沪教版八年级上册-函数的概念、正比例函数讲义
沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计
沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计一. 教材分析《函数的概念及正比例函数》是沪教版数学八年级上册第18.1节的内容。
本节主要介绍函数的概念和正比例函数的定义、性质及图像。
通过本节的学习，学生应能理解函数的基本概念，掌握正比例函数的性质和图像，并为后续学习函数的其他类型打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的基础知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但是对于函数这一概念，学生可能还比较陌生，难以理解函数的本质。
因此，在教学过程中，需要通过具体实例让学生感受函数的意义，逐步引导学生理解和掌握函数的概念。
三. 教学目标1.了解函数的概念，知道函数的定义要素。
2.掌握正比例函数的定义、性质和图像。
3.能够运用函数的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.函数的概念及正比例函数的定义。
2.正比例函数的性质和图像。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体实例引入函数的概念，让学生感受函数的意义。
2.讲授法：讲解函数的定义、性质和图像，引导学生理解和掌握。
3.实践操作法：让学生动手绘制正比例函数的图像，加深对函数的理解。
4.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探索，提高学生的思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实例、图片、动画和练习题的PPT，辅助教学。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生应用函数的知识。
3.黑板、粉笔：用于板书和标注。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体实例引入函数的概念，如“汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶时间与所经过的路程之间的关系”。
让学生思考和讨论，引导学生感受函数的意义。
2.呈现（10分钟）讲解函数的定义，阐述函数的三个要素：定义域、值域、对应关系。
通过PPT 展示函数的图像，让学生直观地理解函数的概念。
3.操练（10分钟）讲解正比例函数的定义、性质和图像。
让学生动手绘制一些简单的正比例函数图像，加深对正比例函数的理解。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1正比例函数与反比例函数课件
三、正比例函数和反比例图象和性质
1. 概念： 形如
y kx （k 0) 称y是x的正比例函数 y k （k 0) 称y是x的反比例函数
x
• 2.图象特征
y kx(k 0)
k 0 k 0
y Ox
y
O
x
y k (k 0) x
y
O
x
y
O
x
3.性质
y kx(k 0)
当k＞0时，y随x的增大而增大 当k＜0时，y随x的增大而减小
yk x
K＞0，图象散布在第一、三象限， 在一、三象限，y随x的增大而减小
K＜0，图象散布在第二、四象限， 在二、四象限，y随x的增大而增大
4.求解析式 （1）正比例函数，只要知道图象上除原点
外的任一点坐标；
（2）y k (k 0) 可用图象上一点的坐标， x
或图象上一点引坐标轴的垂线所构成 的矩形的面积结合图象所在象限确定。
体体积应（ B ）
• A.不大于 24 m3
35
•
B.不小于
24 35
m3
•
C.不大于
24 37
m3
A(0.8，120)
•
D.不小于
24 37
m3
3.某校八年级学生到距学校6千米的郊外春游，一 部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同 路线前往，如图，分别表示步行和骑车的同学前 往目的地所走路程y（千米）与所用时间x（分钟） 之间的函数图象，则下列判断错误的是（ D ）
∴y=14x+10(80-x)+20(100-x)+8(x-30) =-8x+2560 x的取值范围为：30≤ x≤80
(2) ∵y=-8x+2560中，y随x的增大而减小， 又∵30≤ x≤80 ∴x＝80时，y最小＝1920（元） 总费用最低时的调配方案为：甲仓库80箱全部运
沪教版八年级数学第一学期18.1：函数的概念、正比例函数
第七讲 函数的概念、正比例函数函数的概念 一、知识点 1. 变量与常量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。
3. 函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果y 是x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x a =时的函数值.符号“()y f x =”表示y 是x 的函数，f 表示y 随x 变化而变化的规律. 二、例题讲解例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中，m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量m 的函数？解：物体所受的重力G 随它的质量m 的变化而变化，由G mg =可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量m 的函数.例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程y （千米）关于时间x （时）的函数解析式及定义域.分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为0x ≥. 解：函数解析式为50y x =，定义域为0x ≥. 例3 求下列函数的定义域：（1）23y x =+; （2）11y x =-； （3）y = 解：（1）对于整式23x +，无论x 取什么实数，它都有意义，所以函数23y x =+的定义域是一切实数；（2）对于分式11x -，当1x =时，它没有意义.所以函数11y x =-的定义域是1x ≠；（3，当12x ≥-时，它有意义，所以函数y = 域是12x ≥-.说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例4 已知()f x =12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，就是当12x =-时，求21y x =-+的值，只需要把12x =-代入后计算即可. 解：131322.241212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎝⎭⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭例5 等腰三角形的周长等于20cm ，请写出这个等腰三角形的底边长()x cm 和腰长()y cm 之间的解析式. 分析 根据周长的定义，得220x y +=，整理得20220,2xy x y -=-=， 即 1102y x =-+.函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.答案：1102y x =-+ 说明：1. 变量2x +是不是变量x 的函数？解： 对于代数式2x +，给定x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以2x +与x 有着确定的依赖关系，可以把变量2x +看做y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的2. 对于“”中的“f ”怎样理解？答：记号“()f x ”表示“y 是x 的函数”，这个记号比较抽象，“f ”并不是表示一个变量，()f x 也不是表示“f ”与“x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为x ，用f 表示变量y 随着x 的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如()()g x h x 、等，以免引起混乱.三、 巩固练习1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？ （1）正方形的周长C 与它的边长a ；（2）银行一年定期存款的本金x 元与利息y 元； （3）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ； （4）长方形的宽一定时，其长与面积； （5）等腰三角形的底边长与面积；（6）关系式y x=中的y 与x .答案：（1）变量是周长C 与边长a ，是函数关系；（2）变量是本金x 元与利息y 元，是函数关系； （3）变量是顶角的度数x 与底角的度数y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系； （5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是y 与x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域；（1）2y x =-； （2）y =答案： 一切实数 答案：1x ≥- （3）234y x x =+-； （4）11y x =-；答案：一切实数 答案：1x ≠（5）1y x x =+； （6）y =答案：0x ≠ 答案：0x ≥≠且x 23. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积12S ah=，当a 为定长时，在此式子中（ A ）.A. S 、h 是变量，a 是常量B. ,,S h a 是变量，12是常量 C. ,a h 是变量，1,2S 是常量 D. S 是变量，1,,2a h是常量4. 下列函数中，自变量的取值范围是113x <<的是（ D ）.A.y =B.y =C.y = D.y = 5. 如果()f x =()3f =___6. 已知()234x f x x +=+，则()0f =___34____,f=____814_____. 7. 若12y x y -=+，则y 用x 的代数式表示为y =___211x x+-___.8. 设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.答案：()0.10y x x x =≥且是整数 提高题1. 若函数2221x x y x --=-，则与函数值0y =对应的x 的值是（ D ）. A. 1x =-或2x =B. 1x =或2x =-C. 1x =-且2x =D. 2x = 2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积V （立方厘米）关于自变量x （厘米）的函数解析式为__()2202V x x =-__,定义域为_010x <<_. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量y （升）与时间x （分）之间关系的图像大致是（ C ）A.正比例函数 一、知识点1. 正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为yk x =或()0y kx k =≠.解析式形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，其中，常数k 叫做比例系数，正比例函数y kx =的定义域是一切实数.2. 正比例函数的图像和基本性质 XXX二、例题 例1 若函数()31m y m x -=-是正比例函数，则m =_________,函数的图像经过_________象限.分析 由正比例函数的解析式可知，31m -=，所以4m =.把4m =代入函数解析式，得3y x =，再由正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解：4m =，图像经过第一、三象限. 例2 若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -,求y 与x 的函数解析式. 分析 由y 与21x +成正比例，可以设()()210y k x k =+≠.再把点A 的坐标()3,1-代入函数解析式，即可求出k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.解:y 与21x +成正比例，∴ 设()()210y k x k =+≠.把点A()3,1-代入，得15k =-，()1215y x ∴=-+例3 已知点()11,x y 和()22,x y 在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 分析 由条件当12x x >时，12y y <，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值y 随着x 的值增大而减小，即比例系数小于零.解 ：由题意，函数值y 的值随着x 的值增大而减小，0,2k k ∴<<例4 直角三角形的一条直角边是6，写出它的面积y 关于另一条直角边x 的函数关系式并画出这个函数的图像.解：由直角三角形的面积公式，得162x y ⨯=.()30y x x ∴=>说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量x 的取值范围，因为定义域为X0x >，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点.1. 如何理解正比例函数的性质：当0k >时，y 随着x 的值增大而逐渐增大，当0k <时，y 随着x 的值增大而逐渐减小？答：从解析式来看，当0k >时，若12x x <，由不等式的性质有12kx kx <，即12y y <；当0k <时，若12x x <由不等式的性质有12kx kx >，即12y y >;也可以结合正比例函数的图像去理解：当0k >时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值y 相应地从小到大逐渐变化.当0k <时类似.2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性质.三、 巩固练习 1. 填空：（1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_2y x =-__;函数的图像经过第__二、四__象限.（2）正比例函数2y x =-的图像上一点横坐标为2，纵坐标是__-4___, 函数值随x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线PO 的解析式：___34y x =___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过 原点（0,0）的一条直线；② y 的值随x 的值增大而增大.请你举出一个满足上述条件的函数：____2y x =_（答案不唯一）___. 2. 选择：（1）下列函数中，正比例函数的是（ B ）A.3y x =B. 32y x =- C.213x y += D. 2y x = （2）下列各点中，在直线2y x =上的点有（ A ）.A.21⎫-⎪⎪⎝⎭ B. (2,2 C. 5,10D. ()2,1-（3）函数y kx =的图像经过点（1,4），那么()2y k x=-的图像经过第（ B ）象限.P-3/2-20yXA. 一、三B. 二、四C. 一、二D. 三、四 3. 已知y 是x 的正比例函数，当2x =时，12y =（1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当x =y 的值； （3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1）14y x =；（2）4y =；（3）略 4. 正比例函数2112y k x k ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图像经过第二、四象限，求函数的解析式.答案：12y x =-5. 已知3y -与x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7） （1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当4x =时，y 的值； （3）求当3y =-时，x 的值.答案：（1）23y x =+； （2）11； （3）-3 6. 如果28my mx -=是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(),x y ，有0xy <.求m 的值.答案：-37. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离y （米）与时间x （分）之间的关系.根据图像回答：（1） 小明家与学校的距离是___3000__米；（2） 小明骑自行车的平均速度是___200___米/分； （3） 写出小明汽车途中，离开家的距离y （米）与时间x （分）的函数关系式及定义域：___()200015y x x =≤≤提高题1. 正比例函数y kx =的图像上有一点A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为（2,0）.若三角形OAB 的面积为6，试求k 的值. 答案：3或-32. 已知正比例函数的自变量x 减小2时，对应的函数值增加4.求该正比例函数的解析式. 答案：2y x =-3. 已知点()()122,,1,A y B y -是正比例函数y kx =的图像上的两个点.若12y y >，试判断k 的取值范围. 答案：0k <家庭作业一、 填空题： 1. 若()21m y m x=+是正比例函数，则m =___1___.2. 已知函数()g x =，则()2g =___3___. 3. 在直角坐标系中，若点(),4M x -和点()3,N y 关于x 轴对称，则x y +=_7__.4. 如果正比例函数3xy =的图像过点()6,k ，那么k =___2___. 5. 已知矩形的周长为12，若矩形一边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()2606y x x x =-+<<___.6. 若等腰三角形顶角的度数为y ，底角的度数为x ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()1802090y x x =-<<___.7. 若等腰三角形的周长是20cm ，腰长与底边长分别是ycm 和xcm ，那么y 与x 的函数关系式为__102xy =-__,定义域为__010x <<__. 8. 若()25y a x b =+-+是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则a b +=__2__. 9. 若等腰梯形的周长为20cm ，上底长ycm ，底角为30，腰长xcm ，则y 与x 的函数关系式为__2102y x +=-__.10. 若y 成正比例，且当4x =时，3y =-则当32x =时，y =__-___. 二、选择题11. 若()2,P x y 是1P 关于y 轴的对称点，而点1P 在第三象限内，则（ A ）A. 0,0x y >>B. 0,0x y ><C. 0,0x y <<D. 0,0x y <> 12. 若点()111,P x y 与()222,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ）A. 1212x x y y +=+；B. 1212x x y y -=-；C.1212y y x x =； D. 1221x y x y =. 13. 平面直角坐标系中有点()4,3A -,那么点A 到x 轴的距离是（ A ）A. 3 ;B. -3 ;C. 4 ;D. -4. 14. 点()11,A x y 与()11,B y y 之间的距离是（ A ）A. 11x y -；11y - ；C.D. 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高；C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长；D. 商品的价格确定时，销售额与销售量；E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标；F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、 简答题16. 求下列函数的定义域：（1）322612y x x x =--+； （2）y =；答案：一切实数 答案：72x ≥（3）6y x =-； （3）y =答案：126x x ≥-≠且 答案：143x <17. 已知()225f x x =-+，求()()5+13f f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、.答案：5539f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；()225f a a =-+；2243a a --+ 18. 已知正比例函数23y x =-. (1) 当x 取何值时，3y >-； (2) 当x 取何值时，3y =-； (3) 当x 取何值时，3y <-；(4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）()()999;2;3(4)222x x x <=>略 四、综合题已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各 （1） 在函数34y x =的图像上取一点A （横坐标为4），点A 的坐标是__()4,3__;设点A 关于y 轴对称的点为A ’，那么A ’的坐标是__()4,3-__;（2） 过原点和点A ’画直线OA ’，它与直线34y x =关于y 轴对称吗？___对称____; （3） 如果在函数34y x =的图像上选取另一点B ，点B 关于y 轴对称的点B ’在直线OA ’上吗？ ________在_______;（4） 已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，那么k 的值是多少？ _____34y x =-____.x(分)。
2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习05 函数的概念及正比例函数(考点讲解)(学生版)
专题05 函数的概念及正比例函数【考点剖析】 1.函数定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则函数()y f x =的定义域：一切实数；函数1()y f x =的定义域：满足()0f x ≠的实数；函数y ()0f x ≥的实数.函数[]0()f x 的定义域：满足()0f x ≠的实数 2.正比例函数1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是yk x=或者y kx =,其中0k ≠。
2）.正比例函数：k>0k<03.注意点(1)正比例函数y kx =中, 0k ≠,但定义域是一切实数,两者不能混淆.(2)在实际问题中,正比例函数的图形往往是一条线段,一切要根据定义域来确定线段的所在范围。
(3)正比例函数与正比例是有区别的,正比例函数一定要满足y kx =,比如: 2(1)y x =+就不是正比例函数,是一次函数,但是y 与x+1成正比例。
【典例分析】 【考点1】函数的概念1．下列各选项中分别有两个变量x 、y ，则y 不是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．y=-2x-1D ．在国内投寄到外埠质量为100g 以内的普通信函应付邮资如下表： 信件质量/x y 020x <≤2040x <≤ 4060x <≤ 6080x <≤ 80100x <≤邮资y /元 1.202.403.604.806.002．函数y 11-x 的自变量x 的取值范围是______3．在函数y =中，自变量x 的取值范围是_________．4．如果函数()11f x x =-，那么f =_____．【考点2】正比例函数的图像及性质 1．下列问题中两个变量成正比例的是（ ） A ．正方形面积和它的边长B ．一条边确定的长方形，其周长与另一边长C ．圆的面积与它的半径D ．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数2．已知函数223y x k =+-是正比例函数，则常数k 的值为（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．2±3．下列函数中，正比例函数是（ ） A ．3x y = B ．21y x - C ．22y x = D ．3y x=4．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-5．在32y x a =+-中，若y 是x 的正比例函数，则常数=a ___________．6．若函数()2269y m x m =++-是关于x 的正比例函数，则m 的值为_____________．7．已知正比例函数m y mx =∣∣，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m 的值为____．8．已知y 是x 的正比例函数，当2x =-时，8y =．求y 关于x 的函数表达式，以及当3x =时的函数值．9．已知3y 与21x -成正比例，且当1x =时，6y =． (1)求y 与x 之间的函数解析式．(2)已知点(,)P m n 在该函数的图像上，且4m n -=，求点P 的坐标．10．已知正比例函数过点(42)-，A ，点P 在正比例函数图像上，又(04)B ，且10ABPS =，求点P 的坐标．【课后练习】1．下列各图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数()032x y x -=+-的自变量x 的取值范围是___________3．已知函数1()1f x x=+，则3)f ＝ .4．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ） A ．圆的面积S （cm 2）与它的半径r （cm ）之间的关系B ．某水池有水15m 3，现打开进水管进水，进水速度为5m 3/h ，xh 后这个水池有水y m 3C ．三角形面积一定时，它的底边a （cm ）和底边上的高h （cm ）之间的关系D ．汽车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y 与行驶时间x 之间的关系5．下列变化过程中，y 是x 的正比例函数是（ ）A ．某村共有5210m 耕地，该村人均占有耕地y （单位：2m ）随该村人数x （单位：人）的变化而变化B ．一天内，温岭市气温y （单位：℃）随时间x （单位：时）的变化而变化C ．汽车油箱内的存油y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）的变化而变化D ．某人一年总收入y （单位：元）随年内平均月收入x （单位：元）的变化而变化6．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化 B ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化C ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化D ．水箱以0.5L /min 的流量往外放水，水箱中的剩水量VL 随着放水时间t min 的变化而变化7．若()224y m x m =-+-是y 关于x 的正比例函数，求该正比例函数的解析式．8．正比例函数y=ax 中，y 随x 的增大而增大，则直线()1y a x =--经过（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限9．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （3，m ）、B （n ，﹣2），那么一定有（ ） A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜010．已知正比例函数y =kx 的图象经过点（2，﹣4），（1，1y ），（﹣1，2y ），那么1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＜2y B ．1y ＝2y C ．1y ＞2yD ．无法确定11．正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，-1），那么k =__________．12．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．13．若正比例函数()1y m x =-的图象从左到右逐渐上升，则m 的取值范围是___________________14．已知正比例函数y=kx 图像经过点（2，-4），求： (1)这个函数的解析式；(2)判断点A （2，-1）是否在这个函数图像上；(3)图像上两点()11,B x y ，()22,C x y ，如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．15．已知y 与x-1成正比例，且当x= 3时，y= 4． (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)当x= -1时，求y 的值．16．如图，已知正比例函数y ＝kx 的图像经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且△AOH 的面积为8(1)求正比例函数的解析式．(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为10？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知：如图，直线2y x =上有一点()2,P a ，直线()01y kx k =<<上有一点(),2Q b ．(1)求点P 和点Q 的坐标（其中点Q 的坐标用含k 的代数式表示）．(2)过点P 分别作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，过点Q 分别作QC x ⊥轴，如果OPQ △的面积等于BPQ 的面积的两倍，请求出k 的值．(3)在（2）的条件下，在直线OQ 上是否存在点D ，使12OCD S =△如果存在，请求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．。
正比例函数讲义含答案
正比例函数一、教学目标1．理解函数的定义以及函数的定义域、值域. 2．掌握正比例函数的概念、图像和性质.二、重点难点重点：正比例函数的概念、图像和性质的应用.难点：利用正比例函数的相关知识解决实际问题，学会数形结合.三、考点分析：这部分的知识应用性较强，一般以填空、判断、选择、读图题、解答题的形式考查四、提分技巧1、学会读图，加强数形结合思想2、考虑问题要全面，还要善于从问题情境中抽象出数学知识（一）函数的意义【例1】1、如果函数：()x x x f 22-=，试求：（1）()1-a f ； （2）()12+a f 【解析】（1）()1-a f ()1212---=a a（2）()12+a f ()122122+-+=a a2、如果函数：()112-=-x x f ,试求：（1）()2f ； （2）()x f【解析】（1）()2f ()813132=-=-=f（2）()1-x f ()()()()[]()()121211112-+-=+--=+-=x x x x x x()x x x f 22+=∴【拓展1】如果函数：()x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12，,试求)(x f 的解析式 【解析】()x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12x x f x f 11121=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⇒()xx f x f 112=⎪⎭⎫ ⎝⎛+② 联立①②，解得()332x x x f -=【拓展2】如果，()b ax x f +=,其中a 和b 是两个常数。
（1）()()34-=x x f f ，试求()x f 的表达式； （2）()()()78+=x x f f f ,求()x f 的表达式。
【解析】（1）()b ax x f +=∴()()()()342-=++=++=+=x b ab x a b b ax a b x af x f f⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==∴3212b a b a 或 ()()3212+-=-=∴x x f x x f 或（2） ()()()()()782322+=+++=+++=++=x b ab b a x a b b ab x a a b ab x a f x f f f⎪⎩⎪⎨⎧=++=∴7823b ab b a a ⎩⎨⎧==⇒12b a ()12+=∴x x f（二）正比例函数解析式【例2】已知y 与x －1成正比例，且当x =3时，y =4，求：（1）函数解析式；（2）x =1-时，y 的值【解析】设()1-=x k y ，代入x =3，y =4，解得2=k （1）所以函数解析式为22-=x y （2）当x =1-时，y =-4【拓展1】y 与3x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________. 【解析】设kx y 3=，代入x =8，y =－12，解得21-=k 所以函数解析式为x y 23-=【拓展2】已知2y －3与3x ＋1成正比例，且x=2时，y=5,求：（1）求y 与x 之间的函数关系式（2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a . 【解析】设()133-2+=x k y ，代入x=2时，y=5，解得1=k（1）所以函数解析式为223+=x y （2）当2=y 时，0=a三）正比例函数的图像及性质【例3】已知直线y =kx 过点（-2，1），A 是直线y =kx 图象上的点，若过A 向x 轴作垂线， 垂足为B ，且ABO S ∆=9，求点A 的坐标。
沪科版八年级上册一次函数一对一讲义
沪科版八年级上册一次函数一对一讲义格德教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：2学员姓名：XXX辅导科目：数学学科教师：XXX授课类型：趣味引导、课本同步授课日期时段：待定教学内容：一、同步知识梳理1.函数的定义：在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。
常量为始终保持不变的量，变量为发生变化的量。
2.一次函数的图像与性质：y=kx+b (k≠0)b>0，直线经过一、二、三象限b=0，直线经过一、三象限及原点k>0或k<0，直线经过一、二、四象限或一、三、四象限b<0，直线经过一、三、四象限或二、三、四象限性质：（1）y随x的增大而增大（直线自左向右上升）；（2）直线一定经过一、三象限或二、四象限。
3.k和b的意义：1）|k|决定直线的“平陡”。
|k|越大，直线越陡（或越靠近y 轴）；|k|越小，直线越平（或越远离y轴）；2）b表示在y轴上的截距。
直线上升，k>0；直线下降，k0；直线与y轴负半轴相交，b<0.4.确定一次函数解析式———待定系数法：步骤：解、设、列、答。
5.一次函数图象的平移：设m>0，n>01）左右平移：直线y=kx+b向右（或向左）平移m个单位后的解析式为y=k(x-m)+b或y=k(x+m)+b。
2）上下平移：直线y=kx+b向上（或向下）平移n个单位后的解析式为y=kx+b+n或y=kx+b-n。
说明：规律简记为“左加右减，上加下减”，左右对x而言，上下对y而言。
二、同步题型分析1.函数的概念：例1．下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．例2下列关于x，y的关系式中：①x-y=3；②y=2x2；③y=|3x|，其中表示y是x的函数的是（）A．①②B．②③C．②D．①②③2.图像表示的函数是y是x的函数的。
巩固1：下列函数中自变量x的取值范围：1）y=2x-3：x的取值范围为全体实数；2）y=√(x+1)：x的取值范围为x≥-1；3）y=1/(x-2)：x的取值范围为x≠2；4）y=|x-3|：x的取值范围为全体实数。
18-第十八章-正比例函数和反比例函数-八年级(上)-知识点汇总-沪教版
第十八章正比例函数和反比例函数18.1 函数的概念1、 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2、 在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3、 表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式4、 函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1、 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2、 正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3、 对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4、 一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5、 正比例函数有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小18.3 反比例函数1、 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2、 解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数（反比例函数的定义域是不等于零的一切实数）3、 反比例函数(0)k y k k x =≠是常数,有如下性质：（1）当k＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小（2）当k＜0时，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。
沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计
沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计一. 教材分析《函数的概念及正比例函数》是沪教版数学八年级上册第18.1节的内容。
本节课主要介绍了函数的概念，以及正比例函数的定义和性质。
教材通过具体的例子让学生理解函数的意义，并通过数学语言和符号来表示函数关系。
同时，通过正比例函数的学习，让学生掌握如何求解函数的值，以及如何判断两个函数是否成正比例。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对数学符号和概念有一定的理解。
但是，对于函数的概念和正比例函数的性质，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握函数的概念，以及正比例函数的性质。
三. 教学目标1.理解函数的概念，能够用数学语言和符号表示函数关系。
2.掌握正比例函数的定义和性质，能够求解正比例函数的值。
3.能够判断两个函数是否成正比例，并能够应用正比例函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.函数的概念和表示方法。
2.正比例函数的定义和性质。
3.判断两个函数是否成正比例的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握函数的概念和正比例函数的性质。
2.利用数形结合的方法，通过图形和表格展示函数关系，帮助学生直观地理解函数的意义。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中，共同探索和解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料和课件，包括函数的定义和表示方法，正比例函数的性质和图形的展示。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用正比例函数解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考函数的意义。
例如，提问：“如果一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，那么它在3小时内行驶的距离是多少？”让学生认识到，函数可以用来描述两个变量之间的关系。
2.呈现（10分钟）介绍函数的概念，以及如何用数学语言和符号表示函数关系。
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【知识精要】1. 函数(1) 变量和常量变量：可以取不同数值的量；常量：保持数值不变的量。
区别：表示量的数值变还是不变。
(2)函数的定义：在某个变化过程中变化有两个变量，设为X和Y，如果在X的允许取值范围内，变量Y 随着X的变化而变化，他们之间存在着确定的依赖关系(对应法则)，那么变量Y叫做变量X 的函数，X叫做自变量。
注意：(1) 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系；(2) 自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域；(3) 函数三要素：自变量、因变量、对应法则。
(3) 函数解析式：两个变量之间依赖关系的数学式子；(4)函数的定义域和函数值定义域：如果y是x的函数，自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域。
函数值：如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。
符号“y=f(x)”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律(对应法则)。
值域：函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。
2. 正比例函数(1) 概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么就说这两个变量成正比例；用数学符号语言记为ykx=或y=kx(0k≠).解析式形如y=kx(0k≠)的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数。
正比例函数解析式右边是常数与自变量的乘积的形式，且这个常数不为0；自变量的指数为1。
(可用来判断一个函数是不是正比例函数)(2) 定义域：一切实数。
(3) 图像一般地，正比例函数y=kx(k是常数，且k0≠)的图像是经过原点O(0，0)和点M(1，k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.(4) 正比例函数的性质①当k>0时，函数图像经过第一.三象限；当k<0时，函数图像经过第二.四象限。
②当k>0时，自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大；当k<0时，自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小。
③ |k|越小，直线越靠近x轴；|k|越大，直线越偏离x轴。
正比例函数的图像与性质：【热身练习】1. 判断一个关系是否是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是只有两个个变量；第三要看当自变量在允许取值的范围取任意值时，函数是不是都有唯一的值与它对应。
形如____ y=kx(k是常数，k≠0)____的函数是正比例函数。
2. 函数-3yx=的定义域是x≥1且x≠3 ；3. 如果函数()(12)f x f==4. 已知yyx+-=22，则y=f(x)= 2-21xx+；5. 点(1，m)与点(n，-1)在函数2122+-=xxy的图像上，则m= 13，n= -1 ；6. 正比例函数y=kx(k为常数，k<0)的图像经过第__二、四__象限，函数值随自变量的增大而__减小___；7. 已知点A(m，2)在直线y=-2x上，则m=-1 ；8. 已知正比例函数的图像经过点(1，-2)，则这个函数的解析式是 y =-2x ；9. 若x .y 是变量，且函数2(1)k y k x =+是正比例函数，则k =__1____； 10. 已知y 与x 成正比例，且x =2时y =-6，则y =9时x =__-3____； 11.下列关系中的两个量成正比例的是( C )A. 从甲地到乙地，所用的时间和速度；B. 正方形的面积与边长；C. 买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D. 人的体重与身高. 12.下列函数中，y是x的正比例函数的是( C )A. y =4x +1B. y =2x 2C. y 5D. y x13. 若正比例函数的图像经过点(-1，2)，则这个函数的图像一定经过点 ( C )A.(2，-1)；B.(-21，2)； C.(1，-2)； D.(21，2). 14. 已知(x 1，y 1)和(x 2，y 2)是直线y = -3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2的大小关系是 ( B )A. y 1>y 2 ；B. y 1<y 2 ；C. y 1=y 2 ；D. 以上都有可能. 15. 写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？ (1) 电报收费标准是每个字0.1元，电报费y (元)与字数x (个)之间的函数关系；(2) 地面气温是28℃，如果每升高1km ，气温下降5°C ，则气温x (°C)与高度y (km )的关系； (3) 圆面积y (c m 2)与半径x (c m )的关系. 答案：① y =0.1x ，y 是x 的正比例函数； ② y =28-5x ，y 不是x 的正比例函数； ③ y =πx 2，y 不是x 的正比例函数.16. 在函数y =-3x 的图象上取一点P ，过P 点作PA ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为-2，求△POA 的面积(O 为坐标原点).答案：6【精解名题】例1. 求下列函数的定义域(1)y =； (2) y =； (3) y =. 答案：(1) 2x <； (2) 1x ≥-且112x x ≠≠、；(3) 1x ≤且52x ≠-.例2. 已知223()34x f x x x -=++，(1) 求(0)f 、f 的值； (2) 求自变量x 的取值范围； (3) 当x 为何值时，()1f x =-？答案：(1) 3(0)4f =-，563f =-； (2) 223734()24x x x ++=++>0， ∴x 可取任意实数；(3) 52x -=. 例3. 根据下列条件求函数的解析式 ① y 与x 2成正比例，且x =-2时y =12；② 函数y =(k 2-4)x 2+(k +1)x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小；③ 在②所表示的函数关系中，如果x 的取值范围是15x ≤≤，求y 的取值范围； 解：① 设y =kx 2 (k ≠0)∵ x = -2时y =12 ， ∴(-2)2k =12， ∴k =3，∴ y =3x 2② 由题意得：k 2-4=0 ， ∴k =2或k =-2，∵ y 随x 的增大而减小，∴k +1<0 ∴ k =-2，∴ y 与x 的函数关系式是：y =-x . ③ 51y -≤≤-.例4. 已知y 与x 的正比例函数，且当x =4时y =-2 (1) 求出这个函数的解析式；(2) 在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3) 如果点M(m ，4)在这个函数的图像上，求m 的值；(4) 试问，点P(-6，3)关于原点对称的点Q 是否也在这个图像上？ 解：(1) 设y =k ·x (k 0≠) 当x =4时，y =-2 ∴-2=4k ∴12k =-∴这个函数的解析式为12y x =- (2) 12y x =-的定义域是一切实数，图像如图所示： (3) 如果点M(m ，4)在这个函数的图像上， ∴142m =-， ∴ m =-8(4) 点P(-6，3)关于原点对称的点Q 的坐标(6，-3)，当x =6时，y =1632-⨯=-. 因此，点B 也在直线12y x =-上.例5. 如图，长方形OABC 的边BC=6，AB=3，(1) 直线(0)y kx k =≠交边AB 于点P ，求k 的取值范围；(2) 直线(0)y kx k =≠把矩形OABC 的面积分成两部分，靠近x 轴的一部分记作S ，试写出S关于k 的解析式。
(3) 直线(0)y kx k =≠是否能将矩形OABC 的面积分成1:2的两部分？若能，求k 的取值；若不能，请说明理由。
解：(1)102k <≤(2) 当102k <≤时， S=18k ； 当12k >时， S=9182k-. (3) ① 当102k <≤时，18613k k ==，，②当12k >时，S=9182k -=12，34k =.例6. 已知正比例函数过A(2，-4)，点P 在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B(0，4)，且Δ6ABP S =，求点P 的坐标。
解：设正比例函数解析式为y =kx (k 0≠) 已知正比例函数过A(2，-4) ∴-4=2k ，解得k =-2，∴正比例函数的解析式为y =-2x如图所示，画出直线y = -2x ，并标出A ，B 两点的位置， 分析题意，点P 的坐标要分两种情况讨论。
设点P 的坐标为(x ，-2x )(1) 若点P 在第二象限，则POB AOB ABP △△△S S S += 根据题意，得6=11()22A P BO x BO x ⋅⋅+⋅⋅- 6=P x ⋅⋅+⋅⋅4212421 解得1P x =-∴点P 的坐标为(-1，2)；(2) 若点P 在第四象限，根据题意有 AOB POB ABP △△△S S S -=， 得6=142p x ⋅⋅1422-⋅⋅，解得5p x =， ∴点P 的坐标为(5，-10)∴在正比例函数图像上适合条件的P 点有两个：(-1，2)，(5，-10).【巩固练习】 一、选择题1. 下列变化过程中，两个变量之间一个变量是另一个变量的函数的是 ( C )A. 等腰三角形的底边长与它的面积；B. 长方形的周长与它的面积；C. 正方体的体积与它的棱长；D. 物体运动的路程和它的运动的速度.2. 下列说法正确的是 ( C ) A.函数y =的定义域是x ≠0的一切实数； B. s =t 与y =x 不表示同一个函数； C. 变量2x -3是关于变量x 的函数；D. 已知函数211x y x -=-，则当x =+1时，函数值为0.3. 在函数 y =3x -2，y =1x＋3，y = -2x ，y =-x 2＋7 是正比例函数的有 ( B ) A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个4. 若函数y =(2m +6)x 2+(1-m )x 是正比例函数，则m 的值是 ( A )A. m =-3B. m =1C. m =3D. m >-35. 若点111(,)P x y 与点222(,)P x y 在同一个正比例函数y kx =的图像上，则以下表达式中正确的是 ( C )A. 1212x x y y +=+；B.1212x x y y -=-；C.1122x y x y =； D. 1212x x y y ⋅=⋅.6. 如图，在同一直角坐标系内，已知函数1y k x =中，y 随x 的增大而减小，函数2y k x =，满足120k k +=，则1y k x=与2y k x=的图像大致为( B )A B C D二、填空题 1. 函数211x y x +=+的定义域是____12x ≥-_____； 2. 已知函数2()1xf x x-=-，那么(2)f =___2-___； 3. 若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的13，高为y ，面积为60，则y 与x 的函数关系是__90y x=___；(不考虑x 的取值范围)4. 如果函数2y kx k k =+-是正比例函数，那么函数关系式是__y =x ____；5. 正比例函数1(25)3y m x =-，当x <0时，y 随x 的增大而增大，那么m 的取值范围是_715m <_； 6. 如图，已知函数的图像满足条件：12∠=∠且直线经过原点，那么此函数的解析式是y x =- ；7. 在长方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，以O 为坐标原点建立直角坐标系，使x 轴和y 轴分别与两组对边平行，已知长方形的长AB 为4，宽BC 为3，则直线AC 的解析式为 34y x =-；直线BD 的解析式为 34y x = 。