数理经济学PPT
经济学之相关数理基础-PPT精选
製作與使用圖形
圖A1.4(c)負相關，顯示回答 問題數目與休閒時間的關
係，為一條越來越陡峭的
下降趨勢曲線
曲線呈現先緩慢、後急遽下降， 代表隨著休閒時間的增加，回答 問題的題數迅速減少。
製作與使用圖形
• 斜率
– 斜率
– 是縱軸變數的變動量除以橫軸變數的變動量， 斜率的大小可以展現一變數對另一變數的影響 程度。若以代表變動量，則y代表縱軸變數 的變動量，y代表橫軸變數的變動量，於是斜 率等於：
給初學者之建議1
• 如何在開始的時候把握一些基本的工具呢？ • 首先要把微積分讀好，經濟學會運用到一
些基本的微積分，尤其對於一階分，二階 微分的意義，全微分及偏微分更是要好好 的了解，如此對於你往後的經濟學生涯是 絕對有幫助的．
給初學者之建議2
• 在經濟學中有許多的圖形及基本的數學工具，在 圖形之中不免會有座標，有直線有曲線，座標有 橫座標及縱座標，直線有斜率，曲線有切線斜率； 數學也大概只有基本微積分而已，這些雖然都是 一些工具，但是在剛開始的時候，就要有仔細研 究的精神，不只在文字上了解經濟學，利用這些 工具所求出的結果來幫助你，更是事半功倍，了 解每一個圖形的真正意含是真的真的很重要的一 件事，不只是在初學時，在往後的每一個時期也 都是如此．
• 當一階微分大於零，其在幾何上的意義為：當ｘ 值愈大時，ｙ值也愈大，即斜率為正值．
微積分2
• （２）二階微分：二階微分由字面上看來就可以 知道就是把一階微分（切線斜率）所得的數式再 作一次一階微分，在幾何上也就是說：當二階微 分大於零時表示，ｘ值愈大則其切線斜率也愈 大．這樣子的關係當然就表示此時曲線是呈現凹 口向上的，可以自己劃圖印證一下．一個凹口向 上的曲線，表示它會有極小值產生．相反的，凹 口向下則會有極大值產生．
1-数理经济学概论
§1.2
数理经济学与计量经济学
—— 数理经济学中的数学模型主要用于定性 分析，计量经济学中的模型主要用于定量分析。
数理经济学是运用抽象的方法，借助于数学 公式和几何图形研究社会经济现象，得出概念和 理论； 计量经济学进一步要求理论转化为合适的数 学模型，运用统计技术，对经济变量之间的关系 进行定量估计，以此为依据进行经济分析和预测。
§1.3
本课程教材与参考书目
§1.3
教材与参考书目
§1.2
数理经济学与计量经济学
二、数理经济学与计量经济学的联系
—— 从宏观上考虑，数理经济学属于理论经济 学范畴，计量经济学属于应用经济学范畴，理 论经济学一直肩负着对应用经济学的指导作用。
—— 从微观上考虑，使用计量经济学研究实际 问题的三个基本要素为经济理论、数据资料和 计量方法，其中，经济理论是计量经济学研究 的基础，这需要数理经济学来支撑。
§1.2
数理经济学与计量经济学
—— 数理经济学中的数理模型变量之间的关 系是确定性的关系，而计量经济学建立的模型 中变量之间的关系是统计性关系，它仅仅是推 理意义上的函数关系，因此计量模型中都含有 随机误差项。
数理模型：Y = AKaLb 计量模型：lnY =α0 +α1 lnK +α2 lnL +ε
§1.2
数理经济学与计量经济学
一、数理经济学与计量经济学的区别
—— 数理经济学是数学与经济学相结合的学科， 而计量经济学是经济学、数学和统计学相结合 的学科。
数理经济学是经济学运用数学符号和数学方 法表述、演绎，进行纯理论方面的规范研究； 而计量经济学是在数理模型的基础上，运用 统计数据和统计学的相关知识进行假设检验，进 行经验观测的实证研究。
数理经济学课件
＞0 i=1,2…n 图（a） 图（a ＜0 i=1,2…n 图（b） 图（b 图（c） 图（c
⑶追求享受品种多样化假设：
U ( x1 , x2 )
图（d 图（d）
得到的都是向下弯曲 的截线，故效用函数的整 个曲面是向下弯曲的，数 学上称为凹函数，重要任 务就是寻找一种简洁的凹 函数作为效用函数的数学 表达式。
k (σ −1)⋅δ
σ ⋅( δ −1)
<k
(σ −1) (σ −1)
倍，符合效用函数凹的假设，实际中常用δ=σ， 倍，符合效用函数凹的假设，实际中常用δ=σ，因其推导出的需求 函数表达式一致。 故， 其中：
U ( x1 ⋯ xn ) = A[α1 x1
σ
1
σ
+ ⋯ + α n xn
σ
1
σ
σ
]
(σ −1)
数理经济学
——理论与应用 ——理论与应用
（研究生用）
说
• • • • • •
明
1、课堂学时：40，课外与课堂学习比例为3︰1 2、教 材： 数理经济学——理论与应用 清华大学出版社，张金水著 。 3、参 考 书： （1） 可计算非线性动态投入产出模型，清华大学出版社，张金水著 。 （2) 一般均衡理论，上海财经出版社，罗斯·M.斯塔尔著。 (3) 数理经济学导论，中国统计出版社，伍超标著 （4）数理经济分析入门，中国科学技术大学出版社，候定丕。 （5）价值理论及数理经济学的20篇论文，首都经济贸易大学出版社，吉 拉德·德布鲁著。
2.1 生产过程中投入量与产出量之间定量关系；生产函数的数 生产过程中投入量与产出量之间定量关系； 学表达式
茹少峰数量经济学课程PPT第一章
定义方程 定义方程实质上是数学恒等式，常用符号“ =” 表 示。定义方程一般用于描述经济学概念或前提假设。 行为方程 行为方程描述经济现象的规律，由所研究问题内 含的经济学规律决定。行为方程在数学上是两个或两 个以上变量的一种函数关系，而在经济学上，是两个 或两个以上经济学变量的行为关系。 均衡条件 均衡条件仅出现在均衡模型中，它是联结行为方 程和方程组的桥梁和纽带。在均衡模型中，通常通过 均衡条件方程来求得模型的均衡解。
第三节 数理经济学的研究方法和基本问题
1.研究方法 数理经济学通常是从一定的假设条件出发，将经济活 动量转化为一个或一组变量，继而写出函数式或方程组， 从而得到相应的经济现象或经济系统的数学描述，然后运 用数学推理方法得出结论，这是数理经济学的一般研究方 法，简言之，数理经济学研究方法就是建立经济问题的数 学模型与求解模型。
第一章 数理经济学概述
本章主要学习的内容： 1、数理经济学的定义 2、数理经济学的诞生和发展 3、数理经济学的研究方法和基本问题 4、数理经济学研究的内容与地位
第一节 数理经济学的定义
目前对于数理经济学尚无统一的定义，以下是几种 有代表性的定义： 阿罗(Kenneth J. Arrow)：数理经济学是包括数学概念 和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。 蒋中一(Alpha C. Chiang )：数理经济学是一种经济分析 方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已 知的数学定理进行推理的一种方法。
总结
由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学 方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模 型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问 题。因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科， 不如说它是一种经济学分析方法。
数理经济学 课件
数理经济学 chapter1 课件
.Chapter1Basic Probability Theory•A random experiment is a process that generates well-defined outcomes. One and only one of the possible experimental outcomes will occur,but there is uncertainty associated with which one will occur.•Fundamental axioms of modern econometrics:–An economic system can be viewed as a random experiment governed by some probability distribution or probability law.–Any economic phenomena(often in form of data)can be viewed as an outcome of this random experiment.•Two essential elements of a random experiment:–The set of all possible outcomes—sample space.–The likelihood with which each outcome will occur—probability func-tion.•Definition:Sample Space.The possible outcomes of the random experiment are called basic outcomes,and the set of all basic outcomes is called the sample space,denoted by S.When an experiment is performed, the realization of the experiment is one outcome in the sample space.•Examples:Finite Sample Space.Experiment Sample SpaceToss a coin{Head,Tail}Roll a die{1,2,3,4,5,6}Play a football game{Win,Lose,Tie}•Example:Infinite Discrete Sample Space.Consider the number of accidents that occur at a given intersection within a month.The sample space is the set of all nonnegative integers{0,1,2,···}.•Example:Continuous Sample Space.When recording the lifetime of a light bulb,the outcome is the time until the bulb burns out.Therefore the sample space is the set of all nonnegative real number{t:t∈R,t≥0}.•Definition:Event.An event A is a subset of basic outcomes from the sample space S.The event A is said to occur if the random experiment gives rise to one of the constituent basic outcomes in A.That is,an event occurs if any of its basic outcomes has occurred.•Example:A die is rolled.Event A is defined as“number resulting is even”. Event B is”number resulting is4”.Then A={2,4,6}and B={4}.•Remarks:–The words”set”and”event”are interchangeable.–Basic outcome∈sample space,event⊂sample space.•Definition:Containment.The event A is contained in the event B, or B contains A,if every sample point of A is also a sample point of B. Whenever this is true,we will write A⊂B,or equivalently,B⊃A.•Definition:Equality.Two events A and B are said to be equal,A=B, if A⊂B and B⊂A.•Definition:Empty Set.The set containing no elements is called the empty set and is denoted by∅.The event corresponding to∅is called a null(impossible)event.•Definition:Complement.The complement of A,denoted by A c,is the set of basic outcomes of a random experiment belonging to S but not to A.•Definition:Union.The union of A and B,A∪B,is the set of all basic outcomes in S that belong to either A or B.The union of A and B occurs if and only if either A or B(or both)occurs.•Definition:Intersection.The intersection of A and B,denoted by A∩B or AB,is the set of basic outcomes in S that belong to both A and B.The intersection occurs if and only if both events A and B occur.Venn Diagram:Use circles(or other shapes)to denote sets(events).The inte-rior of the circle represents the elements of the set,while the exterior represents elements which are not in the set.Figure1:Venn Diagrams:(a)Complement,(b)Union,and(c)Intersection•Definition:Difference.The difference of A and B,denoted by A\B or A−B,is the set of basic outcomes in S that belong to A but not to B, i.e.A\B=A∩B c.The symmetric difference,A÷B,contains basic outcomes that belong to A or to B,but not to both of them.Figure2:Venn Diagrams:Symmetric Difference.1.3Review of Set Theory•Definition:Exclusiveness.If A and B have no common basic out-comes,they are called mutually exclusive(or disjoint).Their intersection is empty set,i.e.,A∩B=∅.•Definition:Collectively Exhaustive.Suppose A1,A2,···,A n are n events in the sample space S,where n is any positive integer.If∪n i=1A i=S, then these n events are said to be collectively exhaustive.•Definition:Partition.A class of events H={A1,A2,···,A n}formsa partition of the sample space S if these events satisfy(1)A i∩A j=∅for all i=j(mutually exclusive).(2)A1∪A2∪···∪A n=S(collectively exhaustive).Laws of Set Operations•Complementation(A c)c=A,∅C=S •CommutativityA∪B=B∪A,A∩B=B∩A.•AssociativityA∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.•Distributivity:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). More Generally,for n≥1,B∩(∪n i=1A i)=∪n i=1(B∩A i),B∪(∩n i=1A i)=∩n i=1(B∪A i).•De Morgan’s Laws:(A∪B)c=A c∩B c,(A∩B)c=A c∪B c. More Generally,for n≥1,(∪n i=1A i)c=∩n i=1(A c i),(∩n i=1A i)c=∪n i=1(A c i).Use Venn diagrams to check De Morgan’s Laws for the case of two events(A∪B)c=A c∩B c.Figure3:Validation of(A∪B)c=A c∩B c.Left panel:(A∪B)c;right panel:A c∩B c.•How to prove the general case of De Morgan’s Laws(n>2)(∪n i=1A i)c=∩n i=1(A c i).•Proof.x∈(∪n i=1A i)c⇔x/∈A i for any i=1,···,n⇔x∈A c i for all i=1,···,n⇔x∈∩n i=1(A c i).Hence,the equality holds.•Definition:Probability Function.Suppose a random experiment has a sample space S .The probability function P maps an event to a real number between 0and 1.It satisfies the following properties:(1)0≤P (A )≤1for any event A in B .(2)P (S )=1.(3)Countable Additivity :If countable number of events A 1,A 2,···∈B are mutually exclusive (pairwise disjoint),then P (∪∞i =1A i )=∑∞i =1P (A i ).•Definition:Countable Set.A set S is called countable if the set can be put into1-1correspondence with a subset of the natural numbers.•Remarks:–We can use a(finite or infinite)sequence to list all elements in a countable set.–Finite sets are countable.–The set of natural numbers,the set of integers,and the set of rational numbers are countable sets.–The set of all real numbers in interval(a,b),b>a,is uncountable.Properties of Probability Function:•P (Φ)=0.•P (A c )=1−P (A ).•If C 1,C 2,···are mutually exclusive and collectively exhaustive,thenP (A )=∞∑i =1P (A ∩C i ).•If A ⊂B ,P (A )≤P (B ).•Subadditivity :For events A i ,i =1,2,···,P (∪∞i =1A i )=∞∑i =1P (A i \∪i −1j =1A j )≤∞∑i =1P (A i ).•Theorem:For any n events A1,···,A n,P(∪n i=1A i)=∑i P(A i)−∑i1<i2P(A i1A i2)+∑i1<i2<i3P(A i1A i2A i3)+···+(−1)n+1P(A1A2···A n).•Proof by induction.–When n=2,the theorem is true.–Assume for n=k events,the theorem is true.–For n=k+1events,we haveP(∪k+1i=1A i)=P(A k+1)+P(∪k i=1A i)−P(∪k i=1(A i A k+1)).Apply the formula of n=k events to P(∪k i=1A i)and P(∪k i=1(A i A k+1)), we obtain the formula for n=k+1events.1.5Methods of Counting•For the so-called classical or logical interpretation of probability,we will assume that the sample space S contains afinite number N of outcomes and all of these outcomes are equally probable.•For every event A,P(A)=number of outcomes in AN.•How to determine the number of total outcomes in the space S and in various events in S?1.5Methods of Counting•We consider two important counting methods:permutation and combi-nation.•Fundamental Theorem of Counting.If a random experiment con-sists of k separate tasks,the i-th of which can be done in n i ways,i=1,···,k,then the entire job can be done in n1×n2×···×n k ways.•Example:Permutation.Suppose we will choose two letters from fourletters{A,B,C,D}in different orders,with each letter being used at mostonce each time.How many possible orders could we obtain?There are12ways:{AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC}.The word“ordered”means that AB and BA are distinct outcomes.Permutations•Problem:Suppose that there are k boxes arranged in row and there are n objects,where k≤n.We are going to choose k from the n objects tofill in the k boxes.How many possible different ordered sequences could you obtain?–First,one object is selected tofill in box1,there are n ways.–A second object is selected from the remaining n−1objects.Therefore, there are n−1ways tofill box2.–..–The last box(box k),there are n−(k−1)ways tofill it.•The total number of different ways tofill box1,2,···,k isn(n−1)···(n−(k−1))=n! (n−k)!.•The experiment is equal to selecting k objects out of the n objectsfirst, then arrange the selected k objects in a sequence.•Each different arrangement of the sequence is called a permutation.•The number of permutations of choosing k out of n,denoted by P k n,isP k n=n! (n−k)!.•Convention:0!=1.•Example:The Birthday Problem.What is the probability that at least two people in a group of k people(2<k≤365)will have the same birthday?–Let S={(x1,x2,···,x k)},x i represents the birthday of person i.How many outcomes in S?365k.–How many ways the k people can have different birthdays?P k365.–The probability that all k people will have different birthday is P k365/365k.–The probability that at least two people will have the same birthday is p=1−P k365/365k.–k=10,p=0.1169482;k=20,p=0.4114384,k=30,p=0.7063162, k=40,p=0.8912318,k=50,p=0.9703736;k=60,p=0.9941227.Combinations•Choosing a subset of k elements from a set of n distinct elements.•The order of the elements is irrelevant.For example,the subsets{a,b}and {b,a}are identical.•Each subset is called a combination.•The number of combinations of choosing k out of n is denoted by C k n.We haveC k n=the number of choosing k out of n with ordering the number of ordering k elements=P k n/k!=n!/k!(n−k)!.•Example:Combination.Suppose we will choose two letters from four letters{A,B,C,D}.Each letter is used at most once in each arrangement but now we are not concerned with their ordering.How many possible pairs could we have?There are six pairs:{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{C,D}.•Example:A class contains15boys and30girls,and10students are to be selected at random for a special assignment.What is the probability that exactly3boys will be selected?–The number of combinations of10students out of45students is C1045.–The number of combinations of3boys out of15boys is C315.–The number of combinations of7girls out of30girls is C730.–Thus,p=C315C730/C1045.•C k n is also denoted by (nk).This is also called a binomial coefficientbecause of its appearance in the binomial theorem(x+y)n=n∑k=0(nk)x k y n−k.•Properties of the binomial coefficients–∑nk=0C k n=2n,∑nk=0(−1)k C k n=0.–∑ik=0C k n C i−kn=C i2n.–C k n+C k−1n=C k n+1.•Example:The Matching Problem.A person types n letters,types the corresponding addresses on n envelopes,and then places the n letters in the n envelopes in a random manner.What is the probability p n that at least one letter will be placed in the correct envelope?•ANS:–Let A i be the event that letter i,i=1,···,n,is placed in the correct envelope.We need to determine the value of P(∪n i=1A i).–Use formulaP(∪n i=1A i)=∑i P(A i)−∑i1<i2P(A i1A i2)+∑i1<i2<i3P(A i1A i2A i3)+···+(−1)n+1P(A1A2···A n).–∑i1<···<i kP(A i1···A ik)=C k n×(n−k)!/n!=1/k!.–P(∪n i=1A i)=1−12!+13!−···+(−1)n+11n!=n∑i=1(−1)i+11i!=−[n∑i=0(−1)i1i!−1]≈1−e−1≈0.632.1.6Conditional Probability•Different economic events are generally related to each other.Because of the connection,the occurrence of event B may affect or contain the information about the probability that event A will occur.•Example:Financial Contagion.A large drop of the price in one market can cause a large drop of the price in another market,given the speculations and reactions of market participants.•Definition:Conditional Probability.Let A and B be two events in(S,B,P).Then the conditional probability of event A given event B, denoted as P(A|B),is defined asP(A|B)=P(A∩B) P(B)provide that P(B)>0.•Properties of Conditional Probability:–P(A)=P(A|S).–P(A|B)=1−P(A c|B).–Multiplication RulesP(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).•Example:Suppose two balls are to be selected,without replacement,from a box containing r red balls and b blue balls.What is the probability that thefirst is red and the second is blue?ANS:Let A={thefirst ball is red},B={the second ball is blue}.ThenP(A∩B)=P(A)P(B|A)=rr+b·br+b−1.•Theorem:Chain Rule.For any events A1,A2,···,A n,we haveP(A1A2···A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)···P(A n|A1···A n−1) provided P(A1···A n−1)>0.•Remark–P(A1···A n−1)>0implies P(A1)>0,P(A1A2)>0,···.•Theorem:Rule of Total Probability.Let{A i,i=1,2,···}be a partition(i.e.,mutually exclusive and collectively exhaustive)of S,P(A i)> 0for i≥1.For any event B in S,P(B)=∞∑i=1P(B|A i)P(A i).•Example:Suppose B1,B2,and B3are mutually exclusive.If P(B i)=1/3 and P(A|B i)=i/6for i=1,2,3.What is P(A)?(Hint:B1,B2,B3are also collectively exhaustive.)•Bayes’Theorem:P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A).•Remarks:–We consider P(B)as the prior probability about the event B.–P(B|A)is posterior probability given that A has occurred.•Alternative Statement of Bayes’Theorem:Suppose E1,···,E n are n mutually exclusive and collectively exhaustive events in the sample space S.ThenP(E i|A)=P(A|E i)P(E i)P(A)=P(A|E i)P(E i)∑ni=1P(A|E i)P(E i).•Example:Auto-insurance Suppose an insurance company has three types of customers:high risk,medium risk and low risk.From the com-pany’s consumer database,it is known that25%of its customers are high risk,25%are medium risk,and50%are low risk.Also,the database shows that the probability that a customer has at least one accident in the current year is0.25for high risk,0.16for medium risk,and0.10for low risk.What is the probability that a new customer is high risk,given that he has had one accident during the current year?•ANS:Let H,M,L are the events that the customer is a high risk,medium risk or low risk customer.Let A be the event that the customer has had one accident during the current year.ThenP(H|A)=P(A|H)P(H)P(A|H)P(H)+P(A|M)P(M)+P(A|L)P(L).Given P(H)=0.25,P(M)=0.25,P(L)=0.50,P(A|H)=0.25, P(A|M)=0.16,P(A|L)=0.10,we haveP(H|A)=0.410.•Example:In a certain group of people the ratio of the number of men to the number of women is r.It is known that the incidence of color blindness among men is p,and the incidence of color blindness among women is p2. Suppose that the person that we randomly selected is color blind,what is the probability that the person is a man?•ANS:Let M and W denote the events“man selected”and“woman se-lected”,and D be the event“the selected person is color blind”.ThenP(M|D)=P(D|M)P(M)P(D|M)P(M)+P(D|W)P(W)=pr1+rpr1+r+p21+r=rr+p.•Example:In a TV game there are three curtains A,B,and C,of which two hide nothing while behind the third there is a Big Prize.The Big Prize is won if it is guessed correctly which curtain hides it.You choose one of the curtains,say A.Before curtain A is pulled to reveal what is behind it,the game host pulls one of the two other curtains,say B, and shows that there is nothing behind it.He then offers you the option to change your decision(from curtain A to curtain C).Should you stick to your original choice or change to C?•ANS:Let A,B,and C be the events“Big Prize is behind curtain A”(respectively,B and C).We can assume P(A)=P(B)=P(C)=1/3. Let B∗be the event“host shows that there is nothing behind curtain B”. ThenP(A|B∗)=P(B∗|A)P(A)P(B∗|A)P(A)+P(B∗|B)P(B)+P(B∗|C)P(C).–If the prize is behind curtain A,the host randomly pulls curtain B or curtain C,so P(B∗|A)=1/2.–If the prize is behind curtain B,P(B∗|B)=0.–If the prize is behind curtain C,P(B∗|C)=1.Therefore,P(A|B∗)=12×1312×13+0×13+1×13=1/3.Similarly,P(C|B∗)=2/3.•If two events A and B are unrelated.Then we expect that the information of B is irrelevant to predicting P(A).In other words,we expect that P(A|B)=P(A).•Definition:Independence.Two events A and B are said to be statis-tically independent if P(A∩B)=P(A)P(B).•Remarks:–By this definition,P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A).Similarly,we have P(B|A)=P(B).Therefore,the knowledge of B does not help in predicting A.–If P(A)=0,then any event B is independent of A.•Example:Random Walk Hypothesis(Fama1970).If a stock market is fully efficient,then the stock price P t will follow a random walk; that is,P t=P t−1+X t,where the stock price change{X t=P t−P t−1}is independent across different periods.•Example:Geometric Random Walk Hypothesis.The stock price {P t}is called a geometric random walk if X t=ln P t−ln P t−1is independent across different time periods.Note that X t≈P t−P t−1approximates theP t−1relative stock price change.•Example:Suppose two events A and B are mutually exclusive.If P(A)> 0and P(B)>0,can A and B be independent?•ANS:A and B are not independent becauseP(A∩B)=0=P(A)P(B).•Theorem:Let A and B be two independent events.Then(a)A and B c;(b)A c and B;(c)A c and B c are all independent.•Proof.(a)P(AB c)=P(A)−P(AB)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=P(A)P(B c),A andB c are independent.•Remark:Intuitively,A and B c should be independent.Because if not, we would be able to predict B c from A,and thus predict B.•Definition:Independence Among Several Events.Events A1,···,A nare(jointly)independent if,for every possible collection of events A i1,···,A iK,where K=2,···,n and i1<i2<···<i K∈{1,2,···,n},P(A i1∩···∩A iK)=P(A i1)···P(A iK).•Remark:We need to verify2n−1−n conditions.For example,three events A,B,and C are independent ifP(A∩B)=P(A)P(B),P(A∩C)=P(A)P(C),P(B∩C)=P(B)P(C),P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C).•Remark:It is possible tofind that three events are mutually(pairwise) independent but not jointly independent.It is also possible tofind three events A,B,C that satisfy P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)but not independent.•Example:SupposeS={a,b,c,d}and each basic outcome is equally likely to occur.Let A1={a,b},A2= {b,c},and A3={a,c}.Then we haveP(A1)=P(A2)=P(A3)=12,P(A1A2)=P(A1A3)=P(A2A3)=14,butP(A1A2A3)=0=1 8 .•Example:Suppose S={a,b,c,d,e,f,g,h}and each basic outcome is equally likely to occur.Let A1={a,b,c,d},A2={a,b,c,d},and A3={a,e,f,g}.ThenP(A1)=P(A2)=P(A3)=1 2 ,P(A1A2A3)=1 8 ,butP(A1A2)=1/2=P(A1)P(A2).•Theorem:If the events A1,A2,···,A n are independent,the same is true for events B1,B2,···,B n,where for each i,the event B i stands for either A i or its complement A c i.•Theorem:If the events A1,A2,···,A n are independent,thenP(A1∪···∪A n)=1−{[1−P(A1)]···[1−P(A n)]}.•Example:Consider experiments1,2,···,n such that in each of them an event D may or not occur.Let P(D)=p for every experiment,and let A k be the event“D occurs at the k-th experiment”.•ANS:A1∪···∪A n is the event“D occurs at least once in the n experi-ments”.ThenP(A1∪···∪A n)=1−{[1−P(A1)]···[1−P(A n)]}=1−(1−p)n.。
数理经济学-数理经济学本083jok-PPT精品文档
A
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练习4：利润率=1时，求供给函数及要素需求函数。
L bp Y w
p r w 要素 需求函数 L/Y
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1 A
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练习4：利润率=1时，求供给函数及要素需求函数。
1 1 1 1 1 1 1 p a r b w A
练习：请写出生产函数表达式
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N1原材料面粉消耗 N2原材料调料消耗 K固定资本 生 产 函 数 Q产出数量
生 产 L 函 数
V增加值
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N1原材料面粉消耗 N2原材料调料消耗 K固定资本 生 产 函 数 Q产出数量
生 产 L 函 数
V增加值
N 1 N 2 Q min , ,V 1 b 2 b
数理经济学丶课间休息
1
第3 讲
第2章:生产函数与供给函数 及要素需求函数
2
了解生产函数与供给 函数及要素需求函 数在实际中的应用
3
r
利润最大决策
K
生 产 函 数 Y
w
Max Y s.t rK+wL=C
L
C
4
练习1：
写出生产函数的数学表 达式并画出等产量线。
5
练习1：写出生产函数的数学表达式
Max S.t
Y Y (K, L) r K w L C
Y 1 Y 1 K r L w
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练习3：边际利润率=利润率?
Max Y Y(K, L) S.t r K wL C Y p Y p pY ? K r L w C
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数理经济学本ppt课件
Walras(瓦尔拉斯)---列写多种产品静态供求平衡方 程的方法，创立了非线性一般均衡理论。
Arrow(阿罗)，Debreu(德布鲁)(1955左右)---在一般 情况下证明了供求平衡解的存在性和惟一性。
Scarf(斯卡夫)等人给出了求解供求平衡点的具体算 法。创建了可计算一般均衡(CGE)理论。
《数理经济学》, Longman, London and • New York, 1978。 • 3. Akira Takayama, Mathematical Economics,
Cambridge University Press, 1985。 • 4. 见教材后附国内外文献。
4
内容提要
第1章 效用函数与需求函数 1.1 效用函数的数学表达式及其特性 1.2 效用最大法则与需求函数 1.3 考虑多个时期的消费者最优选择
28
本学期的主要内容:
* 掌握瓦尔拉斯，列昂惕夫一般均衡理论，初步了解一般
均衡理论基本知识。
* 掌握效用函数丶需求函数的各种数学表达式, 以及在实 际中的具体应用。
* 掌握生产函数、供给函数、要素需求函数的各种数学表 达式, 以及在实际中的具体应用。
* 掌握瓦尔拉斯一般均衡构模基本方法。
* 掌握列昂惕夫(Leontief)线性多部门模型建模技术与基本 应用。
第2 步:解方程并讨论解的5个基本问题: 解的
存在性、稳定性、合理性、能控性、一定时间内
到达合理轨道的能达性。
12
数理经济学与微观经济学、宏观经济学、国际贸 易经济学、福利经济学、计量经济学和经济控制论之 间的关系。
微观经济学: 主要讨论产品市场、要素市场( 如 资本市场、资源市场、劳动市场等) 的供求描述。
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§1.2 数理经济学的产生与发展
集论与线性分析阶段(1948一1960)
集论方法主要工具：数学分析、凸分析和 拓扑学 线性分析主要工具：线性代数和线性规划 此时，数理经济学在研究内容上几乎就等 于一般经济均衡理论，研究成果表现为以 下两个方面：一般经济均衡的严格理论体 系和线性经济模型
§1.2 数理经济学的产生与发展
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§1.4 几个重要概念
§1.4 几个重要概念
§1.4 几个重要概念
数理经济学分析框架
一个规范经济理论的分析框架主要包括以 下五个方面：（田国强，2005） 界定经济环境 设定行为假设 给出制度安排 选择均衡结果 进行评估比较
§1.1 数理经济学的定义
可见，数理经济学是数学方法(或者其它自 然科学方法)在经济学原理方面的应用，应 用的目的是用数学语言来表达、推理和论 证经济学原理。数理经济学是从一些经济 假设出发，用抽象的数学方法，建立经济 机理的数学模型。
§1.2 数理经济学的产生与发展
• 数理经济学的真正诞生，是19世纪中叶的 事情。1983年，诺贝尔经济学奖得主 GDebreu在他的获奖演讲中说:“如果要对数 理经济学的诞生选择一个象征性的日子， 我们这一行会以罕见的一致意见选定1838 年，……Coumot是作为第一个阐明经济现象 的数学模型的缔造者而著称于世 的。”Coumot的贡献，是他在《财富理论 的数学原理研究》中第一次以数学方式阐 明了经济现象的理论模型。
数理经济学
Mathematical Economics
主讲 ：刘照德 博士 副教授 QQ: 912804610 Email:lzhaode@
广东财经大学经济贸易学院 2013.9.2
本课程简介及基本要求
1.本课程的开设背景及教学计划 2.基本要求 每人需要有一本教材，可以复印或打印 认真听课，自学相关基础知识 上课不许接听电话； 随机点名，不得无故旷课，有事需请假 上课可以随时提问问题 课下邮件或QQ群内讨论 按时交作业
§1.3 数理经济学与其他学科的关系
数理经济学与计量经济学的关系 • 计量经济学（econometrics），是经济学和 数理统计学的结合。 • 数理经济学强调由假设、推理到结论的论 证过程。使用确定的函数关系，很少用实 际统计资料对函数关系涉及到的相关参数 进行估算和验证。 • 数理经济学为计量分析提供方向和理论框 架，而计量经济学则可用于验证理论的正 确性以及对未来进行预测。
§1.1、数理经济学的定义
• 3.以数学为经济分析方法论基础的经济学， 叫做数理经济学。 ——武康平，1996 • 4.数理经济学“仅是一种经济分析的方法， 是经济学家利用数学符号描述经济问题， 运用已知数学定理进行推理的一种方 法”——数理经济学的基本方法，[美]蒋中 一，1999
§1.1 数理经济学的定义
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 数理经济学的定义 数理经济学的产生与发展 数理经济学与其他学科的关系 几个重要概念
§1.1 数理经济学的定义
• 1.数理经济学是“西方资产阶级经济学在理 论研究中运用数学方法进行陈述和推理的 一个分支科学——中国大百科全书—经济学
卷
• 2.数理经济学是“包括数学理论和方法在经 济理论中的各种应用”——数理经济学手册
§1.2 数理经济学的产生与发展
数理经济学在它的历史进程中经历了3个重 要阶段: 边际分析阶段 集论与线性分析阶段 汇合阶段
§1.2 数理经济学的产生与发展
边际分析阶段(1838一1947) 1838年到1947年，是经济学向数学借用武 器的历史发展阶段，借用的基本工具：微 积分，尤其是偏导数、全微分和拉格朗日 乘数法。 边际分析法是这一时期产生的一种经济分 析方法，同时形成了边际效用学派，代表 人物有walras，Jevollss，Gossen，Menger， Edgeworth，Marshall，Fisher，Clark等人。
• 5. “数理经济学是主要进行定性分析的理 论经济学，它研究最优经济效果、利益协 调和最优价格的确定这些经济学基本理论 问题，为经济计量学、管理科学、经济控 制论提供模型框架、结构和基础理论，它 实在是经济学的基础之基础。”--杨小凯 《数理经济学基础》
§1.1 数理经济学的定义
• 杨小凯：“在瓦尔拉斯那个时代，应用高等数学的 经济学叫数理经济学，以示与自然语言进行分析的 经济学之区别。但在我们这个时代，经济学几乎已 全部数学化，国际经济学术界中，完全用自然语言 讨论经济问题的文献已经很少了。当代没有不应用 数学的物理学，从这个意义上我们可以说，今天不 应用数学的‘经济学’也算不上经济学了。今天的 经济学就是上个世纪人们称为数理经济学的东西。 广义的数理经济学就是‘高级经济分析’。它与初 级经济分析和中级经济分析的区别在于更系统地运 用高等数学来阐述经济理论。而初级、中级经济分 析主要是用几何图形浅显（但不严格）地解释这些 用高等数学推出的理论。”
如何学习数理经济学 ——分享三句话
• “学东西要从简单的学起。” ——芝加哥的统计学家刁锦寰 • “复杂的事情简单做，简单的事情反复做。” ——无名氏
• “学会宏观经济学教科书的内容我用了一年， 但真正了解这些内容背后的约束条件我用了8 年。”
——BLANCHARD
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第一章 导论
§1.3 数理经济学与其他学科的关系
§1.3 数理经济学与其他学科的关系
数理经济学与非数理经济学的关系 • 数理经济学并不是经济学的一个分支。 • 数理与非数理经济学的区别，前者采用数 学符号和方程来表示假设条件和结论；后 者更多地使用文字和句子来表述这些假设 条件和结论。 • 前者运用数学定理来证明假设条件与结论 之间的关系；后者则采用逻辑叙述来加以 说明。 • 从今天来看，区分数理的与非数理的经济 学并没有实际的意义。
§1.2 数理经济学的产生与发展
集论与线性分析阶段(1948一1960) 1838年到1947年，是经济学向数学借用武 器的历史发展阶段，借用的基本工具：微 积分，尤其是偏导数、全微分和拉格朗日 乘数法。 边际分析法是这一时期产生的一种经济分 析方法，同时形成了边际效用学派，代表 人物有walras，Jevollss，Gossen，Menger， Edgeworth，Marshall，Fisher，Clark等人。
• 经济学则是把（几乎所有的）数学结论视 为已知，强调经济理论中由经济条件到经 济后果的数理论证，其结构符合经济理论 的框架。
§1.4 几个重要概念
§1.4 几个重要概念
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§1.2 数理经济学的产生与发展
边际分析阶段(1838一1947) 边际分析阶段，数理经济学在研究内容上几乎全是 微观经济学，其成就可概括为3个方面: 形成和发展了一套完整的微观经济活动者行为理论; 提出了一般经济均衡的理论框架; 创立了当今的消费者理论、生产者理论、垄断竞争 理论及一般经济均衡理论的数学基础。 主要理论有：厂商理论、消费理论、一般均衡理论、 均衡的稳定性理论、资源最优配置、一般交易论
经济学家偏爱数理分析工具的理由
• 第一，数理方法使得从“假设条件”到 “结论”的分析更加精细。数理分析的典 型特征是具有“如果…，那么…”的形式， 这使得经济理论中假设条件和结论一目了 然。
• 第二，经济学家拥有数学家为他们准备好 的大量工具。
需要注意
• 经济学离不开数学，但二者不相同。 • 数学有其自身的理论体系。
汇合阶段(1961一) 这阶段主要成果有： 经济学中的不确定性与信息 大范围经济分析 经济学中的对偶性 总需求理论 经济连续统 社会选择理论 经济增长理论 税收优化理论 组织理论 无限维经济学 不完全资产市场均衡论
§1.3 数理经济学与其他学科的关系
§1.3 数理经济学与其他学科的关系