07 矩阵级数与矩阵函数
第七讲 矩阵级数与矩阵函数
一、 矩阵序列
1. 定义: 设有矩阵序列{}(k)A , 其中()
(k)(k)ij A a =, 且当k →∞时(k )ij ij a a →, 则称{}(k)A 收敛, 并把()ij A a =叫做{}(k)A 的极限, 或称{}(k)A 收敛于A , 记为
(k)(k)k k limA A A A →∝
→∝
=→或
不收敛的级数则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况. 2. 收敛矩阵序列的性质: 设(k )A ,(k)B 分别收敛于A,B 则 (1) (k)(k)k A B A B →∝
α+β→α+β
(2) (k)(k)k A B AB →∝
→
(3) (k)11(k)11k (A )A ,(A ),A ----→∝
→若存在
(4) (k)k PA Q PAQ →∝
→
3 收敛矩阵: 设A 为方阵,且当k →∝时k A 0→, 则称A 为收敛矩阵. [定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值得模值均小于1. 证明: 对任何方阵A ,均存在可逆矩阵P , 使得 1A PJP -= 其中J 为A 的Jordan 标准形
1
2
s J J J J ?????
?=?????
? , i i i i 1
0J 10
λ????λ??=?
???λ??
k 1k k k 112
k s J J A PJ P P P J --??
?
?
?
?==?????
?
i k m k
k 1
i i
i i i k
i i k!2...
m !(k m )!
J ,k m --??
λλλ??
-??
=>?
????????
?
当
k A 0→就等价于k
i J 0(i 1,2,...,s)→=, 等价于k i 0(i 1,2,...,s)
λ→=, 而这只有i 1λ<才可能也必能.
[得证]
二、 矩阵级数
1.定义: 矩阵序列{}(k)A 的无穷和(1)(2)(k)A A A ++++ 叫做矩阵级数, 而
N
(N)
(k )k 1
S
A ==∑称为其部分和, 若矩阵序列{}
(N)S 收敛,且有极限S, 则称该级数
收敛,且有极限S. 记为
(k )
k 1A S ∝
==∑ 不收敛的级数必为发散的.
若矩阵级数(k )
k 1A
∝
=∑的所有元素(k )
ij k 1a ∝
=∑均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛.
2. 绝对收敛矩阵的性质
(1) 绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有
相同的和. (2) (k )
k 1A
∝
=∑绝对收敛,则(k )
k 1
PA Q ∝=∑也绝对收敛且等于(k )k 1
P A Q ∝
=∑
(3) (k )
k 1
A
∝=∑, (k )k 1
B ∝
=∑均绝对收敛,且和分别为12S ,S 则
k
(i)
(k 1i)12k 1
i 1
(A
B )S S ∝+-===∑∑
三、 方阵的幂级数
A 为方阵, k
k k 0
c A ,(A I)∝
==∑称为A 的幂级数. k k 0
A ∝
=∑称为A 的Neumann
级数.
1. Neumann 级数收敛的充要条件
[定理] Neumann 级数收敛的充要条件是A 为收敛矩阵,且在收敛时其和为
1(I A)--. 证明: [必要性]
级数k k 0A ∝
=∑收敛, 其元素为
23ij ij ij ij (A)(A )(A )δ++++
显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故
k k ij k k (A )0,A 0→∝
→∝
→→即
也就是说A 为收敛矩阵. [充分性]:
A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A 的特征值为λ, (I A)-的特征值为μ. 则由
n det(I (I A))det((1)I A)(1)det((1)I A)μ--=μ-+=--μ-
可见11-μ=λ→μ=-λ
故020<μ<→μ≠, (I A)-的行列式不为零,1(I A)--存在. 而2k k 1(I A A ...A )(I A)I A +++++-=- 右乘1(I A)--得
2k k 11I A A ...A (I A )(I A)+-++++=--
当k →∝时, k 1A 0+→, 故k 11A (I A)0+--→. 所以
k
i
i 1
k i 0
i 0
A lim A (I A)∝
-→∝
====-∑∑ 即Neumann 级数收敛于1(I A)--.
2. 收敛圆
[定理] 若矩阵A 的特征值全部落在幂级数k k k 0(z)c z ∝
=?=∑的收敛圆内, 则矩阵
幂级数k 0k k 0
(A)c A ,(A I)∝
=?==∑是绝对收敛的. 反之, 若A 存在落在(z)?的收
敛圆外的特征值, 则(A)?是发散的. 证明略.
[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A , (A)?均收敛.
四、 矩阵函数 如: A e , sin A , cos A
以矩阵为自变量的” 函数”(实际上是”函矩阵”)
我们知道, z
2n n 011
e 1z z ...z 2!n!
∝
==+++=∑
n 2n 1
n 0(1)sin(z)z (2n 1)!
∝
+=-=+∑
n 2n
n 0(1)cos(z)z (2n)!
∝
=-=∑
均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵A
A
n
n 01e A n!
∝
==∑
n
2n 1n 0(1)sin(A)A (2n 1)!
∝
+=-=+∑
n 2n
n 0(1)cos(A)A (2n)!
∝
=-=∑
均绝对收敛. 三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。 [性质]
jA e cosA jsinA =+ jA jA 1
cosA (e e )2
-=+
jA jA 1sin A (e e )2j
-=
- cos(A)cosA -= sin(A)sinA -=-
cos(A B)cosAcosB sinAsinB AB BA sin(A B)sinAcosB cosAsinB ±=?
←=?±=±?
但是一般来说A B e e , B A e e , A B e +三者互不相等. 例如
11A 00??=????, 11B 00-??
=????
, 则
2
34
11A A A 00??====??
??
2
34
11B B B 00-??====??
??
A
n 1e e 11
e I ()A I (e 1)A n!0
1∝
=-??=+=+-=????∑ B
n 1e 1e 1
e I ()B I (e 1)B n!0
1∝
=-??=+=+-=????∑
可见A B B A e e e e ≠
20A B 00??+=????, 220(A B)22(A B)00??+==+????
, 32
(A B)2(A B)+=+, 2A B
n 12
n 1e 011e
I (2)(A B)I (e 1)(A B)n!20
1∝+-=??
=++=+-+=?
???
∑ 所以, A B A B e e e +≠ , A B B A e e e +≠
[定理] 若AB BA =, 则A B A B B A e e e e e +== 证明:
A B 2211
e e (I A A ...)(I B B ...)2!2!
=++
++++ 22
322311I (A B)(A 2AB B )(A 3A B 3AB B )...2!3!=++++++++++
23A B 11
I (A B)(A B)(A B)...e 2!3!
+=+++
++++= 22222(A B)(A B)(A B)A AB BA B A 2AB B +=++=+++=++ 33223(A B)A 3A B 3AB B +==+++ 同理, 有B A A B e e e +=
[推论] A A A A 0e e e e e I --===, A 1A A m mA A (e )e ,(e )e ,e --==总存在逆阵
五、 矩阵函数的初步计算 1. Hamilton-Cayley 定理
n 阶矩阵A 是其特征多项式的零点, 即令
n n 11n 1n ()det(I A)c c c --?λ=λ-=λ+λ++λ+ 则n n 11n 1n (A)A c A c A c I 0--?=++++=
[证明]: 设A 的特征值为12n ,,,λλλ , 则()?λ又可写成
12n ()()()()?λ=λ-λλ-λλ-λ
由Schur 引理知, 存在酉矩阵U, 使得
12
1n *U AU 0
-λ???
?λ?
?=??
??λ??
而111112n (A)(U AU)(U AU I)(U AU I)(U AU I)----?=?=-λ-λ-λ
12
1n
212n
31
32
n 1n
n 1n 20
*
*
*0 0
00-λ-λλ-λ??????
??????λ-λ
λ-λ?
???????????=λ-λλ-λ???
??
?λ-λ???
??
??????
?λ-λλ-λ??
????
131n
23
2n
43
n 1n
0**...*0
0000
0-λ-λλ-λ??????
??????λ-λλ-λ??????=????????????λ-λλ-λ??????????????????
141n
24
2n
34
n 1n
000**000
...*00
00
0-λ-λλ-λ????????????λ-λλ-λ??????=??????λ-λ??????λ-λ??????????????????
0000000000??
??
??
==??????
????
即(A)0?=
2.零化多项式
多项式f(z),若f(A)=0,则称其为A 的零化多项式。 由以上定理可知，方阵A 的特征多项式为A 的零化多项式。 3. 矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算
例: 已知四阶矩阵的特征值是π、-π、 0、 0, 求sin A 、 cos A 、A e 解: 422()()()(0)(0)?λ=λ-πλ+πλ-λ-=λ-πλ
故42242252362442(A)A A 0A A ,A A ,A A A ,?=-π=→=π=π=π=π
n n 2n 12(n 1)3
n 1n 1n
2n 133n 1(1)(1)
sin(A)A A A A (2n 1)!(2n 1)!
1(1)A ()A (2n 1)!
∝
∝
+-==∝+=--=+=+π++-=+
ππ+∑∑∑
32331
A (sin )A A A -=+π-π=-ππ
n n 2n 2(n 1)2
n 1n 1222
2(1)(1)cos(A)I A I A
(2n)!(2n)!1
I (cos 1)A I 2A ∝
∝
-==---=+=+π=+π-=-ππ
∑∑ A
n 2n
2n 1n 0n 1n 1111e A I A A A n!(2n)!(2n 1)!∝
∝∝
+=====+++++∑∑∑
2(n 1)2
2(n 1)3n 1n 111I A A A (2n)!(2n 1)!
∝
∝
--===++π+π+∑∑
23
23
cosh 1sinh I A A A π-π-π=+++ππ
作业 P163 3, 4, 5
Matlab常用函数数组及矩阵的基本运算
实验一 Matlab 常用函数、数组及矩阵的基本运算 一、 实验目的 1. 了解Matlab7.0软件工作界面结构和基本操作; 2. 掌握矩阵的表示方法及Matlab 常用函数; 3. 掌握数组及矩阵的基本运算. 二、 实验内容 1. 了解命令窗口(command widow)和变量空间(workspace)的作用,掌握清 除命令窗口(clc )和变量空间(clear)的方法.掌握查询函数(help)的方法. 2. 掌握保存和加载变量的方法. 加载变量:load 变量名. 3. 掌握掌握矩阵的表示方法: 给a,b,c 赋如下数据: ]6,46,23,4,2,6,3,8,0,1[,356838241248 7,278744125431-=??????????--=??????????=c b a 4. 求a+b,a*b,a.*b,a/b,a./b,a^2,a.^2的结果. 5. 将str1=electronic; str2 = information; str3 = engineering; 三个字符串连接 在一起成str = electronic information engineering. 6. 求矩阵a 的逆矩阵a -1，行列式计算。 (inv(a),det(a)) 三、 实验要求 1.上机操作,熟练掌握清除命令窗口和变量空间的方法、查询变量的方法、加载变量的方法。 2.第2道题请写出步骤。 3.对实验内容中第3-6项,写出指令,上机运行. 记录运行结果(数据)。 4.写出实验报告。 四、 实验结果 2. 用save 函数,可以将工作空间的变量保存成txt 文件或mat 文件等. 比如: save peng.mat p j 就是将工作空间中的p 和j 变量保存在peng.mat 中. 用load 函数,可以将数据读入到matlab 的工作空间中. 比如:load peng.mat 就是将peng.mat 中的所有变量读入matlab 工作空间中。
Excel 矩阵运算及引用
利用Excel中函数进行矩阵运算实验 一、实验目的与要求 了解Excel的函数应用并能够利用Excel进行常用的矩阵运算。掌握以Excel 中的几个主要矩阵运算函数的功能，即 MDETERM：用于计算矩阵行列式的值； MINVERSE：用于求解某个可逆矩阵的逆矩阵； MMULT：用于计算两个矩阵的乘积，进行两个矩阵的乘法时必须确保第一个乘积矩阵的列等于第二个乘积矩阵的行； TRANSPOSE：用来求解矩阵的转置或用于Excel中行列的互换。 二、实验内容及步骤 1.矩阵的数乘 用一个数乘以一个矩阵，必须将该数与矩阵的每一个元素相乘。将单元格B3中的数字乘以矩阵A，只需在单元格B10中输入公式“=$B$3*B5”（注意：单元格B3必须采用绝对引用，及固定单元格），然后将其复制到B10:D12区域（利用自拖功能也可以实现），最终结果见下表： 矩阵的数乘 2.矩阵的加法 具有相同行列的两个矩阵才能相加。要进行矩阵的加法，只需将两个矩阵相
同行、列的元素相加，即可得到新的矩阵。如下图，要将矩阵A和B相加，只需在单元格G4中输入公式“=A4+D4”，并将其复制到G4:H8区域（利用自拖功能也可以实现），就可得到最终结果。 矩阵的相加 3.矩阵的转置 对矩阵E进行转置，首先选中打算放置输出结果的整个单元格区域F4:H7，然后选择“插入-函数”，在“查找与引用”或“全部”函数中选择函数“TRANSPOSE”。在“函数参数”的对话框中输入“A4:D6”，同时按住[Ctrl]+[Shift]+[Enter]键，最终得到下列结果。 矩阵转置 也可以利用复制，选择性粘贴中选择转置即可得到上述结果。 4、矩阵相乘 做法一：进行矩阵乘法必须保证第一个乘积矩阵的列等于第二个乘积矩阵的行。首先选中打算放置输出结果的整个单元格区域A9:D10，然后选择“插入-函数”，在“数学与三角”或“全部”函数中选择函数“MMULT”。在“函数参数”的对话框中分别输入第一个数组“A4:C5”和第二个数组“E4:H6”，同时按住[Ctrl]+[Shift]+[Enter]键，最终得到下列结果。
MATLAB中矩阵常用的操作函数
MATLAB中矩阵常用的操作函数 1. zeos : 生成零矩阵 2. ones : 生成1矩阵 3. eye : 生成单位矩阵 4. rand : 返回[0,1]之间的平均分布的随机数（矩阵） 5. randn : 返回标准正态分布的随机数（矩阵） 6. mean : 返回列的均值 7. std : 返回列的方差 8. magic : 返回魔方矩阵，即行、列，对角线元素之和都相等的矩阵 9. hilb : 返回Hilbert矩阵，即H(i,j)=1/(i+j-1) 的矩阵 10. toeplitz : 返回toeplitz矩阵 11. 常用运算： 和：A+B 积：A*B 转置：A'，注意：如果A是复矩阵，则A'是共轭转置 行列式：det(A) 逆：inv(A) 内积：dot(a, b) 秩：rank(A) 迹：trace(A) 12. 线性方程组：Ax=b，可以用左除运算：x=A\b；也可以用逆运算：x=inv(A)*b，但效率不如左除运算。 13. Jordan 标准型：jordan(A)，返回A的Jordan标准型。或者用两个参数接收结果：[V, J] = jordan(A)，那么J是A的Jordan标准型，V是用到的相似变换矩阵，即A=V*J*inv(V)。 14. SVD分解，即奇异值分解：[U, S, V] = svd(A)，A=USV'。 15. 特征值：eig(A)返回A的所有特征值。如果用两个参数接收结果：[E, F] = eig(A)，那么E 的列是A的特征向量，F是A的特征值。 16. 范数： 1范数：norm(A, 1) 2范数：norm(A, 2) 无穷范数：norm(A, inf) Frobenius范数（也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数），即A全部元素平方和的平方根：norm(A, 'fro') 17. 矩阵函数：通用方法是funm(A, @fun)，即计算矩阵A的fun函数。
矩阵的简单运算公式
矩阵的运算 （一） 矩阵的线性运算 特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 2 22 ()()() A B A B A B A B =≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律 111 1 1 11 1 1(1)()(2)() /(3)( )( )(4)()( ) T T n n A B B A k A A k A A A A ---------==== （三） 关于矩阵转置的运算规律 (1)()(2)()T T T T T T A B B A A B B A =+=+ （四） 关于伴随矩阵的运算规律 **1 *2 ***1* **1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(), ()(5)()1,()1 0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A n A A A kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A -------===≥===?? ==-??≤-?= ==若若若若可逆，则，， （五） 关于分块矩阵的运算法则 1 1 1 110000(2)000 0T T T T T A B A C C D B D B B B C C C C B -----?? ?? =????????????????==????????????????(1)；， （六） 求变换矩阵 ()121 1 2 11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--?? ? ?= ? ? ? ?===???????? ??? ? ? =→= ??? ? ? ??? ? ?????????=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1 T T -由求 （七） 特征值与矩阵
MatLab常见函数和运算符号解读
MatLab常见函数和运算符号 基本运算 convhull :凸壳函数 cumprod :累计积 cumsum :累计和 cumtrapz :累计梯形数值积分 delaunay :Delaunay三角化 dsearch :求最近点(这是两个有趣的函数 factor :质数分解inpolygon :搜索多边形内的点 max :最大元素 mean :平均值 median :数组的中间值 min :最小值 perms :向量所有排列组成矩阵 polyarea :多边形的面积 primes :生成质数列表 prod :数组元素积 sort :元素按升序排列 sortrows :将行按升序排列
std :标准差 sum :元素和 trapz :梯形数值积分 tsearch :搜索Delaunay三角形var :方差 voronoi :Voronoi图 del2 :Laplacian离散 diff :差分和近似微分gradient:数值梯度 corrcoef :相关系数 cov :协方差矩阵 xcorr :互相关系数 xcov :互协方差矩阵 xcorr2 :二维互相关 conv :卷积和多项式相乘conv2 :二维卷积 deconv :反卷积 filter :滤波 filter2 :二维数字滤波
傅立叶变换 abs :绝对值和模 angle :相角 cplxpair :按复共扼把复数分类 fft :一维快速傅立叶变换 fft2 :二维快速傅立叶变换 fftshit :将快速傅立叶变换的DC分量移到谱中央ifft :以为逆快速傅立叶变换 ifft2 :二维逆快速傅立叶变换 ifftn :多维逆快速傅立叶变换 ifftshift :逆fft平移 nextpow2 :最相邻的2的幂 unwrap :修正相角 cross :向量叉积 intersect:集合交集 ismember :是否集合中元素 setdiff :集合差集 setxor :集合异或(不在交集中的元素 union :两个集合的并
矩阵函数和函数矩阵
矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量t 的实函数矩阵 ()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ?????????==????????????∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质： （1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt +=+； （2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt =+； 特殊情形 （a ） 若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt =； （b ） 若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt =+； （3） () 111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－； （4） 对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt ==； （5） 若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。如果,A B 可交换，则许多三角不等 式可以推广到矩阵上。如sin(),sin(2)A b A +等。 参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。
教材第六章 矩阵函数
第六章 矩阵函数 矩阵函数是矩阵理论的重要内容，它在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要作用．本章讨论矩阵函数——以方阵为“变量”、其“值”仍为方阵的函数．矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，矩阵多项式是研究其他矩阵函数的基础，因为最终是通过它来定义和计算一般矩阵函数的．当然可以用收敛的矩阵幂级数来定义和计算某些矩阵函数． 矩阵函数在线性微分方程组及矩阵方程的求解中都有重要的应用，而这些问题的求解是系统与控制理论中经常面临并且必须解决的实际问题． §6.1 矩阵级数 定义1 设(){}k A 是m n C ?的矩阵序列，其中()()()k k m n ij A a C ?=∈，无穷和 (1)(2)(3)()k A A A A +++++ 称为矩阵级数，记为() 1 k k A ∞ =∑．对正整数1k ≥，记() ()1 k k i i S A ==∑，称()k S 为矩阵 级数()1 k k A ∞ =∑的部分和，如果矩阵序列(){}k S 收敛，且有极限S ，即()lim k k S S →∞ =， 则称矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑收敛，并称S 为矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑的和，记为()1 k k A S ∞ ==∑．不 收敛的矩阵级数称为发散的． 由此定义可知，矩阵级数()1k k A ∞ =∑收敛的充分必要条件是mn 个数项级数 () 1 (1,2,;1,2,,)k ij k a i m j n ∞ ===∑ 都收敛． 由矩阵级数的收敛性定义易知
(1)若矩阵级数()1 k k A ∞ =∑收敛，则()lim 0;k k A →∞ = (2)若矩阵级数() 11 k k A s ∞ ==∑，()21 k k B s ∞ ==∑ ，,a b C ∈，则 () ()121 ()k k k aA bB as bs ∞ =+=+∑； (3)设m m P C ?∈，n n Q C ?∈，若矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑收敛，则()1 k k PA Q ∞ =∑收敛且 () ()1 1 ()k k k k PA Q P A Q ∞ ∞ ===∑∑． 定义2 设()1 k k A ∞ =∑是矩阵级数，其中()()()k k m n ij A a C ?=∈，如果mn 个数项 级数() 1 k ij k a ∞ =∑(1,2,;1,2,,)i m j n == 都绝对收敛，则称矩阵级数()1 k k A ∞ =∑绝对收 敛． 显然，若()1k k A ∞ =∑绝对收敛，则它必是收敛的，但反之未必． 定理1 矩阵级数()1 k k A ∞ =∑(其中()()()k k m n ij A a C ?=∈)绝对收敛的充分必要条 件是对任何一种矩阵范数.，数项级数()1 k k A ∞ =∑都收敛． 证 由各种矩阵范数的等价性，只须就某一种矩阵范数证明之，如考虑 ,max ij i j A a =． 必要性 () 1 k k A ∞ =∑绝对收敛，则()1 k ij k a ∞ =∑绝对收敛，该数项级数各项绝对值之
中科院矩阵分析_第二章
第 2 章范数理论及其应用 2.1向量范数及I p范数 定义：如果V 是数域K 上的线性空间，且对于 V的任一向量x，对应一个实数值ixil,它满足以下三个条件： 1）非负性：||x|| 0,且||x||=0 x=0; 2）齐次性：iikxii=iki iixii，k K； 3）三角不等式：||x+y|| ||x||+||y||. 则称||x|为V上向量x的范数，简称为向量范数。 可以看出范数||||为将V映射为非负数的函数。注意：2）中|k|当K为实数时为绝对值， 当K 为复数域时为复数的模。 虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n 维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复（或实）列向量空间, 因此下面我们仅仅讨论n 维复（或实）列向量空间就足够了下面讨论如下：1?设||||为线性空间V n的范数，任取它的一个 基X i,X2,…,X n,则对于任意向量X,它可以表示为 x= 1X1+ 2X2+ …+ n X n 其中，（1, 2,…,n）T为X的坐标。 由此定义C n（或R n）中的范数如下： || ||C = （） = || 1X1+ 2X2+ …+ n X n|| 则容易验证|| ||C确实为C n中的范数. 2?反之，若|| |C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||X||= （X）=|| ||c 其中X= 1X1+ 2X2+ …+ n X n。 则容易验证（X）确实为V n的范数。 这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维 复（或实）列向量空间的范数之间的关系。这也是为我们只讨论n 维复（或实）列向量空间的范数的理由. 范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。 范数与函数 性质 1. 范数是凸函数， 即|| （1 ）X+ y|| （1 ）||X||+ ||y|| 其中0
矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用
§7矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用 1.矩阵函数的性质： 设n n C B A ?∈. 1． A e Ae e dt d At At At ?== proof : 由 ()∑∑ ?==∞ =m m m m At A t m At m e !1! 1 对任何t 收敛。因而可以逐项求导。 ()∑∞=--=∴01!11m m m At A t m e dt d ()()???? ??-?=∑∞=-11!11m m At m A ()??? ? ???=∑k At k A !1At e A ?= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ?=???? ? ??-=?-=∑∑∞ =∞=---0111 1!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质 2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =? ②．B A A B B A e e e e e +=?=? ③．()()A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=?+=+-=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =?= 而∑∑∞ =∞==?? ? ??=00!1!1m m m m m m At B A t m B t A m B e ()∑∑∞ =∞ =?==00!1!1m m m m m At m B BA t m At e B ?= ②令()Bt At B A e e e t C --+??=)( 由于 ()0=t C dt d )(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =-?===000)0()1()( 当1=t 时，E e e e B A B A =??--+ …………………. （@）
常用矩阵函数
请特别注意红色字体的命令 eye 单位矩阵 zeros 全零矩阵 ones 全1矩阵 rand 均匀分布随机阵genmarkov 生成随机Markov矩阵linspace 线性等分向量 logspace 对数等分向量 logm 矩阵对数运算 cumprod 矩阵元素累计乘cumsum 矩阵元素累计和 toeplitz Toeplitz矩阵 disp 显示矩阵和文字内容 length 确定向量的长度 size 确定矩阵的维数 diag 创建对角矩阵或抽取对角向量find 找出非零元素1的下标matrix 矩阵变维 rot90 矩阵逆时针旋转90度 sub2ind 全下标转换为单下标 tril 抽取下三角阵 triu 抽取上三角阵 conj 共轭矩阵 companion 伴随矩阵 det 行列式的值 norm 矩阵或向量范数 nnz 矩阵中非零元素的个数 null 清空向量或矩阵中的某个元素orth 正交基 rank 矩阵秩 trace 矩阵迹 cond 矩阵条件数 inv 矩阵的逆 rref 求矩阵的行阶梯形 rcond 逆矩阵条件数 lu LU分解或高斯消元法 pinv 伪逆 qr QR分解 givens Givens变换 linsolve 求解线性方程 lyap Lyapunov方程 hess Hessenberg矩阵 poly 特征多项式 schur Schur分解
expm 矩阵指数 expm1 矩阵指数的Pade逼近 expm2 用泰勒级数求矩阵指数 expm3 通过特征值和特征向量求矩阵指数 funm 计算一般矩阵函数 logm 矩阵对数 sqrtm 矩阵平方根 spec 矩阵特征值 gspec 矩阵束特征值 bdiag 块矩阵，广义特征向量 eigenmar- 正则化Markov特征 kov 向量 pbig 特征空间投影 svd 奇异值分解 sva 奇异值分解近似 cumprod 元素累计积 cumsum 元素累计和 hist 统计频数直方图 max 最大值 min 最小值 mean 平均值 median 中值 prod 元素积 sort 由大到小排序 std 标准差 sum 元素和 trapz 梯形数值积分 corr 求相关系数或方差 sparse 稀疏矩阵 adj2sp 邻接矩阵转换为稀疏矩阵 full 稀疏矩阵转换为全矩阵 mtlb_sparse 将scilab稀疏矩阵转换为matlab稀疏矩阵格式sp2adj 将稀疏矩阵转换为邻接矩阵 speye 稀疏矩阵方式单位矩阵 sprand 稀疏矩阵方式随机矩阵 spzeros 稀疏矩阵方式全零阵 lufact 稀疏矩阵LU分解 lusolve 稀疏矩阵方程求解 spchol 稀疏矩阵Cholesky分解
矩阵函数以与应用毕业设计_说明
矩阵函数以及应用毕业设计 1 绪论 1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史 人们对矩阵（Matrix）的研究历史非常悠久，在很久以前就已经有人研究过了幻方和拉丁方阵。在过去的很长时间内，矩阵都是人们解决线性问题的最主要方法。成书于汉朝前期的《九章算术》，在表示线性方程组的过程中使用了将方程中不同系数分开的方法，这种方法在后来的不断演化下最终得到方程的增广矩阵。在计算的过程中经常使用矩阵的初等变换进行消元，具体说就是通过一些计算技巧将前面给出的增广矩阵化为行最简型。但是当时我们能知道的矩阵知识非常的少，虽然过去的标准和现在的矩阵在表示上已经非常的类似了，但这两者都是以线性方程为基本标准。事实上子宫基质的控制中心和开始生活意义的地方是矩阵最开始的意义，所以说矩阵有生命的意义。在数学中，开始出现的是对现在数学都有决定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最终的排成的表都是方的，随着研究的深入人们发现行数等于列数的行列式已经无法满足现实生活中的实际需要了。在这种情况下，矩阵应运而生。现在对于我们来说非常熟悉的矩阵和行列式，它们的概念是非常的不一样的。行列式能按照我们的规则计算出它的结果，而矩阵是将数字按一定顺序排列得到的。在学术研究中恰当地使用矩阵，能用向量空间中的向量表示线性方程组中系数矩阵；因此，一个多元线性方程组的解的情况，以及一系列问题的理论解之间的不同关系，都可以得到彻底解决。矩阵都有自身的行和列，水平的称之为行，竖直的称之为列。这些我们现在能看到的关于矩阵的一切都是由无数数学家的摸索得来的。 矩阵（Matrix）在数学发展历史上有着非常重要的位置，它一直是数学研究的一个主要方面，是数学在研究和应用过程中经常用到的知识。“矩阵”由英国数学家叶（Sylvester）第一次使用，他使用的这个数学术语最后将矩阵的列数和早期的行列式分离开来。在数学
常见的matlab的运算函数
三角函数： （）里如果是角度必须是弧度，如果是矩阵的话则为对每个元素执行。cos(),tan()也是一样。 以2为底对数函数：log2（4）=2 以10为底对数函数：log10() 自然对数：log（） 绝对值函数：abs（-2）=2 平方根函数：sqrt（2）=1.41 符号函数：sign（正数）=1 sign(负数)=-1 sign(0)=0 天花板函数ceil（）向大的方向 地板函数floor（）向小的方向 fix()向0的方向 圆整函数round()对数进行4舍5入，负数的话也对对应的正数4舍5入
取模函数 mod（5，3）=2 rem（5，3）=2 区别rem（-5，3）=-2 mod（-5，3）=1 多项式相乘函数：
conv（）deconv（）是相除 取最大和最小函数： max() min() 图中b为行向量或者是列向量 如果（）里为矩阵，则输出每列的最大值（以行向量的形式）如果要求矩阵的最大值max（max（A）） mean（A）输出对应每列的平均值（以行向量的形式）
向量的求和和求积：
整个矩阵的总和sum（sum（A）），求积函数prod同理
多项式乘多项式展开的表达式： [1,1]表示x+1，1 2 1的意思是x^2+2*x+1 复数的函数 real（1+2i）=1(取实部) imag(1+2i)=2(取虚部) abs（1+2i）=2.23 angle（1+2i）=1.107 （在坐标系中对应的角度，即arctan 2=1.107 ）取共轭复数： （1+2i）’=1-2i conj（1+2i）=1-2i dot（a，b）向量的内积 det（a）求行列式的值
常用矩阵运算函数
（一）矩阵函数 ⒈A =16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 1 5 14 1 det(A);%矩阵的行列式 ⒉R = rref(A)% A的简化行阶梯型矩阵 3.X = inv(A)%矩阵的逆 4. e = eig(A)%特征值 5. poly(A)% 特征多项式中的系数 是 1 -34 -64 2176 0 这表明特征多项式 det( A - I ) 是 4 - 343 - 642 + 2176 常数项是零，因为矩阵是奇异的，立方项系数是-34，6. 7. mu = mean(D), sigma = std(D)%均值，标准差 8. 要查看MATLAB中可用的一系列数据分析函数，键入 help datafun
如果你想使用统计工具箱，键入 help stats 9.T F = isprime(A) 返回一个和A大小相同的数组，当A中的元素为素数时数组对应元素为逻辑1（真），否则为逻辑0（假），A中必须仅仅包含正整数。 find函数确定已给逻辑条件的数组元素的指标。以它最简单的形式，返回一个指标的列向量。求这个向量的转置以获得一个指标的单行矩阵。例如： k = find(isprime(A))' 用一维标定指数挑选出素数在魔方中的位置。 k = 2 5 9 10 11 13 以按照k决定的次序的行向量展示这些素数，有 A(k) ans = 5 3 2 11 7 13 （二）命令行的编辑 1.
2．根据输入的不同，plot函数有不同的窗体。如果y是向量的形式，plot(y) 则在y对应的轴上作出一个分段线状图。如果指定要求含两个向量时，则 plot(x,y)作出一个y相对于x的图表。 例如：下面这些语句了用colon（冒号）算子来创建一个定义值取从0到2的向量x，计算出这些值的正弦函数值，然后画出结果。 x = 0:pi/100:2*pi; y = sin(x); plot(x,y) 现在给轴加上标签和标题，用\pi作符号。 xlabel('x = 0:2\pi') ylabel('Sine of x') title('Plot of the Sine Function','FontSize',12) 一个函数作图命令plot使不同的(x-y)变元函数生成不同的函数图象。MATLAB 自动地通过预设地颜色库来区别不同的函数（也可用户自设）。例如，以下是三个x的相关函数的图象，每条曲线都由各自不同的颜色加以区分。 y2 = sin(x-.25); y3 = sin(x-.5); plot(x,y,x,y2,x,y3) legend命令提供一种简易方式来辨别不同的函数作图。 legend('sin(x)','sin(x-.25)','sin(x-.5)')
Matlab中矩阵函数
矩阵转置用符号“`”来表示和实现。 例如：A=[1 2 3；4 5 6 ；7 8 9 ]； B=A`↙ B=1 4 7 2 5 8 3 6 9 如故Z是复数矩阵，则Z`为它们的复数共轭转置矩阵，非共轭转置矩阵使用Z.`或conj(Z`)。 size(a) [d1,d2,d3,..]=size(a) 求矩阵的大小，对m*n二维矩阵，第一个为行数m,第二个为列数n； 对多维矩阵，第N个为矩阵第N维的长度。 cat(k,a,b) 矩阵合并,运行a = magic(3) b = pascal(3) c = cat(4,a,b) 改4为3或2或1，自己体会合并后的效果。 k=1,合并后形如[a;b],行添加矩阵（要求a,b的列数相等才能合并）；k=2,合并后形如[a,b],列添加矩阵（要求a,b的行数相等才能合并）,以此类推,n维的矩阵合并，要求n-1维维数相等才可以）。 fliplr(a) 矩阵左右翻转 flipud(a) 矩阵上下翻转
rot90(a) rot90(a,k) 矩阵逆时针旋转90度（把你的头顺时针旋转90看原数就可以知道结果了,^-^） k参数定义为逆时针旋转90*k度。 flipdim(a,k) 矩阵对应维数数值翻转,如k=1时，行(上下)翻转，k=2时，列(左右)翻转。 tril(a) tril(a,k) 矩阵的下三角部分（包括对角线元素），对应k=0时的取值数。 k参数设置为正负数值对应对角线向上或向下移动k行划分下三角元素。 triu(a) tril(a,k) 矩阵的上三角部分（包括对角线元素），对应k=0时的取值数。 k参数设置为正负数值对应对角线向上或向下移动k行划分上三角元素。 diag(a) diag(a,k) 生成对角矩阵或取出对角元素，对应k=0时的取值数。 k参数设置为正负数值对应对角线向上或向下移动k行取对角元素或生成对角矩阵。 repmat(a,m,n) 矩阵复制,把矩阵a作为一个单位计算，复制成m*n 的矩阵，其每一元素都含一个矩阵a,实际结果为一个size(a,1)*m
MATLAB常用矩阵函数
1. 矩阵的构造与操作 zeros 生成元素全为0的矩阵 ones 生成元素全为1的矩阵 eye 生成单位矩阵 rand 生成随机矩阵 randn 生成正态分布随机矩阵 sparse 生成稀疏矩阵 full 将稀疏矩阵化为普通矩阵 diag 对角矩阵 tril 矩阵的下三角部分 triu 矩阵的上三角部分 flipud 矩阵上下翻转 fliplr 矩阵左右翻转 MATLAB还能够构造一些常用的特殊矩阵 2. 矩阵运算函数 norm 矩阵或向量范数 normest 稀疏矩阵（或大规模矩阵）的2-范数估计 rank 矩阵的秩 det 方阵的行列式 trace 方阵的迹 null 求基础解系（矩阵的零空间） orth 正交规范化 rref 矩阵的行最简形（初等行变换求解线性方程组）subspace 计算两个子空间的夹角
3. 与线性方程有关的矩阵运算函数 inv 方阵的逆 cond 方阵的条件数 condest 稀疏矩阵1-范数的条件数估计 chol 矩阵的Cholesky分解（矩阵的平方根分解）cholinc 稀疏矩阵的不完全Cholesky分解 linsolve 矩阵方程组的求解 lu 矩阵的LU分解 ilu 稀疏矩阵的不完全LU分解 luinc 稀疏矩阵的不完全LU分解 qr 矩阵的正交三角分解 pinv 矩阵的广义逆 4. 与特征值或奇异值有关的矩阵函数 eig 方阵的特征值与特征向量 svd 矩阵的奇异值分解 eigs 稀疏矩阵的一些（默认6个）最大特征值与特征向量svds 矩阵的一些（默认6个）最大奇异值与向量 hess 方阵的Hessenberg形式分解 schur 方阵的Schur分解
矩阵函数的性质及其应用
§7 矩阵函数的性质及其应用 一、矩阵函数的性质： 设n n C B A ?∈. 1． A e Ae e dt d At At At ?== proof : 由 ()∑∑ ?==∞ =m m m m At A t m At m e !1! 1 对任何t 收敛。因而可以逐项求导。 ()∑∞=--=∴01!11m m m At A t m e dt d ()()???? ??-?=∑∞=-11!11m m At m A ()???? ???=∑k At k A !1 At e A ?=()()()A e A At m A A t m At m m m m m ?=???? ? ??-=?-=∑∑∞ =∞=---01111!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质 2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =? ②．B A A B B A e e e e e +=?=? ③．()()A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=?+=+-=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =?= 而∑∑∞ =∞==?? ? ??=00!1!1m m m m m m At B A t m B t A m B e ()∑∑∞ =∞ =?==00!1!1m m m m m At m B BA t m At e B ?=
②令()()A B t At Bt C t e e e +--=?? 由于 ()0=t C dt d )(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =-?===000)0()1()( 当1=t 时，E e e e B A B A =??--+ …………………. （@） 特别地 A B -= 有E e e e A A =??-0 ∴ 有 () A A e e --=1 ∴ 同理有() B B e e --=1 代入（@）式 因而有B A B A e e e ?=+ 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 ①A i A e iA sin cos += () () iA iA iA iA e e i A e e A ---= += ?21sin 2 1cos ②()()A A A A sin sin cos cos -=-=- 4.E A A =+22cos sin ()()A E A A E A cos 2cos sin 2sin ππ+=+ A E i A e e =+π2 二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解 AX dt dX = 其中()T n n n x x x X C A ,,,21 =∈? 则有()K e t X At ?=，其中() T n k k k K ,,,21 =
5.1-矩阵运算函数
矩阵运算函数
一、实验基础：线性代数知识 快速了解相关函数： 矩阵A的对角阵diag(diag(A)) 获取上三角阵(upper)triu(A) 获取下三角阵(lower)tril(A) 解线性方程组Ax=b A\b或者inv(A)*b 矩阵的特征值、特征向量[V,D]=eig(A)
1、解线性方程组Ax=b MATLAB命令：A\b 示例结果 >>A=rand(3,3); x_true=rand(3,1) b=A*x_true; x_comp=A\b x_true= 0.9649 0.1576 0.9706 x_comp= 0.9649 0.1576 0.9706
2、矩阵特征值 定义设A是n阶方阵，若非零向量α和数λ满足 Aα＝λα 称λ为A的一个特征值，称α为A对应于λ的一个特征向量。 ●lambda=eig(A) ——计算A的特征值，这里lambda是A的全部特征值构成的列向量。 ●[P, D]=eig(A) ——计算出A的全部特征值和对应的特征向量。其中，D是对角矩阵，保存A的全部特征值；P是满阵，P的列向量构成对应于D的特征向量组。
例1. 计算矩阵的特征值和特征向量。 A =-110-430102?è????? ÷ ÷÷>> A = [-1 1 0; -4 3 0;1 0 2]; >> lambda = eig(A)lambda =211 >> [P, D] = eig(A)P = 0 0.4082 0.40820 0.8165 0.81651.0000 -0.4082 -0.4082D = 2 0 00 1 00 0 1
MATLAB常用矩阵函数
zeros 生成元素全为0的矩阵 ones 生成元素全为1的矩阵 eye 生成单位矩阵 rand 生成随机矩阵 randn 生成正态分布随机矩阵 sparse 生成稀疏矩阵 full 将稀疏矩阵化为普通矩阵 diag 对角矩阵 tril 矩阵的下三角部分 triu 矩阵的上三角部分 flipud 矩阵上下翻转 fliplr 矩阵左右翻转 MATLAB还能够构造一些常用的特殊矩阵 2. 矩阵运算函数 norm 矩阵或向量范数 normest 稀疏矩阵（或大规模矩阵）的2-范数估计 rank 矩阵的秩 det 方阵的行列式 trace 方阵的迹 null 求基础解系（矩阵的零空间） orth 正交规范化 rref 矩阵的行最简形（初等行变换求解线性方程组）
subspace 计算两个子空间的夹角 3. 与线性方程有关的矩阵运算函数 inv 方阵的逆 cond 方阵的条件数 condest 稀疏矩阵1-范数的条件数估计 chol 矩阵的Cholesky分解（矩阵的平方根分解）cholinc 稀疏矩阵的不完全Cholesky分解 linsolve 矩阵方程组的求解 lu 矩阵的LU分解 ilu 稀疏矩阵的不完全LU分解 luinc 稀疏矩阵的不完全LU分解 qr 矩阵的正交三角分解 pinv 矩阵的广义逆 4. 与特征值或奇异值有关的矩阵函数 eig 方阵的特征值与特征向量 svd 矩阵的奇异值分解 eigs 稀疏矩阵的一些（默认6个）最大特征值与特征向量svds 矩阵的一些（默认6个）最大奇异值与向量 hess 方阵的Hessenberg形式分解 schur 方阵的Schur分解
matlab矩阵运算函数
一、Matlab矩阵运算 1.变数也可用来存放向量或矩阵，并进行各种运算.如下面的列向量运算： x=[1 3 5 2]; y=2*x+1 y = 3 7 11 5 2.变数命名的规则 (1)第一个字母必须是英文字母 (2)字母间不可留空格 (3)最多只能有19个字母，MATLAB会忽略多余字母 我们可以随意更改、增加或删除向量的元素： y(3) = 2 %更改第三个元素 y = 3 7 2 5 y(6) = 10 %加入第六个元素 y = 3 7 2 5 0 10 y(4) = [] %删除第四个元素 y = 3 7 2 0 10 MATLAB会忽略所有在百分比符号(%)之后的文字，因为百分比之后的文字为程式的注解 量，具体执行方法为:输入A矩阵 >>A=[0 1;-6 -5] A= 0 1 -6 -5 E=eig(A) %求出方阵A的特征根E E= -2 -3 [V,D]=eig(A) %求出方阵A的特征向量V及其A的对角型D V= 0.4472 -0.3162 -0.8944 0.9487 D=
-2 0 0 -3 4.考虑一个“数学问题”, 该问题用半数学语言描述就是：如何生成一个 3x3 矩阵, 并将自然数 1, 2, ..., 9 分别置成这 9 个矩阵元素，才能使得每一行、每一列、且主、反对角线上元素相加都等于一个相同的数。这样的矩阵称为“魔方矩阵”。用 MATLAB 的 magic() 函数，我们可以由下面的命令立即生成这样的矩阵： >>A=magic(3) A= 8 1 6 3 5 7 4 9 2 还可以由B=magic(10)一次生成 10x10 的魔方矩阵。如果想求出矩阵的行列式和特征值，可以分别由 det(B) 与 eig(B) 立即得出结果 二、特殊矩阵 zeros函数是形成元素皆为0 的矩阵；ones函数是形成元素皆为 1 的矩阵；eye则是产生一个单位矩阵，之所以称为eye是取其发音与原来单位矩阵符号I 相同，而又避免与定义复数中的虚部所用的符号i雷同，所以改以eye替代。上述三个函数的使用语法都相似，如zeros(m)可以产生一个m×m的正方矩阵，而zeros(m,n)产生的是m×n的矩阵。也可以使用这三个函数将一m×n矩阵原来元素全部取代成0, 1 或是单位矩阵的值，不过要加上size指令来指出其矩阵大小是m,n，所以语法为zeros(size(A))，其中A是原来矩阵。 >> A=zero(2) %0的矩阵 A= 0 0 0 0 >> B=zeros(2,3) B= 0 0 0 0 0 0 >> C=[1 2; 3 4; 5 6]; >> size(C) %使用 size 指令得到C矩阵的大小 ans = 3 2 >>D=zeros(size(C)) %加上size指令将矩阵C 原来的元素全部以0取代 >>A=ones(2),B=ones(2,3) %1的矩阵 A= 1 1 1 1 B= 1 1 1 1 1 1 三、Matlab矩阵运算函数
MATLAB常用矩阵函数1
1.矩阵的构造与操作 zeros生成元素全为0的矩阵 ones生成元素全为1的矩阵 eye生成单位矩阵 rand生成随机矩阵 randn生成正态分布随机矩阵 sparse生成稀疏矩阵 full将稀疏矩阵化为普通矩阵 diag对角矩阵 tril矩阵的下三角部分 triu矩阵的上三角部分 flipud矩阵上下翻转 fliplr矩阵左右翻转 MATLAB还能够构造一些常用的特殊矩阵 2.矩阵运算函数 norm矩阵或向量范数 normest稀疏矩阵（或大规模矩阵）的2-范数估计rank矩阵的秩 det方阵的行列式 trace方阵的迹 null求基础解系（矩阵的零空间） orth正交规范化 rref矩阵的行最简形（初等行变换求解线性方程组）subspace计算两个子空间的夹角
3.与线性方程有关的矩阵运算函数 inv方阵的逆 cond方阵的条件数 condest稀疏矩阵1-范数的条件数估计 chol矩阵的Cholesky分解（矩阵的平方根分解）cholinc稀疏矩阵的不完全Cholesky分解 linsolve矩阵方程组的求解 lu矩阵的LU分解 ilu稀疏矩阵的不完全LU分解 luinc稀疏矩阵的不完全LU分解 qr矩阵的正交三角分解 pinv矩阵的广义逆 4.与特征值或奇异值有关的矩阵函数 eig方阵的特征值与特征向量 svd矩阵的奇异值分解 eigs稀疏矩阵的一些（默认6个）最大特征值与特征向量svds矩阵的一些（默认6个）最大奇异值与向量hess方阵的Hessenberg形式分解 schur方阵的Schur分解
a= 0.50000.80800.16600.81800.44400.1000 0.5810 1.35800.18700.72800.54500.1680 0.9960 2.05000.2250 1.78600.63200.2020 这有个我们以前的MATLAB幂法求特征值和特征响量的程序：[maxnorm.m] function t=maxnorm(a) %求数列中按模最大的分量 n=length(a); t=0; for i=1:n if abs(a(i)/max(abs(a)))>=1 t=a(i); end end function[mt,my]=maxtr(a,eps) %用幂法求矩阵的主特征值和对应的特征向量 n=length(a); x0=diag(ones(n)); k=1 x=a*x0 while norm(x-x0)>eps k=k+1 q=x; y=x/maxnorm(x) x=a*y; x0=q; end mt=maxnorm(x) my=y [main1.m] a=[32;45] maxtr(a,0.0001) [invmaxtr.m] function[mx,mt,my]=invmaxtr(a,eps)