5(4)可降阶的高阶方程
第三节 可降阶的高阶微分方程
例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
可降阶的高阶微分方程
f1
α
f 2与 N 保持平衡， f1和 R 之合力 F = f1 − R = mg (sin α − µ cos α ) 使物体沿斜面运动。设 物体移动的距离 s = s (t )，则由 Newton d 2s 第二定律，有： mg (sin α − µ cos α ) = m 2 dt d 2 s（2） 即： 2 = g (sin α − µ cos α ) — —此为 s (t )应满足的微分方程 dt
3. 例子： 7-17 例
dy 解：积分一次得： = x(ln x − 1) + c1 dx 1 2 3 再积分一次得：y = x (ln x − ) + c1 x + c2 2 2 即为所求之通解。
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d y 求 = ln x 的通解 2 dx
2
可降阶方程第一型举例（续1）
例7-18 质量为m的物体，以初速度v0从一斜面上滑下。如斜面的倾角为
上一页
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三、 y′′ = f ( y，y′)型
1. 形式：
y′′ = f ( y，y′)
(7)
（即含有未知函数y, 不含自变量x）
2. 解法： 令y ′ = f ′( x )，视 x为未知函数， y为自变量，两边对 y求导：
dp ====================================== d ( y ′) d [ f ′( x )] dx d 2 y 1 1 = = ⋅ = 2⋅ = y ′′ ⋅ dy dy dx dy dx dy p dx (*) dp df (u ) df (u ) du ∴ y ′′ = p ⋅ ∵ = • dy dx du dx
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常微分方程可降阶的高阶微分方程学习教案
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20 第二十页，共36页。
4 、可降阶的高阶方程(fāngchéng)
例１、 追线问题(wèntí)
的应用举例
在 Ox
轴上有一点P以常速度a沿着
正向移动;在
平面上另有一点M,它以常
xoy
轴
Ox
速度v 运动，方向永远指向P点,求M点的运动轨迹.
解: 首先我们建立点M运动时所满足的微分
y 1, x0
y
1
的特解是
x0 2
或
y x 1 y2 x 1
解 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1
由y
x0
1,
y
x0
1 2
C1
1 2
即
yy 1 2
y2 x
可分离(fēnlí)变量方程
2 2 C2
由y x0
1
C2
1 2
y2
x1
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16 第十六页，共36页。
使该
xp( x) p( x) 0
可分离变量(biànliàng)方程
1
1
分离变量(biànliàng)并积分
dp pdx x来自得lnp
ln
x
ln C1
ln
C1 x
即p C1 , 即f ( x) C1 ,
再积分(j īfē n),得
x
x
f
( x)dx
C1 dx, x
f ( x) C1 ln x C2 即为所求.
若能求得其通解(tōngjiě)为:
y (t, c1, c2,cnk ) 即 x(k) (t, c1, c2 ,cnk )
对上式进行(jìnxíng)k 次积分,可求出方程的解.
几种可降阶的高阶方程
1.7 几种可降阶的高阶方程一般的 n 阶高阶方程 F ( x, y , y ¢,L , y ( n ) ) = 0 没有一般性的求解方法，但我们如果能把它的阶数降下来， 就增加了求解的可能性. 下面我们介绍三种可降阶的情形：1 方程不显含未知函数 y, 或更一般地不显含 y, y¢,L,y ( k -1) , 即方程呈形状 （k） ( k +1) F ( x, y ,y ,L, y ( n ) ) = 0(1 £ k £ n).2 方程不显含自变量 x，呈形状F ( y, y¢, L, y ( n ) ) = 0 .3 恰当导数方程本节要介绍三种高阶方程的解法，这些解法的基本思想就是把高阶方 程通过某些变换降为较低阶方程加以求解，所以称为“降阶法”.一。
第一种可降阶的高阶方程方程（1.78）这种方程的特点是方程中出现的最低阶的导数为 . 这时只要令 (1.78)中就化成 如果(1.79)能求出通解 则由对 积分 ，就可以求出 y来了.（1.79）例1.解d 5x 1 d 4x 求方程 5 - × 4 = 0 的解. dt t dtd 4x 令 4 = y , 则方程化为一阶方程 dtdy 1 - y = 0, dt t积分得d 4x y = ct , 即 4 = ct , dt于是通解x = c1t + c2t + c3t + c4t + + c5 .5 3 2二.第二种可降阶的高阶方程 方程 这类方程的特点是不显含自变量 x，这时， 总可以利用代换 ，使方程降低一阶.以二阶 方程 为例.令 代入原方程，就有 ，于是有“这是一个关于未知函数 p ”的一阶方程.如 果由它可求 则有 这是一个关于y的变量可分离方程， 可求得通积分.例2. 求解方程xx ¢¢ + ( x ¢) = 0 .2解 令 x ¢ = y , 则 x ¢¢ = y dy , 方程化为dy xy + y 2 = 0 , dx或 积分后得 所以dxdy y = 0及 x + y = 0, dxc c y = 即 x¢ = , x xx = c1t + c22是原方程的通解 .三. 恰当导数方程假如方程 （1.80） 的左端恰为某一函数 即(1.80)可化为 对 x的导数，则(1.80)称为恰当导数方程. 这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一 阶，成为 之后再设法求解这个方程.2 ¢ ¢ ¢ 求方程 y y + y = 0 的通解 . 例3. 解 将方程写成故有d ( yy ¢ ) = 0 , dx y y ¢ = C 1 , 即 ydy = C1dx ,积分后得通解y 2 = C1 x + C 2 .注：这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.例4.求解方程 1 解 先将两端同乘不为0 的积分因子 2 ， y 2 则有 yy¢¢ - y¢ d y¢y2yy¢¢ - y¢ = 02=( )=0 dx y故y¢ = C1 y, 从而通解为y = C2 eC1 xP49 1,3,4,5,7,9,11.。
微分方程习题及答案
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ；(2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xyy +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。
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课程总成绩=形成性考核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
可降阶的高阶方程
可降阶的高阶方程
求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。
下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。
1.右端仅含x的方程：y"=f(x)
对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程
，
再次积分，即可求出方程得通解。
例题：求方程y"=cosx的通解。
解答：一次积分得：
二次积分即得到方程得通解：
2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是，代入原方程得：
这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。
例题：求方程的通解。
解答：令y'=p.，代入方程，得
分离变量后，得
积分，得
.即
再积分，即得原方程的通解：
.
3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有
代入原方程，得
这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。
例题：求方程的通解
解答：令代入原方程得：
它相当于两个方程：
由第一个方程解得：y=C;
第二个方程可用分离变量法解得
p=C
y
1
从而
由此再分离变量，解得：
这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）。
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程引言高阶微分方程是微积分中的一个重要概念，通常包含二阶及以上的导数。
然而，在某些情况下，我们可能希望将高阶微分方程降阶为一阶微分方程，这样可以更方便地求解和分析。
本文将讨论可降阶的高阶微分方程及其相关概念。
一阶可降阶微分方程一阶可降阶微分方程是指可以通过某种变换将其降为一阶微分方程的高阶微分方程。
例如，考虑一个二阶微分方程：d2y dx2+a(x)dydx+b(x)y=f(x)通过引入新的变量P(x)=dydx，我们可以将上述二阶微分方程转化为一个一阶可降阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)y=f(x)这样，我们就成功地将高阶微分方程降为了一阶微分方程。
降阶方法降阶高阶微分方程的一般方法是引入新的变量，并通过适当选择这些变量的方式将其转化为一阶微分方程。
下面介绍几种常用的降阶方法。
1. 变量代换法变量代换法是一种常见的降阶方法，通过引入新的变量将高阶微分方程转化为一阶微分方程。
例如，对于一个三阶微分方程：d3y dx3+a(x)d2ydx2+b(x)dydx+c(x)y=f(x)我们可以引入新的变量P(x)=d 2ydx2和Q(x)=dydx，从而将该三阶微分方程转化为一个一阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)Q+c(x)y=f(x)dQdx+b(x)P+c(x)Q=02. 微分幺正变换法微分幺正变换法是一种通过选择适当的变换矩阵将高阶微分方程转化为一阶微分方程的方法。
具体而言，通过选择一个幺正变换矩阵U(x)，我们可以将一个n阶微分方程转化为一个一阶微分方程：d dx [y1y2⋮y n]=U(x)[f1f2⋮f n]其中y i表示原始高阶微分方程的解，f i表示相应的一阶微分方程的解。
3. 特解代换法特解代换法是一种通过引入特解来降低高阶微分方程的阶数的方法。
具体而言，我们假设高阶微分方程的一个特解形式，并代入原方程求解。
将得到的特解代入原方程，我们可以得到一个低阶微分方程。
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可降阶的高阶微分方程
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x
解法 设 y dy p y
dx
则
y
d2 y dx 2
dp dx
dp dy dy dx
p dp , dy
方程变成
p dp dy
f
( y,
p).这是关于变量y
,
p
的一阶方程.
设它的通解为 y p ( y,C1 ). 分离变量并积分,
两端同乘不为零的因子 1 y2
yy y2
y2
d( dx
y ) 0
y
y y C1
故 y C1 y
可分离变量方程
从而通解为 y C2eC1x
13
可降阶的高阶微分方程
例 目标的跟踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点 A(1,0)
处的乙舰发射制导导弹, 导弹头始终对准乙舰. 如果 乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴的直线 行驶,导弹的速度是5v0,求导弹运行的曲线方程. 又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中? 解 设导弹的轨迹曲线为 y
y y( x),并设经过时间 t , 导弹位于点P (x, y), 乙舰
位于点 Q(1, v0t) (如图). 由于导弹头始终对准乙舰,
y y(x)
P( x, y)•
•Q(1,v0t )
O
A(1,0) x
故 的此切时线,直即线有PQy就 是v0导t 弹y的, 轨迹曲线弧OP在点P处
1 x
14
可降阶的高阶微分方程
(5) + (6),得
y
1 2
(1
1
x) 5
(1
1
x)5
.
17
可降阶的高阶微分方程 又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中?
y
1 2
(1
1
x) 5
(1
1
x)5
.
y
得
y
5 (1
4
x)5
5
(1
6
x)5
C.
8
12
根据初始条件 y(0) 0, 得 C
5
O
.
24
y y(x)
P( x, y)•
解 设 y p( y),则 y p dp , 代入原方程
dy
y
p dp dy
p2
0,
即
p(
y
dp dy
p)
0
由 y dp p 0，可得 dy
p
C1
y, dy dx
C1 y
原方程通解为 y C2eC1x
12
可降阶的高阶微分方程
注 有些高阶方程也可用类似于“凑全微分 ” 的方法求解.
或解 求方程 yy y2 0 的通解
得通解为
dy
( y,C1) x C2
9
可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例4 求方程 y 1 y2 的通解. 2y
解 设 y p( y),则 y p dp ,代入原方程
p dp 1 p2
dy
可分离变量方程
dy 2 y
2 pdp 1 p2
dy y
ln(1
p2 ) ln
由(1)式与(2)消去 v0t 就得
(1 x) y y 1 x 1 y2 dx. (3) 积分方程 50
15
可降阶的高阶微分方程
(1 x) y y 1 x 1 y2 dx. (3)
50
y
将(3)式两端对x求导并整理,得
积分方程
(1 x) y 初值条件:
1 1 5 y(0)
dy 4(1 x3 )dx y x4 4x C2
再由初始条件
y x0
1,
知C2 = 1
故所求解为
y x4 4x 1
6
可降阶的高阶微分方程
对于不含有 y、y、、y(k1)的n阶方程 F( x, y(k), y(n) ) 0
只须作变换,令 p y(k) .
方程就可化为 n k 阶方程 F ( x, p,, p(nk) ) 0
cos
x
C1 x
C2
y
1 27
e3 x
sin x
C1 x2
C2 x
C3
最后得到的就是方程的通解.
3
可降阶的高阶微分方程
二、 y f ( x, y) 型的方程
特点 方程缺y.
解法
设
y
p ( x),y
dp
dx
p.
将p作为新的
未知函数，则方程变为 p f (x ,p )
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
作业
习题5.4(275页） (A)1.(3) 2.(4) 4. (B) 2.
20
可降阶的高阶微分方程
微分方程 yy y2 0 满足条件 y x0 1,y x01 2的特解是
y
x 1 或 y2 x 1
解 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1
由y
x0
1,
y
x0
1 2
C1
1 2
即
yy 1 2
y2 0,
. (4) y(0) 0.
O
y y(x)
P( x, y)•
•Q(1,v0t )
A(1,0) x
属y f ( x, y)型的二阶微分方程的初值问题.
令 y p, 方程(4)转化为
(1 x) p 1 1 p2 , 5
分离变量 dp dx . 1 p2 5(1 x)
可分离变量方程
如果乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴
的直线行驶,导弹的速度是5v0,
y v0t y ,
y
1 x
即 v0t (1 x) y y. (1)
弧OP的长度为| AQ |的5倍,
y y(x)
P( x, y)•
•Q(1,v0t )
即
x 0
1 y2 dx 5v0t. (2)
O
A(1,0) x
y lnC1
1 p2 C1 y p C1 y 1
即 dy dx
C1 y 1
可分离变量方程
10
可降阶的高阶微分方程
dy dx
C1 y 1
dy dx C1 y 1
2 C1
C1 y 1 x C2
11
可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例5 求方程 yy y2 0 的通解.
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
7
可降阶的高阶微分方程
例3 解方程 y(5) 1 y(4) 0. x
解 令 y(4) p x, 则方程变为
p 1 p 0, 可分离变量方程 x
由分离变量法解得 p C1 x. 于是
y(4) C1 x, 所以原方程的通解为
积分4次
y C1 x5 C2 x3 C3 x2 C4 x C5
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
4
可降阶的高阶微分方程
例2
解方程
y
3x 1
2 y x3
y x0 1, y x0 4
解 因方程中不含未知函数y, 属y f ( x, y)型
令y p x,y p, 代入原方程, 得
第四节 可降阶的高阶微分方程
y(n) f ( x) 型的方程 y f ( x, y) 型的方程 y f ( y, y) 型的方程 小结 思考题 作业
1
第十二章 微分方程
可降阶的高阶微分方程
一、 y(n) f ( x) 型的方程
特点 左端 是未知函数 y 的n 阶导数,右端是
自变量x的一个已知函数,且不含未知函数 y 及其
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n次,得到含有n个任意常数的通解.
2
可降阶的高阶微分方程
例1 求解方程 y e3x cos x
解 将方程积分三次, 得
y
1 3
e3x
sin
x
C1
y
1 9
e3x
16
可降阶的高阶微分方程
dp dx . 1 p2 5(1 x)
两边积分 ln( p 1 p2 ) 1 ln(1 x) ln C ,
5
1
ln C(1 x) 5 ,
即
p
1
p2
C(1
1
x) 5,
根据初始条件 p(0) 0, 得C 1.
得
y
1
y2
(1
1
x) 5.
(5)
1
将(5)式有理化,得 y 1 y2 (1 x)5 . (6)
可分离变量方程
y2 2
x 2
C2
由y x0
1
C2
1 2
y2
x1
21
p
3x 1
2p x3
p的可分离变量的一阶方程
dp p
3x2 1 x3
dx
ln p ln(1 x3 ) lnC1
p C1(1 x3 ) 由初始条件 y x0 4
知C1=4, 所以 y 4(1 x3 ) y的分离变量方程
5
可降阶的高阶微分方程
y
3 1
x
2 y x3
y x0 1, y x0 4
• Q(1,v0t
A(1,0) x
于是有
y
5 (1