线性代数应用特性论文
线性代数的应用特性
【摘要】本文从萌芽、发展的角度观察、分析线性代数，剖析线性代数的应用特性。由于不拘泥于教材，从历史发展、思想方法、应用性等方面娓娓道来，自有一种人文情怀蕴含其中，带领读者领略线性代数的另一番学科文化面貌。
【关键词】应用性线性方程组坐标几何结构问题
贯穿数学发展的思想有两个，即希腊贵族学院式的论证数学与平民化的实用数学。线性代数可以说是从应用中来到应用中去的一门学科，尽管其发展与表达形式，脱离不了欧几里得经典几何的模式与影响。
1 从应用中来
公元4世纪我国《孙子算经》中有鸡兔同笼问题如下：
“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？”
该问题的求解方法有很多，不过，采用列方程组的方法求解是很方便的。设鸡和兔的个数分别为和，则可建立如下一次方程组：x+y=35
2x+4y=94
容易求得x=23，y=25.
无独有偶，《张丘建算经》中的百鸡问题：百钱买鸡百只，小鸡一钱三只，母鸡三钱一只，公鸡五钱一只。问小鸡、母鸡、公鸡各多少只？通过建立三元一次线性方程组，可类似求得解。
以上两例表明，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的
线性代数论文
一、线性代数的定义 线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。在考研中的比重一般占到22%左右。 二、线性方程组简介 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。 解线性代数方程组是线性代数最主要的任务之一，行列式研究的便是线性方程组的一种特殊形式，即线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零，这时可以用克拉默法则。 三、线性方程组的解法 ①克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。
②矩阵消元法.将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。 关于未知量是一次的方程组，其一般形式为 ⑴ 式中x1，x2，…，xn代表未知量，αij(1≤i≤m,1≤j≤n)称为方程⑴的系数，bi(1≤i≤m）称为常数项。系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素。 当常数项b1，b2，…，bn都等于零时，则方程组⑴称为齐次线性方程组。 方程组⑴的系数所构成的m行n列矩阵 线性方程组 称为方程组⑴的系数矩阵。在A中添加由常数项组成的列而得到一个m 行n+1列矩阵称为方程组⑴的增广矩阵。
线性代数结课论文
华北水利水电大学 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成：姓名 学号 联系方式： 年月日
摘要：一次方程也叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就是线性代数，它是高等代数的一大分支，同时也是大学数学教育中一门主要基础课程。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧式空间和二次型等。 关键词：线性代数行列式矩阵向量线性方程组二次型群论 正文： 1.引言：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，对于培养面向21世纪人才起着重要作用。通过了解线性代数的发展简史可以让我们更好地理解数学，从而更好地学习并应用它。 2.1 行列式 我们知道，在线性代数中最重要的内容之一就是行列式，它不仅是一种语言和速记，而且他的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙，同时人们已经证明了这个概念是数学、物理中非常有用的工具。 行列式出现于线性方程组的求解，它的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中提出的。他于1683年写
了这本书，书里对行列式的概念和它的算法进行了清除的叙述。同时代的德国数学家莱布尼茨是欧洲提出行列式的第一人，也是微积分学的奠基人之一，他于1693年4月在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性带分析导引》中，比较完整、明确地阐述了行列式的定义与展开法，并且发表了求解线性系统方程的重要公式，即我们现在所称的解线性方程组的克莱姆法则。 1764年，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式等于零这一条件判断对给定了含n个未知量的n 个齐次线性方程是否有非零解。 尽管上述几位数学家对行列式的提出与应用做出了很大的贡献，但仍在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 可喜的是，法国数学家范德蒙给出了一条法则，用二阶余子式和它们的余子式来展开行列式，从而把行列式理论与线性方程组求解相分离，他也因此成为了第一个对行列式理论做出连贯的系统的阐述的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但他对数学却有浓厚的兴趣，后来终于成为了法兰西科学院院士，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法。
最新大学线性代数练习试题及答案
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λ s αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
线性代数论文矩阵在自己专业中的应用及举例
矩阵在自己专业中的应用及举例
摘要： I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。 II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等内容。 III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。 关键词： 矩阵可逆矩阵图形学图形变换 正文： 第一部分引言 在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的内容，而这些内容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些内容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重
要地位，与行列式、方程、向量、二次型等内容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。 图形变换是计算机图形学领域内的主要内容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。 第二部分 研究问题及成果 1. 矩阵的概念 定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表 ? ? ??? ?? ?? ???ann an an n a a a n a a a 2 1222 21112 11 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。 下面介绍几种常用的特殊矩阵。 （1）行距阵和列矩阵 仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为 a=(a11,a12,.....a1n). 仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如
线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
大一线性代数论文
中国矿业大学银川学院机电动力与信息工程 线性代数论文 （2012-2013） 专业：电气及其自动化 班级:11级电气（2）班
姓名：薛成建 学号：120110516126 任课老师：马延福 日期：2012. 6.19 摘要 随着我国经济建设与科学技术的迅速发展，高等教育已进入了一个 飞速发展的时期，并且突破了以前的精英式教育模式，发展成为一种在终身学习的大背景下极具创造性和再创性的基础学科教育。高等学校教育教学观念不断更新，教学改革不断深入，办学规模不断扩大，数学课程开设的专业覆盖面不断增大。越来越需要一本高质量的高等学校非教学类专业的教材———《线性代数》。 为适应教学课程开设的专业覆盖面，逐渐引入了以求适应的知识点。n 阶行列式、矩阵、n 维向量与向量空间，应用数学模型等慢慢走进了专业覆盖面。在实际问题中，我们经常会碰到超过3个元素的数组，例如确定飞机的状态，需要以下几个参数：机身的仰角、机翼的转角、机身的水平转角、飞机重心在空间的位置参数等。因此，需要引入n 维向量的概念。n 个数组成的有序数组 （a a a n ,,,21 ）或 a a a n 2 1 称为一个 n 维向量，简称向量。其中只有一行的称 为行向量，只有一列的称为列向量。数a a a n ,,,21 称为这个向量的分量，a i 称为这个向量的第i 个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量，分量都是负数的向量称为负向量。
实际上，n 维行向量可以看成行矩阵，n 维列向量可以看成列矩阵。 如果两实向量相等，即称两个向量相等。 对于两个分量的各分量的和所组成的向量，称为两个向量的和。 一个数与向量的各分量相乘所组成的向量，称为向量e 与k 的数量乘积，简称数乘，记为k e 。 分量全为零的向量（000 ）称为零向量，记为0。 α与-1的数乘（-1）α称为α的负向量，记为-α。 向量的加法与数乘具有下列性质： （1） a +b =b +a ； （交换律） （2） （a +b ）+c =a +（b +c ）； （结合律） （3） a +0=a ； （4） a +（-a ）=0; （5） k （a +b ）=k a +k b ; (6) (k+i)a = k a +i a ; (7) k(i a )=(ki)a ; (8) i a = a ; (9) 0a =0; (10) k 0=0 在数学中，满足（1）～（8）的运算称为线性运算。我们还可以证明： （11） 如果k ≠0且a ≠0，那么k a ≠0. 由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。 例如一个mxn 矩阵A=) (a ij mxn 有n 个m 维列向量 a 1 = a a a m 1 21 11 ， a 2 = a a a m 2 22 12 ， ··· ，a n = a a a mn n n 21 ， 我们称向量组a a a n 2 1为矩阵A 的列向量组。 对于行向量组也同样。
西安交通大学2019年春季《线性代数》在线作业
2019年春季《线性代数》在线作业 一、单选题（共35 道试题，共70 分。）V 1. 若三阶行列式D的第三行的元素依次为3，它们的余子式分别为4，则D=（） A. -8 B. 8 C. -20 D. 20 正确答案：B 满分：2 分 2. 用一初等矩阵左乘一矩阵B，等于对B施行相应的( )变换 A. 行变换 B. 列变换 C. 既不是行变换也不是列变换 正确答案：A 满分：2 分 3. 设a1a2a3a4a5是四维向量，则（） A. a1a2a3a4a5一定线性无关 B. a1a2a3a4a5一定线性相关 C. a5一定可以由a1a2a3a4线性表示 D. a1一定可以由a2a3a4a5线性表出 正确答案：B 满分：2 分 4. 设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1，2，则|B|= A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 正确答案：C 满分：2 分 5. 设A，B，C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是( ). A. 若AB=AC，则B=C B. (A-C)2 = A2-2AC+C2 C. ABC= BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 正确答案：D 满分：2 分 6. 设A为三阶方阵，|A|=2，则|2A-1| = . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 正确答案：D 满分：2 分 7. 设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（） A. A=0 B. A=E C. r(A)=n D. 0 A. A=0 B. A=E C. r(A)=n D. 0 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) 线性代数论文 线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 行列式的计算方法. 定义法 在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念. (1) ｎ级排列:由1,2.3…ｎ组成的一个有序数组称为一个ｎ级排列. (2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面 的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序 数. (3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列. 在做好这些工作之后,来引入行列式的定义: 定义:n阶行列式 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积. a1j1a2j2a3j3………anj n <Ⅱ> 的代数和,这里j1,j2,j3,……j n为1,2,3,……,n的一个排列,每一项<Ⅱ> j1,j2,j3,……j n是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当都按下列规则带有符号,当 《线性代数》模拟试题八 一、填空题(每小题3分，共15分) 1．设矩阵A = ??? ? ? ??100012021，B = ??? ? ? ??310120001，则A + 2B = .2．设向量????? ??=1111α，????? ??=0112α，????? ??=0013α，??? ? ? ??=110β，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为 ( ). 3．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax = b 的解，k 1，k 2为常数，若k 1α1+ k 2α2也是Ax = b 的一 个解，则k 1+k 2 = ( ). 4．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则(2A )-1必有一个特征值为( ). 5．若实对称矩阵A = ??? ? ? ??a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足( ). 二、单选题(每小题3分，共15分) 1．设行列式 2 2 11b a b a = 1， 2 2 11c a c a = 2，则 2 22 111c b a c b a ++ = ( D ). (A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3 2．设A 为2阶可逆矩阵，且已知(2A )-1 =??? ? ??4321，则A = ( D ). (A) 2???? ??4321 (B) 21 4321-???? ?? (C) ??? ? ??432121 (D) 1 432121-??? ? ?? 3．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出( C ). (A) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 (B) α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例 (C) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 (D) α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 华北水利水电学院 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2011年11月6日 摘要:代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。 关键词：高等代数行列式矩阵向量 线性代数发展简史 1 代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。在中学所学的初等代数中，字母仅用来表示数。初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时，还研究次数更高的一元方程及多元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中，字母的含义也推广了，它不仅用来表示数，也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说，线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。线性代数不仅在内容上，更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。 在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但从数学史上来看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。 行列式出现于线性方程组的求解。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz)。1750年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式(即人们熟悉的Cramer 克莱姆法则)。1764年，法国数学家贝佐特(Bezout)把确定行列式每一项的符号的 2013年春 西南大学《线性代数》作业及答案(共5次,已整理) 第一次作业 【单选题】9.下列n 阶(n>2)行列式的值必为0的有： B:行列式非零元素的个数小于n 个。 【单选题】1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是: B:1 【单选题】2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11 【单选题】3.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-1 【单选题】4.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:5 【单选题】5. 行列式A 的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A 的值等于0，则k 的取值应是：C:k=3或k=1 【单选题】6. 6.排列3721456的逆序数是：C:8 【单选题】7. .行列式A 的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a ，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a 的代数余子式是：B:-29 【单选题】8.已知四阶行列式D 中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D 的值等于. C:-15 【论述题】行列式部分主观题 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式25 1 122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式1 02325 4 3 --中元素-2的代数余子式是 —11 。 华北水利水电学院 题目：常见的矩阵及其计算 课程名称：线性代数（第二版） 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年10月20 日 常见的矩阵及其计算 摘要：矩阵是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。它在线性代数与数学的许多分支都有重要应用，许多实际问题都可以用有关理论得到解决。矩阵，是由个数组成行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母表示其元素，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。 关键词：常见矩阵计算方法 Common matrix and calculation Abstract:The matrix in linear algebra theory is extremely important part, of higher mathematics is a basic concept. It in linear algebra and mathematical many branches have important application, many practical problems can be solved with related theory. Matrix, consisting of a line list of regular form, Usually use capital letters said matrixes of each number, are called matrix elements, usually use lowercase said its elements, the subscript are all positive integer, they said the elements in the position of the matrix. Key words:Common matrix Calculation method 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2. =================================================================================================== 1：[论述题]线性代数模拟试题三 参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四 参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五 参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式3 32 31 332221 23 1211 1b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ??? ?? ??300020201，则R (AB ) = ( ). 3. 设矩阵A = ??? ? ? ??54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ). 4. 已知向量,121,3012???? ?? ? ??-=??????? ??=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ). 5. 已知二次型2 3 2221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ). 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB 2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量 (B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关 (D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示 摘要：分析了若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系，以及此性质在线性代数的主要应用。 关键词：初等变换；线性相关；线性无关；线性表示 线性代数主要研究的是线性问题。一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。 向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。 1 线性相关性证明 设A =(α1,α2,··· ,αn )，αi ∈P m ，若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系。 证明：设A m ×n ，A 经过行初等变换化为B ，将A ，B 分别按列分块为A =(α1,α2,…,αn )，B=(β1, β2,···,βn )。由于对A 只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P ，使PA =B ，即P(α1,α2, ···,αn )=(β1, β2, ···,βn )，于是有i 1 βj = P αj (j=1,2,3, ···,n) （1） 设A 和B 对应的列向量组为αi 1,αi 2, ···,αi r 和βi 1, βi 2,···,βi r (1≤i 1＜i 2＜···＜i r ≤n)，由(1)式得 βik = P αik (k=1,2,3, ···,r) 因此，如果αi 1,αi 2, ···,αi r 有线性关系式k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r =0(k r 为实数)，则k 1,k 2…k r 也必使得 k 1βi 1+k 2 βi 2+···+k r βi r =k 1(P αi 1)+ k 2(P αi 2)+ ···+ k r (P αi r ) =P (k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r )=P 0=0 反之，如果βi 1, βi 2,···,βi r 有线性关系式，得 λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r =0 则由P 的满秩性可知αj =P -1βj (j=1,2,3, ···,n)，于是有 λ1αi 1+λ2αi 2+ ···+λr αi r =λ1P -1βi 1 +λ2P -1βi 2 + ···+λr P -1βi r = P -1(λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r )= P -10=0 这表明向量组αi 1,αi 2, ···,αi r 与向量组βi 1, βi 2,···,βi r 有相同的线性相关性，证毕。 2 线性相关性在线性代数中的应用 2.1向量组的线性相关性与行列式的关系 若向量组α1,α2, ···,αn 的个数等于于向量的维数，即m=n 时，则 浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的 相通性 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 《高等数学》和《线性代数》这两门课的内容差异大，但也有不少知识点具有相同性，很多方法和结论相互渗透，本文探讨了《高等数学》与《线性代数》课程内容的一些相通性。 随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，《高等数学》和《线性代数》的作用越来越重要，它们是高等院校培养应用型人才重要的数学基础课。《高等数学》主要学习的是微积分方面的知识，《线性代数》主要学习的是几何方面的知识。由于课程内容的不同，部分高校在课程安排上往往一个教师要么只教《高等数学》，要么只教《线性代数》，从而在教学时往往忽略了引导学生去思考这两门课程中的一些相通性。实际上，看似两门完全不同的课程之间实有许多相通之处，而让学生了解和掌握这些相通性不但有利于更好地掌握这两门课程，而且还可以培养学生发现、思考和总结的能力，所学知识真正做到融会贯通。 几年来，笔者一直在教学一线，既承担《高等数学》的教学，也承担《线性代数》的教学。在教学实践中，笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性，下面介绍几点。 一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性 4.方程解的结构。在《线性代数》中，当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时，其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解。在《高等数学》中，非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构，即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外，解的性质也完全一样。 二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性 在《线性代数》中有一个重要的量——矩阵，故对矩阵的运算作了大量的介绍，有矩阵的加法、矩阵 关于线性代数的理解 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。 我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。 线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于中国古代数学名著《九章算术》）。 线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养中国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。 线性代数作为一门数学，体现了数学的思想。 数学上的方法是相通的。比如，考虑特殊情况这种思路。线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时先解对应的齐次方程组，这些都是先考虑特殊情况。高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程，这用的也是这种思路。 2016年春季学期线性代数作业 一、选择题（每题2分，共36分） 1.（教材§1.1）行列式（B）。 A.6 B.5 C.10 D.7 2.（教材§1.1）行列式（A）。 A. B. C.0 D. 3.（教材§1.2）行列式（D）。 A.40 B.-40 C.10 D.-10 4.（教材§1.3）下列对行列式做的变换中，（A）会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以3 B.对行列式取转置 C.将行列式的某一行加到另外一行 D.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行 5.（教材§1.3）行列式（2/9）。 (提示：参考教材P32例1.3.3) A.2/9 B.2/3 C.2/9 D. 3/4 6.（教材§1.4）若线性方程组有唯一解，那么（B）。 A.2/3 B.1 C.-2/3 D.1/3 7.（教材§2.2）矩阵 2110 2311 3441 1132 ?? ?? ?? ?? ?? - ?? 的秩是（D）。 A.1 B.2 C.3 D.4 8.（教材§2.2）若线性方程组无解，则a的值为（C）。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0 9.（教材§3.1）已知向量，， ，则向量（B）。 A. B. C. D. 10.（教材§3.3）已知向量组线性相关，下面说法正确的是（C）。 A.如果，则必有; B. 矩阵的秩等于向量的个数； C.元齐次线性方程组有非零解； D.向量组A 中任何一个向量都不能由其余的个向量线性表示。 11.（教材§3.3）下列向量组中，线性无关的是（C）。 A. B. C. D. 12.（教材§3.3）下列向量组中，线性相关的是（D）。 A. B. C.同济大学线性代数第六版答案(全)
大学线性代数论文
2013春西南大学《线性代数》第三次作业答案
线性代数发展简史论文范文
2013年春-西南大学《线性代数》作业及答案
线性代数论文
同济大学线性代数第六版答案(全)
西南大学《线性代数》网上作业及参考答案
线性代数小论文
浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的相通性
线性代数论文
标准答案 北京大学2016年春季学期线性代数作业