分式的概念与基本性质(B级)讲义6
分式的概念及基本性质 分式的运算
D. 无法确定
C. x y x y D. x y x y
x y x y
x y x y
x2 1
8. 如果分式
的值为零，那么 x 等于（ ）
x
A. －1 或 1
B. 1
C. 1
D. 1 或 2
9. 小明从家到学校每小时走 a 千米，从学校返回家里每小时走 b 千米，则他往返家里和学校的平均速度
2 a
，其中
a
2
3x （3） (
x ) x 2 4 ，其中 x 4
x2 x2 x
四. 阅读理解题 1. 请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题。
x3 3 x2 1 1 x
6
x3 3
A
(x 1)(x 1) x 1
x 3 3(x 1)
a 1
(x y) 5
A.
(x y) 5
2x y
B.
2x y
(x y)2
C.
x2 y2
x2 y2
D.
x2 y2
2 xy
6. 分式
中 x、y 都扩大 2 倍，那么分式的值（ ）
x y
A. 变为原来的 2 倍 7. 下列各式正确的是（
B. 不变 ）
A. x y x y B. x y x y
4x 3
（1）
3x
x 1
（2）
x2
2| x|
（3）
(x 1)(x 2)
1. 填空。
（1） x xy ( y 0)
x1 (
)
（2） 3xy (
)
分式的概念课件
将分数转换为小数是通过除法实现的，例如，$frac{2}{3} = 0.overline{6}$；将小数转换为分数是通 过乘以其倒数或将小数表示为两个整数的比值实现的，例如，$0.333... = frac{1}{3}$。
04
分式的应用
物理中的分式
总结词
物理中的分式主要用于描述和解决与速度、 加速度、功率等相关的物理问题。
分式的概念ppt课件
• 分式的定义 • 分式的基本性质 • 分式的简化 • 分式的应用 • 分式的注意事项
01
分式的定义
什么是分式
总结词
分式是数学中一种基本的代数式，表 示两个整式的商。
详细描述
分式由分子和分母两部分组成，分子 是整式，分母也是整式，并且分母不 为零。例如，$frac{x^2}{y}$是一个分 式，其中$x^2$是分子，$y$是分母。
通分
总结词
通分是将两个或多个分式化为同 分母的过程，以便进行加减运算 。
详细描述
通分是将分母不同的分式化为具 有相同分母的分式的过程。例如 ，将分式$frac{2}{3}$和 $frac{3}{5}$通分为 $frac{10}{15}$和$frac{9}{15}$。
分数和小数的转换
总结词
将分数转换为小数或将小数转换为分数是常见的数学操作，有助于理解和应用分式的概念。
详细描述
在物理学中，分式经常被用来表示和解决与 速度、加速度、功率等相关的物理问题。例 如，在计算物体的运动速度和加速度时，我 们通常使用分式来表示物体的位移与时间的 关系。此外，在电路分析中，分式也常被用
来表示电流与电压的关系。
数学中的分式
总结词
数学中的分式主要用于解决代数和几何问题，以及进 行函数分析。
完整分式讲义
分式1． 分式的概念：形如BA(A,B 是整式，且B 中含有字母)。
要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0，即B ≠0。
要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。
1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1-πx中，是分式的有（ ）A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④2、分式13-+x ax 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ）A ．分式的值为零 B.分式无意义C. 若31-≠a 时,分式的值为零D. 若31≠a 时,分式的值为零3. 若分式1-x x无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±4.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤xB.21<xC.21≥xD.21>x2． 分式的基本性质：分式的分子，分母同时乘以，或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
即B A =CB C A ⋅⋅ ，B A =CB C A ÷÷ （C ≠0） 1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．902．下列等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a bc+;④m n m --=-m n m-中,成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+4．对于分式11-x ，永远成立的是（ ） A ．1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3111--=-x x 5．下列各分式正确的是( )A.22a b a b =B. b a b a b a +=++22C. a a a a -=-+-11122D. xx xy y x 2168432=--3． 最简分式及分式的约分与通分：1）最简分式:分子分母没有公因式的分式称之为最简分式。
分式概念及意义知识讲解
分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。
这就是分式的概念。
研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。
分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。
一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。
（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：，当时，分式的值为零。
（4）分式：，当时，分式的值为1。
（5）分式：，当时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。
不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。
四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。
就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。
分式讲义
一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a+⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n nna ab b⎛⎫=⎪⎝⎭（n是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
分式基本性质课件
分式的加法与减法
2
分式乘法的规则和分式除法的规则。
掌握利用通分后的分式进行加法和减法
的技巧，包括通分后的分式加(减)法的定
理。
3
分式的化简
学习分式化简的原则与方法，包括分式
的化简原则和常见的化简技巧。
正负数的处理
4
了解在分式中正负数的处理方法，包括 分式中正负数的加减和乘除。
例题演练
通过一系列例题演练，巩固对分式基本性质的理解和应用。难易程度逐渐加深，帮助学生熟练掌握分式的操作 规则。
分式基本性质ppt课件
通过本课件，我将向大家介绍分式的基本性质以及其应用。从分式的定义和 概念入手，深入浅出地讲解不同操作规则和化简方法。让我们一起探索这将介绍分式的定义和概念，并引出本课的主要内容。
分式的基本性质
1
分式的乘法与除法
学习分式乘法和除法的基本规则，包括
总结
对本课的内容进行总结，强调分式基本性质的重要性和实际应用。引导学生思考如何应用相关原理解决实际问 题。
课后作业
布置一些练习题，巩固学生对分式基本性质的掌握。提醒学生注意常见的错误点，帮助他们避免犯错。
扩展阅读
推荐一些扩展阅读材料，帮助学生进一步加深对分式的理解和应用。这些材料可以包括相关的书籍、论文或在 线资源。
分式的基本性质课件
目录
• 分式的定义与分类 • 分式的基本性质 • 分式的约分与通分 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与分类
分式的定义
分数形式的表示
分式是形如A/B（其中A和B都是 整式，并且B中含有字母）的数学 表达式，表示为分数形式。
分数形式的特性
分式具有分数形式的特性，如分 子、分母、分数线等。
04 分式的运算性质
分式的加减法运算
相同分母分式的加减法
相同分母的分式可以直接进行加减运 算，分母不变，分子进行相应的加减 运算。
不同分母分式的加减法
不同分母的分式需要先通分，再进行 加减运算。通分后，分母变为两个分 母的最小公倍数，分子进行相应的加 减运算。
分式的乘除法运算
分式的乘法
两个分式相乘，直接将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分子分母同号性质
分子分母同号，分式值为正
如果分子和分母同为正数或同为负数，则分式的值为正。
分子分母异号，分式值为负
如果分子和分母异号，则分式的值为负。
分子分母异号性质
分式值为负
当分子和分母异号时，分式的值一定是负数。
分子分母同号时，分式值为正
当分子和分母同号时，分式的值一定是正数。
分子分母同倍性质
05 分式在实际生活中的应用
分数在生活中的应用
日常生活中的分数
在日常生活中，我们经常遇到与 分数有关的问题。例如，在食品 包装上，我们经常看到分数的标 注，表示食品的营养成分或成分
比例。
金融领域中的分数
在金融领域中，分数的应用也非 常广泛。例如，在股票交易中， 我们经常听到“五五开”的说法 ，这实际上就是将股票分成五份
分式的概念及其基本性质
n
2
n2
.
3
3
（×） （ ×） （× ）
先 值化代简入求1值-.x1
x -1 x2 2x
然后请自选一个你喜欢的x
解：
1
1 x
x -1 x2 2x
=
x -1 x
x -1
÷ x2 2x …………………
= x - 1 × xx 2………………
x
x -1
= x+2
……………………
当x=1时，则原式=1+2=3 ……………………④ 请你判断以上解题正确吗？若不正确请说明理由.
-
1 2
1.若分式
A B
有意义，则B≠0.
若分式 A 无意义，则B=0.
B A
若分式 B =0，则A=0且B≠0.
2.分式中的系数化整问题：当分子、分母的系 数为分数或小数时，应用分式的性质将分式 的分子、分母中的系数化为整数.
3.解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式 本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不 变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一 个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号.
一 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以） 一个不等于0的整式，分式的值不变.
用式子表示为：A A M A M M为不为0的整式
B BM BM
2.分式的约分和通分： （1）约分：把分式的分子与分母的公因式约去. （2）通分：把几个异分母的分式分别化为与原分式相 等的同分母的分式.
4.处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都 是利用分式的基本性质变形的.
5.在进行分式的加减运算时，一定要把分子作为一个 整体进行加减，需要添加括号时，一定要添加括号.
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龙文教育学科教师辅导讲义一、知识梳理考点一、分式的概念1、正确理解分式的概念：AA整式A 除以整式B ，可以表示成的形式。
如果除式 B 中含有字母，那么称为分式,BB其中A 称为分式的分子,B 为分式的分母。
对于任意一个分式，分母都不能为零。
【例 1】有理式（1）- ； （ 2）X；（ 3）-2Xy ； （ 4）3X y（ 5） 丄x2x y3x -11（6）—中，属于整式的有： _______________ ;属于分式的有： __________________ 。
. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零x 2 亠亠、， 时，分式 有意义.x 2 x 3（2）不要随意用“或”与“且”学员姓名：辅导科目：数学年级：七年级（上）学科教师：王恒（1）例如，当x 为例如当x时，分式有意义?3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.【例2】当xx 1时，分式——有意义•当xx-1x 1时，分式------- 无意义.x-1考点二、分式的基本性质: 时，分式J值为0.x-11、分式的分子与分母都乘以（或除以）A 同一个不等于零的整式，分式的值不变•AM A AM------- ，一----------- （M为不等于零的整式）B M B B M（1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要 正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它.理解分式的基本性质时，必须注意：① 分式的基本性质中的 A 、B 、M 表示的都是整式. ② 在分式的基本性质中，M 工0.③ 分子、分母必须“同时”乘以M （M 工0），不要只乘分子（或分母）.④ 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。
但是 变形前后分式中字母的取值范围是变化的.（2）注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. ，分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能同时加上（或减去）同一个整式.3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母•最简公分母由下面的方法确定:（1） 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2） 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积；二、典型例题及针对练习考点一、分式的概念2②分式的基本性质是一切分式运算的基础【例3】 A . F 列变形正确的是（a b).C.a b c a b a ba b c a b a b【例4】如果把分式5x 2x y中的x, y 都扩大3倍,那么分式的值一定（）.A.扩大3倍2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式 式的基本性质.B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变,约分过程实际是作除法，目的在于把分式化为最简分式或整式 ，根据是分【例5】约分（1）2316x y 20xy 4(2) x 2 4x 24x 4【例1】（2009年湖北宜昌）当x= 时，分式——没有意义.分式的概念分式有意义的条件: 分式无意义的条件: 分式的值为零：考点二、分式的基本性质:【答案】同时加上（或减去）同一个整式•［针对练习］分式的基本性质4、写出下列各式中未知的分子或分母:【解析】要使分式没有意义，只需分母为零【答案】 ［针对练习］分式的概念及意义 1、在下面四个式子中，分式为（ 2x 5 1 x 8 A. ------ B. — C. ------------ 3x 8 2、当x x 1 A.—— x 3、若分式 A. x 21时，下列分式没有意义的是 x 2x B. ---- C. x 1 x 2x 4 2的值为零，则 B. x 2 C. x 1 D. 4 x D.—— x x 的值为 2 D.【例2】（2009年吉林省） 化简xy 2yx 2的结果是（4x 4A.xB . x x2C. D x y2【解析】 根据分式的基本性质易发现D 成立.归纳小结一: 1.2. 3. 4.【点评】 分式的基本性质是一切分式运算的基础 ,分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能⑴ a ab b) a 2b2x xy2ac2 14a2bc6、找出下列分式的最简公分母:1 y 4 2x 3x 26xyF 列各式的变换正确的是（分式的基本性质 通分、约分分式的符号法则5ab1. 化简分式：羊- 20a b1+ 2-x4.把分式 一x—（x 0, y0）中的分子、分母的 x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（x yA. 扩大2倍B.缩小2倍C.改变原来的1D.不改变45.如果x=3, 则x y==( )yy4C . 4D .x A . —— B . xy3y三、巩固练习 分式（课外练）一、填空题x 11. 将分式x 1写成除法的形式：2x 12. 用x,2x 21,3中的任意两个代数式组成一个分式为 ____________________7、 A.与分式 4 3 2m2m芒的值相等的分式是（mB.2m 33 2mC.4D.3 2mAx _y2 2y x y xB.2 xx C.x yx yD. (y x)2课堂检测1 3.分式 13x 2y 2,4xy 3, 2x 的最简公分母是6.先化简x 2 2x 1 x 2 1再取一个你认为合理的x 值，代入求原式的值归纳小结二:1. 2.3.2.计算：目x 2 4x13. 若x 3，则分式 2的值为x4. 当x时，整式X 1的值为零；当x时，整式X 1的值为正------ 2 ------------------------------ 2、解答题7.化简：(a 2 a 2)(12 a a 2) (a 2 2a3)(a 28 2a)课后作业1. _________ 当x ________________________________ 时，分式—―1有意义；当x = 时，分式 x的值为0.x 1 x2. 填写出未知的分子或分母：3. 计算:的分子，分母各项的系数化为整数 ，且最高次项的系数均为正整数4 .当 x= ______时, 分式|x|-1(x-3)(x+1) 的值为零.5.分式35巴525ab 2的分子与分母的公因式是__________ ，约分后得 .6.化简:x 2 4x 3x 2 x 68.当x 为何值时，分式有意义?9.若x 、y 互为相反数,m 、n 互为倒数, k 的绝对值为2，求2k nm 的值.(1)x yW ，(2)y 14 3 b+22I 2 2A. 4(m — n)(n — m)x B 。
2C 。
4x (m — n)D 。
4x (m-n) ' )10 .下列各式的变号中，正确的是 ()x-yy-xx-y y-x-x-1x-1A . -- = — ----B 。
---------- 2 = -- 2C 。
—— = ——D 。
y-x x-y y-x y-x -y+1 y+113.化简1 2113、⑴已知x —3，求x 2 —的值。
xx，分式厂—I- —a —a +2约分的结果为6 •代数式-x 1(ab)2ab 27.计算 9.分式—x 1,x,1 3 B 的结果为 中, 3x中的x,y 都扩大两倍 x+y 扩大两倍 B 1 5x-1 27 , 4(m-n),。
不变 2 n-m分式的个数是,那么分式的值 C 。
缩小 的最简公分母为缩小两倍11.2 右x x 2 20,则：x 2、3的值等于 ( )(x 2x) 1A23B.乜C. 3D..3或乜33312. 已知两个分式：A =,B1 1 其中X M 土 2x 24x 2 2 x① A = B; ②A 、 B 互为倒数； ③A 、B 互】为相反数请问哪个正确？为什么？F 面有三个结论:4(m — n)x-x-y x+y y-x y-x(1) 1 —1 x+1+ o 1-x 2x+2 x-1 x_4 ⑵(x 2-2xx 2-4x+4 ) ' x13，求2x 14xy 2y的值。
⑵已知y x 2xy y14、先化简，再求值：11 2⑴（J — r一1）十丄，其中x= 1.x 2x X 4x 4 x 2x1 1 x 1 _⑵ 2 2，其中x・、3 1 .x 1 x 1 x 2x 1。