多阶段配置问题

多阶段配置问题设有数量为x 的某种资源，今要投资到两个项目A 与B 中去。

若第一次以数量y )0(x y ≤≤投资于A ，设其经济效益为)(y g ；以数量y x -投资于B ，设其经济效益为)(y x h -；并称此为活动的第一阶段，在第—阶段可得总经济效益为)()(y x h y g -+假定0)0()0(==h g (这是合理的，因为不投资其经济效益即为0)。

显然，对不同的y (即不同的投资方案)第一阶段的经济效益一般也不同。

又设以数量y 及y x -分别投资于A 与B 两项生产后，可以回收一定的资源，并再投入生产。

设其回收率分别为a )10(<≤a 及b )10(<≤b .设第一阶段投资后，回收的总资源为1x ，则有)(1y x b ay x -+=我们将1x 再投资于A 与B 中去，称之为第二阶段。

若第二阶段以资源1y )0(11x y ≤≤投资于A ，设其经济效益为)(1y g ；以资源11y x -投资于B ，设其经济效益)(11y x h -，则第二阶段的总效益为)()(111y x h y g -+因此，前两个阶段的总经济效益为)()(y x h y g -+)()(111y x h y g -++又设第二阶段回收的总资源为2x ，即有)(1112y x b ay x -+=如此继续下去。

假定第1-n 阶段回收的总资源为1-n x ，并假定第n 阶段以资源1-n y )0(11--≤≤n n x y 投资于A ，经济效益为)(1-n y g ；而以资源11---n n y x ，投资于B ，其经济效益为)(11---n n y x h 。

则前n 个阶段的总经济效益为)()(y x h y g -++-++)()(111y x h y g … )(1-+n y g )(11---+n n y x h 其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=≤≤≤≤-+=-+=-+=----)1~1(00)()()(222111121n i x y x y y x b ay x y x b ay x y x b ay x i i n n n n (1) 我们希望选择121...,,,,-n y y y y 以使n 个阶段投资的总经济效益最大，即希望选择[121...,,,,-n y y y y ]使之在条件(1)下达到)()(max{y x h y g -++-++)()(111y x h y g …)(1-+n y g )}(11---+n n y x h(2)这是一个多阶段决策问题，满足(1)及(2)的策略[121...,,,,-n y y y y ]即为最优策略。

设初始资源为x ，经过k 个阶段投资，且各阶段投资中均以最优决策投资后所得到的总经济效益为)(x f k 。

则k 个阶段决策问题可归纳为下面的递推关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+==-++-+=≤≤-≤≤)}()({max )()~2( )]}([)()({max )(0110y x h y g x f n k y x b ay f y x h y g x f x y k x y k （3） 当)(x g ，)(x h 都是凸函数时，我们可以证明上面的多阶段配置问题的最优策略有如下的好结论。

3.4.2 多阶段配置问题在凸条件下的结论命题1 若)(x g ，)(x h 为凸集X 上的凸函数，则)(x g )(x h +也是X 上的凸函数。

命题2 若)(x g ，)(x h 为凸集X 上的凸函数，则)}(,)({max )(x h x g x F Xx ∈= 也是X 上的凸函数。

命题 3 若)(x f 为R 上的凸函数，b ax +为凸集X 上的线性函数，则)(b ax f +也为X 上的凸函数。

命题4 若X 为有界闭凸集，)(x f 为X 上的凸函数，如果)(max x f X x ∈存在，则它必在X 的边界点上达到。

以上四个命题，我们只证明命题4，其余留给读者自己证明。

命题4的证明<反证法> 假定)(x f 在X 上的最大值)(max x f Xx ∈不能在X 的边界点上达到，则对X X x ⊂∂∈∀*，有 )(max )(x f x f Xx ∈*< (1) 由于)(max x f X x ∈存在，故必有X 的内点0x ，使得)(max )(0x f x f Xx ∈=，由于0x 是X 的内点，过0x 作一线段，使其与X ∂交于两点1x ,2x X ∈，那么存在i q (i q 为权)(=i 1,2)，使得22110x q x q x += )0,0,1(2121>>=+q q q q由于)(x f 是凸函数，故有)}(,)(max{ )()()()(21221122110x f x f x f q x f q x q x q f x f ≤+≤+= (2)(1)式与(2)式矛盾。

这个矛盾说明假定是不正确的。

即本命题得证。

由以上几个命题，我们就能证明下面的重要定理：定理 设)(x g ，)(x h 为凸函数，且)0(g 0)0(==h ，则多阶段配置问题的最优决策y 必在每个阶段的相应边界点上达到。

证明 (利用数学归纳法) 由于)(x g ，)(x h 为凸函数，则由命题3可知)(y x h -对于任意固定的x 都是y 的凸函数。

由命题1可知，+)(x g )(y x h -对任意固定的x 都是y 的凸函数。

又R x y y Y ∈≤≤=}0{为有界闭凸集，则由命题4可知：)}(,)(max{)]()([max )(01x h x g y x h x g x f x y =-+=≤≤ 而由命题2可知，)(1x f 也是凸函数。

设)(1x f k -为x 的凸函数，则由命题3可知，)]([1y x b ay f k -+-对于固定的x ，必是y 的凸函数，再由命题2和命题4可知)]}([)()({max )(10y x b ay f y x h y g x f k xy k -++-+=-≤≤ })()(,)()(max{11ax f x g bx f x h k k --++=也是x 的凸函数，从而最优决策必可在各阶段的相应的边界点上达到。

例 有某种机器，可以在高低两种不同的负荷下进行生产。

在高负荷下进行生产时，产品的年生产量1S 与投入生产的机器台数1m 的关系为：118m S =年(折损后)完好率为7.0=a ，在低负荷下进行生产时，产品的年生产量2S 与投入生产的机器台数2m 的关系为：225m S =年(折损后)完好率为9.0=b 。

若开始时拥有完好机器台数为1000台，要求制定一个5年计划，在每年年初时，应决定如何重新分配完好机器在高、低两种不同的负荷下生产，使之在5年内产品的总产量达到最高。

为建立这个问题的动态规划模型，我们可以用年度表示阶段序数k ，于是可规定第k 年度初拥有的完好机器台数为状态变量k x ，第k 年度中分配在高负荷下进行生产的机器台数为决策变量k u 。

因此，k x k u -就是该年度中分配在低负荷下进行生产的机器台数。

于是，第1+k 年度初拥有的完好机器台数，也即状态变量1+k x 为：)(9.07.01k k k k u x x x -+=+又设),(k k k u x g 为第k 年度的产量，则)(58),(k k k k k k u x u u x g -+=于是，第k 年度状态为k x 时的最优值)(k k x f ，即为)}(),({max )(110++≤≤+=k k k k k x u k k x f u x g x f kk )1~5()]}(9.07.0[)(58{max 10=-++-+=+≤≤k u x u f u x u k k k k k k k x u kk 由于不计第六年的产量，故取0)(66=x f 。

因此我们得到该问题满足逆序递推关系的数学模型如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-+=+≤≤0)()1~5()]}(9.07.0[ )(58{max )(6610x f k u x u f u x u x f k k k k k k k x u k k k k由这个模型我们可以得到如下的结果：第一步：从最后一阶段开始算，即第五年度，5=k)}()(58{max )(6655505555x f u x u x f x u +-+=≤≤ )}(58{max 555055u x u x u -+=≤≤ 58x =（当55x u =时达到）即在第五年初，应把所有完好的机器全部投入高负荷下生产。

第二步：看第四年度的情况，即4=k)}()(58{max )(5544404444x f u x u x f x u +-+=≤≤ )]}(9.07.0[8)(58{max 444444044u x u u x u x u -++-+=≤≤ )}(2.126.13{max 444044u x u x u -+=≤≤46.13x =(当44x u =时达到)即在第四年初，应把所有完好的机器全部投入高负荷下生产。

第三步：看第三年度的情况，即3=k)}()(58{max )(4433303333x f u x u x f x u +-+=≤≤ )]}(9.07.0[6.13)(58{max 333333033u x u u x u x u -++-+=≤≤ )}(2.175.17{max 333033u x u x u -+=≤≤ 35.17x =(当33x u =时达到)即在第三年初，应把所有完好的机器全部投入高负荷下生产。

第四步：看第二年度的情况，即2=k)}()(58{max )(3322202222x f u x u x f x u +-+=≤≤ )]}(9.07.0[5.17)(58{max 222222022u x u u x u x u -++-+=≤≤)}(8.203.20{max 222022u x u x u -+=≤≤ 28.20x =（当02=u 时达到）即在第二年初，应把所有完好的机器全部投入低负荷下生产。

第五步：看第一年度的情况，即1=k)}()(58{max )(2211101111x f u x u x f x u +-+=≤≤ )]}(9.07.0[8.20)(58{max 111111011u x u u x u x u -++-+=≤≤ 111107.23)}(7.236.22{max 11x u x u x u =-+=≤≤（当01=u 时达到） 即在第一年初，应把所有完好的机器全部投入低负荷下生产。

归纳上述结果可列成下表1（表1）由上表可以看出，我们可选用这样的5年计划，第一年把1000台机器全部投入低负荷生产，取得效益为1000⨯5 = 5000，折损机器100台，仍完好的机器为900台；第二年再把这900台机器全部投入低负荷生产，又取得效益为900⨯5 = 4500，再折损机器90台，仍完好的机器为810台，如此继续下去，5年计划完成后，取得总效益为2370010007.237.23)(111=⨯==x x f即这样计划在5年内产品的总产量达到最高，5年后，1000台机器中仍完好的机器台数约为278台。