线性代数应用特性论文

线性代数的应用特性【摘要】本文从萌芽、发展的角度观察、分析线性代数，剖析线性代数的应用特性。

由于不拘泥于教材，从历史发展、思想方法、应用性等方面娓娓道来，自有一种人文情怀蕴含其中，带领读者领略线性代数的另一番学科文化面貌。

【关键词】应用性线性方程组坐标几何结构问题贯穿数学发展的思想有两个，即希腊贵族学院式的论证数学与平民化的实用数学。

线性代数可以说是从应用中来到应用中去的一门学科，尽管其发展与表达形式，脱离不了欧几里得经典几何的模式与影响。

1 从应用中来公元4世纪我国《孙子算经》中有鸡兔同笼问题如下：“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？”该问题的求解方法有很多，不过，采用列方程组的方法求解是很方便的。

设鸡和兔的个数分别为和，则可建立如下一次方程组：x+y=352x+4y=94容易求得x=23，y=25.无独有偶，《张丘建算经》中的百鸡问题：百钱买鸡百只，小鸡一钱三只，母鸡三钱一只，公鸡五钱一只。

问小鸡、母鸡、公鸡各多少只？通过建立三元一次线性方程组，可类似求得解。

以上两例表明，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。

同时，我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动。

可以说，历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题。

2 坐标几何促发展线性代数（linear algebra）作为代数学的一个分支，以向量空间与线性映射为研究对象的近代发展，则与法国数学家费马（fermat，1601 — 1665）和笛卡儿（descartes，1596 — 1665）创立的坐标几何工作直接相关。

因此，线性代数基本上出现于 17 世纪。

从古希腊时代到1600年，几何统治着数学，代数居于附庸的地位。

1600年以后，代数成为基本的数学部门。

笛卡尔与费马提出的坐标几何改变了数学的面貌，坐标几何把数学造成一个双面的工具，几何概念可用代数表示，几何的目标，可通过代数达到。

反过来，给代数语言以几何解释，可以直观地掌握那些语言的意义。

坐标几何的显著优点，在于它提供了科学久已迫切需要的数量的工具。

笛卡尔批评希腊人的几何过于抽象，而且过多地依赖于图形。

在长期的数学家的实践中，笛卡尔不仅掌握了专门的代数知识，并且看到了在提供广泛的方法论方面，代数的力量，看到了代数作为一门普遍的科学方法的潜力。

因此，他主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短。

他说：“所有人们能够知道的东西，也同样是互相联系着的。

”笛卡尔在用代数解决几何作图的问题中，提出了用方程表示并研究曲线的思想，根据方程的次数对曲线分类，取消了希腊人关于判定曲线是否存在以是否可以画出为判别的标准；接着又提出用同一个坐标轴来写出两个不同曲线的方程，并且联立地解出这两个方程来求出这两条曲线的交点。

笛卡尔把代数提高到重要地位，这个关键思想使人们能够认识典型的几何问题并且能够把几何形式上互不相关的问题归在一起，代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次，意义重大。

因此，体系和结构就从几何转移到代数，代数比几何变得更为重要。

当然，随后，微积分和无穷级数进入数学，牛顿（newton）和莱布尼茨（leibniz）都认为微积分是代数的扩展。

比如微积分中研究曲线的各种性质时往往采用“以直代曲”的思想，这里的“直”，自然是一次线性函数所对应的直线，说明了线性方法应用的普遍性。

如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。

在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。

这样向量可以用来表示物理量，比如力。

这就是实数向量空间的第一个例子。

?现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。

一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。

在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。

尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。

由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。

比如，在经济学中可以使用 9 维向量来表示 9 个国家的国民生产总值。

当所有国家的顺序排定之后，比如（中国，美国，日本，英国，法国，德国，澳大利亚，西班牙，印度），可使用向量（v1， v2， v3， v4， v5，v6， v7， v8， v9）显示这些国家某一年各自的国民生产总值。

这里，每个国家的国民生产总值都在各自的位置上。

因此，线性代数处理的是几何对象，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

从这个角度来看的话，可以说线性代数正是代数方法应用于几何问题的产物。

3 到应用中去科学以自然规律作为研究对象，亚历山大·蒲柏有诗赞：自然和自然法则在黑暗中隐藏。

上帝说，牛顿诞生！于是一片光明。

由于牛顿揭示了自然法则，因此对人类来说，牛顿简直就是光明的使者。

人们通常将自然问题分为三类：变化问题、结构问题、或然性问题。

变化问题就是研究事物变化的规律，研究变化问题的是微积分；或然性问题是研究事物发生的可能性大小，比如买彩票中奖的可能性，或然性问题用概率研究；结构问题就是当时间固定的时候事物之间的关系，结构问题就是代数研究的对象，线性代数是代数中基本也是最重要的内容。

因此，为理工科大学生开设的高等数学、概率统计、线性代数等三门数学课程，正是为了分别研究这三类自然问题的。

在科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题；一类非线性问题。

线性问题是研究最久、理论最完善的，我们可以简单地说数学中的线性问题是最容易被解决的，如微分学研究很多函数线性近似的问题。

而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。

因此遇到一个问题，首先判定是线性问题还是非线性问题；其次如果是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。

可见线性代数作为研究线性关联性问题的代数理论的重要性。

随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

法国哲学家、数学家笛卡尔通过三条途径来研究数学：作为哲学家，作为自然的研究者，作为一个关心科学的用途的人。

所以，笛卡尔的科学工作的一个重要之点，就是把科学成果付之应用，为了人类的幸福而去掌握自然。

正是由于他的这种思想观，才会有将代数方法应用于几何的坐标几何的诞生，而正是由于坐标几何的创立，才迎来了数学的新阶段，线性代数也才得以发展，因此线性代数具有广泛的应用特性，也就不足为怪了。

1973年第五届诺贝尔经济学奖得主为哈佛大学的教授wassilyleontief ，他于1949年提出的投入产出模型（input-output analysis），就是用线性方程组描述投入产出表所反映的经济内容的。

作为一种科学的方法来说，投入产出法，是研究经济体系（国民经济、地区经济、部门经济、公司或企业经济单位）中各个部分之间投入与产出的相互依存关系的数量分析方法。

总之，线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它的方法。

这是数学与工程学中最主要的应用之一。

举个例子，线性代数中的一个重要概念是线性空间：定义非空集合中的元素，若对“加法”和“数乘”运算满足八条规律，则称该集合为线性空间，其元素称为向量，满足八条规律的运算称为线性运算。

也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以对一个集合进行线性化处理。

可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处理，如果我们可以知道所研究的对象的维数（比如说是n），我们就可以把它等同为。

足见线性代数作为结构工具的威力！线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。

线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，在各种代数分支中占据首要地位。

在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。

总之，随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，因此，线性代数成为解决这些问题的有力工具。

值得强调的是，线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练、增益科学智能是非常有用的。

瑞典著名数学家l.戈定（garding）说过，没有掌握线性代数的人简直就是文盲。

他在自己的名著《数学概观》中说：要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。

按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。

它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。

如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至学习社会科学也是如此。

【参考文献】［1］（美）莫里斯·克莱因. 古今数学思想. 上海科学技术出版社，2006.［2］同济大学数学系编. 线性代数. 北京：高等教育出版社，2007.［3］（瑞典）l.戈定，胡作玄译. 数学概观.科学出版社，2001.。