矩阵分析-哈尔滨工业大学(深圳)年-考试重点知识交流
哈工大矩阵分析课件8
B ⊗ A = [3 A 3 12 −1 −4 . −1A ] = 0 6 0 −2
5
显然 A ⊗ B ≠ B ⊗ A , 即矩阵的 K ronecker 积 不 满 足 交 换 律 .
k k k
8
(8.9)
(6) 设 A ∈ C
m×m
, B∈C
−1
n×n
都是可逆矩阵,则 A ⊗ B (8.10)
(8.11)
mn×mn
也可逆,且有 ( A ⊗ B) = A ⊗ B
(7) ( A ⊗ B ) + = A+ ⊗ B +
−1 −1
(8) 设 A∈U (9) 设 A∈C
m×m m×m
, B ∈U , B ∈C
③ 酉不变性 两个酉矩阵的Kronecker乘积仍是酉矩阵. 酉矩阵.
18
§8.2 矩阵Kronecker积的特征值
定理 8.2 设 A ∈ C m×m 的特征值为 λ1 ,..., λi ,..., λm , B ∈ C n×n 的特征值为µ1 ,..., µ j ,..., µn , 则
(1) A ⊗ B 的 mn 个特征值 为 λi µ j (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,..., n ) ;
( A ⊗ B) = A ⊗ B .
16
+
+
+
(8). 设 A ∈ U
m×m
, B ∈U
n×n
, 由 (4) 及 (5) 得
H H
( A ⊗ B)( A ⊗ B) = ( A ⊗ B)( A ⊗ B ) = ( AA )(BB ) = Im ⊗ In = Imn . H H H ( A ⊗ B) ( A ⊗ B) = ( A ⊗ B )( A ⊗ B)
矩阵分析的重点(升级版)
第一章 线性空间与线性变换1、 充分理解抽象线性空间的概念,掌握向量的线性表出,线性相关,线性无关的判断与性质.P5,例1.1.82、 掌握线性空间的基,维数,坐标的定义与求法,掌握基变换与坐标变换,明确过渡矩阵必可逆,会求过渡矩阵.P12,例1.2.63、 理解线性子空间的概念,重点掌握齐次线性方程组的解空间与生成子空间,理解线性子空间的交与和以及维数公式,了解子空间的直和与补子空间.P19,例1.3.54、 掌握线性映射(变换)的概念, 线性映射(变换)的矩阵表示以及一个线性变换在不同基下矩阵之间的(相似)关系.P30,例1.4.8,P35,例1.6.15、 会求线性映射的核与值域,理解秩与零度定理P33,例1.5.16、 理解线性变换不变子空间的定义与性质.7、 会求矩阵(线性变换)的特征值与特征向量,理解矩阵(线性变换)的特征值与特征向量的性质8、 掌握矩阵可对角化的条件,理解矩阵族同时可对角化的含义.第二章 λ-矩阵与矩阵的Jordan 标准形1、会求λ-矩阵的Smith 标准形2、会求λ-矩阵的不变因子,行列式因子和初等因子.明确三者之间的关系(特别是:初等因子+矩阵秩可决定不变因子) .P72,例2.2.1, 例2.2.23、理解λ-矩阵等价的几个充分必要条件.4、掌握矩阵Jordan 标准形的定义,会求矩阵的Jordan 标准形及其相似变换矩阵. P79例2.3.3第三章 内积空间, 正规矩阵, Hermite 矩阵1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质,掌握Hermite 矩阵的定义与性质,会求欧氏(酉)空间的度量矩阵(P94),明确欧氏空间的度量矩阵为实对称阵, 酉空间的度量矩阵为Hermite 矩阵. 例:在线性空间[]3x R 中定义内积()⎰-=11)()()(),(dx x g x f x g x f(1) 、证明[]3x R 是欧氏空间;(2) 、求基1,2,x x 的度量矩阵; (3) 、求21)(x x x f +-=与2541)(x x x g --=的内积.2、掌握线性无关向量组的Schmidt 正交化与单位化方法P100,例3.2.13、掌握酉矩阵和正交矩阵的定义与性质,理解酉变换与正交变换的定义与性质4、掌握Schur 引理的内容及实现过程,掌握正规矩阵的定义与性质P114,例3.5.1第四章 矩阵分解1、掌握矩阵满秩分解的定义以及具体分解方法,明确矩阵满秩分解表达式不唯一,及其应用于求矩阵广义逆.2、掌握矩阵正交三角分解的定义以及具体分解方法,理解矩阵正交三角分解与Schmidt 正交化与单位化方法之间的关系.P148,例4.2.1例:求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011110A 的正交三角(UR)分解.第五章 向量与矩阵范数1、理解向量范数的定义,会判断所给定义是否可作为向量范数,会求向量的p-范数,1-范数,2-范数, ∞-范数,学习指导上例5.12、理解矩阵范数的定义,会判断所给定义是否可作为矩阵范数3、理解矩阵范数与向量范数的相容性,掌握诱导范数的定义,会求矩阵的1-范数(列和范数), 2-范数(谱范数),∞-范数(行和范数),谱半径,学习指导上例5.6,例5.7 4、理解矩阵序列极限与矩阵序列敛散性的含义,会求矩阵序列极限,会判断矩阵序列敛散性,学习指导上例5.185、掌握矩阵幂级数敛散性的含义,会判断矩阵幂级数的敛散性,并会求收敛幂级数的和,学习指导上例5.20,例5.21,例5.22。
矩阵分析5
Theorem 4. Let B = {x1, . . . , xn} be a basis of (V, · ). The function
g : Fn → V defined by g(λ1, . . . , λn) =
n j=1
λj
xj
is
continuous.
Proof.
n j=1
λj
xj
α \ β 1 √2 ∞ 1 1 n √n 2 11 n ∞ 11 1
5
Theorem 7. Let ϕ : (V, · V ) → (W, · W ) be a linear transformation between two normed spaces, then ϕ is continuous.
Examples:
• The dot product on Cn.
• For x = (x1, x2)t, y = (y1, y2)t ∈ Rn, we define x, y = x1y1 + 2R), we define A, B = tr AB∗.
• For f (x), g(x) ∈ Pk, we define f (x), g(x) = − 11f (x)g(x) dx. Theorem 8. (Cauchy-Schwarz inequality) | x, y | ≤ x 2 y 2. Hence we can define the angle between x and y.
If turns out that by a particular choice of a basis B, an inner product space can be identified with Cn or Rn under the usual Euclidean norm.
哈工大矩阵分析讲学课件6
矩阵分析教程(电子版)董增福哈尔滨工业大学数学系1第六章特征值的估计核心内容：1．特征值界的估计2．圆盘定理3．Hermite矩阵的正定条件与Rayleigh商4．广义特征值与商广义Rayleigh2§6.1特征值界估计的下面的定理给出矩阵的与它的F的:特征值范数关系定理6.1(Schur),...,,...,A(a)C不等式设为λλλ=∈1i n ij n n×n n ×的特征值,则有Schur不等式n n n(6.1)∑∑∑222λ≤=a Ai ij Fi1i1j1===等号成立的充要条件为A是正规矩阵.3n n n n××证由定理定理存在使3.25(Schur),A C,U U,∀∈∈HU A U R①=其中是对角元为的特征值的R(r)Aλ,...,λ,...,λ=ij n n1i n×上三角矩阵.②取共轭转置有H H HU A U R=上述②①二式相乘得H H H U(A A)U R R=H H这说明A A与R R,故它们的相等酉相似迹H Htr(A A)=tr(R R)(6.2)4因为R的为A的,故上三角阵对角元特征值n n n n∑∑∑∑222Hλ=≤=r r tr(R R) iii iji1i1i1j1====由式(6.2)n n n n∑∑∑∑2H H2a tr(A A)tr(R R)r,===ij ij i 1j1i1j1====n n n∑∑∑222故i a Aλ≤=ijFi1i1j1===.Schur的为不等式取等号充要条件n n n∑∑∑2r r=2 ,ii iji1i1j1===这说明是对角阵由定理知酉相似对角阵R, 3.26A()是正规矩阵.5注:任何一个阶复数矩阵都可表成一个nH e rm i te H e rm i te.矩阵与一个反矩阵之和n×n设∈则A C,,11H HA(A A)(A A)B C=++−=+22其中11H H B(A A),C(A A), =+=−22显然H HB B,C C==−.6用矩阵的m∞范数估计特征值11n n H H定理设6.2(),B(),C()A a C×A A A A=∈=+=−ij n n×22n nλλλ∈,...,,...,为的特征值则A C×, 1i n①λi n i j a ij m i n⋅m ax=A,=1,2,...,;≤,∞②R e()n⋅max b=B,i=1,2,...,n;λ≤i iji j m,∞③I m()n⋅max c=C,i=1,2,...,n.λ≤i iji j m,∞7证由定理有①.6.1n n n∑∑∑22 222i i a n max a,ij ij λ≤λ≤≤i,ji1i1j1===即λ≤==1,2...,i n max a A,i n.iji,j m∞则①得证.( 4.17(A)A,A.)若仅证由定理有故①ρ≤λ≤:i m∞此处证法同时证②,③.8H=,H H=H,,, 因由的定义U AU R U A U R B C于是有11H H H HU B U U[(A A)]U(R R),=+=+22U11H H H H C U U[(A A)]U(R R),=−=−22由于酉相似下矩阵的范数不变Frobenius,1所以(R R+2H)2F=B2F,1 22H(R R)C−=F2F.9因为λ00r r λ11121n0r r0λλ11H22n(R R)() +=+22122λλr rn1n2n n+r rRe()**λλλ111121n*Re()*λ1r rλ+λ212222n==2+**Re() r rλλλ12n n n n n10因为λ00r r λ11121n0r r0λλ11H22n12(R R)()−=−22200λλr rn n1n2nr ri I m()**λ−λλ111121n*i Im()*λ1r r −λ−λ2 12222n==2−−**i I m()λr rλ−λn 1n2n n n11所以有22()注意⋅≤⋅Fm∞n n n∑∑∑∑22222 11r b n max b,λ+λ+=≤4i i2i,ij j iji ji i<j i1j1=1==n n n∑∑∑∑22222 11r c n max c.λ−λ+=≤42,i i ij ij iji ji i<j i1j1=1==故n n∑∑22 2212Re()Re()n max b,λ≤λ=λ+λ≤i i4i i,iji ji1i==1n n∑∑22 2212Im()Im()n max c.λ≤λ=λ−λ≤i i4i i,jii ji1i==1此即②,③的等价不等式.■12推论(1)Hermite矩阵的特征值都是实数(定理2.18);(2).反零Hermite矩阵的特征值为或纯虚数H,, 6.2,(), 证当时由定理之③A A C O Im0==λ=ii i.n,1,2,..,;即为实数λ=H,, 6.2,(), 当时由定理之②A AB O Re0=−=λ=ii i n,1,2,...,.即为零或纯虚数■λ=13对于实矩阵特征值虚部的估计有比定理之③6.2更精细的结果.定理6.31n n T设则A R×,C(A A),∈=−A R ×,C(A A),2Im()λ≤n−nC12m∞这里为的任一特征值.λA证略14011例特征值范数6.1设A=,试论述A的与的关系.−10111−−0解显然为反对称矩阵所以有A,B1H=+=O,(A A) 2C1H=−=(A A) A. 2于是A3,B0,C 3.===m m m∞∞∞15由 6.2,对A的有定理任一特征值λλ≤λ=λ≤3,Re()0,Im() 3.31−由 6.3,Im()C 3.定理λ≤=23m×∞对于的估计定理明显优于定理Im(λ), 6.3 6.2.16以下计算A的:特征值λ−−112λ−=λ−=λλ+I A11(3).11λ故的特征值为A λ=λ=λ=−0,3i,3i. 123(A,);是反对称矩阵其特征值为零或纯虚数另有A 2F332∑∑==aiji1j1==6,于是3∑226A 6. =λ≤=iFi1=因为A是正规矩阵,等号成立,与定理6.1结论一致.17显然ρ=(A)3,且有A6,A6,A3;===mF m1∞A A==1∞2 ,再计算的A2范数λ−−211H2λ−=−λ−−=λλ−I A A121(3).112−λ−故可见≤A2=3,ρ(A)A();任一范数又是正规矩阵有□18 A,ρ(A)=A=3.2§6.2圆盘定理定义n n6.1设A(a)C ×,=∈ij n n×nR a a...a a...a(i1,...,n)(6.8) =∑=+++++= ii j i1ii1ii1i n−+j1,j i=≠称复平面上的圆域G{z z a R,z C}(i1,2,...,n)(6.9)=−≤∈= i ii i为矩阵的第个圆盘简称盖尔圆称为盖尔圆A i Gershgori n,,RiG i 的半径 .19圆盘定理定理n n n×特征值6.4(Gershgorin1)矩阵A C的个都在∈它的个盖尔圆的并集中即为的特征值n.∪G,A,λ∈λi i ii1,2,...,n..=简称此定理为圆盘定理T n 证设为的任一特征值为λ=∈A,x(x,...,x,...,x)C1j n A,Ax x,xθ.的属于特征值的特征向量故λ=λ≠设则由于x max x,x0.=≠k j kjn n∑∑a x x,i1,2,...,n;a x=λ==λ所以x k .ij j i k j jj1j1==20。
矩阵分析期末总结
矩阵分析期末总结引言：在矩阵分析这门课程中，我们系统学习了矩阵的基本概念、运算、性质和应用等知识。
通过学习矩阵分析，我们能够更好地解决线性方程组、矩阵特征值和特征向量、矩阵的相似性等问题。
本文将对我在矩阵分析课程中的学习内容和收获进行总结与归纳。
一、矩阵的基本概念与性质矩阵作为线性代数的基础概念，具有以下基本性质：1. 矩阵的定义与表示，包括行矩阵、列矩阵、方阵和零矩阵等。
2. 矩阵的大小与维度，用行数与列数来表示矩阵的大小，例如m x n矩阵表示有m行n列的矩阵。
3. 矩阵的运算，包括矩阵的加法、数乘和乘法等。
4. 矩阵的转置与共轭转置，将矩阵的行与列进行互换，并对矩阵元素取共轭得到的转置矩阵。
5. 矩阵的逆与伴随，如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。
二、矩阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
2. 特征值与特征向量的计算方法，通过解方程(A-λI)x=0可以求得特征值λ和特征向量x。
3. 特征值与特征向量的性质，特征值与特征向量满足一系列重要的性质，例如特征值的重数与特征向量的线性无关性等。
4. 对称矩阵的特征值与特征向量，对称矩阵的特征值都是实数，并且存在一组相互正交的特征向量。
5. 正交矩阵的特征值与特征向量，正交矩阵的特征值的模长都等于1，特征向量是正交归一化的。
三、矩阵的相似性与对角化1. 相似矩阵与对角化，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=D，其中D是一个对角矩阵，则称矩阵A与D相似，且称A可对角化。
2. 相似矩阵的性质，相似矩阵具有一系列重要的性质，例如特征多项式、迹、行列式等。
3. 矩阵的谱分解与Jordan标准形，对于n维方阵A，如果存在P使得P^(-1)AP=J，其中J 是一个Jordan标准形矩阵，则称矩阵A可谱分解。
四、矩阵分析的应用矩阵分析在实际应用中具有广泛的应用，例如：1. 线性方程组的求解，可以通过矩阵分析中的逆矩阵、伴随矩阵等方法求解线性方程组。
矩阵分析
所以 E11, , Eij , , Emn 线 性 无 关.
■
21
§ 1.2 线性空间的基与坐标
定义1.2 线性空间V (F )中的向量组x1, x2 ,..., xn 称为V (F )的基或基向量组,如果它满足
① x1, x2 ,..., xn 线性无关; ②V (F)中的任一向量x皆可写成x1, x2,..., xn
2
问题二 线性常系数齐次,非齐次微分方程组初值问题
ddxt = Ax, x(t0) = x0.
ddxt = Ax+ f (t), x(t0) = x0.
方法与工具 矩阵的Jordan 标准形
矩阵微分与矩阵积分
向量 矩阵的Laplace变换
3
问题三 Lyapunov 矩阵方程 AX + XB = F
■
26
定义1.3 设 α1, α2 ,..., αn 及 β1, β2 ,..., βn 是
线性空间的两个基，且
β1 β2
= =
p11α1 p12α1
+ +
p21α2 p22α2
+ +
βn = p1nα1 + p2nα2 +
+ pn1αn + pn2αn
+ pnnαn
(1.1)
dX (t) = AX (t) + X (t)B 矩阵微分方程 dt
X (0) = X0 方法与工具 矩阵的Kronecker 积
矩阵的按行拉直列向量vecX
矩阵方程转化成线性方程组 ( A ⊗ In + Im ⊗ BT )vecX = vecF
矩阵微分方程的解 X (t) = eAt e X0 Bt
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
哈工大 严质彬 矩阵分析 讲义(二)
0 d1 (λ ) d 2 (λ ) 0 O d r (λ ) 0 0 0m − r , n − r
n× n
U (λ )V (λ ) = V (λ )U (λ ) = I n . (1.1.1)
n× n
[λ ]
( A(λ )) −1 =
计算逆矩阵 然而这样求得的逆矩阵一般情况下会是一个有理分式矩阵. 定理 1.1.1 (单位模阵的行列式刻画) 多项式矩阵 U (λ ) ∈ F [λ ] 是单位模阵, 当且仅当行列式 det( A(λ )) ∈ F[λ ] 为非零常值多项式. 证明: “当”部分. 易见, adj(U (λ )) ∈ F [λ ] 为多项式矩阵(不含分母为次数 ≥ 1 的多项式的不可约分式为元
i i +1 i i +1 11
0 d1 (λ ) d 2 (λ ) 0 , (1.1.3) O d r (λ ) 0 0 0m − r , n − r di (λ ), i = 1,2,K, r , 1 i = 1,2,K, r − 1 . : A(λ ) , . A(λ )
第一章 λ矩阵与矩阵的 Jordan 标准型
1.1 λ矩阵及其 Smith 标准型
记号 F[λ ] 表示系数在 F 中的λ的多项式的全体; 而 F(λ ) 表示系数在 F 中的λ的有理分式的全体. 显然, F[λ ] ⊂ F(λ ) . 我们知道, 两个多项式相除, 结果不一定是多项式(只在整除时才是). 因此, 作为运算系统, 加、减、乘三法在 F[λ ] 中总能进行, 而除法不是总能. 这样的运算系统称为环, 而 F[λ ] 称为多项式环. 另一 方面, 在 F(λ ) 中, 四则运算皆能进行, 这样的运算系统称为域, F(λ ) 称为有理分式域. 定义 1.1.1 (多项式矩阵) 以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵, 简称为λ矩阵. 记号 F [λ ] 表示所有 m 行 n 列的λ矩阵的集合, 矩阵的元素是系数在 F 中的λ的多项式 . 也就是说 , A(λ ) ∈ F [λ ] 表示 A(λ ) = [a (λ )] , 其中 ,
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证明一个映射是线性映射。
（P24,例1.4.9）
给定入口基及出口基，写出线性映射对应的矩阵表示。
求线性映射在不同基上的矩阵表示。
求最简形。
先通过初等行列变换化为阶梯形。
同时记录行变换（相当于左乘），列变换（右乘）。
即对In做变换。
记住Q是m*m，P是n*n，同时化为最简形时得到的是Q逆，还需要再进行变化得到Q。
所得结果也是该最简形在不同线性空间的基。
λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子。
单位模阵。
求λ矩阵的Smith标准型。
两个矩阵相似的定义。
矩阵相似的三个条件。
求复数域上的矩阵的Jordan标准型。
内积-欧几里德空间
证明*是内积空间（欧几里得空间）
证明一个向量组是正交向量组。
施密特正交化化标准正交组。
复矩阵的奇异值和奇异值分解
复矩阵的奇异值分解
总结下：
A = UDV H ；AA H求U，A H A求V，注意维数问题，D和A同维度。
此外不够记住还有特征值为0的特征向量。
V=A H UD-H
（对于复数问题，记得转置；求λI n-AA H时,注意符号，对角线不为0的变负）
点到平面的距离：
A是平面（α1α2）投影矩阵得P，P=A（A T A）-1A T b，b表示一个向量，接着b-P即为距离，再套用距离公式计算长度。
正规矩阵酉相似对角化。