初三中考一轮复习(18)矩形菱形正方形 题型分类 含答案(全面 非常好)
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵∠1=∠2，∠4=∠5，
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∴四边形AECF是矩形．
考点二：菱形的性质及判定的应用。
例2 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
【解答】解：（1）四边形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，
∴OE∥BC
又CE∥BD
∴四边形BCEO是平行四边形；
∴OE=BC=8（7分）
∴S四边形OCED=错误!未找到引用源。
OE•CD=错误!未找到引用源。
×8×6=24．
考点三：正方形的性质及判定的应用。
例3如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140︒，求∠AFE的度数．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴CD＝CB，
∵AC是正方形的对角线∴∠DCA＝∠BCA
又CE ＝CE∴△BEC≌△DEC
(2）∵∠DEB ＝ 140︒
由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140︒÷2＝70︒，
∴∠AEF ＝∠BEC＝70︒，
又∵AC是正方形的对角线，∠DAB＝90︒∴∠DAC ＝∠BAC＝90︒÷2＝45︒，
A
B
C
D
E
F
在△AEF 中，∠AFE ＝180︒— 70︒— 45︒＝65︒ 考点四 ：中点四边形
顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
例4 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．
（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
【解答】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．证明：连接AC 、BD ，∵E 、F 、
G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥AC ，EF =错误!未找到引用源。
2
1AC ，HG ∥AC ，HG =2
1
错误!未找到引用源。
AC ，GF =2
1错误!未找到引用源。
BD ，∴EF =HG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．
（2）添加的条件是AC =BD ．
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，
以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________.
4. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．
求证：△ACE≌△ACF．
A
B C
D
E
F。
2020浙江新中考数学一轮复习第18讲 矩形、菱形与正方形
∴BM＝52或152.
1．(2018·湘潭)如图，已知点 E、F、G、H 分别是菱形
ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 是( B )
A．正方形
B．矩形
5．(2019·宁波)如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱 形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F、H 在菱形 ABCD 的对角 线 BD 上． (1)求证：BG＝DE； (2)若 E 为 AD 中点，FH＝2，求菱形 ABCD 的周长．
【答案】(1)证明：在矩形 EFGH 中，EH＝FG，EH∥FG. ∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC. ∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)， ∴BG＝DE.
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
【答案】(1)①16 ②24 ③8 3 (2)D
【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭 示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形 条件、已知条件综合判定．
2．(2019·河北)如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，
则∠1＝( D )
10 时，△DOE 的周长是 12.则正确结论的序号是①__②__③___⑤_．⑦
【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件 综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭 示图形的数量关系是解题关键．
1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有
的性质是( C )
中考数学总复习《矩形、菱形、正方形》专项测试卷含答案
中考数学总复习《矩形、菱形、正方形》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A层·基础过关1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )A.AB∥CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D2.如图所示,在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是( )A.点O为矩形ABCD的对称中心B.点O为线段AB的对称中心C.直线BD为矩形ABCD的对称轴D.直线AC为线段BD的对称轴3.如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为( )A.20°B.60°C.70°D.80°4.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠ACB=∠ACD5.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为( )A.12B.1C.√32D.√36.(2024·上海)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=°.7.(2024·龙东)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件,使得菱形ABCD为正方形.8.(2024·遂宁)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.(1)实践与操作①任意作两条相交的直线,交点记为O;②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该判定定理是:.(2)猜想与证明通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.B层·能力提升9.(2024·泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+1FG的最小值是( )2A.4B.5C.8D.1010.(2024·贵州)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.若sin∠EAF=4,AE=5,则AB的长为.511.(2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为3√2,对角线AC,BD相交于点O,点E 在CA的延长线上,OE=5,连接DE.(1)线段AE的长为;(2)若F为DE的中点,则线段AF的长为.C层·挑战冲A+12.(2024·济宁)综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1,矩形ABCD中,AB>AD且AB足够长)进行探究活动.【动手操作】如图2,第一步,沿点A所在直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,连接EF,把纸片展平.第二步,把四边形AEFD折叠,使点A与点E重合,点D与点F重合,折痕为GH,再把纸片展平.第三步,连接GF.【探究发现】根据以上操作,甲、乙两同学分别写出了一个结论.甲同学的结论:四边形AEFD是正方形.乙同学的结论:tan∠AFG=1.3(1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确,写出证明过程;若不正确,请说明理由.【继续探究】在上面操作的基础上,丙同学继续操作.如图3,第四步,沿点G所在直线折叠,使点F落在AB上的点M处,折痕为GP,连接PM,把纸片展平.第五步,连接FM交GP于点N.根据以上操作,丁同学写出了一个正确结论:FN·AM=GN·AD.(2)请证明这个结论.参考答案A层·基础过关1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(C)A.AB∥CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D2.如图所示,在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是(A)A.点O为矩形ABCD的对称中心B.点O为线段AB的对称中心C.直线BD为矩形ABCD的对称轴D.直线AC为线段BD的对称轴3.如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为(C)A.20°B.60°C.70°D.80°4.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(C)A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠ACB=∠ACD5.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为(D)A.12B.1C.√32D.√36.(2024·上海)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=57°.7.(2024·龙东)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件AC=BD(答案不唯一),使得菱形ABCD为正方形.8.(2024·遂宁)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.(1)实践与操作①任意作两条相交的直线,交点记为O;②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该判定定理是:.【解析】(1)∵OA=OC,OB=OD∴四边形ABCD的对角线互相平分∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).答案:对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)猜想与证明通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.【解析】(2)∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD =BC∴在△BAD 和△ABC 中,{AB =BAAD =BC BD =AC∴△BAD ≌△ABC (SSS) ∴∠BAD =∠ABC ∵AD ∥BC∴∠BAD +∠ABC =180° ∴∠BAD =∠ABC =90°∴四边形ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).B 层·能力提升9.(2024·泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD 中,点E ,F 分别是边AB ,BC 上的动点,且满足AE =BF ,AF 与DE 交于点O ,点M 是DF 的中点,G 是边AB 上的点,AG =2GB ,则OM +12FG 的最小值是(B)A .4B .5C .8D .1010.(2024·贵州)如图,在菱形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,CD 的中点,连接AE ,AF .若sin ∠EAF =45,AE =5,则AB 的长为2√653.11.(2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为3√2,对角线AC,BD相交于点O,点E 在CA的延长线上,OE=5,连接DE.(1)线段AE的长为2;.(2)若F为DE的中点,则线段AF的长为√102C层·挑战冲A+12.(2024·济宁)综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1,矩形ABCD中,AB>AD且AB足够长)进行探究活动.【动手操作】如图2,第一步,沿点A所在直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,连接EF,把纸片展平.第二步,把四边形AEFD折叠,使点A与点E重合,点D与点F重合,折痕为GH,再把纸片展平.第三步,连接GF.【探究发现】根据以上操作,甲、乙两同学分别写出了一个结论.甲同学的结论:四边形AEFD是正方形.乙同学的结论:tan∠AFG=1.3(1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确,写出证明过程;若不正确,请说明理由.【继续探究】在上面操作的基础上,丙同学继续操作.如图3,第四步,沿点G所在直线折叠,使点F落在AB上的点M处,折痕为GP,连接PM,把纸片展平.第五步,连接FM交GP于点N.根据以上操作,丁同学写出了一个正确结论:FN·AM=GN·AD.(2)请证明这个结论.【解析】(1)甲同学和乙同学的结论都正确,证明如下∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠BAD=90°∵折叠,∴∠D=∠AEF=90°=∠DAE,AD=AE,∴四边形AEFD是正方形;故甲同学的结论正确.过点G作GK⊥AF于点K设AE=2x,则AG=EG=x ∵四边形AEFD是正方形∴∠EAF=45°∴AF=2√2x,AK=KG=√22AG=√22x∴KF=AF-AK=3√22x∴tan∠AFG=KGKF =1 3 ;故乙同学的结论也正确.(2)方法一:过点G作GQ⊥PM,交PM的延长线于点Q∵折叠∴FP=PM,FG=GM,GH=GQ,∠FPG=∠MPG,PH=PQ∵AB∥CD,∴∠FPG=∠PGM∴∠PGM=∠MPG∴PM=GM∴PF=GM=PM=FG∴四边形FGMP是菱形∴∠FNG=90°∵∠GQP=90°=∠FNG,∠FGN=∠GPQ∴△GFN∽△PGQ∴FNGQ =GN PQ∴FN·PQ=GN·GQ∵AM=AG+GM=HF+FP=PH∴AM=PQ∵GQ=GH=AD∴FN·AM=GN·AD.方法二:连接DM,证△ADM∽△NFG也可.。
【中考数学分项真题】矩形菱形正方形(共42题)-(解析版)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第01期)专题18矩形菱形正方形(共42题)姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________一、单选题1．(2021·四川成都市·中考真题)如图,四边形ABCD 是菱形,点E ,F 分别在,BC DC 边上,添加以下条件不能判定ABE ADF ≌的是( )A ．BE DF =B ．BAE DAF ∠=∠C ．AE AD = D ．AEB AFD ∠=∠【答案】C【分析】 根据三角形全等判定定理SAS 可判定A ,三角形全等判定定理AAS 可判定B ,三角形全等判定定理可判定C ,三角形全等判定定理AAS 可判定D 即可．【详解】解: ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =AD ,∠B =∠D ,A . 添加BE DF =可以,在△ABE 和△ADF 中,AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ABE ADF ≌(SAS ),故选项A 可以;B .添加 BAE DAF ∠=∠可以,在△ABE 和△ADF 中BAE DAF B DAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴ABE ADF ≌(AAS );故选项B 可以;C . 添加AE AD =不可以,条件是边边角故不能判定;故选项C 不可以;D . 添加AEB AFD ∠=∠可以,在△ABE 和△ADF 中BEA DFA B DAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴ABE ADF ≌(SAS )．故选项D 可以;故选择C ．【点睛】本题考查添加条件判定三角形全等,菱形性质,掌握三角形全等判定定理,菱形性质是解题关键．2．(2021·四川遂宁市·中考真题)如图,在矩形ABCD 中,AB ＝5,AD ＝3,点E 为BC 上一点,把△CDE 沿DE 翻折,点C 恰好落在AB 边上的F 处,则CE 的长是( )A ．1B ．43C ．32D ．53【答案】D【分析】 设CE =x ,则BE =3-x 由折叠性质可知,EF =CE =x ,DF =CD =AB =5,所以AF =4,BF =AB -AF =5-4=1,在Rt △BEF 中,由勾股定理得(3-x )2+12=x 2,解得x 的值即可．【详解】解:设CE =x ,则BE =3-x ,由折叠性质可知,EF =CE =x ,DF =CD =AB =5在Rt △DAF 中,AD =3,DF =5,∴AF =22534-=,∴BF =AB -AF =5-4=1,在Rt △BEF 中,BE 2+BF 2=EF 2,即(3-x )2+12=x 2,解得x =53, 故选:D ．【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题,熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．3．(2021·重庆中考真题)如图,正方形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,M 是边AD 上一点,连接OM ,过点O 做ON ⊥OM ,交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1,则AB 的长为( )A ．1B 2C ．2D ．22【答案】C【分析】 先证明()MAO NDO ASA ≅,再证明四边形MOND 的面积等于,DAO 的面积,继而解得正方形的面积,据此解题．【详解】解:在正方形ABCD 中,对角线BD ⊥AC ,90AOD ∴∠=︒ON OM ⊥90MON ∴∠=︒AOM DON ∴∠=∠又45,MAO NDO AO DO ∠=∠=︒=()MAO NDO ASA ∴≅MAO NDO S S ∴=四边形MOND 的面积是1,1DAO S ∴=∴正方形ABCD 的面积是4,24AB ∴=2AB ∴=故选:C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键．4．(2021·四川凉山彝族自治州·中考真题)下列命题中,假命题是( )A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B ．等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合C ．若AB BC =,则点B 是线段AC 的中点D ．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心【答案】C【分析】根据中点的定义,直角三角形的性质,三线合一以及外心的定义分别判断即可．【详解】解:A 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,故为真命题;B 、等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合,故为真命题;C 、若在同一条直线上AB =BC ,则点B 是线段AC 的中点,故为假命题;D 、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心,故为真命题;故选C ．【点睛】本题考查了中点的定义,直角三角形的性质,三线合一以及外心的性质,属于基础知识,要熟练掌握．5．(2021·四川泸州市·中考真题)下列命题是真命题的是( )A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】B【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断;B、根据矩形的判定定理作出判断;C、根据菱形的判定定理作出判断;D、根据正方形的判定定理作出判断．【详解】解:A、对角线互相平分的四边形是平行四边形;故本选项错误,不符合题意;B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形;故本选项正确,符合题意;C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;故本选项错误,不符合题意;D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;故本选项错误,不符合题意;故选:B．【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时,必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．6．(2021·浙江温州市·中考真题)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连结CG,延长BE交CG于点H．若2AE BE,则CGBH的值为( )A ．32B 2C ．3107D 35 【答案】C【分析】如图,设BH 交CF 于P ,CG 交DF 于Q ,根据题意可知BE =PC =DF ,AE =BP =CF ,根据2AE BE =可得BE =PE =PC =PF =DF ,根据正方形的性质可证明△FDG 是等腰直角三角形,可得DG =FD ,根据三角形中位线的性质可得PH =12FQ ,CH =QH =CQ ,利用ASA 可证明△CPH ≌△GDQ ,可得PH =QD ,即可得出PH =13BE ,可得BH =73BE ,利用勾股定理可用BE 表示长CH 的长,即可表示出CG 的长,进而可得答案．【详解】如图,设BH 交CF 于P ,CG 交DF 于Q ,∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD ,∴BE =PC =DF ,AE =BP =CF ,∵2AE BE =,∴BE =PE =PC =PF =DF ,∵∠CFD =∠BPC ,∴DF //EH ,∴PH 为△CFQ 的中位线,∴PH =12QF ,CH =HQ , ∵四边形EPFN 是正方形,∴∠EFN =45°,∵GD ⊥DF ,∴△FDG 是等腰直角三角形,∴DG =FD=PC ,∵∠GDQ =∠CPH =90°,∴DG //CF ,∴∠DGQ =∠PCH ,在△DGQ 和△PCH 中,GDQ CPH DG PC DGQ PCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△DGQ ≌△PCH ,∴PH =DQ ,CH =GQ ,∴PH =13DF =13BE ,CG =3CH , ∴BH =BE +PE +PH =73BE , 在Rt △PCH 中,CH =22221()3PC PH BE BE +=+=103BE , ∴CG =10BE ,∴10310773CG BE BH BE ==．故选:C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理,熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．7．(2021·安徽中考真题)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,120A ∠=︒,过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ,BC 的垂线,交各边于点E ,F ,G ,H ,则四边形EFGH 的周长为( )A ．33B ．23+C ．23+D ．13+【答案】A【分析】 依次求出OE =OF =OG =OH ,利用勾股定理得出EF 和OE 的长,即可求出该四边形的周长．【详解】∵HF ⊥BC ,EG ⊥AB ,∴∠BEO =∠BFO =90°,∵∠A =120°,∴∠B =60°,∴∠EOF =120°,∠EOH =60°,由菱形的对边平行,得HF ⊥AD ,EG ⊥CD ,因为O 点是菱形ABCD 的对称中心,∴O 点到各边的距离相等,即OE =OF =OG =OH ,∴∠OEF =∠OFE =30°,∠OEH =∠OHE =60°,∴∠HEF =∠EFG =∠FGH =∠EHG =90°,所以四边形EFGH 是矩形;设OE =OF =OG =OH =x ,∴EG =HF =2x ,()2223EF HG x x x ==-=,如图,连接AC ,则AC 经过点O ,可得三角形ABC 是等边三角形,∴∠BAC =60°,AC =AB =2,∴OA =1,∠AOE =30°,∴AE =12, ∴x =OE =2213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴四边形EFGH 的周长为EF +FG +GH +HE =332322323322x x +=⨯+⨯=+, 故选A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容,要求学生在理解相关概念的基础上学会应用,能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换,考查了学生的综合分析与应用的能力．8．(2021·重庆中考真题)如图,把含30°的直角三角板PMN 放置在正方形ABCD 中,30PMN ∠=︒,直角顶点P 在正方形ABCD 的对角线BD 上,点M ,N 分别在AB 和CD 边上,MN 与BD 交于点O ,且点O 为MN 的中点,则AMP ∠的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°【答案】C【分析】 根据斜边中线等于斜边一半,求出∠MPO =30°,再求出∠MOB 和∠OMB 的度数,即可求出AMP ∠的度数．【详解】解:∵四边形ABCD 是正方形中,∴∠MBO =∠NDO =45°,∵点O 为MN 的中点∴OM =ON ,∵∠MPN =90°,∴OM =OP ,∴∠PMN =∠MPO =30°,∴∠MOB =∠MPO+∠PMN =60°,∴∠BMO =180°-60°-45°=75°,180753075AMP ∠=︒-︒-︒=︒,故选:C ．【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练运用相关性质,根据角的关系进行计算．9．(2021·四川乐山市·中考真题)如图,已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点,过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线,垂足分别为点E 、F ．若120ABC ∠=︒,2AB =,则PE PF -的值为( )A ．32B 3C ．2D ．52【答案】B【分析】根据菱形的基性质,得到∠PAE =30°,,利用勾股理求出AC =23则AP =23PC ,PE =12AP 312PC ,由∠PCF =∠DCA =30°,得到PF =12PC ,最后算出结果． 【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC =120°,AB =2,∴AB=BC =CD =DA =2,∠BAD =60°,AC ⊥BD ,∴∠CAE =30︒,∵AC ⊥BD ,∠CAE =30°,AD =2,∴AC =2222-1=23, ∴AP =23+PC ,在直角△AEP 中,∵∠PAE =30°,AP =23+PC , ∴PE =12AP =3+12PC , 在直角△PFC 中,∵∠PCF =30°,∴PF =12PC , ∴PE PF -=3+12PC -12PC =3, 故选:B ．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,关键会在直角三角形中应用30°．10．(2021·四川自贡市·中考真题)如图,在正方形ABCD 中,6AB =,M 是AD 边上的一点,:1:2AM MD =．将BMA △沿BM 对折至BMN △,连接DN ,则DN 的长是( )A ．52B 95C ．3D ．55【答案】D【分析】延长MN 与CD 交于点E,连接BE,过点N 作NF CD ⊥,根据折叠的正方形的性质得到NE CE =,在Rt MDE 中应用勾股定理求出DE 的长度,通过证明MDE NFE ∽,利用相似三角形的性质求出NF 和DF 的长度,利用勾股定理即可求解．【详解】解:如图,延长MN 与CD 交于点E,连接BE,过点N 作NF CD ⊥,∵6AB =,M 是AD 边上的一点,:1:2AM MD =,∴2AM =,4DM =,∵将BMA △沿BM 对折至BMN △,四边形ABCD 是正方形,∴90BNE C ∠=∠=︒,AB AN BC ==,∴Rt BNE Rt BCE ≌(HL),∴NE CE =,∴2EM MN NE NE =+=+,在Rt MDE 中,设DE x =,则628ME x x =-+=-,根据勾股定理可得()22248x x +=-,解得3x =,∴3NE DE ==,5ME =,∵NF CD ⊥,90MDE ∠=︒,∴MDE NFE ∽, ∴25EF NF NE DE MD ME ===, ∴125NF =,95EF =, ∴65DF =,∴22655DN DF NF =+=, 故选:D ．【点睛】 本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容,做出合适的辅助线是解题的关键．11．(2021·浙江绍兴市·中考真题)如图,菱形ABCD 中,60B ∠=︒,点P 从点B 出发,沿折线BC CD -方向移动,移动到点D 停止．在ABP △形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是( )A ．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B ．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C ．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D ．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【分析】ABP 是特殊三角形,取决于点P 的某些特殊位置,按其移动方向,逐一判断即可．【详解】解:连接AC ,BD ,如图所示．∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =DA ,∠D =∠B ．∵∠B =60°,∴∠D =∠B =60°．∴ABC 和ADC 都是等边三角形．点P 在移动过程中,依次共有四个特殊位置:(1)当点P 移动到BC 边的中点时,记作1P ．∵ABC 是等边三角形,1P 是 BC 的中点,∴1AP BC ⊥．∴190APB ∠=︒． ∴1ABP 是直角三角形．(2)当点P 与点C 重合时,记作2P ．此时,2ABP 是等边三角形;(3)当点P 移动到CD 边的中点时,记为3P ．∵ABC 和ADC 都是等边三角形,∴3306090P AB ∠=︒+︒=︒．∴3ABP 是直角三角形．(4)当点P 与点D 重合时,记作4P ．∵4AB AP =,∴4ABP 是等腰三角形．综上,ABP 形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是:直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．故选:C【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定等知识点,熟知特殊三角形的判定方法是解题的关键．12．(2021·陕西中考真题)如图,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,连接AC 、BD ,则ACBD 的值为( )A ．12B ．22 C ．32 D ．33【答案】D【分析】设AC 与BD 的交点为O ,由题意易得1,2ABD CBD ABC AB BC ∠=∠=∠=,,,AC BD BO DO AO CO ⊥==,进而可得△ABC 是等边三角形,3BO =,然后问题可求解．【详解】解:设AC 与BD 的交点为O ,如图所示:∵四边形ABCD 是菱形, ∴1,2ABD CBD ABC AB BC ∠=∠=∠=,,,AC BD BO DO AO CO ⊥==, ∵60ABC ∠=︒,∴△ABC 是等边三角形,∴30,ABO AB AC ∠=︒=, ∴12AO AB =, ∴223OB AB AO OA -=, ∴23,2BD OA AC AO ==, ∴323AC BD OA==故选D ．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理,熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．(2021·山东临沂市·中考真题)数学知识在生产和生活中被广泛应用,下列实例所应用的最主要的几何知识,说法正确的是___(只填写序号)．①射击时,瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上,应用了“两点确定一条直线”;②车轮做成圆形,应用了“圆是中心对称图形”;③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成,应用了“菱形的对角线互相垂直平分”;④地板砖可以做成矩形,应用了“矩形对边相等”．【答案】①【分析】根据直线的性质,圆的性质,特殊四边形的性质分别判断即可．【详解】解:①射击时,瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上,应用了“两点确定一条直线”,故正确;②车轮做成圆形,应用了“同圆的半径相等”,故错误;③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成,应用了“菱形的四边相等”,故错误;④地板砖可以做成矩形,应用了“矩形的四个角是直角,可以密铺”,故错误;故答案为:①．【点睛】本题考查了直线的性质,圆的性质,特殊四边形的性质,都属于基本知识,解题的关键是联系实际,掌握相应性质定理．14．(2021·四川泸州市·中考真题)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC的中点,点F在CD上,且CF=3BF,AE,BF相交于点G,则AGF的面积是________．【答案】5611． 【分析】延长AG 交DC 延长线于M ,过G 作GH ⊥CD ,交AB 于N ,先证明△ABE ≌△MCE ,由CF =3DF ,可求DF =1,CF =3,再证△ABG ∽△MFG ,则利用相似比可计算出GN ,再利用两三角形面积差计算S △DEG 即可．【详解】解:延长AG 交DC 延长线于M ,过G 作GH ⊥CD ,交AB 于N ,如图,∵点E 为BC 中点,∴BE =CE ,在△ABE 和△MCE 中,ABE MCE BE CEAEB MEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ABE ≌△MCE (ASA),∴AB =MC =4,∵CF =3DF ,CF +DF =4,∴DF =1,CF =3,FM =FC +CM =3+4=7,∵AB∥MF ,∴∠ABG =∠MFG ,∠AGB =∠MGF ,∴△ABG ∽△MFG , ∴47AB GN MF GH ==, ∵4GN GH +=, ∴1628,1111GN GH ==, S △AFG =S △AFB -S △AGB =1111165644422221111AB HN AB GN ⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=,故答案为5611．【点睛】本题考查了正方形的性质,三角形全等判定与性质,三角形相似判定与性质,割补法求三角形面积,掌握正方形的性质,三角形全等判定与性质,三角形相似判定与性质,割补法求三角形面积,熟练运用相似比计算线段的长是解题关键．15．(2021·四川成都市·中考真题)如图,在矩形ABCD 中,4,8AB AD ==,点E ,F 分别在边,AD BC 上,且3AE =,按以下步骤操作:第一步,沿直线EF 翻折,点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上,点B 的对应点为'B ,则线段BF 的长为_______;第二步,分别在,'EF A B 上取点M ,N ,沿直线MN 继续翻折,使点F 与点E 重合,则线段MN 的长为_______．【答案】5【分析】连接AF ,NE ,NF ,证明出△AOE △ADC ,利用对应边成比例求出OE =355,再根据勾股定理求出BF 的长,利用勾股定理求出EF 25=,再根据折叠的性质,得到NF =NE ,最后得出结果．【详解】解:如图所示,连接AF ,NE ,NF ,∵点F 与点E 重合,∴MN ⊥EF ,设EF 与AA’交于点O ,由折叠的性质得到OA =OA’=3, 令BF =x ,则FC =8-x ,由勾股定理的:22222OF AF OA FC CO =-=- ,∵∠AOE =∠ADC ,∠OAE =∠DAC ∴△AOE △ADC ,∴OE AF DC AC= , 由勾股定理得到224845+= ,∴445OE , ∴OE =355,∴OA ,∴OC =∵22222OF AF OA FC CO =-=-,∴222224((8)(55x x +-=-- , 解得:1x =,∴BF 的长为1．设B’N =m ,B’F =1,则22222213(4)NF m NE m =+==+- ,解得:m =1,则FN ,∵EF =∴MF故答案为【点睛】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理的应用,关键在于画出图形,利用三角形相似和勾股定理求出各边的长度,特别注意点F 与点E 重合用到垂直平分线的性质．16．(2021·江苏扬州市·中考真题)如图,在ABC 中,AC BC =,矩形DEFG 的顶点D 、E 在AB 上,点F 、G 分别在BC 、AC 上,若4CF =,3BF =,且2DE EF =,则EF 的长为________．【答案】125【分析】根据矩形的性质得到GF∥AB,证明△CGF∽△CAB,可得72xAB=,证明△ADG≌△BEF,得到AD=BE=34x,在△BEF中,利用勾股定理求出x值即可．【详解】解:∵DE=2EF,设EF=x,则DE=2x,∵四边形DEFG是矩形,∴GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,∴44437GF CFAB CB===+,即247xAB=,∴72x AB=,∴AD+BE=AB-DE=722xx-=32x,∵AC=BC,∴∠A=∠B,又DG=EF,∠ADG=∠BEF=90°, ∴△ADG≌△BEF(AAS),∴AD=BE=1322x⨯=34x,在△BEF中,222BE EF BF+=,即222334x x⎛⎫+=⎪⎝⎭,解得:x=125或125-(舍),∴EF=125,故答案为:125．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,等边对等角,解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．17．(2021·云南中考真题)已知ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点,ABC∠的平分线与线段AC 交于点D．若ABC的一条边长为6,则点D到直线AB的距离为__________．【答案】332或626或632-【分析】将△ABC放入正方形中,分∠ABC=90°,∠BAC=90°,再分别分AB=BC=6,AC=6,进行解答．【详解】解:∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点,如图,若∠ABC=90°,则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线,D为对角线交点,过点D作DF⊥AB,垂足为F,当AB=BC=6,则DF=12BC=3;当AC=6,则AB=BC232∴DF=12BC=322;如图,若∠BAC=90°,过点D作DF⊥BC于F, ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,AD=DF,又∠BAD =∠BFD =90°,BD =BD ,∴△BAD ≌△BFD (AAS ),∴AB =BF ,当AB =AC =6,则BC =,∴BF =6,CF =6,在正方形ABEC 中,∠ACB =45°,∴△CDF 是等腰直角三角形,则CF =DF =AD =6;当BC =6,则AB =AC同理可得:6-,综上:点D 到直线AB 的距离为:3或2或6或6-,故答案为:3或2或6或6-． 【点睛】 本题考查了正方形的性质,角平分线的定义,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,知识点较多,解题时要结合题意画出符合题意的图形,分情况解答．18．(2021·山东泰安市·中考真题)如图,将矩形纸片ABCD 折叠(AD AB >),使AB 落在AD 上,AE 为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,E 点不动,将BE 边折起,使点B 落在AE 上的点G 处,连接DE ,若DE EF =,2CE =,则AD 的长为________．【答案】422+【分析】根据矩形的性质和正方形的性质,证明BEF GEF ≅△△,从而2BF FG ==,又因为)21AG FG AE EG AB ==-=,代入求解即可． 【详解】 解:∵四边形ABCD 是矩形,AB AB '=,∴AB CD =,AD BC =,90B C ∠=∠=,且四边形ABEB '是正方形,∴AB BE =,∴BE CD =,又∵DE EF =,∴BEF CDE ≅△△,∴2BF CE ==又∵BEF GEF ≅△△(折叠,∴2BF FG ==,BE GE =,90FGE B ∠=∠= ,设AB x =,则2AE x =, ∴)21AG AE GE AE BE AE AB x =-=-=-=, 又∵AE 是正方形ABEB '对角线,∴45GAF ∠= ,∴45AFG ∠= ,∴FG AG = , ∴)212x = ,解得:222x =,即222AB BE == , ∴2222422AD BC BE EC ==+=+=+．故答案为:4+22【点睛】本题考查的是矩形的性质,正方形的性质和判定,三角形全等等相关知识点,根据题意找到等量关系转换是解题的关键．19．(2021·江苏连云港市·中考真题)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,OE AD ⊥,垂足为E ,8AC =,6BD =,则OE 的长为______．【答案】125 【分析】直接利用菱形的性质得出AO ,DO 的长,再利用勾股定理得出菱形的边长,进而利用等面积法得出答案．【详解】 解:∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,且AC =8,DB =6, ∴AO =4,DO =3,∠AOD =90°,∴AD =5,在Rt ADO 中,由等面积法得:1122AO DO AD OE , ∴341255AO DOOEAD故答案为:125 ． 【点睛】 本题考查了菱形的性质,勾股定理,直角三角形斜边上的高的求法(等面积法),熟记性质与定理是解题关键．20．(2021·四川南充市·中考真题)如图,点E 是矩形ABCD 边AD 上一点,点F ,G ,H 分别是BE ,BC ,CE 的中点,3AF =,则GH 的长为________．【答案】3【分析】根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质,即可求解．【详解】∵在矩形ABCD 中,∠BAE =90°,又∵点F 是BE 的中点,3AF =,∴BE =2AF =6,∵G ,H 分别是BC ,CE 的中点,∴GH 是BCE 的中位线,∴GH =12BE =12×6=3, 故答案是:3．【点睛】本题主要考查矩形的性质,直角三角形的性质和三角形中位线的性质,熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半,是解题的关键．21．(2021·四川凉山彝族自治州·中考真题)菱形ABCD 中,对角线10, 24AC BD ==,则菱形的高等于___________． 【答案】12013【分析】过A 作AE ⊥BC ,垂足为E ,根据菱形的性质求出菱形边长,再利用菱形的面积公式得到方程,解之可得AE ．【详解】解:如图,过A 作AE ⊥BC ,垂足为E ,即AE 为菱形ABCD 的高,∵菱形ABCD 中,AC =10,BD =24,∴OB =12BD =12,OA =12AC =5,在Rt △ABO 中,AB =BC =22125+=13,∵S 菱形ABCD =12AC BD BC AE ⨯⨯=⨯,∴11024132AE ⨯⨯=⨯, 解得:AE =12013, 故答案为:12013．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用,能熟记菱形的性质是解此题的关键,注意:菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相平分且垂直．22．(2021·重庆中考真题)如图,在菱形ABCD 中,对角线12AC =,16BD =,分别以点A ,B ,C ,D 为圆心,12AB 的长为半径画弧,与该菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为__________．(结果保留π)【答案】96-25π【分析】先根据菱形的性质得出AB 的长和菱形的面积,再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,12AC =,16BD =,∴AC ⊥BD ,AO =6,BO =8; ∴2210AB OB OA =+=;∴菱形ABCD 的面积=1112169622AC BD ⨯=⨯⨯= ∵四个扇形的半径相等,都为152AB =,且四边形的内角和为360°, ∴四个扇形的面积=23605=25360ππ⨯, ∴阴影部分的面积=96-25π;故答案为:96-25π．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质,掌握扇形面积公式是解题的关键．23．(2021·四川遂宁市·中考真题)如图,正方形ABCD 中,点E 是CD 边上一点,连结BE ,以BE 为对角线作正方形BGEF ,边EF 与正方形ABCD 的对角线BD 相交于点H ,连结AF ,有以下五个结论:①ABF DBE ∠=∠;②ABF DBE ∽;③AF BD ⊥;④22BG BH BD =;⑤若:1:3CE DE =,则:17:16BH DH =,你认为其中正确是_____(填写序号)【答案】①②③④【分析】①四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形,BD ,BE 是对角线,得∠ABD ＝∠FBE ＝45°,根据等式的基本性质确定出ABF DBE ∠=∠;2倍,得到两边对应成比例,再根据角度的相减得到夹角相等,利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断;④根据两角相等的两个三角形相似得到△EBH ∽△DBE ,从而得到比例式,根据BE 2,代换即可作出判断;③由相似三角形对应角相等得到∠BAF ＝∠BDE ＝45°,可得出AF 在正方形ABCD 对角线上,根据正方形对角线垂直即可作出判断．⑤设CE =x ,DE =3x ,则BC =CD =4x ,结合BE 2＝BH •BD ,求出BH ,DH ,即可判断．【详解】解:①∵四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形,BD ,BE 是对角线,∴∠ABD ＝∠FBE ＝45°,又∵∠ABF ＝45°−∠DBF ,∠DBE ＝45°−∠DBF ,∴ABF DBE ∠=∠,∴选项①正确;②∵四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形,∴AD ＝AB ,BF ＝BE ,∴BD 2AB 2, ∴2BD BE AB BF== 又∵ABF DBE ∠=∠,∴ABF DBE ∽,∴选项②正确;④∵四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形,BD ,BE 是对角线,∴∠BEH ＝∠BDE ＝45°,又∵∠EBH ＝∠DBE ,∴△EBH ∽△DBE , ∴BD BE BE BH= ,即BE 2＝BH •BD ,又∵BE BG ,∴22BG BH BD =,∴选项④确;③由②知:ABF DBE ∽,又∵四边形ABCD 为正方形,BD 为对角线,∴∠BAF ＝∠BDE ＝45°,∴AF 在正方形另外一条对角线上,∴AF ⊥BD ,∴③正确,⑤∵:1:3CE DE =,∴设CE =x ,DE =3x ,则BC =CD =4x ,∴BE ==,BD = ∵BE 2＝BH •BD ,∴228BE BH x BD ===,∴DH =BD -BH =x x =, ∴:17:15BH DH =,故⑤错误,综上所述:①②③④正确,故答案是:①②③④．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,以及正方形的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．24．(2021·湖北十堰市·中考真题)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为_______.【答案】20．【详解】∵AB＝5,AD＝12,∴根据矩形的性质和勾股定理,得AC＝13.∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线∴BO＝6.5∵O是AC的中点,M是AD的中点,∴OM是△ACD的中位线∴OM＝2.5∴四边形ABOM的周长为:6.5＋2.5＋6＋5＝20故答案为2025．(2021·浙江绍兴市·中考真题)图1是一种矩形时钟,图2是时钟示意图,时钟数字2的刻度在矩形ABCDAB ,则BC长为_______cm(结果保留的对角线BD上,时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若30cm根号)．【答案】3【分析】根据题意即可求得∠MOD =2∠NOD ,即可求得∠NOD =30°,从而得出∠ADB =30°,再解直角三角形ABD 即可．【详解】解:∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上,时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O ,∴∠MOD =2∠NOD ,∵∠MOD +∠NOD =90°,∴∠NOD =30°,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD //BC ,∠A =90°,AD =BC ,∴∠ADB =∠NOD =30°, ∴()30==303cm tan 30tan 30==AB BC AD故答案为:303【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识;理解题意灵活运用所学知识得出∠NOD =30°是解题的关键．26．(2021·湖北黄冈市·中考真题)如图,正方形ABCD 中,1AB =,连接AC ,ACD ∠的平分线交AD 于点E ,在AB 上截取AF DE =,连接DF ,分别交CE ,AC 于点G ,H ,点P 是线段GC 上的动点,PQ AC ⊥于点Q ,连接PH ．下列结论:①CE DF ⊥;②DE DC AC +=;③3EA AH =;④PH PQ +的最小值是22．其中所有正确结论的序号是_____．【答案】①②④【分析】先根据SAS 定理证出ADF DCE ≅,从而可得ADF DCE ∠=∠,再根据角的和差即可判断结论①;根据等腰三角形的性质可得,DC CH AF AH ==,然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②;先根据正方形的性质可得2AC =再根据1DC CH ==可得21DE AF AH ===,从而可得22EA =由此即可判断结论③;过点P 作PM CD ⊥于点M ,连接HM ,先根据角平分线的性质可得PM PQ =,再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当HM CD ⊥时,PH PQ +取得最小值,然后解直角三角形即可得判断结论④．【详解】解:四边形ABCD 是正方形,1AB =,1,2,90,45,//CD AD AC ADC DAF ACD AB CD ∴===∠=∠=︒∠=︒,在ADF 和DCE 中,90AD DC DAF CDE AF DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,()ADF DCE SAS ∴≅,ADF DCE ∴∠=∠,18090DCE DEG CDE ∠+∠=︒-∠=︒,90ADF DEG ∴∠+∠=︒,90DGE ∴∠=︒,即CE DF ⊥,结论①正确; CE 平分ACD ∠,CE DF ⊥,1CH DC ∴==,CDH CHD AHF ∴∠=∠=∠,//AB CD ,CDH AFH ∴∠=∠,AFH AHF ∴∠=∠,AF AH ∴=,AF DE =DE DC AF CH AH CH AC ∴+=+=+=,结论②正确;1,2CH AC ==,21DE AF AH AC CH ∴===-=-,()12122EA AD DE ∴=-=--=-, 22221EA AH -∴==-, 即2EA AH =,结论③错误; 如图,过点P 作PM CD ⊥于点M ,连接HM ,CE 平分ACD ∠,PM CD ⊥,PQ AC ⊥,PM PQ ∴=,PH PQ PH PM +=+∴,由两点之间线段最短得:当点,,H P M 共线时,PH PM +取得最小值HM ,由垂线段最短得:当HM CD ⊥时,HM 取得最小值,此时在Rt CHM 中,2sin sin 452HM CH ACD =⋅∠=︒=, 即PH PQ +的最小值是22,结论④正确; 综上,所有正确结论的序号是①②④,故答案为:①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点,较难的是④,利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当HM CD ⊥时,HM 取最小值是解题关键．27．(2021·湖南衡阳市·中考真题)如图1,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,P 、Q 两点同时从O 点出发,以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---,点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒,P 、Q 间的距离为y 厘米,y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示,当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时,P 、Q 两点的运动路程之和为__________厘米．【答案】()233+【分析】四边形ABCD 是菱形,由图象可得AC 和BD 的长,从而求出OC 、OB 和ACB ∠．当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时,此时PQ 连线过O 点且垂直于BC ．根据三角函数和已知线段长度,求出P 、Q 两点的运动路程之和．【详解】由图可知,23,2AC BD ==(厘米),∵四边形ABCD 为菱形∴113,122OC AC OB BD ====(厘米) ∴30ACB ∠=︒P 在AD 上时,Q 在BC 上,PQ 距离最短时,PQ 连线过O 点且垂直于BC ．此时,P 、Q 两点运动路程之和2()S OC CQ =+ ∵33cos 322CQ OC ACB =⋅∠=⨯=(厘米) ∴3232332S ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭(厘米) 故答案为(233)+．【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度．28．(2021·湖南株洲市·中考真题)《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨,同“蝶”),它的基本组件为斜角形,包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只,共十三只(图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”)．图②为某蝶几设计图,其中ABD △和CBD 为“大三斜”组件(“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形),已知某人位于点P 处,点P 与点A 关于直线DQ 对称,连接CP 、DP ．若24ADQ ∠=︒,则DCP ∠= ___________度．【答案】21【分析】由题意易得四边形ABCD 是正方形,进而根据轴对称的性质可得AD =DP ,24PDQ ADQ ∠=∠=︒,则有CD =DP ,。
中考数学热身 矩形、菱形、正方形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
矩形、菱形、正方形一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为cm．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是cm．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．矩形、菱形、正方形参考答案与试题解析一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为2cm．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的性质推出OA=OB，证出等边△OAB，求出BA，根据勾股定理求出BC即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=AC=2（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2cm，∠ABC=90°，在△ABC中，由勾股定理得：BC===2（cm），∴AD=BC=2（cm）．故答案是：2．【点评】本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AB的长是解此题的关键．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是8 cm．【考点】勾股定理；菱形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是3．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4，则另一条对角线的长是8．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，因为对角线互相垂直平分，所以∠AOB=90°，AO=3，在RT△AOB中，BO==4，∴BD=2BO=8．【点评】注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为 2 ．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求得其边长，从而就不难求得其面积．【解答】解：由题意得，正方形的边长为，故面积为2．故答案为2．【点评】主要考查到正方形的性质和面积的求法．要注意：正方形的对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24 cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【考点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等．【解答】解：根据题意得：∠2=∠3，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠2=（180°﹣50°）÷2=65°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠2=180°，∴∠AEF=180°﹣65°=115°．故选B．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形【考点】剪纸问题．【专题】操作型．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：由于EF的位置是不确定的，只能得到所求的四边形的一组对边平行，所以是梯形．故选A．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线可以求得菱形ABCD的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【解答】解：菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，则菱形的面积为×6×8=24，菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20，答：菱形的周长为20，面积为24．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．【考点】正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF ⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．【解答】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，∴GF∥EC且GF=EC．又∵H是EC的中点，EH=EC，∴GF∥EH且GF=EH．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）连接GH，EF．∵G，H分别是BE，EC的中点，∴GH∥BC且GH=BC．又∵EF⊥BC且EF=BC，又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，∴GH∥BC，∴EF⊥GH，又∵EF=GH．∴平行四边形EGFH是正方形．【点评】主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】首先连接BD，根据菱形的四条边都相等，可得AB=BC=CD=AD；又由BE⊥AD，AE=ED，可得AB=AD=BD，所以∠A=60°，可得∠ADC=120°，即可得∠EBF的度数．【解答】解：连接BD，∵BE⊥AD，AE=ED，∴AB=BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，∴AB=AD=BD，∴∠A=60°，∴∠ADC=120°，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BED=∠BFD=90°，∴∠EBF=60°．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．还考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题要细心．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】由全等三角形的判定定理直接可证△ADE≌△FCD，即证AD=CF．【解答】解：（1）AD=CF．（2分）（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AE，AB=CD，∴∠AED=∠FDC，∵DE=AB，∴DE=AB=CD．又∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠A=90°．（4分）∴△ADE≌△FCD（AAS）．（5分）∴AD=CF．（6分）【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．【专题】几何综合题．【分析】先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，又∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B=∠C．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情况．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【考点】矩形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据平行线性质和角平分线性质，以及由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．。
中考总复习矩形、菱形、正方形 精品整理 含各类中考真题
典例3 如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE 绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； 四边形AFHE是正方形，理由如下： ∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴∠AFH＝90°， ∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
考点训练
1．如图，矩形纸片 ABCD，AD︰AB＝ 2︰1，点 E，F 分别在 AD，BC 上， 把纸片如图沿 EF 折叠，点 A，B 的对应点分别为 A′，B′，连接 AA′并延长 交线段 CD 于点 G，则AEGF的值为( A )
A．
2 2
B．23
C．12
D．
5 3
2．如图，在 Rt△OAB 中，∠A＝90°，点 B 的坐标为4，0，∠OBA＝30°， P，Q 分别是射线 OA、线段 OB 上的点，且 OP＝BQ，以 OP，OQ 为邻边 构造平行四边形 OPMQ.
(1)若线段 PM 与 AB 交于点 D，当DPMD ＝12时，则 BQ＝__1_；
(2)把△PMQ 沿着 PQ 进行折叠，当折叠后△PMQ 与△OPQ 的重叠部分的 面积是平行四边形 OPMQ 的14时，则 BQ＝_43_或__83______.
课堂训练
1．如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，点 E 在 CD 上，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将△ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝32S△FGH；④AG＋DF＝FG. 其中正确的是__①__③__④__.(把所有正确结论的序号都选上)
中考数学_专项_矩形、菱形、正方形考点及题型
【中考数学】矩形、菱形、正方形的5大考点及题型汇总矩形、菱形、正方形是八年级下册特殊平行四边形这一章节的重要组成部分。
他们都是基于平行四边形的性质衍生出来的其基本的性质都和平行四边形是一样的。
所以大家在进行学习和记忆的时候只需要紧抓其特殊部分，就能把他们都区分出来。
熟练掌握矩形，菱形，正方形的性质，定义和判定是这部分学习的重点，同时这部分也是中考数学几何部分的重要考点。
只有把这些性质和判定融会贯通。
那么在遇到综合题或者是类似题型的几何才能应对自如，尽快的形成自己的解题思路。
今天就给大家分享初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点及题型，同学们赶紧来查漏补缺。
一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质: 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED ＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。
例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。
例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。
天津市和平区普通中学2024届初三数学中考复习 矩形、菱形和正方形 专项复习练习 含答案与解析
天津市和平区一般中学2024届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 32．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形4. 如图，在菱形ABCD中，过点D做DE⊥AB于点E，做DF⊥BC于点F，连结EF. 求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路途为B→A→G→E，小聪行走的路途为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，求小聪行走的路程．6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．7. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(2)连结AE ，AF .问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．8. 如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．9. 已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，求菱形的面积．10. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB ＝6 cm ，∠ABC ＝60°.(1)试推断四边形EFGH 的类型，并证明你的结论；(2)求四边形EFGH 的面积．11. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G.(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HG GF的值． 12. 已知正方形的对角线AC ，BD 相交于点O .(1)如图1，E ，G 分别是OB ，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F .若DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ；(2)如图2，H 是BC 上的点，过点H 作EH ⊥BC ，交线段OB 于点E ，连结DH ，交CE 于点F ，交OC 于点G .若OE ＝OG .①求证：∠ODG ＝∠OCE ；②当AB ＝1时，求HC 的长．答案与解析：1. A2. B【解析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，依据勾股定理求出AC ＝32＋42＝5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选B.3. C4. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°，∴△ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CB ，∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝∠BFE5. 解：小敏走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100，则AG ＋GE ＝1600 m ，小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．连结CG ，在正方形ABCD 中，∠ADG ＝∠CDG＝45°，AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，∵AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD ＝90°，∴四边形GECF 是矩形，∴CG ＝EF.又∵∠CDG＝45°，∴DE ＝GE ，∴小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(GE ＋AG)＝3000＋1600＝4600 m6. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，则tan ∠DBC ＝tan30°＝33(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC＝90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到一对同旁内角互补，依据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC 的度数；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线相互垂直，即∠BOC ＝90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．7. 解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE，∠OCF ＝∠DCF，∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE，∠OFC ＝∠DCF，∴∠OEC ＝∠OCE，∠OFC ＝∠OCF，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF ；∵∠OCE＋∠BCE ＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5 (2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 连结AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形【解析】(1)依据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，证出OE ＝OC ＝OF ，∠ECF ＝90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案；(2)依据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．8. 解：(1)∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.又∵BE＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△CDF (2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC.又∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝EC ，即BE ＝AE.又BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC ＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高为2×sin60°＝3，∴菱形AECF 的面积为2 39. 解：四边形ABCD 是菱形，AC ＋BD ＝6，∴AB ＝5，AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，∴AO ＋BO ＝3，∴AO 2＋BO 2＝AB 2，(AO ＋BO)2＝9，即AO 2＋BO 2＝5，AO 2＋2AO ·BO＋BO 2＝9，∴2AO ·BO ＝4，∴菱形的面积是12AC·BD＝2AO·BO＝4 【解析】依据菱形对角线相互垂直，利用勾股定理转化为两条对角线的关系式求解．10. 解：(1)连结AC ，BD ，相交于点O ，∵E ，F ，G ，H 分别是菱形四边上的中点，∴EH ＝12BD ＝FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB ＝3，∴AC ＝6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝AB 2－OA 2＝33，∴BD ＝63，∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝33，EF ＝3，∴矩形EFGH 的面积＝EF·FG＝9 3 cm 211. 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°，∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE，在△BCG 与△DCE 中，∵∠CBG ＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GF GD ，∴GF ＝55，∵AB ∥CG ，∴△ABH ∽△CGH ，∴AB CG ＝BH HG ＝21，∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，依据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，从而知CG ＝CE ＝1，由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，易证△ABH∽△CGH，所以BH HG＝2，从而可求出HG 的长度，进而求出HG GF的值． 12. 解：(1) ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COE ＝90°，∴∠OEC ＋∠OCE ＝90°.∵DF ⊥CE ，∴∠OEC ＋∠ODG ＝90°，∴∠ODG ＝∠OCE.∴△ODG ≌△OCE(ASA)，∴OE ＝OG(2)①∵OD ＝OC ，∠DOG ＝∠COE＝90°，又OE ＝OG ，∴DOG ≌COE(SAS)，∴∠ODG ＝∠OCE②设CH ＝x ，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，∴BH ＝1－x ，∠DBC ＝∠BDC＝∠ACB ＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH ＝∠EBH＝45°.∴EH ＝BH ＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC －∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC ＝∠HCD＝90°.∴△CHE ∽△DCH.∴EH HC ＝HC CD. ∴HC 2＝EH·CD，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)．∴HC＝5－12。
中考数学《矩形 菱形 正方形》复习题附参考答案
矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2017•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）D．16cm对应训练1．（2017•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．3C．23D．2考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2017•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．2．（2017•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2017•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ． 解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOD ≌△COF （SAS ），∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2017•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP ≌△DCP ；（2）求证：∠DPE=∠ABC ；（3）把正方形ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD 中，BC=DC ，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP 和△DCP 中，BC DC BCP DCP PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCP ≌△DCP （SAS ）； （2）证明：由（1）知，△BCP ≌△DCP ，∴∠CBP=∠CDP ，∵PE=PB ，∴∠CBP=∠E ，∴∠DPE=∠DCE ，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E ，即∠DPE=∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE=∠ABC ，∴∠DPE=∠ABC ；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC ，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2017•资阳）在一个边长为a （单位：cm ）的正方形ABCD 中，点E 、M 分别是线段AC ，CD 上的动点，连结DE 并延长交正方形的边于点F ，过点M 作MN ⊥DF 于H ，交AD 于N ．（1）如图1，当点M 与点C 重合，求证：DF=MN ；（2）如图2，假设点M 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CD 向点D 运动，点E 同时从点A 出发，以2cm/s 速度沿AC 向点C 运动，运动时间为t （t ＞0）；①判断命题“当点F 是边AB 中点时，则点M 是边CD 的三等分点”的真假，并说明理由． ②连结FM 、FN ，△MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出a ，t 之间的关系；若不能，请说明理由．思路分析：（1）证明△ADF ≌△DNC ，即可得到DF=MN ；（2）①首先证明△AFE ∽△CDE ，利用比例式求出时间t=13a ，进而得到CM=13a=13CD ，所以该命题为真命题；②若△MNF 为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．解：（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，∴∠ADF=∠DCN ．在△ADF 与△DNC 中，90DAF CDN AD CDADF DCN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADF ≌△DNC （ASA ）， ∴DF=MN ．（2）解：①该命题是真命题．理由如下：当点F 是边AB 中点时，则AF=12AB=12CD ． ∵AB ∥CD ，∴△AFE ∽△CDE ，∴AE EC =AF CD =12， ∴AE=12EC ，则AE=13AC=23a ， ∴t=2AE =13a ． 则CM=1•t=13a=13CD ， ∴点M 为边CD 的三等分点．②能．理由如下：易证AFE ∽△CDE ，∴AF CD =AE EC ，即222AF t a a t=-，得AF=at a t -． 易证△MND ∽△DFA ，∴ND DM AF AD =，即ND a t at aa t -=-，得ND=t ．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2017•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CFAC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD 2=OB 2+OD 2，AF 2=OA 2+OF 2，AB 2=OA 2+OB 2，DF 2=OF 2+OD 2，∴BD 2+AF 2=OB 2+OD 2+OA 2+OF 2=AB 2+DF 2，∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB 2=AC 2+BC 2=32+42=25，∵在Rt △FCD 中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦中考】1．（2017•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2017•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2017•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2017•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画»AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2017•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2017•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF ⊥BE ，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF ，∵在△ABE 和△DAF 中，ABE DAF AB ADBAE D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△DAF （ASA ），∴AF=BE ；（2）解：MP 与NQ 相等．理由如下：如图，过点A 作AF ∥MP 交CD 于F ，过点B 作BE ∥NQ 交AD 于E ， 则与（1）的情况完全相同．7．（2017•青岛）已知：如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD 、BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2017•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x 2+（4-x ）2，=2（x-2）2+8∵函数 S 正方形MNEF =2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x =2，在对称轴的左侧S 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧S 随x 的增大而增大， ∵0≤x ≤4，∴当x =0或x =4时，正方形MNEF 的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD 分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2017•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，AD ABCAD EABAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，AD ABCAD EABAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（3）由（1）、（2）的解题经验可知，如图，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴BD=1002米，连接CD，则由（2）可得BE=CD，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=100米，BD=1002米，根据勾股定理得：CD=22100(1002)1003+=米，则BE=CD=1003米．【备考真题过关】一、选择题1．（2017•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2017•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2017•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25 B．20 C．15 D．104．（2017•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2017•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．123D．1636．（2017•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24 B．16 C．43D．237（2017•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2 B．4 C．2 3D．438．（2017•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2017•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2017•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2017•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2017•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题13．（2017•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------ 度时，两条对角线长度相等．14．（2017•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2017•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2017•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2017•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan∠DBE的值是．18．（2017•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2017•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2017•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC 交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2017•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2017•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2017•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2017•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．25．（2017•荆州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x-2）2 （0＜x ＜2）； 其中正确的是 （填序号）．26．（2017•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2017•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2017•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE⊥AG，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG和△DAF中，1 290AB ADABG DAF=⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG≌△DAF（ASA），∴AF=BG，AG=DF，∠AFD=∠BGA，∵AG=DE+HG，AG=DE+EF，∴EF=HG，在△AEF和△BHG中，AF BGAFD BGAEF HG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△BHG（SAS），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE．29．（2017•黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．29．证明：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，∵四边形ABCD是正方形，∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2017•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2017•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =， 解得AE=23．32．（2017•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2017•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，∵AG ∥CF ，∴∠AGD=∠CFG=90°，∴∠AGD=∠CFD ，又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDE=90°，∴∠ADG=∠DCF ，∵在△DCF 和△ADG 中，AGD CFD ADG DCF AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCF ≌△ADG （AAS ）；（2）设正方形ABCD的边长为2a，∵点E是AB的中点，∴AE=12×2a=a，在Rt△ADE中，DE=2222(2)5AD AE a a a+=+=，∴sin∠ADG=555AE aED a==，∵∠ADG=∠DCF=α，∴sinα=55．35．（2017•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，AB ACBAD CAFAD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，36．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA 和△FBC 中，AB BC PBA ABC BP BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA ≌△FBC （SAS ），∴PA=FC ，∠PAB=∠FCB ．∵PA=PE ，∴PE=FC ．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP ∥FC ，∴四边形EPCF 是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF 是平行四边形，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA 和△FBC 中，AB BC PBA ABC BP BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA ≌△FBC （SAS ），∴PA=FC ，∠PAB=∠FCB ． ∵PA=PE ，∴PE=FC ．∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB ，∴EP ∥FC ，∴四边形EPCF 是平行四边形；。
中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题(含答案)
中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 m图28－1 C．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C) A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°， ∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°， 又∵∠BAC ＝45°， ∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是 (B) A ．AB ＝BEB ．BE ⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE【解析】 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD 綊BC ，因为DE ＝AD ，所以DE 綊BC所以四边形EDBC 为平行四边形，A ．假若AB ＝BE ，因为AB ＝BE ，AD ＝DE ，BD ＝BD ，所以△ADB ≌△EDB ，所以∠BDE ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形； B ．假若BE ⊥DC ，可得四边形EDBC 为菱形；C ．假若∠ADB ＝90°，所以∠EDB ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形；D ．假若CE ⊥DE ，所以∠DEC ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形，故选B. 6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你图28－4图28－5认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，图28－6 AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠F AD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于图28－8F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB ＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；图28－9(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD . ∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ， ∴四边形ADCE 是矩形， ∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下： 如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形， ∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴DE ∥AB ，DE ＝AB .14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形． 解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，第13题答图图28－10∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME ＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME ＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是__521 005__．图28－12。
中考数学复习 矩形、菱形和正方形 专项复习检测 含答案和部分解析
中考数学复习 矩形、菱形和正方形 专项复习检测1．若顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形2．如图，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝2，则矩形的对角线AC 的长为( )A ．2 3B ．4 3C ．4D ．2 3．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是( ) A ．当AB ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形 B ．当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是正方形 C ．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形4．如图，在正方形ABCD 中，∠DAF ＝25°，AF 交对角线BD 于点E ，连结CE ，则∠BEC 的度数为( )A ．75°B ．70°C ．60°D ．45°5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O.若BD ＝8，tan ∠ABD ＝34，则线段AB 的长度为( )A ．7B ．27C ．5D ．106. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为( )A ．1B ． 2C ．4－2 2D ．32－4 7. 矩形ABCD 与CEFG 如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点C ，D ，G 在同一条直线上，连结AF ，取AF 的中点H ，连结GH.若BC ＝EF ＝2，CD ＝CE ＝1，则GH 的长为( )A ．1B ．23C ．22D ．528. 如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE ＝BF ，将△AEH，△CFG 分别沿EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时，则AEEB的值为( )A ．53B ．2C ．52D ．4 9. 如图，点E 在正方形ABCD 内，且满足∠AEB＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是 ．10. 如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是 (填序号)．11. 如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E，F，G，H分别在AD，AB，BC，CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为．12. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连结GH，则GH的长为．13. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．14. 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF.(1)当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；(2)当△FCG的面积为2时，求CG的长．15. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G，H，连结EH，FG.(1)求证：△BFH≌△DEG；(2)连结DF，若BF＝DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论．16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根(OA ＞OB)．(1)求点D的坐标；(2)求直线BC的函数表达式；(3)在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析：1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. C解析: 如图，延长GH交AD于点P.∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2，GF＝CE＝1，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH.又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PAH＝∠GFH，AH＝FH，∠AHP＝∠FHG，∴△APH≌△FGH，∴AP＝GF＝1，GH ＝PH＝12PG，∴PD＝AD－AP＝1.∵CG＝2，CD＝1，∴DG＝1，则GH＝12PG＝12×PD2＋DG2＝22.故选C．8. A解析: 如图，设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质，得四边形AHME、四边形BENF是菱形，∴AE＝EM，EN＝BE＝y，EM＝x＋y.∵重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116，且两个菱形相似，∴AB ＝4MN ＝4x ，∴AE ＝AB －BE ＝4x －y ，∴4x －y＝x ＋y ，解得x ＝23y ，∴AE ＝53y ，∴AE EB ＝53yy ＝53.故选A ．9. 76 10. ② 11. 5312. 342解析:∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAE ＝∠D＝90°，AB ＝AD ．在△ABE 和△DAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DA ，∠BAE ＝∠D，AE ＝DF ，∴△ABE ≌ △DAF ，∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠ABE＋∠BEA＝90°，∴∠DAF ＋∠BEA＝90°，∴∠AGE ＝∠BGF＝90°.∵点H 为BF 的中点，∴GH ＝12BF.∵BC＝5，CF ＝CD －DF ＝5－2＝3，∴BF ＝BC 2＋CF 2＝34，∴GH ＝12BF ＝342.故答案为342.13. (2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)解析: ∵四边形OABC 是矩形，∴∠OCB ＝90°，OC ＝4，BC ＝OA ＝10.∵D 为OA 的中点，∴OD ＝AD ＝5.若△POD 为等腰三角形，分三种情况讨论：(1)当PO ＝PD 时，点P 在OD 的垂直平分线上，∴点P 的坐标为(2.5，4)；(2)当OP ＝OD 时，如图①，则OP ＝OD ＝5，PC ＝52－42＝3，∴点P 的坐标为(3，4)；(3)当DP ＝DO 时，作PE⊥OA 于点E ，则∠PED＝90°，DE ＝52－42＝3；分两种情况：当点E 在点D 的左侧时，如图②，OE ＝5－3＝2，∴点P 的坐标为(2，4)；当点E在点D的右侧时，如图③，OE＝5＋3＝8，∴点P的坐标为(8，4)．综上可得，点P的坐标为(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．14. (1) 证明：∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠DGH＋∠DHG＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝GH.又∵AH＝2，DG＝2，∴AH＝DG，∴△AEH≌△DHG，∴∠AHE＝∠DGH，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°.∴四边形EFGH 是正方形．(2) 解：如图，过点F作FM⊥DC于点M，则∠FMG＝90°，∴∠A＝∠FMG＝90°.连结EG.由矩形和菱形的性质，知AB∥DC，HE∥GF，∴∠AEG＝∠MGE，∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF.∵EH＝GF，∴△AEH≌△MGF，∴FM＝AH＝2.∵S△FCG＝12CG·FM＝12CG×2＝2，∴CG＝2.15. (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠FBH＝∠EDG.∵AE＝CF，∴BF＝DE. ∵EG∥FH，∴∠OHF＝∠OGE，∴∠BHF＝∠DGE.在△BFH和△DEG中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FBH＝∠EDG，∠BHF＝∠DGE，BF＝DE，∴△BFH≌△DEG.(2) 解：四边形EGFH是菱形．理由如下：如图，由(1)，得△BFH≌△DEG，∴FH ＝EG.又∵EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形．∵DE＝BF，∠EOD＝∠BOF，∠EDO＝∠FBO，∴△EDO≌△FBO，∴OB＝OD．∵BF＝DF，OB＝OD，∴EF⊥BD，∴EF ⊥GH，∴四边形EGFH是菱形．16. (1) 解：解x2－7x＋12＝0，得x1＝3，x2＝4.∵OA>OB，∴OA＝4，OB＝3.如图，过点D作DE⊥y轴于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠ABO＝∠DAE.∵DE⊥AE，∴∠AED ＝∠AOB＝90°，∴△DAE≌△ABO，∴DE ＝AO＝4，AE＝BO＝3，OE＝7，∴D(4，7)．(2) 解：如图，过点C作CM⊥x轴于点M.同上可证得△BCM≌△ABO.∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，∴OM＝7，∴C(7，3)．设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)，把 B(3，0)，C(7，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧7k＋b＝3，3k＋b＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝34，b＝－94，∴y＝34x－94.(3) 解：存在点P1(3，0)，P2(11，6)，使△PCD为等腰三角形．理由如下：如图，当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形．由题意可知，BC＝DC，故P1与点B重合，P1(3，0)．当点P在BC的延长线上时，如图，P2C＝DC＝BC，则过点P2作P2N⊥x 轴，CM是△BP2N的中位线，故P2N＝2CM＝6，ON＝OB＋2BM＝3＋4×2＝11，故P2(11，6)．综上可知，点P的坐标为(3，0)或(11，6)．。