直线的两点式方程
直线方程的两点式
问题1前面我们学习了直线方程的哪些形式？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？
问题2已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程呢？
问题3已知直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1≠x2)两点，如何求直线的点斜式方程？如果将求
2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，应抓住这些几何特征求直线方程．
教学巩固
作业布置
板书设计
教后记
得：
失：
活动二典型例题
例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．
小结我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．
跟踪训练1已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC中点D(3，)，求BC边上的中线所在直线的方程．
1．过两点(2,5)、(2，－5)的直线方程是________．
2．下列说法正确的是________(填序号)．
①任何一条直线都有在x轴和y轴上的截距；②如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，那么它们在y轴上的截距也不相同；③如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距可能相同；④任何一条直线都可以用截距式方程表示．
1．直线的两点式方程：经过直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)
的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．
2．直线的截距式方程：我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的．
3.2.2直线的两点式方程
两点确定的方程叫做直线的两点式方程， 简称两点式。
y
P1(x1, y1)
l
P2(x2, y2)
O
x
三、直线的两点 式方程的应用
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 y y1 y2 y1 写出直线方程呢？ x x x x
1
不是!
2
1
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
(4)若直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等，
则直线l的方程:
x+y=a 或x-y=a 或y=kx
例2:求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的 截距相等的直线的方程。
解： .当直线两截距都是零时 1 3 设直线方程为y=kx,将P 2,3 代入得k 2 3 直线方程为y= x, 3x-2y=0 2 2 .当直线两截距都不是零时
x
例1:已知三角形的三个顶点A(－5, 0)，
B(3, －3)，C(0, 2)，求:
(2)BC边上中线AM所在直线的方程；
3 0 3 解: x 2 2 M 3 , 1 3 2 1 2 2 y A 2 2
y
C O M B
y0 x (5) 1 3 0 (5) 2 2
y2 y1 解:k ( x1 x2 ) l x2 x1 y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
x
O
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
一、直线的两点式方程:
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) 由直线上 方程 y2 y1 x2 x1
直线的两点式方程(课件
ax＋by＝1
斜率存在且不为 0，不过原点
三．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
x1 x2
y1 y2
则 x＝ 2 ，y＝ 2
．
思考 1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？ 过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 不能，因为 1－1＝0，而 0 不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直 线也不能用两点式表示． 思考 2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
二、经典例题
题型一 直线的两点式方程
例 1 如图，已知 A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2). ①求线段 AB 中点 D 的坐标； ②求△ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程.
解
①因为 A(1,2)，B(－1,4)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为1＋
－1 2
，2＋2 4，
即 D(0,3).
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
一、自主学习
一．直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2，y1≠y2
方程
使用范围
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 斜率存在且
不为 0
二．直线的截距式方程
名称
已知条件
在 x，y 轴上的截距 截距式 分别为 a，b 且 a≠0，
三、当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
直线两点式方程推导
直线两点式方程推导直线是解析几何中的基本概念，它由平面上两个不同的点组成。
为了描述直线的几何性质，我们需要推导出直线的方程。
其中一种常用的表示方法是直线的两点式方程，它使用两个已知的点来表示直线的方程。
本文将介绍直线的两点式方程的推导过程。
1. 直线的定义在平面几何中，直线是由无数个点按顺序排列组成的集合。
直线没有宽度和厚度，只有长度。
任意两个点可以确定一条直线，而一条直线也可以由无数对点确定。
2. 直线的两点式方程直线的两点式方程形式为：$y-y_1 = \\frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}}(x-x_1)$，其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个已知点。
为了推导出直线的两点式方程，我们使用直线的斜率概念。
3. 斜率的定义直线的斜率表示了直线上任意两点之间的变化率。
一条直线的斜率可以通过任意两个已知点计算得到。
斜率的计算公式为：$$m = \\frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}}$$其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个已知点，m代表直线的斜率。
4. 推导直线的两点式方程已知直线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，我们可以计算出直线的斜率m。
根据点斜式，我们有：y−y1=m(x−x1)将斜率m的值代入上式，得到：$$y-y_1 = \\frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}}(x-x_1)$$这个方程就是直线的两点式方程。
通过两个已知点(x1,y1)和(x2,y2)，我们可以得到直线的两点式方程，进而描述直线的几何性质。
5. 例题演示假设我们有两个点A(2,3)和B(−1,5)，我们可以计算出斜率m，如下所示：$$m = \\frac{{5-3}}{{-1-2}} = \\frac{2}{-3}$$然后，我们可以代入点斜式公式，得到直线的方程：$$y-3 = \\frac{2}{-3}(x-2)$$进一步化简，得到直线的两点式方程：3x+2y=12因此，通过两个已知点A(2,3)和B(−1,5)，我们得到了直线的两点式方程。
两点式求直线方程公式
两点式求直线方程公式直线是图形中最基本的元素之一，它是由无数个点组成的，有着很强的方向性和连续性。
我们在平面几何中经常要求解直线的方程，以便更好地理解它的性质和特点。
本文将介绍直线方程中的一种求解方法——两点式。
两点式是指通过已知直线上的两个点来求直线的方程，其基本公式如下：$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y-y_2}{x-x_2}$$其中$P_1(x_1,y_1)$和$P_2(x_2,y_2)$是已知的直线上的两个点，$x\neq x_1,x_2$。
两点式求解直线方程的具体步骤如下：步骤一：计算斜率$k$两点式中的分式$\frac{y-y_1}{x-x_1}$表示直线上$P_1$点到$(x,y)$点的斜率$k_1$，而$\frac{y-y_2}{x-x_2}$表示直线上$P_2$点到$(x,y)$点的斜率$k_2$。
根据直线上的两个点$P_1$和$P_2$的位置关系，可以得出$k_1=k_2=k$，即直线的斜率$k$为：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$步骤二：利用截距公式求解直线方程截距公式是指通过斜率和已知点求解直线方程的公式，其表达式如下：$$y-y_1=k(x-x_1)$$将步骤一中求出的斜率$k$代入截距公式，再选取其中一个已知点，代入其横纵坐标，即可求解直线方程。
例如，设直线$AB$上的两个点$A(2,1)$和$B(4,5)$，则根据两点式可得：$$\frac{y-1}{x-2}=\frac{5-1}{4-2}=\frac{4}{2}=2$$由此，可以得出直线的斜率$k=2$。
接着，根据截距公式，代入已知点$A(2,1)$可得：$$y-1=2(x-2)$$整理得出直线方程为$y=2x-3$。
因此，该直线的方程为$y=2x-3$。
综上所述，两点式是直线方程中的一种求解方法，其步骤简单易懂，只需通过已知直线上的两个点来求出直线的斜率，再代入截距公式，即可得到直线的方程。
直线的两点式方程
1
2
1
截距式
在轴上的截距
��
和在轴上的截距
y kx b
x y
1
a b
适用范围
不垂直于轴的
直线
不垂直于轴的
直线
不垂直于 轴、
轴的直线
不垂直于轴、轴，
且不过原点的直线
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
2.当1 = 2时直线与轴垂直，其方程为：
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
直线在轴上
的截距
的、 各有何意义
新知讲解
直线的截距式方程：
x
y
1.
a
b
直线在轴
上的截距
直线在轴
上的截距
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．
思考：是不是任何直线
都有截距式方程呢？
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
巩固训练
练习2.
典例剖析
例 2⑴ 过点 ( 1,2 ) 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
线都有两点式方程呢？
不是!
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
直线的两点式方程
点)，在求直线方程时合理地选择方程形式，会加快解题速度．
[典例2] 求过点A(5,2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
[解]
法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝
2 5
x，即2x
－5y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为xa＋－ya＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3，
2．2.2 直线的两点式方程
知识点一 直线的两点式方程
(一)教材梳理填空
名称
两点式方程
已知条件 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1≠x2，y1≠y2)
示意图
方程形式 适用条件
_y_y2_－－__yy1_1＝__x_x2_－－__xx_11 斜率存在且不为零
(二)基本知能小试
y1)(x－x1)＝0.
[学透用活] [典例1] (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为_____． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
[解析] (1)由于点A与点B的横坐标相等，因此直线l没有两点式方程，所 求的直线方程为x＝2.
―数 运―学 算→求最值
解：以BC为x轴，AE为y轴建立如图所示的平面直角坐标
系，则A(0,60)，B(90,0)，AB所在直线方程为
x 90
＋
y 60
＝1，设
P(x，y)，即P
x，60－23x
，开发面积S＝(300－x)(240－y)＝－
2 3
x2＋20x＋54
000(0≤x≤90)，当x＝15且y＝50时面积取最大值，最大值为54 150平方米．
高中数学知识点：直线的两点式方程
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：直线的两点式方程
经过两点),(),,(222111y x P y x P (其中2121,y y x x ≠≠)的直线方程为
1112122121
(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
要点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程.
3.直线方程的表示与),(),,(222111y x P y x P 选择的顺序无关.
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式1112122121
(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--通过交叉相乘转化为整式形式121211()()()()y y x x y y x x --=--，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点
式的整式形式．。
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宝石学校活页课时教案(首页)
班级:高一年级科目:数学
一、基础练习
1、写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：
2、练习 根据下列条件，写出直线方程。
（1）经过点A （8，-2），斜率是12
-； （2）经过点B （4，2）,平行于x 轴；
（3）经过点P 1(3,-2),P 2(5,-4)；
（4）在x 轴上，y 轴上的截距分别是32
，-3. （5）经过点A （6，-4），斜率为43
- . 二、重点练习：
1、将下列直线方程化成一般式方程。
（1）21x 240y +-=； （2）x-2120y -=； （3）-2
110x y +-=； 提示: 一般式的直线方程要求是A 必须为正整数, 如果不是则需要通过扩倍或者
去分母化简成此形式.
2、探究：
在方程Ax+By+C=0，A 、B ，C 为何值时，方程表示的直线①平行于x 轴；②平行于y 轴；③与x 轴重合；④与y 轴重合。
⑤经过坐标原点；⑥直线的斜率不存在；⑦斜率为0.
提示：分别与①1y y y =≠1（0）；②1x x x =≠1（0）
；③0y =④0x =；⑤A0+B0+C=0；⑥直线垂直于x 轴，1x x =；⑦0y x b =+对应找寻A 、B ，C 的数量关系。
解析：①0,0,0A B C =≠≠;②0,0,0A B C ≠=≠;
③0,0,0A B C =≠=;④0,0,0A B C ≠==;
⑤ A 、B 不同时为0,0C =;⑥0,0A B ≠=;⑦0,0A B =≠.
3、求下列直线的斜率以及在y 轴上的截距：
（1）3250x y +-=； （2）145
x y -=； （3）20x y += （4）7640x y -+=； 提示：利用一般式中的特殊公式C
B C A B A k -=-=-
=b ,a ,纵截距横截距来进行计算.
4、把直线l 的一般式方程260x y -+=化成斜截式和截距式。
分析：只要将直线方程化成y kx b =+的形式就可以找到直线的斜率和在y 轴上的截距；只要将6移到方程的右边,给每一项都除以-6,就可得到所求的内容。
三、难点练习：
求与直线240x y -+=平行，且过点P （3，-1）的直线的方程。
分析：把直线240x y -+=化成斜截式1y x+22=的直线的斜率k=12
故所求直线的斜率为12，设所求直线方程为1y x+c 2=，代人点P （3，-1）得c=52-，即15y x 22
=-，化成一般式得：250x y --=。
思考：能否直接从一般式出发去设所求方程。
设所求直线方程为2c 0x y -+=，代人点P （3，-1）的c=-5
结论：与直线方程Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+C ′=0（C ≠C ˊ） 理论迁移：
直线l 1 ：A 1x+B 1y+C 1=0（A 1、B 1都不为0）和l 2 ：A 2x+B 2y+C 2=0（A 2、B 2都不为0）探究A 1，B 1，C 1和A 2，B 2，C 2满足什么样的条件，两直线平行.
1112222
(0)A B C C A B C =≠≠. 四、课堂小结:
1、内容：直线方程的一般式的形式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）；
2、重点：直线方程五种形式的相互转化，及各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）的求解；
3、重视：分类讨论的数学思想；
4、明确：直角坐标系是把方程和直线联系起来的桥梁。
七、作业:
习题3.2 A 组 第11、8题；选做 B 组第3题.。