高中教师备考基本功考核试卷数学试题及解题分析

高中教师备考基本功考核试卷数 学(满分100分；考试用时120分钟)第Ⅰ卷 试题解答（53分）一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x A ，则AB =A ． )23,3(-- B ． )23,3(- C ． )23,1( D ．），（3232.从区间]1,0[随机抽取2n 个数n n y y y x x x ,...,,,,...,,2121构成n 个数对),()...,,(),,(2211n n y x y x y x ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为 A ．m n 4 B ．m n 2 C ．n m 4 D ．nm 2 3．已知21,F F 是双曲线E : 12222=-b y a x 的左右焦点，点M 在E 上，1MF 与 x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ,则E 的离心率为 A ．2 B ．23C ．3D ．24．设函数()x f '是奇函数的导函数，0)1(=-f ，当时，()()0<-'x f x f x ，则使得成立的x 的取值范围是 A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞5．在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上． 若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．2B ．22C ．5D ．36. 若将函数y =2sin 2x 的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A ． 62ππ-=k x (k ∈Z ) B ． 62ππ+=k x (k ∈Z ) C ． 122ππ-=k x (k ∈Z ) D ． 122ππ+=k x (k ∈Z ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．7．设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则n a a a ⋯21的最大值为_______ . 8． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______ .9．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为_______ . 10．已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-,若函数xx y 1+=与)(x f y =图象的交点为)(1,1y x ，),(22y x ，…，（m m y x ,），则=+∑=mi i iy x1)(_______ .三、解答题：本大题共3小题，共23分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 11．（本小题满分7分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知ABC ∆的面积为（1）求C B sin sin ；（2）若3,1cos cos 6==a C B ，求ABC ∆的周长.12．（本小题满分7分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [)1015， [)1520， [)2025， [)2530， [)3035， [)3540， 天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天23sin a A的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 13．（本小题满分9分）已知函数3211()(1)32f x x a x ax =-++-，a ∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x '是()f x 的导函数，且不等式()ln f x x x '≤恒成立，求a 的值．第Ⅱ卷 试题解析（47分）四、试题解析：第14题 、第15题要求分析试题的解题思路和方法．第16题要求分析试题的难点、考查意图、设计特点.14．（本小题满分16分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求点M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积.14.解：（1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4.设(,)M x y ，则(,4),(2,2)CM x y MP x y =-=--. 由题设知0CM MP ⋅=，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=.（2）由（1）可知点M 的轨迹是以点(1,3)N 为圆心，2为半径的圆.由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥. 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，所以l 的方程为1833y x =-+. 又||||22OM OP ==，O 到l 的距离为，510410|8|=-=d , 50`4)5104()22(22||2222=-=-=d OP PM ， 所以516||21=d PM ,即POM ∆的面积为165. 15．（本小题满分16分）设函数2()mxf x ex mx =+-.（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围. 15.解：（1）()(1)2mx f x m e x '=-+.若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-≤<； 当(0,)x ∈+∞时，10mxe-≥，()0f x '>.若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-><； 当(0,)x ∈+∞时，10mxe-<，()0f x '>.所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.（2）由（1）知，对任意的,()m f x 在]0,1[-单调递减，在[0,1]单调递增， 故()f x 在0x =处取得最小值.所以对于任意1212,[1,1],|()()|1x x f x f x e ∈--≤-的充要条件是(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,mm e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩① 设函数()1t g t e t e =--+，则()1tg t e '=-.当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>， 故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.又1(1)0,(1)20g g e e -=-=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤. 当[1,1]m ∈-时，()0,()0g m g m ≤-≤，即①式成立； 当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1me m e ->-； 当1m <-时，()0g m ->，即1me m e -+>-.综上，m 的取值范围是]1,1[-.16．（本题满分为15分）如图，在以点F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，FD AF 2=，90AFD ∠=，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是60． （1）证明：EFDC ABEF 平面平面⊥； （2）求二面角A BC E --的余弦值．16.解：（1）由已知可得，DF AF ⊥，EF AF ⊥，所以EFDC AF 平面⊥． 又ABEF AF 平面⊂，故EFDC ABEF 平面平面⊥．（2）过点D 作EF DG ⊥，垂足为点G ，由（1）知ABEF DG 平面⊥． 以点G 为坐标原点， GF ，GD 的方向分别作为轴、z 轴的正方向， ||GF 为单位长度，建立如图所示的 空间直角坐标系xyz G -．由（1）知DFE ∠为二面角E AF D --的平面角，x 学校 姓名 序号…………密……………………封……………………装……………………订…………………线………………故60=∠DFE ，则2||=DF ， 3||=DG ， 4||=FA .所以)0,4,1(A ，)0,4,3(-B ，)0,0,3(-E ，)3,0,0(D ． 由已知，EF AB //，所以EFDC AB 平面//． 又DC EFDC ABCD =平面平面 ，故CD AB //，EF CD //．由AF BE //，得EFDC BE 平面⊥，故CEF ∠为二面角F BE C --的平面角，所以60=∠CEF ．从而可得)3,0,2(-C ． 所以)3,0,1(=EC ， )0,4,0(=EB ，)3,4,3(--=AC ，)0,0,4(-=AB ．设是平面BCE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EB n EC n ,即，所以可取．设是平面ABCD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AB m AC m .同理可取．则． 故二面角A BC E --的余弦值为．(),,n x y z =3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩()3,0,3n =-m ()0,3,4m =219cos ,19n m n m n m ⋅==-21919-高中教师备考基本功考核数学参考答案及评分细节第Ⅰ卷 试题解答（53分）一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．1. D2. C3. A4. A5. D6. B二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．7. 64 8. 6. 9. 36π 10. m 三、解答题：本大题共3小题，共23分． 11. （本小题满分7分）解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A = .............1分由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A = ...........................2分故2sin sin 3B C = .........................................3分（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π= ..................................4分由题设得21sin 23sin a bc A A=，则8bc = ........................5分由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=.由此得33b c += ......................................6分故ABC ∆的周长为 333+....................................7分 12．(本小题满分7分）解：（1）由题意知，X 所有可能取值为200, 300, 500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===.因此X 的分布列为：X 200 300 500 P0.2 0.4 0.4................2 分（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，设进货量为n ，则只需考虑200n ≤≤500. ①当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[20,25），则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-. 故n n n n Y E 4.06402.0)2800(4.0)21200(4.02)(-=⨯-+⨯-+⨯=..4分②当200300n ≤<时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-.故n n n Y E 2.11602.0)2800()4.04.0(2)(+=⨯-++⨯=. (6)分所以300=n 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.......7分13．（本小题满分9分）解:（1）2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=-++-=---，令()0f x '=，得121,x x a ==． ................................1分 （ⅰ）当1=a 时，()0f x '≤恒成立，当且仅当1x =时，()0f x '=，此时()f x 在R 上单调递减； ...............................2分（ⅱ）当1a >时，由()0f x '>，得1x a <<，由()0f x '<，得1x <或x a >，所以()f x 在（1，a ）单调递增，在（－∞，1）和（a ，+∞）单调递减； (3)分.（ⅲ）当1a <时，同理得()f x 在(,1)a 单调递增，在(,)a -∞和(1,)+∞单调递减． .........4分（2）法一：()ln f x x x '≤,即2ln (1)0x x x a x a +-++≥，可化为ln 10ax x a x++--≥，x >0． 令()ln 1a g x x x a x =++--，则22211)(x ax x x a x x g -+=-+='...5分（ⅰ） 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增． 又因为(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，故不满足题意． ..6分（ⅱ） 当0a >时，由()0g x '=，得20x x a +-=，此方程有唯一正根x 0，所以200a x x =+． （*） ...............7分 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：x（0，0x ）0x（0x ，+∞）'()g x － 0 + ()g x单调递减极小值单调递增所以min 0000()()ln 1ag x g x x x a x ==++-- =220000000ln 1x x x x x x x +++---＝2000ln x x x -+，要使()0g x ≥对任意正数x 恒成立，须且只须g (x )min = ln x 0－x 02+x 0≥0． ① .........................8分 令2()ln u x x x x =-+，x >0，则1(1)(21)'()21x x u x x x x--+=-+=． 当x 变化时，(),()u x u x '的变化情况如下表：x（0，1）1 (1，+∞)'()u x + 0 － ()u x单调递增极大值单调递减得max ()(1)0u x u ==，即ln x 0－x 02+x 0≤0． ② 由①②得ln x 0－x 02+x 0＝0，所以01x = 结合（*）式得200a x x =+=2．综上，不等式()ln f x x x '≤对任意的正数x 恒成立时，2a =．. ....9分 法二：不等式()ln f x x x '≤可化为2ln (1)0x x x a x a +-++≥，0>x ． 令2()ln (1)g x x x x a x a =+-++，则(1)0g =． .. (5)分所以要使()0g x ≥对任意的正数x 恒成立，须且只须()g x 在1x =处取到最小值． ..........................6分因为()ln 2g x x x a '=+-，12ga '-（）＝， 令20a -=，得2a =． .... ..................................7分又2a =时，2()ln 32g x x x x x =+-+，()ln 22g x x x '=+-．因为()g x '在（0，+∞）单调递增，且(1)0g '=， 所以()g x '有唯一零点，且为1x =，所以()g x 在1x =处取到最小值，且最小值(1)0g =，即()0g x ≥．综上，不等式()ln f x x x '≤对任意的正数x 恒成立时，2a =．.............9分 第Ⅱ卷 试题解析（47分）四、试题解析：第14题 、第15题要求分析试题的解题思路和方法．第16题要求分析试题的难点、考查意图、设计特点.14．（本小题满分16分）简明清晰正确分析试题的解题思路，中间结果及最终结论（答案）正确，满分10分，11 每增加一种正确解法另加2分，累加到16分为止．15．（本小题满分16分）简明清晰正确分析试题的解题思路，中间结果及最终结论（答案）正确，满分10分，每增加一种正确解法另加2分，累加到16分为止．16．（本小题满分15分）试题难点（满分5分）： ①理解空间点线面的位置关系；②确定二面角F BE C --的平面角；③证明EF CD //；④正确建立空间直角坐标系；⑤求点C 的坐标；⑥理解二面角与相应法向量所成角的关系；⑦正确运用向量数量积公式求二面角．考查意图（满分5分）： ①考查五面体、二面角及其平面角的概念，正方形的性质，线面平行与垂直的判定及性质定理，面面垂直及线线平行的判定，法向量的概念，向量数量积公式的运用等基础知识；②考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等；③考查函数方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．设计特点（满分5分）：①试题以一个面为正方形的五面体为载体，通过问题的分层设计，由浅入深，给不同基础的考生提供想象的空间和展示的平台．②问题（1）的设计，侧重了对立体几何中线面、 面面垂直等基础知识的考查．解题思路明确，证明方法简单，使不同层次考生的水平都能得到发挥．③问题（2）的设计，在考查考生运算求解能力的同时，侧重了对空间想象能力、推理论证能力的考查．给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，提升了对考生数学能力和数学素养的考查．④试题设计简洁，设问明确，能准确把握相关几何元素的关系，把空间想象能力、推理论证能力等能力和向量运算、建立空间直角坐标系等知识较好地融入题中，使相关的知识和能力得到了有效的考查．（本答案仅给出要点，评分时视答题具体情况酌情给分）。