初三矩形菱形经典练习题
矩形的性质与判定
1．（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．
2．下列说法错误的是（ ）． A 、矩形的对角线互相平分B 、矩形的对角线相等 C 、有一个角是直角的四边形是矩形 D 、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）． A 、2对 B 、4对 C 、6对 D 、8对
4．已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为______cm ， cm ， cm ， cm ．
5、已知：如图 ，矩形 ABCD 中，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．
6、 下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （ ） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( ) 7．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ； ⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据
的数学道理是： ；
⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当
直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；
8．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
9、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE AC ⊥于E ，CF BD ⊥于F 。
求证BE=CF 。
10、已知，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠1=45°，求证：BO=BE
E A B C
D
O
1
11、 如图所示，E 为□ABCD 外，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形
12、如图，在△ABC 中，BE 、CF 是高，点M 、N 分别是BC 、EF 的中点，求证：MN ⊥EF
13、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF=∠A ，求证：四边形DECF 是平行四边形
14、如图，直线EF ∥MN ，PQ 交EF 、MN 于A 、C 两点，AB 、CB 、CD 、AD 分别是∠EAC 、∠MCA 、∠ACN 、∠CAF 的角平分线，求证：四边形ABCD 是矩形
15、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，求证：DE=DF
E F M N P
Q A C
D
B
11、如图，已知矩形ABCD ，从顶点C 作对角线BD 的垂线与∠BAD 的平分线交与点E ，求证：BD=CE
12、如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .
(1)求证：EO =FO
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.
菱形的性质与判定
1．______________的平行四边形叫做菱形．
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ,则AB =AD =_______=_______,即菱形的_______________相等，图中的等腰三角形有__________________，直角三角形有______________，△AOD ≌____________≌____________ ≌_____________，由此可以得出菱形的对角线__________________,每一条对角线________________．
3．按图示的虚线折纸，然后连接ABCD 可得菱形，由此可以得
到_____________的四边形是菱形．
4．木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长，道理是__________________________ ．
5．菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______，面积是______． 6．下面性质中，菱形不一定具有的是（ ）
A ．对角线相等
B ．是中心对称图形
C ．是轴对称图形
D ．对角线互相平分
7．菱形的周长为20 cm ，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________． 8．填空：（1）对角线互相平分的四边形是 ；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________； （4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形． 9、下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）．
（A ）两条对角线相等 （B ）两条对角线互相垂直 （C ）两条对角线相等且互相垂直 （D ）两条对角线互相垂直平分
10．已知：如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且BE=DF ． 求证：∠AEF=∠AFE ．
11．如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 和CE 相交于E ，求证：四边形OCED 是菱形。
A B C D D
12、如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ． (1)求证：△ADE ≌△CBF ．
(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．
13、已知：如图，M 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中点，DM ⊥AB ，EF ⊥AB ，ME ⊥AC ，DG ⊥AC ．求证：四边形MEND 是菱形．
课后作业
1、若四边形ABCD 为平行四边形，请补充条件 使得四边形ABCD 为菱形．
2、如图1，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB =2∠BOC ， 若对角线 AC =6cm ，则周长= ，面积= 。
3.如图2，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠BAD =120°，则AC= ,BD= ,面积= 。
4.如图3，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合）且PE ∥BC 交AB 于E ，
PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是
图1 图2 图3
5.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形
6.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD ，则AF 等于（ ） A ．43
B ．33
C ．42
D ．8
7．已知如图，菱形ABCD 中，∠ADC =120°，AC =123㎝， （1）求BD 的长；（2）求菱形ABCD 的面积， （3）写出A 、B 、C 、D 的坐标.
Ｂ Ｆ
Ｃ
Ｅ
Ｄ Ａ
B
A D
C
O
A B
C
D
A
B
C
O
D。
初中数学 矩形、菱形与正方形测试题含答案
矩形、菱形与正方形测试题一、选择题1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D;（C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD2．在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）．（A）以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边;（B）以6cm、10cm为对角线，8cm为一边;（C）以20cm、36cm为对角线，22cm为一边;（D）以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）对角线互相平分; （B）对角线相等;（C）对角线平分一组对角; （D）对角线互相垂直4．在下列说法中不正确的是（）（A）两条对角线互相垂直的矩形是正方形;（B）两条对角线相等的菱形是正方形;（C）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形;（D）两条对角线垂直且相等的四边形是正方形5．下列说法不正确的是（）（A）对角线相等且互相平分的四边形是矩形;（B）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;（C）一组对边平行且不等的四边形是梯形;（D）一边上的两角相等的梯形是等腰梯形6．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）（A）AB=CD，AD=BC （B）AB//CD（C）AB=CD，AD∥BC （D）AB∥CD，AD∥BC7．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的题设是（）（A）AO=CO，BO=DO; （B）AO=CO=BO=DO;（C）AO=CO，BO=DO，AC⊥BD; （D）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD8．下列说法不正确的是（）（A）只有一组对边平行的四边形是梯形;（B）只有一组对边相等的梯形是等腰梯形;（C）等腰梯形的对角线相等且互相平分;（D）在直角梯形中有且只有两个角是直角9．如图1，在□ABCD中，MN分别是AB、CD的中点，BD分别交AN、CM于点P、Q，在结论：①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S △ADP=14S ABCD中，正确的个数为（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4(1) (2) (3)10．如图2，在梯形ABCD中，AD∥CB，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则梯形ABCD的面积为（）．（A）24 （B）20 （C）16 （D）12二、填空题11．在□ABCD中，AC与BD交于O，则其中共有_____对全等的三角形．12．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为_______，矩形的面积为________．13．一个菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，这个菱形的边长为_______，•面积S=______．14．如果一个四边形的四个角的比是3：5：5：7，则这个四边形是_____形．15．如图3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC=8，AB=6，AD=5，则△CDE的周长是________．16．如图4，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______．(4) (5) (6)17．在长为1.6m，宽为1.2m的矩形铅板上，剪切如图5所示的直角梯形零件（•尺寸单位为mm），则这块铅板最多能剪出______个这样的零件．18．如图6，ABCD中，过对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，则四边形CDFE周长为________．19．已知等腰梯形的一个锐角等于60•°，•它两底分别为15cm，•49cm，•则腰长为_______．20．已知等腰梯形ABCD中AD∥BC，BD平分∠ABC，BD•⊥DC，•且梯形ABCD•的周长为30cm，则AD=_____．三、计算题21．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，•DE•⊥BC 于E，试求DE的长．四、证明题22．如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形．23．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AM=MB，DN=NC．求证：MN∥BC，MN=12（BC+AD）．答案:1．（C） 2．（C） 3．（B） 4．（D） 5．（D）6．（C） 7．（D） 8．（C） 9．（C） 10．（A）11．4 12．40cm 4003cm213．5cm 24cm2 14．直角梯形15．15 16．15° •17．12 18．8.6cm 19．34cm20．如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴AD=EF，设BE=x．则AB=2x，DC=2x，FC=x，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°．∴DC=12BC，∴BC=4x．∴EF=2x=AD．又∵AB+BC+CD+AD=30，∴4x+6x=30，x=3，∴AD=6（cm）．21．过D点作DF∥AC，交BC的延长线于点F，则四边形ACFD为平行四边形，•所以AC=DF，AD=CF．因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=BD，所以BD=DF，又已知AC⊥BD，DF∥AC，•所以BD⊥DF，则△BDF为等腰直角三角形．又因为DF⊥BC，所以DE=12BF=12（BC+CF）=12（BC+AD）=12（7+3）=5（cm）．22．证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=12AC，HG=12AC，FG=12BD，EH=12BD．∴EF=HG=12AC，FG=EH=12BD．又∵AC=BD，∴EF=HG=FG=EH．∴四边形EFGH是菱形．23．证明：如图，连接AN并延长，交BC的延长线于点E．∵DN=NC，∠1=∠2，∠D=∠3，∴△ADN≌△ECN，∴AN=EN，AD=EC．又AM=MB，∴MN是△ABE的中位线．∴MN∥BC，MN=12BE（三角形中位线定理）∵BE=BC+CE=BC+AD，∴MN=12（BC+AD）．。
中考数学试题-矩形、菱形、正方形试题及答案
中考试题专题之19-矩形、菱形、正方形试题及答案一、选择题1.（湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中 点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm2.．（山西省）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ．B ．C ．D ．3.（ 黑龙江大兴安岭）在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③CH CA =；④ED BE 3=，正确的（ ） A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．②③④4．(河北)如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对 角线AC 等于（ ） A ．20B ．15C ．10D ．55.（兰州）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展m n m n >2m n -m n -2m2nmnnn （2）（1）N M FEBABAC D开后是6.（济南）如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A ．1.6 B ．2.5 C ．3 D ．3.47.（凉山州）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD BC '=B ．EBD EDB ∠=∠C ．ABE CBD △∽△ D ．sin AEABE ED∠=8.（济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是 A .12 B . 14 C . 15D .9.（衡阳市） 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确 的个数为（ ）①DE =3cm ； ②EB =1cm ； ③2A BCD 15S cm =菱形． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个C D C 'A BEA ．B ．C ．D ．10.（衡阳市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23D ．211．（广西南宁）如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm12.（宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形AB CDEA ′G DB CAABCD图2DBCANM O13．（桂林百色）如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放 在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿 图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个 过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为 （ ）．A ．2B ．C ．D ．14．（河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ） A ． 23cmB ． 24cmC ．2 D ．215.（杭州市）如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°16.(义乌)如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为 A ．4x A ．12x A ．8x A ．16x17.（台湾） 如图(八)，长方形ABCD 中，E 点在上，且平分∠BAC 。
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
初三矩形菱形正方形练习题及答案
矩形的习题精一、性质1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行2.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=_25度__3.已知矩形的一条对角线长是8cm 为4.矩形ABCD ---cm ，对角线是----cm5.如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于那么DE 的长为上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC=。
O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F. 求证：BE=CF. ACB=90度，点D 、E 分别为AC 、AB 的且∠CDF=∠A ，求证：四边形DECF10.已知:如图，在△ABC 中，∠BAC ≠90°∠ABC=2∠C ，AD ⊥AC ，交BC 或CB 的延长线D 。
试说明:DC=2AB.11、在△ABC 中，∠C=90O ，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F 。
求证：DE=DF二、判定1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A ．测量两条对角线，是否相等B ．测量两条对角线，是否互相平分C ．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角D ．用曲尺测量对角线，是否互相垂直2、平行四边形ABCD ，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形3、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形4、平行四边形ABCD 中，对角线AC 、PA ⊥PC ，PB ⊥PD 1，，A C 、小明错误，小亮正确D 、小明、（A C ）对角线相等（D ）对角线互相垂直3．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论不正确的是（）A.当AB=BC 时，它是菱形；B.当AC ⊥BD 时，它是菱形；C.当∠ABC=90°时，它是矩形；D.当AC=BD 时，它是菱形。
初三矩形菱形正方形练习题
初三矩形菱形正方形练习题题一：给定一个矩形的长和宽，求其面积。
解答：设矩形的长为L，宽为W，则矩形的面积S = L × W。
题二：已知一个矩形的周长为40cm，且长大于宽，求矩形的长和宽。
解答：设矩形的长为L，宽为W。
根据矩形的周长公式，2L + 2W = 40。
由于长大于宽，则L > W。
可以推导出L = 20 - W。
代入矩形面积公式S = L × W中，得到(20 - W) × W = S。
求解这个二次方程，可以得到矩形的长和宽。
题三：一个矩形的长比宽多3cm，且矩形的面积为60平方厘米，求矩形的长和宽。
解答：设矩形的宽为W，则矩形的长为W + 3。
根据矩形的面积公式，(W + 3) × W = 60。
将方程化简为二次方程，然后求解得到矩形的长和宽。
题四：给定一个菱形的边长，求其周长。
解答：设菱形的边长为L，则菱形的周长P = 4L。
题五：已知一个菱形的周长为32cm，求菱形的面积。
解答：设菱形的边长为L。
根据菱形的周长公式，4L = 32，可以求得L。
然后利用菱形面积公式S = L²sin(45°)求得菱形的面积。
题六：给定一个正方形的边长，求其周长。
解答：设正方形的边长为L，则正方形的周长P = 4L。
题七：已知一个正方形的周长为60cm，求正方形的面积。
解答：设正方形的边长为L。
根据正方形的周长公式，4L = 60，可以求得L。
然后利用正方形面积公式S = L²求得正方形的面积。
题八：在一块正方形纸上，用两个顶点分别连接两个相对边的中点，得到一个菱形，如图所示。
解答：首先利用刻度尺等工具在纸上量好正方形的边长，然后找到两个相对边的中点，并用铅笔将它们连接起来，注意连接线要经过两个顶点。
这样就得到了一个菱形。
题九：如何判断一个四边形是矩形？解答：一个四边形是矩形的条件是它的四个内角均为直角，即每个内角为90°。
九年级中考临考专题训练：矩形、菱形(含答案)
2021中考临考专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个2. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2B.2C.4D.23. （2020·四川甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E 为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()5. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶16. （2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）C DFE OBA图5 A ．485 B ．325 C ．245 D ．1257. （2020·泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：① DN ﹦BM ；②EM ∥FN ；③AE ﹦FC ；④当AO ﹦AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个AB CDEFOMN 8. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB=30°，AB=4，则OC= .10. 如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点.若DCA B F EOMN=4，则AC的长为.11. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积= cm2.12. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．13. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．14. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．15. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题17. 如图，将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F . (1)求证:△BCF ≌△BA 1D ;(2)当∠C=α时，判断四边形A 1BCE 的形状，并说明理由.18. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平;再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于E ;延长PF 交AB 于G .求证: (1)△AFG ≌△AFP ; (2)△APG 为等边三角形.19. 如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE. (1)求证:四边形BCDE 为菱形;(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长.20. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.21. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．22. 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．23. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE＝n.(1)求证：AE＝GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．24. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝55，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．2021中考临考专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ．∵菱形ABCD 的周长为32，∴AB ＝8．∵AC ⊥BD ，E 为AB 的中点，∴OE ＝AB ＝4．故选B ．4. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．5. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sin α=2142，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD 的面积为24，OA 为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD 的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF 的值．过程如下：∵AOE EOD AOD S S S ∴111222OA OE OD EF 即11551222OE EF ，∴OE+EF=245，因此本题选C ．7. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，所以∠DAN=∠BCM.因为BF ⊥AC ，DE ∥BF ，所以DE ⊥AC ，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN ≌△CBM ，所以DN=BM ，∠AND=∠CBM ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE=CF 、DE=BF ，所以NE=MF ，即①②③都是正确的，由AE=CF 、AB=CD ，所以BE=DF ，所以四边形AEBF 是平行四边形. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AO=DO ，因为当AO ﹦AD 时，AO=DO=AO ，所以△ADO 是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE ，所以四边形DEBF 是菱形，则④也是正确的，因此本题选D ． 8. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD ，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE 和△OBE 中，BO=DO ，BE=DE ，OE=OE ，所以△ODE ≌△OBE ，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t △AOD 中，∠BOD=45°，∴OA=AD ，在R t △ABD 中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA 和△FOA 中，∠BDA=∠FOA ，OA=AD ，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA ≌△FOA ，所以OF=BD ，故②正确；如答图，过点F 作FQ ⊥OD 于点Q ，由角平分线的性质得AF=FQ ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ 是等腰直角三角形即DF=AF ，故③正确；如答图，AG=OG=OF ，所以OG=DE ，由题意可得△OAG ≌△DAE ，所以∠OAG=∠DAE ，AG=AE ，又由∠OAG ＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE 是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题9. 【答案】4 [解析]由题意可知，四边形ABCD 为矩形，则AC=BD ，OC=AC.已知∠ADB=30°，故在Rt △ABD 中，BD=2AB=8，∴AC=BD=8，OC=AC=4.10. 【答案】1611. 【答案】60[解析]菱形的面积可以用边长×高，即AB ×DE 计算，在Rt △ADE中，∵AD=10，sin A=，∴DE=6，∴菱形的面积为60 cm 2.12. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.13. 【答案】16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.14. 【答案】5【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD ，AB ＝8，BC ＝10，∴AB '＝8，AD ＝10，B 'C '＝10．在R t △ADB '中，由勾股定理，得DB '＝6．∴DC '＝4． 设DE ＝x ，则CE ＝C 'E ＝8－x ．在R t △C 'DE 中，由勾股定理，得DE 2＝EC '2＋DC '2GQD C AB F E O即x 2＝(8－x )2＋42．∴x ＝5．即线段DE 的长为5cm ．461088-x x 108C'B'D A BCE15. 【答案】15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵△ABC 是等腰三角形，B 是顶点， ∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置， ∴A 1B=AB=BC ，∠A 1=∠A=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1.在△BCF 与△BA 1D 中，∴△BCF≌△BA1D.(2)四边形A1BCE是菱形.理由如下:∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∵∠AED=∠C=α，∴A1E∥BC.∵∠AED=∠A1=α，∴A1B∥CE.∴四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形.18. 【答案】证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN，∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF.由折叠的性质得∠PF A=∠GF A=90°，∴△AFG≌△AFP(SAS).(2)∵△AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3.又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠P AG=2∠2=60°，∴△APG 为等边三角形.19. 【答案】解:(1)证明:∵E为AD的中点，AD=2BC，∴BC=ED，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=ED，∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴BA=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∠ADC=2∠ADB=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中，AD=2，CD=1，∴AC=.20. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.21. 【答案】(1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，(1分)∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎨⎧AD ＝ AE∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC，∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(3分)(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，(5分)又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，(6分)又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.(8分)22. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.(1分) ∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ，∴四边形PFCH 是矩形，(2分)∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ，(3分)∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(4分)(2)证明：(1)由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形，∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .(8分)【解法提示】同(1)证法一样可得，△ACD ≌△CAB ，△APE ≌△PAG ，△PHC ≌△CFP ，∴S △ACD －S △AEP －S △PCH ＝S △CAB －S △PGA －S △CFP ，∴S 四边形PEDH ＝S 四边形PFBG .23. 【答案】(1)证明：由折叠性质得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A ，∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°，∴∠FGA ＝∠EFG ，∴EG ＝EF ，∴AE ＝GE ；(2)解：如解图①，当点F 落在AC 上时，设AE ＝a ，则AD ＝na ，解图①由对称性得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ， ∴AB DA ＝AE DC ，∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2，∵AB ＞0，∴AB ＝na ，∴AD AB ＝na na＝n ； (3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n 4a ， 如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .解图②此时n 4a ＝a ，∴n ＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得AD AB ＝n ，即4AB AB ＝n ，∴n ＝16；②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°，解图③∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE .∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC ，∴AB DG ＝AE DC ，∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ，∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即(n 4a )2＝(n －2)a ·a ，解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．综上所述，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．24. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ，∴AH ＝4，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ，∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP＝535，∴BP＝15.。
2021年九年级中考数学 专题训练：矩形、菱形(含答案)
2021中考数学专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，BM=DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是()A.OM=ACB.MB=MOC.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND2. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()3. 如图，菱形ABCD的周长为8 cm，高AE长为cm，则对角线AC和BD长之比为()A.1∶2B.1∶3C.1∶D.1∶4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC ＝60°，则BD的长为()A. 2B. 3C. 3D. 2 35. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72 B．24 C．48 D．966. （2020·武威）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（）A．90°B．100°C．120°D．150°7. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是()A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AED．AE＝CE8. （2020·邵阳）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：(1)将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处,(2)将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于占M.若P1M⊥AB,则∠DP1M的大小是（）A.135°B. 120°C. 112.5°D.115°二、填空题9. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是.(写出一个即可)10. 如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若MN=4，则AC的长为.11. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．12. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为.图K24-813. 如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是.14. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．15. （2020·菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_______．A BC D QP16. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.三、解答题17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD. 求证：四边形AODE是矩形．18. 如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．19. 如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．20. 如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O 于点E，且∠CBD＝∠COD.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点，求证：四边形OACE 是菱形．(3)如图②，作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G ，求FGFC 的值．2021中考数学 专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]添加OM=AC.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD.∵对角线BD 上的两点M ，N 满足BM=DN ， ∴OB -BM=OD -DN ，即OM=ON ， ∴四边形AMCN 是平行四边形. ∵OM=AC ，∴MN=AC ， ∴四边形AMCN 是矩形，故选A .2. 【答案】C【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的． 3. 【答案】D [解析]由菱形ABCD 的周长为8 cm 得边长AB=2 cm .又高AE 长为 cm ，所以∠ABC=60°，所以△ABC ，△ACD 均为正三角形，AC=2 cm ，BD=2AE=2cm .故对角线AC 和BD 长之比为1∶，应选D .4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠ABC ＝60°，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝1，∴BO ＝AB 2－AO 2＝3，∴BD ＝2OB ＝2 3.5. 【答案】C【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ， ∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°，∴BD ＝2OH ，∵OH ＝4，∴BD ＝8， ∵OA ＝6，∴AC ＝12，∴菱形ABCD 的面积．故选：C ．6. 【答案】连结AE ，∵AE 间的距离调节到60cm ，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成， ∴AC ＝20cm ，∵菱形的边长AB ＝20cm ， ∴AB ＝BC ＝20cm ， ∴AC ＝AB ＝BC ， ∴△ACB 是等边三角形， ∴∠B ＝60°， ∴∠DAB ＝120°． 故选：C ．7. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠BAC ，由折叠的性质可得∠BAC ＝∠EAC, ∴∠ACD ＝∠EAC ，∴AE ＝CE .8. 【答案】 C【解析】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、矩形的性质，由折叠前后对应角相等且190∠=PMA 可先求出145∠=∠=DMP DMA ，进一步求出45ADM ∠=，再由折叠可求出122.5∠=∠=∠=MDP ADP PDM ，最后在1∆DPM中由三角形内角和定理即可求解．解：由折叠知，190∠=PMA ， ∴145∠=∠=DMP DMA ，即45ADM ∠=， 由折叠可得，∴1122.52∠=∠=∠=∠=MDP ADP PDM ADM ， ∴在1∆DPM 中，1=1804522.5112.5∠--=DPM ，因此本题选C ． 二、填空题9. 【答案】AB=AD 或AB=BC 或AC ⊥BD 等10. 【答案】1611. 【答案】16【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.12. 【答案】12 [解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a ，b (b>a )，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12.13. 【答案】[解析]如图，当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x ，则AB=4-x ， 在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2， 即x 2=(4-x )2+12，解得x=， ∴菱形的最大周长=×4=.14. 【答案】105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.解图15. 【答案】317【解析】由于已知BC 的长，故可设想在R t △BCQ 中利用勾股定理求解，则需求CQ 的长，这可通过求DQ 的长得到，结合已知条件BP ＝BA ＝5，易知DQ ＝DP ，显然DP 可求，思路沟通．在矩形ABCD 中，∠BAD ＝90º，AB ＝5，AD ＝12，∴BD ＝22AD AB +＝13，又∵BP ＝BA ＝5，∴DP ＝13－5＝8，∠BAP ＝∠BP A ．∵AB ∥DQ ，∴∠BAP ＝∠PQD ，∴∠PQD ＝∠BP A ＝∠DPQ ，∴DQ ＝DP ＝8，∴CQ ＝8－5＝3．在R t △BCQ 中，BC =12，CQ =3，∴BQ ＝22312+＝317．16. 【答案】15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图三、解答题17. 【答案】证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，(2分) ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ， ∴∠AOD ＝90°，(4分)∵四边形AODE 是平行四边形，∠AOD ＝90°， ∴四边形AODE 是矩形．(5分)18. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D ＝60°，由折叠性质可知，∠D ＝∠AD′E ＝60°， ∴∠AD ′E ＝∠B ＝60°， ∴ED ′∥BC ， 又∵EC ∥D′B ，∴四边形BCED′是平行四边形，(4分) ∴ED ′＝BC ＝AD ＝1， ∴DE ＝ED′＝1， 又DC ＝AB ＝2， ∴EC ＝1，∴EC＝ED′，∴四边形BCED′是菱形．(6分)(2)解图解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD，BD之长即为所求，(8分) 作DG⊥BA的延长线于点G，∵∠DAB＝120°，∴∠DAG＝60°，∵∠G＝90°，∴∠ADG＝30°，在Rt△ADG中，AD＝1，∴AG＝12，DG＝32，(9分)∵AB＝2，∴BG＝5 2，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2＋DG2＝7，∴BD＝7，即PD′＋PB的最小值为7.(10分)19. 【答案】解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，(2分)∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，(3分)∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(4分)(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，(5分) 此时CE最小，且CE＝CD＝3；(6分)如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．(7分)设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.(8分)解图20. 【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴FCBD＝AFOB，即FC＝BD·AFOB，又∵FG ∥BD ，∴△AFG ∽△ABD ，∴FG BD ＝AF AB ，即FG ＝BD ·AF AB ， ∴FC FG ＝AB OB ＝2， ∴FG FC ＝12.。
菱形、矩形判定性质练习题
菱形性质与判定练习题1. 已知菱形ABCD中, 对角线AC与BD交于点O, ∠BAD=120°, AC=4, 则该菱形的面积是（）A.16B.16C.8D.82．菱形的周长为4, 一个内角为60°, 则较短的对角线长为（）A. 2B.C. 1D.3．菱形的周长为8cm, 高为1cm, 则该菱形两邻角度数比为（）A. 3: 1B. 4: 1C. 5: 1D. 6: 14．如图, 菱形ABCD中, AB=15, ∠ADC=120°, 则B.D两点之间的距离为（）A. 15B.C. 7.5D.5.如图, 菱形ABCD的周长是16, ∠A=60°, 则对角线BD的长度为（）A. 2B.C. 4D.6. 已知菱形的两条对角线长分别为2cm, 3cm, 则它的面积是_________cm2.7. 如图, 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 且AC=8, BD=6, 过点O作OH丄AB, 垂足为H, 则点0到边AB的距离OH=_________.8．如图, 菱形ABCD的边长是2cm, E是AB的中点, 且DE丄AB, 则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图9. 如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点O, AB=13, AC=10, 过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E, 则△BDE的周长为_________.10. 如图, 已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°, 对角线AC.BD相交于点O, 点E在AB上且BE=BO, 则∠BEO= _________度.11．如图, 活动菱形衣架的边长均为16cm, 若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm, 则∠1=度．10题图13题14题图15题图12. 已知菱形的一个内角为60°, 一条对角线的长为, 则另一条对角线的长为_________.13. 如图, 两个全等菱形的边长为1米, 一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动, 行走2009米停下, 则这个微型机器人停在_____点.14. 如图, P为菱形ABCD的对角线上一点, PE⊥AB于点E, PF⊥AD于点F, PF=3cm, 则P点到AB的距离是____ cm.15. 已知: 菱形ABCD中, ∠B=60°, AB=4, 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______.16. 已知菱形的周长为40cm, 两条对角线之比为3: 4, 则菱形的面积为_________cm2.17. 已知菱形的周长是52cm, 一条对角线长是24cm, 则它的面积是_________cm2.18．如图, 菱形ABCD的对角线的长分别为2和5, P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）, 且PE∥BC交AB 于E, PF∥CD交AD于F, 则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图19. 如图: 菱形ABCD中, AB=2, ∠B=120°, E是AB的中点, P是对角线AC上的一个动点, 则PE+PB的最小值是_________.20. 如图: 点E、F分别是菱形ABCD的边BC.CD上的点, 且∠EAF=∠D=60°, ∠FAD=45°, 则∠CFE=度. 21．如图所示, 在菱形ABCD中, ∠ABC=60°, DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE= BE．22. 如图, 在菱形ABCD中, ∠A=60°, AB=4, O为对角线BD的中点, 过O点作OE⊥AB, 垂足为E.（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长.23. 如图, 四边形ABCD是菱形, BE⊥AD.BF⊥CD, 垂足分别为E、F.（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8, BD=6时, 求BE的长．24. 如图, 在菱形ABCD中, P是AB上的一个动点（不与A.B重合）, 连接DP交对角线AC于E连接BE.（1）证明: ∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°, 试问P点运动到什么位置时, △ADP的面积等于菱形ABCD面积的, 为什么？25. 如图所示, 在矩形ABCD中, AB=4cm, BC=8cm、点P从点D出发向点A运动, 同时点Q从点B出发向点C运动, 点P、Q的速度都是1cm/s.（1）在运动过程中, 四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能, 那么经过多少秒后, 四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积.矩形的性质与判定【知识要点:】1. 矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
部编数学九年级上册专题15二次函数中的矩形、菱形(解析版)含答案
专题15 二次函数中的矩形、菱形类型一 二次函数中的矩形1．如图，在平面直角坐标系中抛物线L ：y ＝﹣x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A （﹣3，0），顶点B 的横坐标为﹣1(1)求抛物线L 的函数表达式；(2)点P 为坐标轴上一点将抛物线L 绕点P 旋转180后得到抛物线L ′，且A 、B 的对应点分别为C 、D ，当以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P 坐标．【答案】(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3(2)P 点坐标为（2，0）或（0，1）【解析】【分析】（1）把顶点B 的横坐标﹣1代入对称轴方程2b x a=-，可解得b 得值；将b ，A （﹣3，0）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c 可得c 的值，继而可得到抛物线L 的函数表达式；（2）由抛物线L 与L ′关于坐标轴上一点P 对称，且四边形ABCD 为矩形，可得P 为矩形ABCD 对角线的交点，PA ＝PC ＝PB ＝PD ；因为P 在坐标轴上，所以本题需分两种情况进行分析①当P 在x 轴上时，设点P 坐标为（x ，0）②当P 在y 轴上时，设点P 坐标为（0，y ），然后根据矩形的性质可求解．(1)解：∵顶点B 横坐标为﹣1，∴12(1)b -=-´-解得b ＝﹣2；将A （﹣3，0）代入，得0＝﹣9+6+c ；解得c ＝3；∴抛物线L 的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．(2)解：由（1）可求出B 的坐标为（﹣1，4）；∵抛物线L 与L ′关于坐标轴上一点P 对称，且四边形ABCD 为矩形；∴P 为矩形ABCD 对角线的交点；∴PA ＝PC ＝PB ＝PD ；①当P 在x 轴上时：设点P 坐标为（x ，0）；∴PB 2＝（x +1）2+42＝PA 2＝（x +3）2；解得x ＝2，∴P （2，0）．②当P 在y 轴上时：设点P 坐标为（0，y ）；∴PB 2＝（﹣1）2+（4﹣y ）2＝PA 2＝（﹣3）2+y 2；解得y ＝1；∴P （0，1）．即综上所述，P 点坐标为（2，0）或（0，1）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及矩形的性质是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与坐标轴交于()0,2A -，()4,0B 两点，直线:28BC y x =-+交y 轴于点C ．点D 为直线AB 下方抛物线上一动点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为G ，DG 分别交直线BC ，AB 于点E ，F ．(1)求b 和c 的值；(2)H 是y 轴上一点，当四边形BEHF 是矩形时，求点H 的坐标．(1)∵抛物线y = -x 2 + bx + c 过A (0，-2)，B (4， 0)两点，∴2{8+40c b c =-+= ，解得322b c ì=-ïíï=-î，∴213222y x x =--故答案为：b =3-2，c =-2(2)①如图1中，过点H 作HM ⊥EF 于M，∵四边形BEHF是矩形，∴EH//BF，EH= BF，∴∠HEF=∠BFE，∵∠EMH=∠FGB= 90°∴△EMH≌△FGB (AAS)，∴MH=GB，EM=FG，∴HM=OG，OB=2，∴OG= GB=12∵A(0，-2)，B(4，0)，x- 2，∴直线AB的解析式为y= 12a-2)，设E(a，-2a+8)，F(a，12由MH = BG得到，a-0=4-a，∴a= 2，∴E(2，4)，F(2，-1)，∴FG= 1，∵EM= FG，∴4-H y= 1，∴yH =3，∴H (0， 3)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 坐标()3,0，抛物线与y 轴交于点()0,3C -，点D 为抛物线顶点，对称轴1x =与x 轴交于点E ，连接BC 、EC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点Q 是抛物线上一动点，点M 是平面上一点，若以点B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q 的横坐标．(1)解：由题意得：123930b x a c a b c ì=-=ïï=-íï++=ïî，解得123a b c =ìï=-íï=-î，故抛物线的表达式为223y x x =---①；(2)解：设点Q 的坐标为(),m n ，223n m m =---③，点M 的坐标为(),s t ，①当BC是边时，点C 向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B ，同样()Q M 向右平移3个单位向上平移3个单位得到点()M Q ，且()BQ CM BM CQ ==，222233(3)(3)m s n t m n s t +=ìï\+=íï-+=++î④或222233(3)(3)m s n t s t m n -=ìï-=íï-+=++î⑤，联立①④并解得0(m =舍去)或1；联立①⑤并解得3(m =舍去)或2-，故1m =或2-；②当BC 是对角线时，由中点公式和BC QM =得：()()()()222211302211032233()()m s n t m s t n ì+=+ïïï-=+íï+=-+-ïïî⑥，联立①⑥并解得m =综上，点Q 的横坐标为1m =或2-．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．抛物线223y x x =-++与x 轴交于另一点A ，B 两点．与y 轴交于C ，D 为抛物线的顶点．(1)求A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点M 是y 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，当以A ，D ，M ，Q为顶点的四边形是矩形，直接写出点Q 的坐标．(1)令0y =，则2230x x -++=，3x \=或1x =-，()1,0A \-，()3,0B ，令0x =，则3y =，()0,3C \，2223(1)4y x x x =-++=--+Q ，\顶点()1,4D ；(2)(3)设()0,M m ，(),Q x y ，①当AD 、MQ 为矩形的对角线时，114x m y-+=ìí=+î，0x \=，4y m =-，AD MQ =Q ，y m \=-，2y \=或2y =-，()0,2Q \或()0,2Q -；②当AM 、DQ 为矩形的对角线时，10104x m y -+=+ìí+=+î，2x \=-，4y m =-，AM DQ =Q ，2219(4)m y \+=+-，12y \=，12,2Q æö\-ç÷èø；③当AQ 、DM 为矩形的对角线时，1104x y m -+=+ìí=+î，2x \=，4y m =+，AQ DM =Q ，2291(4)y m \+=+-，72y \=，72,2Q æö\ç÷èø；综上所述：点Q 的坐标为()0,2或()0,2-或12,2æö-ç÷èø或72,.2æöç÷èø【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键．5．综合与探究如图，抛物线249y x bx c =-++与y 轴交于点()0,8A ，与x 轴交于点()6,0B ，C ，过点A 作AD x ∥轴与抛物线交于另一点D ．(1)求抛物线的表达式；(2)点M 是y 轴上的一个点，点N 是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)将()0,8A ，()6,0B 代入抛物线249y x bx c =-++，得43660,98.b c c ì-´++=ïíï=î 解得438b c ì=ïíï=î ∴抛物线的表达式为244893y x x =-++；(2)存在，点N 的坐标为(3,98-或()233,4-.理由如下：如图2，过点B 作x 轴的垂线交AD 的延长线于点E ，则AE EB ^，当8y =时，2448893x x -++=，解得0x =或3.∴点D 的坐标为()3,8.∴3,3AD DE ==.①如图2，当DM 为矩形的边时，过点N 作NK x ^轴，交x 轴于点K .∵90,90,90MAD DEB ADM BDE AMD ADM Ð=Ð=°Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴BDE AMD Ð=Ð.∴ADM EBD:△△∴AM AD ED EB =，即338AM = ∴98AM=同理，可求得EBD KBN :△△.∴ADM KBN:△△∴90,MAD NKB ADM KBN Ð=Ð=°Ð=Ð，又∵MD NB =，∴ADM KBN @△△.∴3AD KB ==.∴633OK =-=. ∴98KN AM == ∴8(3,)9N -；②如图2，当DM ¢为矩形的对角线时，过点N ¢作N K x ¢¢^轴交DA 的延长线于点K ¢同理可得M BO DBE ¢~△△ ∴OM OB ED EB ¢=∴638OM ¢= ∴94OM ¢=. ∵DN BM ¢¢=，∴易得DN K BM O¢¢@¢△△∴94N K M O ¢¢¢==，6K D OB ¢==∴3AK ¢=，点N ¢的纵坐923844OA N K ¢¢=-=-= ∴233,4(N -，③以BD 为对角线这种情况不存在.综上所述，存在点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形，点N 的坐标为(3,)98-或(233,4-.【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =++(0a ≠)与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，OA =1，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P 的坐标．(1)解：Q 抛物线2()20y ax x c a =++≠的对称轴为222x a=-=，12a \=-，2122y x x c \=-++，1OA =Q ，且点A 在x 轴负半轴上，(1,0)A \-，将点(1,0)A -代入2122y x x c =-++得：1202c --+=，解得52c =，∴抛物线的解析式为：215222y x x =-++；(2)设点P 的坐标为(2,)P m ，由题意，分以下三种情况：①当BC 为矩形BCPQ 的边时，则CP BC ^，设直线CP 的解析式为2y x n =+，将点5(0,2C 代入得：52n =，则直线CP 的解析式为522y x =+，将点(2,)P m 代入得：5132222m =´+=，即13(2,)2P ；②当BC 为矩形BCQP 的边时，则BP BC ^，设直线BP 的解析式为2y x n =+，将点()5,0B 代入得：10n =-，则直线BP 的解析式为210y x =-，将点(2,)P m 代入得：22106m =´-=-，即(2,6)P -；③当BC 为矩形BPCQ 的对角线时，则BP CP ^，222CP BP BC \+=，即22222255(20)((25)(0)(50)(0)22m m -+-+-+-=-+-，解得4m =或32m =-，()24P \，或3(2,)2P -；综上分析可知，点P 的坐标为(2，132)或(2，6)或(2，4)或(2，32-)．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），分三种情况讨论是解题关键．类型二 二次函数中的菱形7．如图，二次函数2y ax 2x c =++（0a ≠）的图象经过点()0,3C ，与x 轴分别交于点A ，点()3,0B ．(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上任意一点，点P 关于y 轴的对称点记作点P ¢，当四边形POP C ¢为菱形时，求点P 的坐标；(1)解：Q 二次函数2y ax 2x c =++（0a ≠）的图象经过点()0,3C ，与x 轴点()3,0B ．3960c a c =ì\í++=î，解得：13a c =-ìí=î 所以抛物线的解析式为22 3.y x x =-++(2)解：如图，四边形POP C ¢为菱形，,,,CO PP CK OK PK P K \^=¢=¢()0,3,C Q3,2OK CK \==3,2P P y y ¢\== 2323,2x x \-++=解得：x = Q 点P BC0,x \＞ 即x =3.2P ö\÷÷ø8．如图，已知直线y kx b =+与抛物线212y x mx n =-++交于点P (a ，4)，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点 C ，PB ⊥x 轴于点B ，且AC =BC ，若抛物线的对称轴为112x =，且S △PBC =8．(1)求直线和抛物线的函数解析式；(2)物线上是否存在点D ，使以B 、C 、P 、D 为顶点的四边形是为菱形?如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1)21111022y x x =-+-(2)存在，点D 的坐标为（8，2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法，构建方程组即可解决问题；（2）首先证明CB ＝CP ，作CD ⊥PB ，则CD 平分PB ，当PB 平分CD 时，四边形BCPD 为菱形，此时点D 的坐标为（8，2），只要证明点D 在抛物线上即可；(1)解：∵PB ⊥x ，P （a ，4），S △PBC ＝8，∴ 182PB OB ´´=，PB ＝4，∴1482OB ´´=，∴OB ＝4，∴点P 的坐标为（4，4），∵AC ＝BC ，∴ △ABC 是等腰三角形∵ CO ⊥AB ，∴OA ＝OB ＝4，∴ 点A 的坐标是（﹣4，0），把点A 、P 的坐标代入y ＝kx +b 得：4440k b k b +=ìí-+=î，解得： 122k b ì=ïíï=î ，∴直线的解析式为122y x =+ ，∵212y x mx n =-++ 的对称轴为112x =，且经过点P （4，4），∴ 11122()2116442m m n ì-=ï´-ïíï-´++=ïî解得：11210m n ì=ïíï=-î∴抛物线的解析式为21111022y x x =-+-；(2)解：∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ，∵∠CAB +∠APB ＝∠CBA +∠CBP ＝90°，∴∠APB ＝∠CBP ，∴CB ＝CP ，作CD ⊥PB ，则CD 平分PB ，当PB 平分CD 时，四边形BCPD 为菱形，此时点D 的坐标为（8，2），把x ＝8代入21111022y x x =-+-，得21118810222y =-´+´-=，∴点D在抛物线上，∴在抛物线上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为（8，2）．【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．9．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．(1)求抛物线解析式；(2)若点H是抛物线的顶点，在x轴上有一点M，平面内是否存在点N，使得以A、H、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由(1)解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴3093cb c=ìí=-++î，∴23bc=ìí=î，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；(2)解：把y ＝﹣x 2+2x +3化成顶点式为y ＝﹣（x -1）2+4；所以，顶点H 坐标为（1，4），∵A （3，0），∴AH ==①当四边形ANMH 为菱形时，AM 为对角线，如图，点M 与点C 重合，点N 与点H 关于x 轴对称，∴N 点坐标为（1，-4）；②当四边形AMNH 为菱形时，如图，∴HN ∥x 轴，HN ＝AH =∴N 点坐标为（1-4）或（1+4）；③当四边形AMHN 为菱形时，如图，设M 点坐标为（m ，0），∵AM =MH ，∴222(3)4(1)m m -=+-，解得，m =-2，MA =HN =5，∴N 点坐标为（6，4）；综上所述：点N 的坐标分别为：（6，4）或（1-4）或（1+4）或（1，-4）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)对于一次函数3y x =-+，令0y =，则3x =；令0x =，则3y =，∴B (3，0)，C (0，3)．∵二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，∴20333b c c ì=-++í=î，解得：23b c =ìí=î，∴该二次函数解析式为2y x 2x 3=-++；(2)根据题意可知D E C x x x m ===，∵点()0M m ，是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合，∴03m <<．∵点D 在二次函数图象上，点E 在一次函数图象上，∴223D m m y -++=，3E y m =-+，∴22323(3)D E m DE y y m m m m -++-+=-=-=-，CE ===；(3)由（2）可知23DE m m =-，CE =，∴222(3)DE m m =-，222CE m =．又可求出222222222()()(3)()232D C D C C m m D x x y m m m y m -++-=-+-=+-=+．∵以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，故可分类讨论①当CD =CE 时，即22CD CE =，∴22222()2m m m m =-+，解得：1213m m ==，（舍），30m =（舍），∴此时M (1，0)；②当CD =DE 时，即22CD DE =，∴22222()(32)m m m m m +=--，解得：1220m m ==，（舍），∴此时M (2，0)；③当CE =DE 时，即22CE DE =，∴2222(3)m m m =-，解得：1233m m ==，30m =（舍），∴此时M (3，0)．综上可知存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．【点睛】本题为二次函数综合题．考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定，菱形的性质等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．11．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，且2OA OB =，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线12x =，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE OA ^于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是抛物线对称轴上的一点，点G 是坐标平面内的一点，是否存在点P ，使得以点P ，B ，C ，G 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)设OB t =，则2OA t =，则点A 、B 的坐标分别为(20)t ，、(0)t -，，则11(2)22x t t ==-，解得：1t =，故点A 、B 的坐标分别为(20)，、(10)-，，则抛物线的表达式为：2(2)(1)2y a x x ax bx =-+=++，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：22y x x =-++；(2)如图，共有五个满足的P 点，BC ===由菱形的性质可知，当1BC PC =时，1122P æççè，即1122P æççè，当2BC BP =时，212P æççè，即212P æççè当33P B PC =时，设P 3到x 轴的距离为nn=12即31122P æöç÷èø，当4BC CP =时，4122P æççè即4122P æççè，-当5BC BP =时，512P æççè，即512P æççè-P 点坐标：11()22，或1(2或1(2或1(22或1(22，【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数、菱形的性质，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用是解题的关键．12．综合与探究如图，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点P 是直线BC 上方抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为直线BC 上一点，N 为平面内一点，是否存在这样的点M 和点N 使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 坐标；若不存在，说明理由．(1)解：∵抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），∴309330a b a b -+=ìí++=î，解得12a b =-ìí=î ，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；(2)解：存在．理由如下：∵点M 在直线BC 上，直线BC 的解析式为3y x =-+，∴设M (x ，-x +3)，分三种情况：第一种情况，当CD 是菱形对角线时，则有菱形ANDM ，如图，∵菱形ADMN ，∴CM =DM ,∵C(0，3)，D(1，0)，∴x2+(-x+3-3)2=(x-1)2+(-x+3)2,解得：x=54，当x=54时，则y=-x+3=74，∴M（54，74）；第二种情况，当CM是菱形对角线时，则有菱形CDMN，如图，∵C(0，3)，D(1，0)，∴CD=∵菱形ADMN，∴DM=CD,∴(x-1)2+(-x+3)2=10，解得x1=4，x2=0（舍去），当x=4时，y=-x+3=-1，∴M(4，-1)；第三种情况，当DM是菱形对角线时，则有菱形CDNM，如图，∵菱形CDMN，∴CM=CD，∴x2+(-x+3-3)2=10，解得：x1x2∴y1y2∴M1M2综上，以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形时，点M的坐标为(54，74)或(4，-1)或或．【点睛】本题考查二次函数与特殊三角形、特殊四边形的综合、一次函数的综合，涉及用待定系数法求函数解析式，最短距离问题，函数图象和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是综合运用以上知识，综合性较强，属中考试压轴题．13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线2y x bx c=++经过点B，()4,5D-两点，且与直线DC交于一点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 为抛物线对称轴上一点，点Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(1)解：由点D 的纵坐标知，正方形ABCD 的边长为5，OA ＝4，∴541OB AB AO =-=-=，故点B 的坐标为()1,0，把B 、D 两点代入抛物线的解析式得则101645b c b c ++=ìí-+=î，解得23b c =ìí=-î，故抛物线的表达式为223y x x =+-；(2)解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线2121x =-=-´，故设点F 的坐标为()1,m -，由点B 、E 的坐标得，()()22222215026BE CE BC =+=-+-=，∵以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，当BE BF =时，()221126m éù--+=ëû解得1m =2m =如图2所示，当EB EF =时，则()()2226215m =++-，解得，35m =45m =如图3所示，故点F的坐标为(1,5-或(1,5-或(-或(1,-．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
矩形_菱形的性质及判定专项练习习题精选
M N OD CBA 矩形，菱形的性质及判定专项练习1.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.已知菱形的两条对角线长为10cm 和24cm, 那么这个菱形的周长为______________, 面积为_______________.3.将两张长10cm 宽3cm 的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分的面积的最大值为________________. 4.一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________. 5.顺次连接一个特殊四边形的中点, 得到一个菱形. 那么这个特殊四边形是___________. 6.如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OF ⊥BC ，CE ⊥BD ，OE ：BE=1：3，OF=4，求∠ADB 的度数和BD 的长。
7.如图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为36cm ，求此矩形的面积。
8.折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，如图，若AB=2，BC=1，求AG 。
9.已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
OFEDCBAGEDCBA10.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EFCE ，且,2EFCE DEcm ，矩形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长．11.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，（1），画出△AOB 平移后的三角形，其平移的方向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长。
（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。