多阶段决策问题-最短路径--算法
(完整版)多阶段决策过程最优化问题
多阶段决策过程最优化问题——动态规划的基本模型在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。
【例题1】最短路径问题。
图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。
现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。
用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。
具体计算过程如下：S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3S2: K=3，有：F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6S2: K=2，有F2(B1)=min{d2(B1,C1)+F3(C1),d2(B1,C2)+f3(C2),d2(B1,C3)+F3(C3)}=min{9,12,14}=9F2(m)=min{d2(B2,c2)+f3(C2),d2(B2,C4)+F3(C4)}=min{16,10}=10 S4：k=1，有：F1(A)=min{d1(A,B1)+F2(B1),d1(A,B2)+F2(B2)}=min{13,13}=13因此由A点到E点的全过程的最短路径为A—>B2一>C4—>D3—>E。
走完所有点的最短路径算法
走完所有点的最短路径算法在日常生活中，我们经常需要规划一些路线，比如游览某个城市景点、配送快递等等。
在规划路线时，我们往往关心的是所走的路程是否能最小化，最短路径算法就是为了解决这个问题而生的。
而当我们需要遍历所有点时，走完所有点的最短路径算法就成为了我们的关注重点。
那么，怎样才能找到走完所有点的最短路径呢？下面我们将从三个方面来介绍相关算法：1. 蛮力算法蛮力算法又被称为暴力算法，其思路比较简单，即对每种可能的路径进行计算和比较，找出最短路径。
但这种算法对于大量点的情况下，计算量非常大，所需时间也随之增加，并且准确性也难以保证。
因此，蛮力算法并不适用于需要处理大量问题的场合。
但如果数据量不大，这种算法也可作为一种求解方案。
2. 贪心算法贪心算法的核心思想是“贪心选择性质”，即每次选择局部最优解。
因此，每次选择时只关心当前问题，而不考虑以后的影响。
在寻找最短路径时，每次选择距离当前点最近的一个点作为下一个旅行节点。
贪心算法，由于其简单性和速度优势，在实际应用中也有着广泛的应用。
例如，Dijkstra算法就是以贪心策略为核心的最短路径算法。
3. 动态规划算法动态规划算法是一种解决多阶段决策问题的优化算法。
在求解最短路径问题时，可以通过“子问题最优解则父问题最优解”的方法，将所有点枚举成子问题。
接下来根据子问题集合所构成的状态集合，使用递归或循环来计算并记录状态之间的关系，最后得到问题最优解。
动态规划算法的优点在于计算结果可靠，可用于较大规模的场合。
但由于其需要枚举所有情况，计算过程相对较慢。
总结每种算法各有特点，可以根据不同实际情况选择使用。
对于需要快速解决问题的场合，建议使用贪心算法和蛮力算法；对于对效率和结果准确性有较高要求的场合，则可以选择动态规划算法进行求解。
当我们需要寻找走完所有点的最短路径时，各种算法都可以发挥出一定的作用。
在实际应用过程中，需要根据业务场景和数据规模来选择最合适的算法，保证所求结果的准确性和效率。
noi常用算法
noi常用算法NOI（National Olympiad in Informatics）是指全国青少年信息学奥林匹克竞赛，是我国高中阶段最高水平的信息学竞赛。
在NOI 竞赛中，常用的算法是指在解决问题时经常使用的算法，下面将介绍一些常用的NOI算法。
一、深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
它从一个顶点开始，沿着路径直到无法继续，然后返回到前一个节点，继续搜索其他路径。
DFS通常使用递归或栈来实现。
它常用于解决迷宫问题、连通性问题等。
二、广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
它从一个顶点开始，先访问其所有相邻节点，然后访问这些相邻节点的相邻节点，以此类推。
BFS通常使用队列来实现。
它常用于解决最短路径问题、连通性问题等。
三、动态规划（Dynamic Programming）动态规划是一种解决多阶段决策问题的算法。
它将问题划分为若干个子问题，并分别求解这些子问题的最优解，然后利用子问题的最优解来推导出原问题的最优解。
动态规划常用于解决最优路径问题、背包问题等。
四、贪心算法（Greedy Algorithm）贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，从而希望最终能得到全局最优解的算法。
贪心算法不一定能得到最优解，但在某些问题上表现出良好的效果。
贪心算法常用于解决最小生成树问题、哈夫曼编码问题等。
五、最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法和Bellman-Ford算法等。
这些算法可以求解有向图或无向图中的最短路径问题，用于解决网络路由问题、导航问题等。
六、最大流算法最大流算法用于求解网络中从源节点到汇节点的最大流量。
常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法和Dinic算法等。
最大流算法可以用于解决网络优化问题、流量分配问题等。
求解最短路径问题的几种算法和应用总结
求解最短路径问题的几种算法和应用总结最短路径问题在生活中随处可见，只要在各种现实问题上，我们能够结合现代智能交通的利用，并且成分考虑实地的不同的交通资源，从而能够真正的实现最短路径，那么首先第一有利的是可以有效地减少交通事故的发生频率。
并且在环境方面来讲，也符合了国际可持续性发展的理念，即达到了节能的效果，有有效的减少了汽车尾气，缓解了大气污染，并且在车辆越来越多的今天，减轻了市民旅途停车位不足的情况，并且能够节约人们的时间。
本文就是对于最短路径问题的几种算法及应用的研究，本文首先从最短路径问题研究背景以及研究意义出发，然后对于最短路径问题国内外研究现状进行了探讨，接着对于研究方法进行了总结，最后对于本文要用到的一些理论知识进行了总结，比如：图的概念，有向图以及无向图的说明，最短路径的一些概述，以及一般求解最短路径的步骤，还有一些求解最短路径的基本方法做了一些说明。
最后基于迪杰斯特拉算法以及改进的Floyd算法二种算法进行了详细的分析推到计算，最后本文将最短路径问题应用到了在生产车间中智能AGV小车的最短路径规划问题上，并且对于二种方法进行了仿真分析，对仿真的结果进行了分析，得到了相关的结论。
参考文献：[1] 张默.Dijkstra最短路径算法的研究[J].数学学习与研究,2018(16):152.[2]司连法,王文静.快速Dijkstra最短路径优化算法的实现[J].测绘通报,2005(08):15-18.[3] Thomas H.Cormen,Charles E.Leiserson,Ronald L.Rivest,Clifford Stein,殷建平,徐云,王刚,刘晓光,苏明,邹恒明,王宏志.算法导论(原书第3版)[J].计算机教育,2013(10):51[4]张引发,刘乾,王鲸鱼.必经节点约束下的光网络最短路径算法[J].光通信技术,2018,42(10):30-32.[5]虞谦,高岳毅,李俊.最短路径算法在事故应急救援中的应用[J].安全,2018,39(09):15-17.[6]郑海虹.常用最短路径算法分析与比较[J].安徽电子信息职业技术学院学报,2013,12(04):31-33.[7]肖金声.关于最短路径算法[J].中山大学学报(自然科学版),1987(03):42-47.[8]姜启源.数学模型（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2003:250-300.[9]俞飞蝶,罗杰.最短路径算法在外卖配送中的应用[J].福建电脑,2018,34(08):155-156.[10]宋青,汪小帆.最短路径算法加速技术研究综述[J].电子科技大学学报,2012,41(02):176-184.致谢本课题是在我的指导老师李敏的悉心指导和严格要求下由本人独立完成的，从课题选择、方案论证到具体设计和调试的每个环节，无不凝聚着李敏的心血和汗水，在四年的本科学习和生活期间，也始终感受着导师的精心指导和无私的关怀，我受益匪浅。
最短路径问题的求解
最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
5、由上图可以得出结论：点C、B、D、E就是点A到它们的最短路径（注意：这些路径并不是经过了 所有点，而是只经过了其中的若干个点，而且到每一个点的那条路径不一定相同）。因而A到E的最 短距离就是13。至于它经过了哪几个点大家可在上述过程中加以记录即可。
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与 启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是： 1、 从A点开始依次展开得到AB（7）、AC（3）、AD（10）、AE（15）四个新 结点，把第一层结点A标 把未展开过的AB、AC、AD、AE四个结点中距离最小的一个展开，即展开AC （3）结点，得到ACB（8）、ACD（16）、ACE（13）三个结点，并把结点AC标记为 已展开； 3、 再从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开AB（7）结点， 得到ABC（12）、ABD（20）、ABE（19）三个结点，并把结点AB标记为已展开； 4、 再次从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开ACB（8）结 点，……； 5、 每次展开所有未展开的结点中距离最小的那个结点，直到展开的新结点中 出现目标情况（结点含有5个字母）时，即得到了结果。
最短路径问题的求解
[问题分析] 对于一个含有n个顶点和e条边的图来说，从某一个顶点Vi到其余任一顶点Vj的最短路径，可 能是它们之间的边（Vi，Vj），也可能是经过k个中间顶点和k+1条边所形成的路径(1≤k≤n-2)。 下面给出解决这个问题的Dijkstra算法思想。 设图G用邻接矩阵的方式存储在GA中，GA[i,j]=maxint表示Vi，Vj是不关联的，否则为权值 （大于0的实数）。设集合S用来保存已求得最短路径的终点序号，初始时S=[Vi]表示只有源点， 以后每求出一个终点Vj，就把它加入到集合中并作为新考虑的中间顶点。设数组dist[1..n]用来 存储当前求得的最短路径，初始时Vi，Vj如果是关联的，则dist[j]等于权值，否则等于maxint， 以后随着新考虑的中间顶点越来越多，dist[j]可能越来越小。再设一个与dist对应的数组 path[1..n]用来存放当前最短路径的边，初始时为Vi到Vj的边，如果不存在边则为空。 执行时，先从S以外的顶点（即待求出最短路径的终点）所对应的dist数组元素中，找出其 值最小的元素（假设为dist[m]），该元素值就是从源点Vi到终点Vm的最短路径长度，对应的 path[m]中的顶点或边的序列即为最短路径。接着把Vm并入集合S中，然后以Vm作为新考虑的中 间顶点，对S以外的每个顶点Vj，比较dist[m]+GA[m,j]的dist[j]的大小，若前者小，表明加入 了新的中间顶点后可以得到更好的方案，即可求得更短的路径，则用它代替dist[j]，同时把Vj 或边（Vm，Vj）并入到path[j]中。重复以上过程n-2次，即可在dist数组中得到从源点到其余 各终点的最段路径长度，对应的path数组中保存着相应的最段路径。 对于上图，采用Dijkstra算法找出C1到Ci之间的最短路径(2≤i≤6)的过程如下：
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告算法设计与分析实验报告实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号一.实验要求1. 理解最优子结构的问题。
有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。
这类问题的解决是多阶段的决策过程。
在50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人提出了解决这类问题的“最优化原理”，从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法－动态规划。
对于一个多阶段过程问题，是否可以分段实现最优决策，依赖于该问题是否有最优子结构性质，能否采用动态规划的方法，还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。
最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子问题的最优解。
子问题重叠性质：每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。
问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。
2.理解分段决策Bellman 方程。
每一点最优都是上一点最优加上这段长度。
即当前最优只与上一步有关。
U s 初始值，u j 第j 段的最优值。
⎪⎩⎪⎨⎧+==≠}.{min ,0ijiji js w u u u3.一般方法1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3）以自底向上的方式计算出最优值；4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。
二.实验内容1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规划算法。
2.图的数据结构采用邻接表。
3.要求用文件装入5个多段图数据，编写从文件到邻接表的函数。
4.验证算法的时间复杂性。
算法 最短路径
算法最短路径最短路径算法是一种在图中寻找两个节点之间最短路径的方法。
它在许多实际应用中都有广泛的应用，比如导航系统、网络路由和物流规划等。
本文将介绍几种常见的最短路径算法，并对它们的原理和应用进行详细解析。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。
它通过不断更新起始节点到其他节点的距离，逐步找到最短路径。
具体步骤如下：1. 初始化起始节点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。
2. 选择距离起始节点最近的节点，并标记为已访问。
3. 更新与该节点相邻节点的距离，如果经过该节点到达相邻节点的距离更短，则更新距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被访问过或者没有可更新的节点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。
它适用于没有负权边的图，可以求解单源最短路径问题。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种可以处理带有负权边的图的最短路径算法。
它通过对所有边进行松弛操作，逐步逼近最短路径。
具体步骤如下：1. 初始化起始节点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。
2. 对所有边进行V-1次松弛操作，其中V为节点的数量。
3. 检查是否存在负权环，如果存在，则说明图中存在无穷小的最短路径，算法结束。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的数量，E为边的数量。
它适用于解决单源最短路径问题，并且可以处理带有负权边的图。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种可以求解任意两个节点之间最短路径的算法。
它通过动态规划的思想，逐步更新节点之间的距离。
具体步骤如下：1. 初始化节点之间的距离矩阵，如果两个节点之间有直接边，则距离为边的权重，否则为无穷大。
2. 对于每一个节点k，遍历所有节点对(i, j)，如果经过节点k的路径比直接路径更短，则更新距离矩阵中的值。
3. 重复步骤2，直到所有节点对的距离都被更新。
用遗传算法求解具有多阶段决策特点的最短路问题
收稿 日期 ：２ ０ —０ ０ ８ ５—２ ９
作者简介 ：柯林 （９ ５一 ） １７ ，男 ，九 江学院理 学院讲师 。
２０ ０ ８年第 ６ 期
九江学院学报
・ ３・ ７
把一条染色体 中相邻两个顶点 ， ＝１ ＋ （ ， ２ …，）的边长度 Ｊ ｖ， ） （ 之和定义为适应 函数 ： 秽
２０ ０ ８年第 ６ 期
Ｎｏ， ６， ２０ ０８
九 江 学 院学 报 Ｊｕ ａ ｏ ｕｉ ｇＵ ｉ ｒｉ ｏｒ ｌ ｆｉ ａ ｎｖ ｓｙ ｎ ｊｊｎ ｅ ｔ
（ 总第 １９期 ） ４
（ ｕ Ｎ ４ ） Ｓｍ Ｏ１９
用遗传算法求解具有多阶 段决策特点的 最短路问 题
柯 林 叶茶 花
算 法与 实现 ３ １染 色体 编码 ．
两条 ：Ａ １ ＿Ｂ ，出发点为 Ａ；第二 阶段有 ＿Ｂ ，Ａ ＋ ２
六条路 线 ：Ｂ － Ｃ ，Ｂ ＿ Ｃ ，Ｂ Ｃ ，Ｂ － Ｃ ， １＋ １ １÷ ２ ｌ ３ ２ ÷ １
对于一个给定 的具 有多阶段决 策特点 的最短 路径问题 ，按 阶段的顺 序从每个阶段 中选取一个 出发点作为染色体的基 因，并且在染色体 的末尾 加上终点 ，这样染色体中的基因排列顺序即为从 起点到终点一条通路 ，染色体 的长度等于 ｎ＋１ ．
３ 求具 有 多阶段 决策特 点 的最 短 路径 问题 的遗 传
组成了一个决策序列 ，因而也就决定 了整个问题
的一条 活动 路 线． 如 图 １所示 ，从 Ａ地 到 Ｄ地 要
铺设一条管道 ，其 中需经过两级中间站 ，两点之
间 的连线 上 的数 字表 示 距 离 ，问应 该 选 择 什 么 路 线 ，使总 距离最 短 ？ 该 问题可 分 为 三 个 阶 段 ，第 一 阶 段 的 路 线 有
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实验名称：实验X
Windos10
1.实验内容：
如图所示从A0点要铺设一条管道到达A6点，中间必须经
过5个中间站，第一站可以在A1、B1两地中任选一个站
点，其他站点类似，连接两地间管道的距离（造价）用如附
图3所示中连线的数字表示，求A0到A6间的最短造价路
径。
2.实验方法：
阶段：将图中的顶点划分5个阶段，k
状态：每个阶段有几种供选择的点s
决策：当前状态应在前一个状态的基础上获得。
决策需要满
足规划方程
规划方程：f(k)表示状态k到终点状态的最短距离。
初始条件：f(k)=0;
方程：f(k-1)=min{f(k)+W(k-1,k)}其中W(k-1,k)表示状态
k-1到状态k的距离。
#define m1 8
#define m 7
#define n1 17
#include<stdio.h>
本实验程序是基本操作算法，包括:从某个源点到其余各个顶点之间。