正比例图像
正比例函数的图象与性质课件
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像： 在同一坐标系内画下列正比例函数的图像：
1 y=3x y=x y= x y 3
3
y =3x
当k>0 时，它的图 经过第 像 经过第 一、三象 限
y=x
1 y= x 3
1
3
1
o
x
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像： 在同一坐标系内画下列正比例函数的图像：
y = −3x
2 3 4
-4
-3
-2
-1 -1 -2
x
-4
-3
-2
-1 -1 -2
-3 -3 -4 -4
1 y =− x 3
x
y = −x
y = −3x
正比例函数y 的性质： 正比例函数y = kx(k ≠ 0)的性质：
(1) 当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象 自变量x逐渐 限，自变量 逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。 的值也随着逐渐 (2) 当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限， 正比例函数的图像经过第 象限， 自变量x逐渐 自变量 逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。 的值则随着逐渐
4.已知正比例函数图像经过点（2，－ 已知正比例函数图像经过点（ ，－ 已知正比例函数图像经过点 6），⑴求出此函数解析式；⑵若点 ），⑴ ）， 求出此函数解析式； 若点M ）、N（ 在该函数图像上， （m，2）、 （− 3，n）在该函数图像上，求 ， ）、
m、n的值；⑶点E（－ ，4）在这个图像上吗？试 的值； （－1， ）在这个图像上吗？ （－ 说明理由； 的取值范围是什么； 说明理由；⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么； ， 垂足B的坐 若点A在这个函数图像上 在这个函数图像上， ⊥ ⑸若点 在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足 的坐
正比例函数的图像及性质
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
4
5
x
正比例函数图象的性质：
一般地，正比例函数y=kx(k是常数,k≠0) 的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直 线y=kx. 过（0，0）和（1，K ）作直线
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx
k＞0 k＜0
m2 ，它 例2.已知正比例函数y=(m+1)x
的图像经过第几象限？
2.已知:正比例函数y= (2-k)x 的图像经过第二.四象限,则函数 y=-kx的图像经过哪些象限？ 二、四象限
3.如果 y (1 m ) x 是正比例函数,且y 随x的增大而减小,试求m的值
m 2 2
3
思考
y
③
如图,三个正比例函数的图像分 别对应的解析式是 ①y=ax② y=bx ③ y=cx,则a、b、c的 大小关系是( C ) A.a>b>c B.c>b>a ② C.b>a>c D.b>c>a ①
升．所使用的90#汽油今日涨价到5元/升． （1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与 行程 x（km）之间的函数关系式； （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数关 系图；
（3）计算娄底到长沙220 km所需油费是多少？
y
0
0
1
2
2
4
3 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3
y=2x y=x
4
5
x
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像：
y=-x
y=-2x
y
y=-2x
5 4 3 2 1 1 2 3
正比例函数图像(共16张PPT)
Y
Y
4 Y=2x
2
4 Y=-2x
2
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
相同点： 两图象都是经过原点的一条直线
不同点：函数y=2x的图象经过第 三、一象限，从左向右
，函呈数上y升=－状2x态的图象经过第
象
二、四
限.从左向右 呈下降状态 。
象限内,经过点(0, )与点(1,
),y随x的增大而
. B.c>b>a
y= kx (k＞0)
C.b>a>c D.b>c>a 它的关系式吗?
155-4xx,,yy-正3==xx比,,yy-2==例③55-函xx1的的数0图图的象象图1，，像y然然和2后后性比比3质较较4哪哪一一②个个与与xx轴轴正正方 方向向所所成成的的锐锐角角最最大大，，由由此此你你得得到到什什么么猜猜测测？？再再选选几几个个图图象象验验证证你你的的猜猜测测..
( 1 ) 满足关系式y=-2x的x,y所对应的点(x,y)是 否都在它的图象上?
( 2 ) 正比例函数y=-2x的图象上的点(x,y)都满足 它的关系式吗?
( 3 ) 正比例函数y=kx+的图象有什么特点?
正比例函数y=kx的图象是一条直线.它 的图象也称为直线y=kx.
提示:作正比例函数的图象只要确定两点就可以了.
例1 画出以下正比例函数的图象〔1〕y=2x；
2 自学画图步骤，并在同一个直角坐标系上画出y=2x和y=-2x的图像并比较两个函数图像的相同点与不同点
第十一章 一次函数
1 ( 1 ) 满足关系式y=-2x的x,y所对应的点(x,y)是
19.2.1正比例函数图像
-5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
-2
x
思考 对一般正比例函数y =kx， 它的图象形状是什么？位置怎样？ y y = 2x
1 y= x 3
5
6 4
图像是一条直线； 经过原点，
y =-1.5x 2
-5
O -2
x
问题3 正比例函数y=kx（k为常数，且 k≠0）的图象是一条经过坐标原点的直线， 我们称它为直线y=kx.
两点确定一条直线。画正比例函数的图像， 只需要画出图像上的两点再连线.
4、点A（3.5,1）在正比例函数图象上，求这个正比例
函数的解析式.
5、点A（-2，a），B（0.5，b）在直线y=-2x上， 则，a，b的大小关系是 .
6、已知正比例函数y=（2m-1)x的图象上有两点 A（-1，a），B（3，b），且a>b，则m应满足
。
7、已知正比例函数y=-3mx中，y随x的增大而增大，
数学八年级下册
问题1
什么是正比例函数？
请你写出两个具体的正比例函数．
描点法画函数图象一般步骤： 列表、描点、连线
例1
用描点法画出正比例函数 y =2x 的图象．
练习 在同一坐标系中用描点法画出正比例函数 1 y = x ，y=-1.5x的图象． 3 y y = 2x
6 4
y =-1.5x
2
1 y= x 3
思考1 当k<0 时，图象是左低右高还是左高右低？ 当k<0 时，图象从左到右呈下降趋势，随着自变 量x的增大 y反而减小。 思考 4 对应地，随着自变量 x的增大 函数值y是增大 还是减小？ y =-5x y =-1.25x y
6 4
y =-0.5x
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
正比例关系的图像及应用
正比例关系的图像及应用正比例关系是一种基本的数学关系，指的是两个变量之间的关系可以用一个常数乘以另一个变量来表示。
具体而言，如果两个变量x和y满足y=kx，则称它们之间存在正比例关系，其中k是常数，称为比例常数。
这个关系可以用一条直线来表示，称为比例直线。
正比例关系有着广泛的应用，在日常生活、自然界和各行各业都可以找到许多例子。
首先，正比例关系在日常生活中是非常常见的。
比如，购买水果。
如果一斤苹果的价格是k元，那么购买n斤苹果的费用就是y=kn。
这里的k就是比例常数，表示每斤苹果的价格。
如果一斤苹果的价格是5元，那么购买3斤的费用就是y=5*3=15元。
同样，购买更多或更少的斤数也可以用这个关系来表示。
这个例子说明了正比例关系在购买和销售方面的应用，可以帮助我们计算费用或收益。
其次，正比例关系在自然界中也有许多应用。
比如，物体的质量和重力的关系就是正比例关系。
根据牛顿第二定律F=ma，物体的质量m和受到的重力F满足正比例关系。
具体而言，F=mg，其中g是地球的重力加速度，约等于9.8米/秒^2。
这个关系可以帮助我们计算物体的重力，了解物体在不同地方或不同行星上的重量差异。
正比例关系在经济学中也有广泛的应用。
比如，生产成本和产量之间通常存在正比例关系。
具体而言，生产成本随产量的增加而线性增加，可以通过y=kx来表示。
这里的k表示单位产量的成本，x表示产量，y表示总成本。
这个关系可以帮助企业评估不同产量水平下的成本和收益，并做出相应的决策。
此外，正比例关系还可以用于解决各种问题。
比如，计算机存储器的容量和价格之间通常存在正比例关系。
容量大的存储器价格高，容量小的存储器价格低，它们之间的关系可以用y=kx表示。
这个关系可以帮助我们选择适合自己需求和预算的存储器。
正比例关系还广泛应用于数学和物理学中。
在数学中，正比例关系是比例直线的特殊情况，可以帮助我们理解和解决各种图形的问题。
在物理学中，正比例关系是很多基本物理量之间的关系，如速度和时间之间的关系v=kt，其中k是比例常数。
正比例函数图像及性质
正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3-mx是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。
解:m=4,图像经过第一、三象限。
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 31-=(2) x y 31-=的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 314-=，∴a=-12(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 31-=上例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，∴k-2<0,∴k<2例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。
（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。
人教八下数学课件-19.2.1正比例函数
巩固练习 2.已知正比例函数y=(k+5)x. （1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_k_<_-_5___. 解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+5<0，解得k<-5. （2）若函数图象经过点（3，-9），则k__=_-8__.
解析：将坐标（3，-9）带入函数解析式中，得-9=(k+5)·3， 解得k=-8.
y=-4x y=-1.5x 看图发现：这两个函数图象都是经过原点和第 二、四 象限 的直线.
探究新知
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一 条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
提示：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx
巩固练习
1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -4 -2 0 2 4 …
探究新知
②描点； ③连线.
同样可以画出
函数
的图
象.
y=2x
y1x 3
看图发现：这两个图象都是经过原点的 直线 ． 而且都经过第 一、三 象限；
探究新知 解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米 的南京南站？
探究新知
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点 站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数
探究新知
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与 运解行：时y间=30t0（t（单0≤位t≤4：.4）时）之间有何数量关系？