二阶行列式
行列式的计算1(二阶行列式)
(4)
表达式 a11a22 − a12a21称为数表（ ）所确定的二阶 称为数表（ 4 (5)
二阶行列式的计算
主对角线
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12a21.
副对角线
a11x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21x1 + a22 x2 = b2 .
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
12 − 2 3 12 = −21, D1 = = 14, D2 = 1 1 2 1
D1 14 D2 − 21 ∴ x1 = = = 2, x 2 = = = − 3. D 7 D 7
D ≠ 0方程组有唯一解
D = 0时, (a1b2 − a2b1 = 0) 时
2.当Dx = Dy = 0,
a1 b1 = a2 b2
1.当Dx , Dy至少有一个不为零方程组无解 , .
a1 b1 c1 = = Dx = c1b2 − c2b1 = Dy = a1c2 − a2c1 = 0 a2 b2 c2
. 方程组有无穷多解
用消元法解二元线性方程组
a11x1 + a12 x2 = b1 , (1) a21x1 + a22 x2 = b2 . (2)
(1) × a22 : a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22, (2) × a12 : a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12,
a1 b1 D= , a2 b2
D = a1b2 −a2b1
Dx c1b2 − c2b1 x= ，x = ， D a1b2 − a2b1
二阶行列式
a2 a3
a15
a16
18
2.解不等式
x
0
x 0, 1
x2 3.求函数的最值 y 2
x 1
y min 1,无最大值
探索研究：
一、1)计算行列式 9 的值； 2）你能否从1）中的结果得出一个一般的结论？ 并证明你的结论。
3
5 11 12 ， 10 22
4
7 28 ， 2 8
基本步骤：
1）把方程变为标准形式，即
a1x b1y c1 , a2x b2y c2 .
形式；
2）正确写出行列式
Dx x D 3）当 D 0 时，写出二元一次方程组的解为 y D y D
D、D x、D y ；
巩固练习：
1.展开并化简下列行列式：
D
Dx
5 11 4 15
8
5 15 4 11 31 0,
11
6 15
186 ,
Dy
5
8
4 6
62,
Dx 186 x 6, D 31
Dy y D
62 2. 31
所以，原方程组的解为
x 6 y 2
行列式应用于解二元一次方程组
德国数学家莱布尼兹是与牛顿齐 名的微积分的创始人，同时他又是 数学史上最伟大的符号学者之一， 堪称符号大师，他曾说：“要发明， 就要挑选恰当的符号，要做到这一 点，就要用含义简明的少量符号来 表达和比较忠实地描绘事物内在本 质，从而最大限度地减少人的思维 劳动”．他创造的数学符号有商 “ a”、比“a:b”、相似“∽”、 b ”、交“ ” 全等“≌”、并“ 等，最有名的 要算积分和微分符号了．
二阶行列式
写出所有的三阶排列.
例3.2
写出所有的四阶排列.
定义3.2
在一个n阶排列中，如果一个大数排列在一个 小数之前，就称这两个数组成一个逆序. 一个n阶排列中逆序的总数称为这个排列的逆 序数.
小数排在大数之前，就称这两个数组成一个 顺序.
例3.7
求4阶排列2413的逆序数.
例3.8
求 (n n 1 2 1)
a1 0 0 0 a2 0 0 0 an a1a2 an
下三角行列式
a11 a21 an1
0 a21 an 2
0 0 ann a11a22 ann
例
3.13 计算行列式
0 0 0 an
a1 0 0 0
0 a2 a3 0 0
0
0 .
an 1 0 0
一般的不同行不同列的 n 个元素的乘积
b1a22 b2 a12 x1 a11 a22 a12 a21
a11b2 a21b1 x2 a11 a22 a12 a21
D
a11 a 21
a12 a 22
a11 a 22 a12 a 21
D1
b1 b2
a12 a 22
b1 a22 b2 a12
D2
当 j1 j2 jn 是奇排列时，带负号.
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
( j1 j2
(1)
jn )
( j1 j2
jn )
a1 j1 a2 j2
anjn
式(3.11)称为 n
(3.11) 阶行列式的展开式.
3.10
写出4阶行列式
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。
本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。
计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。
计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。
3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。
它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。
具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。
二阶行列式
二阶行列式什么是行列式？在线性代数中，行列式是一个数字，它和一个给定的方阵相关联。
行列式可以用于解决许多线性代数的问题，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆等。
二阶行列式的定义对于一个2x2的矩阵A = A，其行列式记为|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = Determinant即A的左上元素乘以右下元素减去右上元素乘以左下元素。
二阶行列式的示例现在我们来求解一个具体的二阶行列式。
对于矩阵A = MatrixA，其行列式为：|A| = 2 * 5 - 3 * 4 = 10 - 12 = -2所以矩阵A的行列式为-2。
二阶行列式的性质1.行列式的值与矩阵的转置无关，即|A| = |A^T|。
2.当矩阵A中某两行或某两列互换位置时，行列式的值取相反数，即如果矩阵A的第i行与第j行互换位置得到矩阵B，则有|B| = -|A|。
3.行列式的值与矩阵的每一行（或每一列）成比例，即如果矩阵A的第i行（或第j列）的所有元素都乘以一个常数k，得到矩阵B，则有|B| = k * |A|。
二阶行列式的应用二阶行列式在线性代数中有许多重要的应用，以下列举几个常见的应用：1.解线性方程组：对于一个由两个线性方程组成的方程组，可以使用二阶行列式来判断方程组是否有解，以及求解方程组的解。
2.计算矩阵的逆：对于一个可逆的2x2矩阵A，可以使用二阶行列式计算其逆矩阵A^-1。
3.计算平面向量的面积：对于一个由两个非零向量构成的平面上的三角形，可以使用二阶行列式计算该三角形的面积。
总结二阶行列式是线性代数中的一个重要概念，用于解决许多与矩阵相关的问题。
我们可以通过简单的公式来计算二阶行列式，同时也可以利用行列式的性质进行计算和求解。
二阶行列式在解线性方程组、计算矩阵逆、计算平面向量面积等方面有着广泛的应用。
掌握二阶行列式的概念和计算方法对于理解线性代数和解决相关问题非常重要。
二阶行列式与逆矩阵 课件
b
d
det a
det
A A
, 满足
det A c
det A
10
0 1
.
b
det A a
det A
a c
b d
a c
b d
d
det A c
det A
b
det A
a det
A
二阶矩阵A
a c
b d
可逆，当且仅当det
A
ad
bc
0.
当矩阵A
a c
b d
可逆时，A-1
d
det A c
det A
ab ad bc.
cd
a c
b d
也称为二阶矩阵A
a c
b d
的行列式，记为det
A或
A
.
当det A ad bc 0时，对上面的方程组
ax cy 1, 3 bx dy 0, 4 au cv 0, 5 bu dv 1.6
(ad bc)x d,
利用加减消元得((aadd
b
det a
det
A A
.
例3 计算下列二阶行列式：
1 3 1；
42
2 - 2
2 .
1 -3
解：（1）原式 3 2 -1 4 2；
（2）原式 ( 2)( 3) 21 2 5 4.
例4 判断下列二阶矩阵是否可逆.若可逆，求出逆矩阵.
(1)
A
0 1
1 0
;
(2)B
1 0
10 .
12
3 4
3 4
1 2
2
，我们找到了矩阵B
12
二阶三阶行列式
二阶三阶行列式1.引言1.1 概述二阶行列式和三阶行列式是线性代数中常见的概念。
行列式是一个整数或实数的方阵，它具有很多重要的性质和应用。
二阶行列式是一个2×2的方阵，而三阶行列式是一个3×3的方阵。
在本文中，我们将介绍二阶行列式和三阶行列式的定义以及计算方法，并总结它们的特点和重要性。
在二阶行列式部分，我们将详细介绍二阶行列式的定义和计算方法。
二阶行列式的定义是由其中的四个元素按一定的规则相乘再相减得到的一个数值。
计算二阶行列式可以使用简单的公式，即将对角线上的两个元素相乘再相减。
我们将提供详细的计算示例，并讨论二阶行列式在几何学和线性方程组中的应用。
在三阶行列式部分，我们将进一步介绍三阶行列式的定义和计算方法。
三阶行列式的计算比较复杂，需要按一定的规则进行乘法和加减运算。
我们将解释这些规则，并提供实际的计算例子。
此外，我们还将探讨三阶行列式在向量空间和线性方程组中的应用，以及它们与二阶行列式之间的关系。
通过本文的学习，读者将能够理解二阶行列式和三阶行列式的概念和计算方法。
同时，他们还将认识到行列式在数学和实际应用中的重要性。
了解行列式可以帮助我们解决各种问题，包括求解线性方程组、计算向量的正交性和计算面积和体积等。
行列式是线性代数中的基础知识，对于进一步学习和应用线性代数的内容具有重要的意义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍二阶行列式的概念和定义，详细阐述其计算方法。
然后，我们将进一步探讨三阶行列式的定义和计算方法。
在分析和比较二阶行列式与三阶行列式的异同之后，我们将总结这两者的特点和应用。
本文的主要目的是通过对二阶和三阶行列式的研究，帮助读者更好地理解和应用行列式的相关概念和计算方法。
具体来说，本文的内容安排如下：2. 正文2.1 二阶行列式2.1.1 定义在这一部分中，我们将引入二阶行列式的概念，并详细解释其定义。
通过具体的例子，我们将展示如何构建并计算二阶行列式。
二阶行列式的计算公式
二阶行列式的计算公式好的，以下是为您生成的关于“二阶行列式的计算公式”的文章：在数学的奇妙世界里，二阶行列式就像是一个藏着小秘密的宝盒，而打开这个宝盒的钥匙就是它独特的计算公式。
咱们先来说说二阶行列式是啥。
想象一下，有两行两列的数字，整整齐齐地排列着，就像操场上排列整齐的方队。
比如说，有这样一组数字：\[\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}\] 这就是一个二阶行列式。
那它的计算公式是啥呢？其实很简单，就是“主对角线元素之积减去副对角线元素之积”。
用公式写出来就是：\[ad - bc\] 。
我给您讲个事儿，您就更明白啦。
有一次我在课堂上讲二阶行列式，有个同学一直皱着眉头，一脸困惑。
我就走到他旁边问：“咋啦，没听懂？”他怯生生地点点头。
我就重新给他讲，拿了个具体的例子，比如\[\begin{vmatrix}3 & 2 \\1 & 4\end{vmatrix}\] ，按照公式一算，就是 \(3×4 - 2×1 = 12 - 2 = 10\) 。
我一边算一边给他解释每个步骤，看着他眼睛慢慢亮起来，最后恍然大悟的样子，我心里可高兴啦。
这二阶行列式的计算公式别看简单，用处可大着呢！在解线性方程组的时候，它能帮咱们快速判断方程组有没有解，解是唯一的还是无穷多的。
比如说，对于方程组 \(ax + by = m\) ， \(cx + dy = n\) ，咱们可以通过二阶行列式判断解的情况。
而且在几何里，二阶行列式也能派上用场。
比如计算两个向量的叉积的模长，就能用二阶行列式来帮忙。
再比如，咱们在研究图形的面积的时候，二阶行列式也能大展身手。
假如有两个点 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\) ，那以这两个点为顶点的三角形的面积，就可以用二阶行列式 \(S = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\x_2 & y_2\end{vmatrix}\) 来计算。
二阶行列式
a b a a ba 1 l ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b 时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b 时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与b .
四、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
123，231，312 132，213，321 此三项均为正号 此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性 质。
三、全排列及其逆序数
定义 由1，2，···，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。记为 j1 j2 ··· jn.
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列．
例如
a13a21a32
列标排列的逆序数为
偶排列
正号
312 1 1 2
a11a23a32
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
列标排列的逆序数为
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是n! 项的代数和;
§1 二阶与三阶行列式
说明: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． (2) 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负.
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 a33
2. 二阶行列式的计算 二阶行列式的计算——对角线法则 对角线法则 主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
= a 1 1a 2 2 − a 1 2 a 2 1 .
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 . a11 a12 D= , 称为其系数行列式 称为其系数行列式 a21 a22
称为其系数行列式 称为其系数行列式
D = a21 a22 a31 a32
例1 解
x1 − 2 x2 + x3 = −2, 解线性方程组 2 x1 + x2 − 3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
1
−2 1 D= 2 1 − 3 = −1 − 6 + 2 − ( −1) − 4 − ( −3) = −5 ≠ 0 , −1 1 −1
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(1)xb2- (2)xb1,得(a1b2-a2b1)x=c1b2-c2b1 (2)xa1- (1)xa2,得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1
由于行列式D是由方程组（*）中未知数X、Y的系数组 成的，通常被叫做方程组（*）的系数行列式；行列式 DX和DY分别是用方程组（*）的常数项C1C2替换行列 式D中X的系数a1a2或Y的系数b1b2后得到的
D y Dy D
• （2）当D=0时, Dx Dy 0 方程组(*)有无穷组解； • (3) 当D=0时,
Dx 0, or Dy 0
方程组(*) 无解。
• 系数行列式 a1 b1 D 判别式。 a2 b2
也为二元一次方程组解的
巩固练习 数学课本第91页，练习9.3 （1）
二阶行列式
行列式的背景
行列式出现于线性方程组的求解，它最早是 一种速记的表达式，现在已经是数学中一 种非常有用的工具．行列式概念第一次在 西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达 的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得 到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在 日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、 “日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》 中就有了行列式的概念．
DY 2 y= = D 7
因此，原方程组的解为
问题拓展
• ①二阶行列式展开的逆向使用的问题； 如：算式b2-4ac可用怎样的二阶行列式来表 示 • ③举例说明，当二元一次方程组的系数行 列式的值为零时，方程组的解会有怎样的 可能？
• 答：（1）当D≠0时，方程组(*) 的唯一解可以表示 DX 成 x
什么叫二阶行列式？
定义：
二阶行列式的展开满足：对角线法则 实线表示的对角线叫主对角 线，虚线表示的对角线叫副对角线。 二阶行列式是这样两项的代数和： 一个是从左上角到右下角的对角线 (又叫行列式的主对角线)上两个元素 的乘积，取正号；另一个是从右上 角到左下角的对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号．
例2用行列式解下列二元一次方程组：
5 x 11 y 8 1、 4 x 15 y 6
DX DY 所以X = = 6, Y = =2 D D
x 6 因此 原方程组的解为 y 2
2、
3 x y 5 0 x 2 y 1 0
DX 11 所以x = = , D 7
• 课堂小结 • ①二阶行列式的展开法则； • ②用二阶行列式来解二元一次方程组.
作业布置 数学练习部分第51页，习题9.3A 组，第1、2、3题．
例1．展开并化简下列行列式： =5×2－8×1＝2 =1×2－5×8＝-38
由１、２可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的
=cosθ· (-cosθ)-sinθ· sinθ 2 2 =-cos θ - sin θ= -1 =(a-1)(a +a+1)-(-1) 3 3 =a -1+1=a
2
二、