
－8x)．
解析：首先看每个函数的表达式能否
1．认识正比例函数的意义，掌握正比变形转化为 y＝kx＋b(k≠0，k、b 是常数)

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正比例函数与反比例函数一．选择题（共15小题）1．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( ) A ．3x y =B ．3x y =-C ．3y x=D ．3y x=-2．反比例函数my x=的图象在第二、四象限内，则点(,1)m -在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是( ) A ．函数图象经过点(2,2)B ．函数图象位于第一、三象限C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y <- 4．反比例函数3k y x+=的图象在二，四象限，则k 的取值范围是( ) A ．3kB ．3k -C ．3k >D ．3k <-5．若1(3B -，1)y 、2(2,)A y -、3(1,)C y 三点都在函数(0)ky k x=>的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( ) A ．312y y y >> B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．321y y y >>6．反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是图象上另两点，其中120x x <<，那么1y 、2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．都有可能7．已知点1(1,)A y ，2(2,)B y ，3(2,)C y -都在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则( ) A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．231y y y >>D ．132y y y >> 8．若点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 都在反比例函数1y x=-的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是( )A ．123y y y <的图象上有三点11(A x ，1)y 、22(A x ，2)y 、33(A x ，3)y ，若1230x x x >>>，则下列各式中，正确的是( ) A ．123y y y <>D ．120y y >>11．已知0k >，则函数y kx =，ky x=-的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．12．已知函数y kx =中y 随x 的增大而减小，那么它和函数ky x=在同一直角坐标系内的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．13．正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22211()2k y k x -=≠的大致图象如图所示，那么1k 、2k 的取值范围是( )A ．10k >，212k >B ．10k >，212k <C ．10k <，212k >D ．10k <，212k <14．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S （千米）与离家的时间t （分钟）之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．15．小亮早晨从家骑自行车去学校上学，先上坡后下坡，行程情况如图所示，如果返回时上坡、下坡的速度仍与上学时的上、下坡速度相同，那么小亮从学校骑车回家的时间是()A ．30分钟B ．33分钟C ．37.2分钟D ．48分钟二．填空题（共10小题） 16．若函数23(2)my m x -=-是正比例函数，则m 的值是．17．已知函数2(1)1y m x m =-+-是正比例函数，则m = ．18．函数231x y x +=+中自变量x 的取值范围是． 19．函数121x x =-++的定义域是．20．已知函数1()1f x x=+，则(2)f = ． 21．已知反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大，那么k 的取值范围是．22．一水池的容积是3100m ，现有蓄水310m ，用水管以每小时36m 的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量3()V m 与进水时间t （小时）之间的函数关系式（并写出定义域）． 23．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6C ︒，已知某登山大本营所在的位置的气温是2C ︒，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x 千米时，所在位置的气温是C y ︒，那么y 关于x 的函数解析式是． 24．如图，函数12(0)y x x=>的图象经过OAB ∆的顶点B 和边AB 的中点C ，如果点B 的横坐标为3，则点C 的坐标为．25．正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A ，B 两点，点A 在第二象限，点A 的横坐标为1-，作AD x ⊥轴，垂足为D ，O 为坐标原点，1AOD S ∆=．若x 轴上有点C ，且4ABC S ∆=，则C 点坐标为．三．解答题（共5小题） 26．解方程：21(23)2503x --=．27．关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．28．已知12y y y =+，1y 与(1)x -成反比例，2y 与x 成正比例，且当2x =时，14y =，2y =．求y 关于x 的函数解析式．29．小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米．图中的折线反映了爸爸行走的路程y （米)与时间x （分钟）之间的函数关系．（1）爸爸行走的总路程是米，他途中休息了分钟；（2）当030x 时，y 与x 之间的函数关系式是；（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟米；（4）当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是米．30．如图，点P 是一个反比例函数与正比例函数2y x =-的图象的交点，PQ 垂直于x 轴，垂Q 的坐标为(2,0)．（1）求这个反比例函数的解析式．（2）如果点M 在这个反比例函数的图象上且MPQ ∆的面积为6，求点M 的坐标．正比例函数与反比例函数参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( ) A ．3x y =B ．3x y =-C ．3y x=D ．3y x=-【解答】解：A 、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随x 的增大而增大，故本选项正确．B 、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．C 、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．D 、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误．故选：A ． 2．反比例函数my x=的图象在第二、四象限内，则点(,1)m -在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：反比例函数my x=的图象在第二、四象限内， 0m ∴<，∴点(,1)m -的横纵坐标都为负， ∴点M 在第三象限，故选：C ．3．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是( ) A ．函数图象经过点(2,2)B ．函数图象位于第一、三象限C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y <-【解答】解：A 、关于反比例函数4y x=-，函数图象经过点(2,2)-，故此选项错误； B 、关于反比例函数4y x=-，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C 、关于反比例函数4y x=-，当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大，故此选项正确； D 、关于反比例函数4y x=-，当1x >时，4y >-，故此选项错误；故选：C ． 4．反比例函数3k y x+=的图象在二，四象限，则k 的取值范围是( ) A ．3k B ．3k -C ．3k >D ．3k <-【解答】解：3k y x+=的图象在二，四象限， 30k ∴+<，即3k <-．故选：D ．5．若1(3B -，1)y 、2(2,)A y -、3(1,)C y 三点都在函数(0)ky k x=>的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( ) A ．312y y y >> B ．213y y y >> C ．231y y y >> D ．321y y y >>【解答】解：0k >，∴反比例函数图象在一、三象限内，且在每个象限内y 随x 的增大而减小121(,),(2,)3B y A y --在第三象限，123->-，210y y ∴>> 3(1,)C y 在一象限， 30y ∴>， 321y y y ∴>>，故选：D ． 6．反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是图象上另两点，其中120x x <<，那么1y 、2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．都有可能【解答】解：反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-， 2k ∴=-，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，120x x <<，1(A x ∴，1)y 、2(B x ，2)y 两点均位于第二象限， 12y y ∴<．故选：B ．7．已知点1(1,)A y ，2(2,)B y ，3(2,)C y -都在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则( ) A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．231y y y >>D ．132y y y >>【解答】解：函数图象如图所示：123y y y >>，故选：A ．8．若点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 都在反比例函数1y x=-的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是( )A ．123y y y <的图象上有三点11(A x ，1)y 、22(A x ，2)y 、33(A x ，3)y ，若1230x x x >>>，则下列各式中，正确的是( ) A ．123y y y <，3120y y y ∴<<<．故选：D ．10．如果两点11(1,)P y -和22(2,)P y -在反比例函数1y x=的图象上，那么1y ，2y 的符号和大小关系是( ) A ．210y y <>D ．120y y >>【解答】解：把点11(1,)P y -代入反比例函数1y x=得，11y =-；点22(2,)P y -代入反比例函数1y x =得，212y =-； 1102-<-<， 120y y ∴<<．故选：B ．11．已知0k >，则函数y kx =，ky x=-的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当0k >时，0k -<，故函数y kx =的图象位于一三象限，ky x=-的图象位于二、四象限，故选：C ．12．已知函数y kx =中y 随x 的增大而减小，那么它和函数ky x=在同一直角坐标系内的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数y kx =中y 随x 的增大而减小， 0k ∴<，∴函数y kx =的图象经过二、四象限，故可排除A 、B ；0k <， ∴函数ky x=的图象在二、四象限，故C 错误，D 正确．故选：D ．13．正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22211()2k y k x -=≠的大致图象如图所示，那么1k 、2k 的取值范围是( )A ．10k >，212k >B ．10k >，212k <C ．10k <，212k >D ．10k <，212k <【解答】解：正比例函数1y k x =过一、三象限，故10k >；反比例函数22211()2k y k x -=≠的图象在二、四象限，故2210k -<，即212k <．故选：B ．14．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S （千米）与离家的时间t （分钟）之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：小李距家3千米， ∴离家的距离随着时间的增大而增大，途中在文具店买了一些学习用品， ∴中间有一段离家的距离不再增加，综合以上C 符合，故选：C ．15．小亮早晨从家骑自行车去学校上学，先上坡后下坡，行程情况如图所示，如果返回时上坡、下坡的速度仍与上学时的上、下坡速度相同，那么小亮从学校骑车回家的时间是()A ．30分钟B ．33分钟C ．37.2分钟D ．48分钟【解答】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分， ∴上坡速度36182=÷=（百米/分），下坡路的距离是963660-=百米，所用时间为301812-=（分)，∴下坡速度60125=÷=（百米/分）；去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡， ∴小亮从学校骑车回家用的时间是：602365307.237.2÷+÷=+=（分钟）．故选：C ．二．填空题（共10小题） 16．若函数23(2)my m x -=-是正比例函数，则m 的值是 2- ．【解答】解：函数23(2)m y m x -=-是正比例函数，231m ∴-=，20m -≠，解得：2m =±，2m ≠，故2m =-．故答案为：2-．17．已知函数2(1)1y m x m =-+-是正比例函数，则m = 1- ．【解答】解：由正比例函数的定义可得：210m -=，且10m -≠，解得：1m =-，故答案为：1-．18．函数y =中自变量x 的取值范围是 2x -且x ≠ 【解答】解：根据题意得：20x +且310x +≠，解得：2x -且13x ≠． ∴自变量x 的取值范围是2x -且13x ≠．故答案为：2x -且13x ≠．19．函数11x =+的定义域是 2x 且1x ≠- ．【解答】解：由函数关系式可得：20x -，10x +≠， 2x ∴且1x ≠-．故答案为：2x 且1x ≠-．20．已知函数1()1f x x=+，则f 1- ．【解答】解：因为函数1()1f x x=+，所以1f ===-．1-． 21．已知反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大，那么k 的取值范围是 0k < ．【解答】解：反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大， k ∴的取值范围是：0k <．故答案为：0k <．22．一水池的容积是3100m ，现有蓄水310m ，用水管以每小时36m 的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量3()V m 与进水时间t （小时）之间的函数关系式（并写出定义域） 106(015)V t t =+ ．【解答】解：水池蓄水量3()V m 与进水时间t （小时）之间的函数关系式为：106(015)V t t =+．故答案为：106(015)V t t =+．23．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6C ︒，已知某登山大本营所在的位置的气温是2C ︒，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x 千米时，所在位置的气温是C y ︒，那么y 关于x 的函数解析式是 62y x =-+ ．【解答】解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：62y x =-+．故答案为：62y x =-+． 24．如图，函数12(0)y x x=>的图象经过OAB ∆的顶点B 和边AB 的中点C ，如果点B 的横坐标为3，则点C 的坐标为 (6,2) ．【解答】解：把3x =代入12(0)y x x =>中，得4y =，(3,4)B ∴，C 点是AB 的中点，A 点在x 轴上， C ∴点的纵坐标为：422÷=，把2y =代入12(0)y x x=>中，得6x =， (6,2)C ∴．25．正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A ，B 两点，点A 在第二象限，点A 的横坐标为1-，作AD x ⊥轴，垂足为D ，O 为坐标原点，1AOD S ∆=．若x 轴上有点C ，且4ABC S ∆=，则C 点坐标为 (2,0)或(2,0)- ．【解答】解：设反比例函数为(0)ky k x=≠，正比例函数为(0)y ax a =≠；这两个函数的图象关于原点对称，A ∴和B 这两点应该是关于原点对称的，A 点的横坐标为1-，由图形可知，AD 就是A 点的纵坐标y ，而AD 边上的高就是A 、B 两点横坐标间的距离，即是2，这样可以得到1222S y =⨯=，解得2y =． A ∴点坐标是(1,2)-；B 点的坐标是(1,2)-，设(,0)C x ， 4ABC S ∆=， ∴1122422x x ⨯+⨯=，解得2x =， (2,0)C ∴或(2,0)-．三．解答题（共5小题）26．解方程：21(23)2503x --=．【解答】解：21(23)2503x --=2(23)750x --=， 2(23)75x -=，23x -=±23x =±解得：1x =2x = 27．关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解答】解：关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根， ∴有210(2)4(1)(3)0k k k k -≠⎧⎨=--+>⎩，即11280k k ≠⎧⎨->⎩，解得：32k <且1k ≠．答：k 的取值范围为32k <且1k ≠． 28．已知12y y y =+，1y 与(1)x -成反比例，2y 与x 成正比例，且当2x =时，14y =，2y =．求y 关于x 的函数解析式．【解答】解：根据题意，设111k y x =-，221(y k x k =、20)k ≠． 12y y y =+，121k y k x x ∴=+-，当2x =时，14y =，2y =， ∴112422k k k =⎧⎨+=⎩． 14k ∴=，21k =-．41y x x ∴=--． 29．小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米．图中的折线反映了爸爸行走的路程y（米)与时间x（分钟）之间的函数关系．（1）爸爸行走的总路程是3600米，他途中休息了分钟；（2）当030x时，y与x之间的函数关系式是；（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟米；（4）当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是米．【解答】故答案为：70y x=；（3）爸爸休息之后行走的速度是(36002100)(8050)50-÷-=米/分钟，故答案为：50．（4）妈妈到达缆车终点的时间为：36002.58180=（分)，爸爸迟到8050822--=（分)，终点时，爸爸离缆车终点的路程为：22501100⨯=（米)，故答案为：1100．30．如图，点P是一个反比例函数与正比例函数2y x=-的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂Q的坐标为(2,0)．（1）求这个反比例函数的解析式．（2）如果点M在这个反比例函数的图象上且MPQ∆的面积为6，求点M的坐标．【解答】解：（1）把2x =代入2y x =-得4y =- (2,4)P ∴-，设反比例函数解析式(0)ky k x=≠， P 在此图象上 2(4)8k ∴=⨯-=-， 8y x∴=-．（2）(2,4)P -，(2,0)Q4PQ ∴=，过M 作MN PQ ⊥于N ．则162PQ MN =， 3MN ∴=，设8(,)M x x-，则 235x =+=或231x =-=- 当5x =时，885x -=-，当1x =-时，81x-=， 8(5,)5M ∴-或(1,8)-．。