初中数学分层作业的有效设计策略
初中数学分层作业的有效设计策略
在个人的发展过程中，由于受到遗传因素、家庭因素及社会环境的影响，个人的发展存在着不同的差异，心理学称之为“个体差异”。而我们身为人民教师必须尊重这种个体差异，所以我在具体的教学当中一般都是给学生布置一些分层作业来实现这一目标。下面是关于在初中数学教学中如何设计分层作业的点滴体会。
1.学生分层，确定分层作业的对象
根据学生的智力、基础、学习态度和个人意愿等，将学生分成三个层次的学习小组：暂差生或学困生分为A组，中等水平的学生分为B组，优秀生分为C组。这样分组的目的是可以使学生合理定位，了解自己的真实水平，同时也能获悉其他同学的基本情况，便于同学间的相互学习与交流。
2.作业分层，提高成效
将学生分层之后，作业也分成三个层次：
（1）基本练习：重在基础知识和基本技能的操练，如简单的计算、基本画图、熟记公式、定理等巩固练习，主要适合于A组学生。
（2）综合练习：重在对知识的理解和运用，主要适合B组学生。
（3）开放性的练习：题型灵活多样，偏重于理解、想象、运用，一般适合于C组学生。
在具体设计分层作业时，原则上是给A组布置与教材例题类似的作业，目的是能让他们仿照例题能找出解题方法,掌握新知；给B 组布置一些例题的变式练习，在掌握基础知识的前提下，学会灵活的运用，提高和巩固所学知识；给C组布置一些开放性和综合性的题目，使他们能把知识拓展延伸，提高优秀生的数学思维和综合运用能力。
针对上述三个层次作业的特点和要求，可以设计出独立型分层作业和合作型分层作业。
2.1独立型分层作业
2.1.1按题目的难易程度设计分层作业
例2.1.1 教材上有一道二次根式计算的例题：
计算：
（1）；
（2）．
解：
（1）
．
（2）
．
在讲解学习后，我给学生布置的作业如下：
A组：计算：
（1）；（2）
B组：计算：
（1）；（2）—
C组：计算：
（1）
2.1.2按掌握不同程度的知识设计不同层次的作业（一点多题，由浅入深）
例2.1.2 学了因式分解后，可以设计这样一组作业：
A组：把下列各式因式分解：
(1)3ax2－3ay4 (2)－2xy－x2－y2 (3)3ax2＋6axy＋3ay2
(4)x4－81 (5)(x2－2y)2－(1－2y)2 (6)x4－2x2＋1 ；
B组：利用图形面积因式分解：
①a2＋3ab＋2b2 ②a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
C组：
1、请你从下列各式中,任意选择两式作差,并将得到的结果因式分解:
9a2,(x+y)2,1,4b2
2、请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来因式分解，你编的三项式是_________________，分解因式的结果是。
C组的学生不仅要学会课本上的例题和习题，而且要懂得借助课本内容的思想方法去编拟习题，这也是有效教学的一种表现形式。这样的作业既让不同层次的学生巩固了课本知识，而且为学生提供了自主发展的机会。
2.1.3同一题目设计不同梯度的问题
例2.1.3
1、学校想利用一面长为x米的墙及可以围成24米长的材料，建造车库三间，它们的平面图是一排大小相等的长方形。
（1）如果车库的宽为y米，则车库的总面积s平方米与y米有怎样的函数关系？
（2）请你帮忙计算一下，如果车库的总面积为32平方米，应该如何安排车库的长BC和宽AB的长度？墙的长度是否对车库的长度有影响？会有怎样的影响？
（3）32平方米是否是最大面积？用你学过的数学知识，帮学校参谋一下。
2、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12元，售价14。5元，每件乙种商品进价8元，售价10元，且它们的进价和售价始终不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190元不高于200元。
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）利用（2）中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案。
这两道题的问题设计层次目标虽有差异，但仍然反映的是同一教材内容在深度和广度上的差异，这种差异是阶梯式的，能满足不同层次学生的要求，有利于低层次学生向高一层次目标迈进。学生可以根据自己的知识水平选择性地做题，如A组的同学只要求他们做出（1）即可，B组要求做（1）和（2），C组则要求做完。这样设计可以让一部分比较好强的学生“跳一跳，能摘到果子”，这样大大的鼓舞了他们的士气，也让他们获得了成就感，从而让学生体验成功的快乐，激发进一步学习数学的欲望。
2.1.4按目标的不同对同一作业提出不同层次的要求
例2.1.4 某面包店出售每个成本为5元的面包，当单价为7元时，每天可卖出160个，在此基础上，这种面包的单价每提高1元时，每天就会少卖20个，设这种面包的单价为x元，每天销售这种面包所获得的利润为y元，
（1）用含有x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）当面包单价为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润是多少？
要求是：A组同学至少完成（1）和（2），B组同学至少完成（2）和（3），C组同学直接做（3），并提示他们，如果在做题的过程当中遇到问题，则可以一步一步地做。
具体做法是：（1）对同一道题目由易到难梯度设置不同的问题，使学生由浅入深一步一步探索，让每一位学生都能获得不同程度的成
功尝试，激发学生的潜能。从教学效果的角度看，设问的梯度可以帮助学生挖掘问题的多面性，达到深层次认识问题的本质，从而培养思维的深刻性。（2）设计阶梯型题组，根据教材内容的需要，精选不同层次的题目，由易到难，按照不同能力要求编成题组，有针对性地设置知识、方法、能力的最近发展区，使思考坡度循序渐进，恰到好处，学生每解一题都能亲身体会到其中蕴含的规律，领略到解题的意境和命题的构思。
2.2 合作型分层作业
由于不同的学生的能力有所差异，有些学生有较强的思维能力，有些学生有较强的动手能力，再者新课程不仅强调学生独立思考，更强调合作交流。所以，在设计分层作业时，我还有意地安排一些合作型的作业，培养学生的合作交流能力。合作型的作业一般分为相同层次型合作作业和互补型的合作作业。
2.2.1相同层次型合作作业
相同层次型合作作业由一些数学学习的基础、能力、智趣等相近的学生来完成。
例2.2.1以本地区今年3月春季气温变化情况为课题，采用小组合作的方式进行数据的收集整理、研究方法的选择、研究现象的分析并展示研究结果.
1.从哪里搜集到有关的数据？
2.今年3月本地区气温情况统计表：
日期1日2日3日4日5日6日7日
最高气温
最低气温
3.用什么样的统计图表现最鲜明具体？
4.根据表中数据绘制统计图。
5.从统计图中可以分析出哪些情况？
数学问题的解决往往可以有不同的方案，通过小组合作的形式，每个学生都有机会提出自己的解题方案，都有可能获得成功的体验。同时又可以与别人共同讨论不同方案的优缺点，这对于发展学生的解题思路、增强学生的自信心、培养创造性思维十分有利。上述的合作型作业通过学生自主的学习活动，分享与他人交流合作的乐趣，增加了积极的数学情感体验。同时，学生在合作中学会了沟通、互助、分享，这种合作的意识和品质对学生今后的发展有一定的促进作用。
2.2.2互补型的合作作业
所谓“互补”是指具有不同数学能力的学生在完成数学学习任务时相互补充、相互合作的一种形式。比如学生思维能力较强和动手能力较强的学生相互合作，能充分发挥各自的优势来共同完成学习任务。
例 2.2.2，在学习相似三角形的知识后我布置了一项作业：请运用相似三角形知识设计方案来测量某棵大树的高度，不能爬上大树也不能把树砍倒，工具有卷尺、标杆、镜子等。要求画出示意图，简单说明测量原理（以小组为单位完成）。
方法1：利用阳光下的影子：运用太阳光线互相平行，构造相似三角形，量得竹竿及其影子、旗杆的影子长度，由相似三角形的性质，通过线段成比例，计算得到旗杆的高度。
方法2：阴雨天时利用标杆：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”；并要测量以下几个数据：观测者的脚到旗杆底部的距离，旗杆底部到标杆底部的距离，标杆的顶端到标杆底部的高，观测者的身高，最后构造相似三角形，根据相似三角形对应高在个人的发展过程中，由于受到遗传因素、家庭因素及社会环境的影响，个人的发展存在着不同的差异，心理学称之为“个体差异”。而我们身为人民教师必须尊重这种个体差异，所以我在具体的教学当
中一般都是给学生布置一些分层作业来实现这一目标。下面是关于在初中数学教学中如何设计分层作业的点滴体会。
1.学生分层，确定分层作业的对象
根据学生的智力、基础、学习态度和个人意愿等，将学生分成三个层次的学习小组：暂差生或学困生分为A组，中等水平的学生分为B组，优秀生分为C组。这样分组的目的是可以使学生合理定位，了解自己的真实水平，同时也能获悉其他同学的基本情况，便于同学间的相互学习与交流。
2.作业分层，提高成效
将学生分层之后，作业也分成三个层次：
（1）基本练习：重在基础知识和基本技能的操练，如简单的计算、基本画图、熟记公式、定理等巩固练习，主要适合于A组学生。
（2）综合练习：重在对知识的理解和运用，主要适合B组学生。
（3）开放性的练习：题型灵活多样，偏重于理解、想象、运用，一般适合于C组学生。
在具体设计分层作业时，原则上是给A组布置与教材例题类似的作业，目的是能让他们仿照例题能找出解题方法,掌握新知；给B 组布置一些例题的变式练习，在掌握基础知识的前提下，学会灵活的运用，提高和巩固所学知识；给C组布置一些开放性和综合性的题目，使他们能把知识拓展延伸，提高优秀生的数学思维和综合运用能力。
针对上述三个层次作业的特点和要求，可以设计出独立型分层作业和合作型分层作业。
2.1独立型分层作业
2.1.1按题目的难易程度设计分层作业
例2.1.1 教材上有一道二次根式计算的例题：
计算：
（1）
； （2）
． 解：
（1）
．
（2）
．
在讲解学习后，我给学生布置的作业如下：
A 组：计算：
（1）
；（2）
B 组：计算：
（1）
；（2）— C 组：计算：
（1）
2.1.2按掌握不同程度的知识设计不同层次的作业（一点多题，由浅入深）
例2.1.2 学了因式分解后，可以设计这样一组作业：
A 组：把下列各式因式分解：
(1)3ax2－3ay4 (2)－2xy －x2－y2 (3)3ax2＋6axy ＋3ay2
(4)x4－81 (5)(x2－2y)2－(1－2y)2 (6)x4－2x2＋1 ；
B 组： 利用图形面积因式分解：
①a2＋3ab ＋2b2 ②a2＋b2＋c2＋2ab ＋2bc ＋2ac
C 组：
1、请你从下列各式中,任意选择两式作差,并将得到的结果因式分解
:
9a2,(x+y)2,1,4b2
2、请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来因式分解，你编的三项式是_________________，分解因式的结果是。
C组的学生不仅要学会课本上的例题和习题，而且要懂得借助课本内容的思想方法去编拟习题，这也是有效教学的一种表现形式。这样的作业既让不同层次的学生巩固了课本知识，而且为学生提供了自主发展的机会。
2.1.3同一题目设计不同梯度的问题
例2.1.3
1、学校想利用一面长为x米的墙及可以围成24米长的材料，建造车库三间，它们的平面图是一排大小相等的长方形。
（1）如果车库的宽为y米，则车库的总面积s平方米与y米有怎样的函数关系？
（2）请你帮忙计算一下，如果车库的总面积为32平方米，应该如何安排车库的长BC和宽AB的长度？墙的长度是否对车库的长度有影响？会有怎样的影响？
（3）32平方米是否是最大面积？用你学过的数学知识，帮学校参谋一下。
2、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12元，售价14。5元，每件乙种商品进价8元，售价10元，且它们的进价和售价始终不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190元不高于200元。
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）利用（2）中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案。
这两道题的问题设计层次目标虽有差异，但仍然反映的是同一教材内容在深度和广度上的差异，这种差异是阶梯式的，能满足不同层次学生的要求，有利于低层次学生向高一层次目标迈进。学生可以根据自己的知识水平选择性地做题，如A组的同学只要求他们做出（1）即可，B组要求做（1）和（2），C组则要求做完。这样设计可以让一部分比较好强的学生“跳一跳，能摘到果子”，这样大大的鼓舞了他们的士气，也让他们获得了成就感，从而让学生体验成功的快乐，激发进一步学习数学的欲望。
2.1.4按目标的不同对同一作业提出不同层次的要求
例2.1.4 某面包店出售每个成本为5元的面包，当单价为7元时，每天可卖出160个，在此基础上，这种面包的单价每提高1元时，每天就会少卖20个，设这种面包的单价为x元，每天销售这种面包所获得的利润为y元，
（1）用含有x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）当面包单价为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润是多少？
要求是：A组同学至少完成（1）和（2），B组同学至少完成（2）和（3），C组同学直接做（3），并提示他们，如果在做题的过程当中遇到问题，则可以一步一步地做。
具体做法是：（1）对同一道题目由易到难梯度设置不同的问题，使学生由浅入深一步一步探索，让每一位学生都能获得不同程度的成功尝试，激发学生的潜能。从教学效果的角度看，设问的梯度可以帮助学生挖掘问题的多面性，达到深层次认识问题的本质，从而培养思维的深刻性。（2）设计阶梯型题组，根据教材内容的需要，精选不同层次的题目，由易到难，按照不同能力要求编成题组，有针对性地设
置知识、方法、能力的最近发展区，使思考坡度循序渐进，恰到好处，学生每解一题都能亲身体会到其中蕴含的规律，领略到解题的意境和命题的构思。
2.2 合作型分层作业
由于不同的学生的能力有所差异，有些学生有较强的思维能力，有些学生有较强的动手能力，再者新课程不仅强调学生独立思考，更强调合作交流。所以，在设计分层作业时，我还有意地安排一些合作型的作业，培养学生的合作交流能力。合作型的作业一般分为相同层次型合作作业和互补型的合作作业。
2.2.1相同层次型合作作业
相同层次型合作作业由一些数学学习的基础、能力、智趣等相近的学生来完成。
例2.2.1以本地区今年3月春季气温变化情况为课题，采用小组合作的方式进行数据的收集整理、研究方法的选择、研究现象的分析并展示研究结果.
1.从哪里搜集到有关的数据？
2.今年3月本地区气温情况统计表：
日期1日2日3日4日5日6日7日
最高气
温
最低气
温
3.用什么样的统计图表现最鲜明具体？
4.根据表中数据绘制统计图。
5.从统计图中可以分析出哪些情况？
数学问题的解决往往可以有不同的方案，通过小组合作的形式，每个学生都有机会提出自己的解题方案，都有可能获得成功的体验。
同时又可以与别人共同讨论不同方案的优缺点，这对于发展学生的解题思路、增强学生的自信心、培养创造性思维十分有利。上述的合作型作业通过学生自主的学习活动，分享与他人交流合作的乐趣，增加了积极的数学情感体验。同时，学生在合作中学会了沟通、互助、分享，这种合作的意识和品质对学生今后的发展有一定的促进作用。
2.2.2互补型的合作作业
所谓“互补”是指具有不同数学能力的学生在完成数学学习任务时相互补充、相互合作的一种形式。比如学生思维能力较强和动手能力较强的学生相互合作，能充分发挥各自的优势来共同完成学习任务。
例 2.2.2，在学习相似三角形的知识后我布置了一项作业：请运用相似三角形知识设计方案来测量某棵大树的高度，不能爬上大树也不能把树砍倒，工具有卷尺、标杆、镜子等。要求画出示意图，简单说明测量原理（以小组为单位完成）。
方法1：利用阳光下的影子：运用太阳光线互相平行，构造相似三角形，量得竹竿及其影子、旗杆的影子长度，由相似三角形的性质，通过线段成比例，计算得到旗杆的高度。
方法2：阴雨天时利用标杆：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”；并要测量以下几个数据：观测者的脚到旗杆底部的距离，旗杆底部到标杆底部的距离，标杆的顶端到标杆底部的高，观测者的身高，最后构造相似三角形，根据相似三角形对应高线的比等于相似比，得到答案。或将人与旗杆拍摄在同一照片中，运用线段成比例计算。
方法3：利用镜子的反射：如图，H表示镜子，△ABH∽△CDH，则AB：CD＝HB：DH
这次作业有的同学找了与自己“互补”的同伴合作完成了任务。
在完成任务的同时使每位学生对相似三角形的构造及应用有了深刻地理解，同时使学生的探究能力、实践能力及合作能力都有了一定程度的提高。在学生运用所学的知识和经验进行探究中，也不仅能深入理解数学，体验乐趣，也更能自主构建知识。
总之，分层作业的设计和布置，符合学生实际，使全部学生都能主动、生动地学习，是提高教学效果和学生素质的一种有效模式，真正体现了素质教育面向全体、全面发展的基本要求