矩阵与数值分析
矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析
第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握 绝对误差、相对误差、有效数字、误差限 的定义及其相互关系；掌握 数 值稳定性 的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析 ；熟练掌握向量和矩阵范数 的 定义及其性质。
1 .误差的基本概念和有效数字 1) .绝对误差和相对误差 的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则 称x a 为近似值a 的绝对误差，简称x a为误差.当x 0时，=称为a 的相对误差.在实际运算中，精确值 x 往往是未知的，所x a以常把—匚作为a 的相对误差.2) .绝对误差界和相对误差界 的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数 e a ，使得此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的， 但是它们越小，说明a近似x 的程度越好，即a 的精度越好.3) .有效数字设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成ka 10 O.a i a 2 a n其中a i (i 1,2,)是0,1, ,9中的一个数字，q 0,k 为整数.如果x a - 10kn2则称a为x的具有n位有效数字的近似值.4) .函数计算的误差估计 如果yf(x 1,x 2, ,x n )为n 元函数，自变量*,X 2, ,X n 的近似值分别为a 1,a 2, ,a n ,称e a为a的绝对误差界或简称为误差界.称a是a的相对误差界它可以是有限或无限小数的形式, 如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足:x a l a l1 2a 1101其中 丄_f(a 1,a 2, ,a n ),所以可以估计到函数值的误差界，近似地有Xk aXknf(X i ,X 2, ,X n ) f(a i ,a 2, ,a n ) e a取y f(x,x 2)为X i , X 2之间的四则运算，则它们的误差估计为,数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.如果x i 和X 2是两个十分接近的数，即 a i 和a 2两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值 a i a 2的有效数字的位数将会很少。
数值分析(06)矩阵分解法
(1) a11
( i k 1, , n) ( i k 1, , n;
(1) a12 ( 2) a 22 (1) a13 ( 2) a 23 ( 3) a 33
数值分析
LU分解的MATLAB程序 function A=lud(A) i k 1, , n %功能：对方阵A作三角分解A=LU,其中， (k ) (k ) % L为单位下三角阵， （1）m / akk U为上三角阵， ik aik %输入：方阵 A 。 (k 1) (k ) (k ) （ 2）aij aij mik akj ，j k 1, % 输出：紧凑存储 A=[L\U]. [n,n]=size(A); % 确定A的维数 for k=1:n-1 if A(k,k) ==0 break; end for i=k+1:n A(i,k) =A(i,k)/ A(k,k); A(i,k+1:n)= A(i,k+1:n)- A(i,k) *A(k,k+1:n); end end
1
(1) (1) a a 11 12 0 a ( 2) 22 0 a ( 2) n2 1 (1) a1, n ( 2) a2, n ( 3) a3,n A( 3) mi 2 ( 3) an ,n
(2)
... ... ...
其中分别是单位下上三角阵是对角定理矩阵分解定理数值分析数值分析非奇异知均非奇异而左边是单位下三角阵同时右边是对角阵故只能是单位阵而左边是下三角阵同时右边是单位上三角阵故只能是单位阵数值分析数值分析为对称正定阵则可唯一地分定理其中称正定分解三角阵
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
数值分析、矩阵论
数值分析讲义 GDY
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补充资料：线性代数三大正交变换 一． Householder 变换
1、2D 与 3D 中的对称变换： XOY 平面点关于 X 轴的对称变换是 x ′ = x, y ′ = − y ，用矩阵表示即
1 0 0 x ′ 1 0 x 1 0 T y′ = 0 −1 y ，称 H = 0 −1 为镜像阵，且 H = 0 1 − 2 1 [ 0 1] = I − 2 ww ， T 其中 w = [ 0 1] 为 X 轴的法线方向 法线方向（ 。 法线方向 Y 轴方向）
1 3 2 1 2
1 4 2 -1 2
-0.3536 -0.7071 T （1）取 u = (1 2 1 -1 1) ，H 变换矩阵 U1 = -0.3536 0.3536 -0.3536
-0.7071 -0.3536 0.3536 -0.3536 0.6306 -0.1847 0.1847 -0.1847 -0.1847 0.9077 0.0923 -0.0923 0.1847 0.0923 0.9077 0.0923 -0.1847 -0.0923 0.0923 0.9077 -2.8284 -1.0607 -3.5355 -4.9497 0 0.9235 0.6306 0.8918 （2） A2 = U1 A = 0 -1.5383 0.8153 0.4459 2.5383 2.1847 0.5541 0 0 0.4617 0.8153 0.4459 0 0 0 1 0 -0.1718 -0.5726 -0.8016 T （3）取 v = ( -1.0607 -3.5355 -4.9497 ) ，求得 V1 = 0 -0.5726 0.7202 -0.3917 0 -0.8016 -0.3917 0.4516 0 0 -2.8284 6.1745 0 -1.2346 -0.4240 -0.5846 -0.5601 1.2933 1.1151 （4） A3 = A2V1 = 0 -2.1312 -0.0970 -2.6403 0 0 -0.9036 0.1481 -0.4882 0 0 0 0 1 0 -0.4602 -0.2088 -0.7944 -0.3368 T （5）取 u = ( -1.2346 -0.5601 -2.1312 -0.9036 ) ，得 U 2 = 0 -0.2088 0.9702 -0.1136 -0.0482 0 -0.7944 -0.1136 0.5678 -0.1833 0 -0.3368 -0.0482 -0.1833 0.9223 0 0 -2.8284 6.1745 0 2.6826 -0.0477 2.2983 （6） A4 = U 2 A3 = 0 0 1.3471 1.5273 0 0.1077 -1.0719 0 0 0 0.2349 0.1768
矩阵与数值分析部分习题解答
其具有6位有效数字。 故
*
而
y y* zz ， 于是， y
*
1 4 1 1 k n 26 10 y y 10 10 2 2 2
y y* y z
* *
z z* z
*
0.5 104 0.5 106 59.9833 4.09407
可见，用公式 f ( x) ln x
k
k 2 k A A ( I A ) 5．证明ρ(A)＜1时，
1 注意，绝对收敛的函数幂级数 f t t 1 t , t 1，则 证明(1)： k 0 1 t k 1 k s t f t t f t kt kt 令 2 1 t 1 t 2 k 1 k 0
3 。 节点为: x1 h , x2 2h , x3 3h 4 8 8
相应的方程组为：
2 1 h 2 0 1 h 2 0 u1 h u2 1 2 2 u 3
2 先令 y x x 1 ，由于开方用六位函数表，则 y 的误差为已
知， 故应看成 z g ( y) ln( y) , 由 y的误差限
* ln( y ) ln( y )。 误差限
y y * 求g(y)的
解：当x=30时，求 y 30 302 1 , 用六位开方表得
xi a ih,
h 称为步长。
i 0,1,
,N, h
ba N
于是我们得区间 I=[a, b]的一个网格剖分。 xi称为网格节点,
h
a x0 x1
矩阵论与数值分析基础教学设计
矩阵论与数值分析基础教学设计引言矩阵论与数值分析作为数学中的重要分支，一直受到高等数学教育的关注，尤其在计算机科学与工程学科等领域，更是必不可少的。
为了提高学生的学习兴趣和教学效果，本课程设计旨在通过有效的教学方法和课程设计，引导学生学习矩阵论与数值分析的基本概念和相关应用。
教学目标通过本课程的学习，学生应具备以下能力：•掌握矩阵的基本概念、性质和运算方法。
•掌握矩阵的线性代数和解析几何的应用。
•理解数值分析的基本概念及其在实际应用中的作用。
•能够设计和实现基于矩阵的算法模型，解决实际问题。
教学内容矩阵论基础1.矩阵的基本概念和定义。
2.矩阵的基本性质、转置、共轭和逆矩阵。
3.矩阵的运算，包括加、减、乘法和求逆矩阵等。
线性代数与解析几何1.向量的基本概念和定义。
2.向量的线性运算，线性组合和线性相关性。
3.向量的内积、外积和混合积。
4.矩阵代表向量的方法，向量的投影和正交分解。
5.矩阵的秩、行列式和特征值、特征向量。
数值分析基础1.插值理论。
2.数值线性代数基础和极数值分析。
3.数信号处理方案和解决方法，信号处理方法和基本技术。
4.数值优化算法及其应用。
教学方法为了达到上述教学目标，我们采用以下教学方法：•讲授矩阵论、线性代数的基本概念和运算方法。
•利用实例和案例，引导学生学会应用矩阵、向量解决实际问题。
•通过课堂演示、实验和编程，提高学生的实际动手能力和实验设计能力。
•课后作业和实验报告的布置，促进学生的自我反思和思考。
课程设计本课程实施方式为理论讲解与实践结合。
每周教授两节课，其中一节理论讲解+实例演示，另一节为小组实验+讨论。
理论讲解1.首先对每个章节进行简单介绍，提出问题，理清思路。
2.对每个概念之间的联系进行详细讲解、案例演示和问题讨论。
3.思考相关问题，梳理相关知识点，引导学生思考。
小组实验+讨论1.每个小组根据已学课程中的实例，自主设计实验。
2.在课堂中进行小组讨论，共同分析实验结果，讨论实验方案、实验设计方法、问题和解决方案。
矩阵与数值分析
矩阵与数值分析学院电子信息与电气工程学部专业生物医学工程班级学号姓名刘江涛1：考虑计算给定向量的范数；输入向量T n x x x x ),,,(21 =，输出∞x x x ,,21，请编制一个通用程序，并用你编制的程序计算如下向量的范数：()TTn y n x ,,2,1,1,,31,21,1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=对1000,100,10=n 甚至更大的n 计算其范数，你会发现什么结果？你能否修改你的程序使得计算结果相对精确呢？通用求范数程序： function NORM(x) y1=sum(abs(x)); y2=(sum(x.^2))^(1/2); y3=max(abs(x));fprintf('1-范数=%g ； 2-范数= %g ； inf-范数=%g\n',y1,y2,y3); 例题的运行程序： function xianglaing(n) x=[]; y=[]; for i=1:n x(i)=1/i; y(i)=i; enddisp('x 的范数：'); NORM(x'); disp(' ')disp('y 的范数：'); NORM(y'); 运行结果如下表：根据上述的两个表的运行结果，我们可以得知无论n 的值如何变化，对于1=∞x 恒成立；n y =∞恒成立，其1-范数与2-范数随着n 的增大而增大，但是其变化越来越小，这是因为计算在进行数值计算时有误差存在，对于表达式(1)当n 很大时n1却很小，会出现“大数吃小数的现象”；修改方案：当n 很大时我们避免用n 做除数，因为当n 非常大时01→n成立；所以在求解其范数时我们从小数开始相加，无穷个非常小的数值相加也可能是个很大的数，从而可以避免两个数相加时出现“大数吃小数”的现象；2：考虑xx x f y )1ln()(+==，其中定义1)0(=f ，此时)(x f 是连续函数，用此公式计算当]10,10[1515---∈x 时的函数值，画出图像。
[理学]矩阵与数值分析-第1章li-Chapter1
![[理学]矩阵与数值分析-第1章li-Chapter1](https://img.taocdn.com/s3/m/4ae22bd8c8d376eeaeaa31f9.png)
什么是有效算法？
考察，线性方程组的解法
⎧a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ M ⎪ ⎪ ⎩an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
早在18世纪Cramer已给出了求解法则：
2001. 数值线性代数，徐树方、高立、张平文，北京大学出版 社，2000. 数值逼近，王仁宏，高等教育出版社，1999. 数值逼近方法，南京大学数学系计算数学专业编，科学出 版社，1978. 微分方程数值解法，李荣华、冯果忱，高等教育出版社， 1996. 微分方程数值方法，胡健伟、汤怀民，科学出版社，1999. 矩阵分析引论，罗家洪、方卫东，华南理工大学出版社， 2006. 矩阵分析，同济大学应用数学系，同济大学出版社，2005.
本课程的成绩考核标准
1、平时的课后作业 2、数值试验报告 (Matlab,C) 3、期末考试 ≈ 70%
课程网站 /numerical/
≈ 30%
第1章
绪
论
1.1 计算机科学计算研究对象与特点
科学计算、理论计算和实验并列为三大科学方 法。现代意义下的计算数学主要研究在计算机上计 算的有效算法及其相关理论，从而使它成为一门新 学科——科学计算。
矩阵与数值分析
大连理工大学工科硕士研究生基础学位课程
李崇君
(主讲) 作者：张宏伟、金光日、李崇君 大连理工大学数学科学学院
从一个小例子开始
问题: 在一个正方形的桌面上(边长为a), 分别在四个角有 四只小虫,它们同时向着逆时针方向的另一只小虫移动, 求 它们的运动轨迹.
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矩阵与数值分析学院电子信息与电气工程学部专业生物医学工程班级学号姓名刘江涛1：考虑计算给定向量的范数；输入向量T n x x x x ),,,(21 =，输出∞x x x ,,21，请编制一个通用程序，并用你编制的程序计算如下向量的范数：()TTn y n x ,,2,1,1,,31,21,1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=对1000,100,10=n 甚至更大的n 计算其范数，你会发现什么结果？你能否修改你的程序使得计算结果相对精确呢？通用求范数程序： function NORM(x) y1=sum(abs(x)); y2=(sum(x.^2))^(1/2); y3=max(abs(x));fprintf('1-范数=%g ； 2-范数= %g ； inf-范数=%g\n',y1,y2,y3); 例题的运行程序： function xianglaing(n) x=[]; y=[]; for i=1:n x(i)=1/i; y(i)=i; enddisp('x 的范数：'); NORM(x'); disp(' ')disp('y 的范数：'); NORM(y'); 运行结果如下表：根据上述的两个表的运行结果，我们可以得知无论n 的值如何变化，对于1=∞x 恒成立；n y =∞恒成立，其1-范数与2-范数随着n 的增大而增大，但是其变化越来越小，这是因为计算在进行数值计算时有误差存在，对于表达式(1)当n 很大时n1却很小，会出现“大数吃小数的现象”；修改方案：当n 很大时我们避免用n 做除数，因为当n 非常大时01→n成立；所以在求解其范数时我们从小数开始相加，无穷个非常小的数值相加也可能是个很大的数，从而可以避免两个数相加时出现“大数吃小数”的现象；2：考虑xx x f y )1ln()(+==，其中定义1)0(=f ，此时)(x f 是连续函数，用此公式计算当]10,10[1515---∈x 时的函数值，画出图像。
另一方面，考虑下面算法：ifend d d y elsey then d if x d )1/(ln 11;1-===+=用此算法计算]10,10[1515---∈x 时的函数值，画出图像，比较一下发生了什么？ 程序：x=-10^(-15):10^(-20):10^(-15);if (x==0)f=1;elsef=log(1+x)/x;endfigure(1)plot(x,f);d=1+x;if d==1y=1;elsey=log(d)/(d-1); endfigure(2)Plot(x,y);有图可知，直接用公式xx x f )1ln()(+=计算]10,10[1515---∈x 的函数值时，除了在0=x 出的值为1，其他的值都是无限趋近于1；而利用算法二算出的结果全为1；出现这这情况的原因是x 的取值非常接近于0，在用公式x d +=1求d 得过程中出现了大数吃小数的情况，所以在用计算机计算时1=d 恒成立，从而使1=y 恒成立；3： 首先编写一个利用秦九韶算法计算一个多项式在定点的函数值的通用程序，你的程序包括输入多项式的系数以及定点，输出函数值，利用你编写的程序计算5122304460853764032201667214418)2()(234567899-+-+-+-+-=-=x x x x x x x x x x x f 在2=x 邻域附近的值，画出)(x p 在]5.20,95.1[∈x 上地图像。
秦九韶算法的通用程序：%A 为多项式的以升幂排列的系数，x 为初始值 function p=qinjiushao(A,x) a=A; [~,n]=size(a); n=n-1; S=[];S(n+1)=a(n+1); for k=n:-1:1end p=S(1);利用上述程序计算)(x p 在2=x 邻域附近的值具体见下表：当]5.20,95.1[∈x 时，)(x p 的图像如下： 画图程序如下： function huatu(A,x) [~,n]=size(x); for i=1:ny(i)=qinjiushao(A,x(i)); end plot(x,y); 程序运行如下： >> x=1.95:0.01:20.5;>> A=[-512 2304 -4608 5376 -4032 2016 -672 144 -18 1]; >> huatu(A,x)11xp (x )4：编制计算机给定矩阵A 的LU 分解和PLU 分解的通用程序，然后利用你编写的程序完成下面两个计算任务：考虑n n R A ⨯∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=11111111101101自己取定n R x ∈，并计算Ax b =。
然后用你编制的不选主元的Gauss 消去法求解该方程组，记你计算出的解为xˆ。
对n 从5到30估计计算解的精度。
（2）对n 从5到30计算出其逆矩阵。
LU 分解的通用程序： function LU(A) [m,n]=size(A); L=zeros(m,n); U=zeros(m,n); for j=1:nU(1,j)=A(1,j);endfor j=2:mL(j,1)=A(j,1)/U(1,1);endfor i=2:nfor j=i:nsum=0;for k=1:i-1sum=sum+L(i,k)*U(k,j);endU(i,j)=A(i,j)-sum;endfor j=i+1:nsum=0;for k=1:i-1sum=sum+L(j,k)*U(k,i);endL(j,i)=(A(j,i)-sum)/U(i,i);endenddisp('L =');disp(L);disp('U =');disp(U);PLU分解的通用程序：function PLU(A)[~,n]=size(A);Ip=1:n;for k=1:n-1[~,r]=max(abs(A(k:n,k)));r=r+(k-1);if r>kA([k,r],:)=A([r,k],:);Ip([k,r])=Ip([r,k]);endfor p=k+1:nmu=A(p,k)/A(k,k);A(p,k)=mu;A(p,k+1:n)=A(p,k+1:n)-mu*A(k,k+1:n); endendp=eye(n,n);P=zeros(n,n);for i=1:nP(i,1:n)=p(Ip(i),1:n);endL=tril(A,-1)+eye(n) ;U=triu(A);disp('P=')disp(P);disp('L=')disp(L);disp('U='); disp(U);我选取*],30,5[]321[N n n n b T ∈∈= ，则我们可以计算出其精确解*12211]30,5[]21221212212[N n n x Tn n n n n n ∈∈------=-----实现求解的程序如下： function INV(n) A=ones(n); for i=2:n for j=1:i-1A(i,j)=-1*A(i,j); end for j=i:n-1 A(i-1,j)=0; end end for i=1:n b(i)=i;X(i)=-(2^(n-i)-1)/(2^(n-i)); endX(n)=(2^n-1)/(2^(n-1)); [L,U]=LU(A); x1=inv(U)*inv(L)*b' disp(x1);我们利用上述的程序计算出的结果如下表：利用我们求出的精确解与用程序求出的近似解求其误差，再利用matlab 编程实现时其误差为零。
（2）对于题目中的A 的求逆的通用程序： function INV(n) A=ones(n); for i=2:n for j=1:i-1A(i,j)=-1*A(i,j); end for j=i:n-1 A(i-1,j)=0; end end B=inv(A);disp('A 的逆为：'); disp(B); n=5时：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0.0625 0.0625 0.1250 0.2500 0.5000 0.5000- 0.5000 0 0 0 0.2500- 0.2500- 0.5000 0 0 0.1250- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0.0625- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.50001A n=6时：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0.0313 0.0313 0.0625 0.1250 0.2500 0.5000 0.5000- 0.5000 0 0 0 0 0.2500- 0.2500- 0.5000 0 0 0 0.1250- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0 0.0625- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0.0313- 0.0313- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.50001An=7时：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0.0156 0.0156 0.0313 0.0625 0.1250 0.2500 0.5000 0.5000- 0.5000 0 0 0 0 0 0.2500- 0.2500- 0.5000 0 0 0 0 0.1250- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0 0 0.0625- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0 0.0313- 0.0313- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0.0156- 0.0156- 0.0313- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.5000 1An=8时：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0.0078 0.0078 0.0156 0.0313 0.0625 0.1250 0.2500 0.5000 0.5000- 0.5000 0 0 0 0 0 0 0.2500- 0.2500- 0.5000 0 0 0 0 0 0.1250- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0 0 0 0.0625- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0 0 0.0313- 0.0313- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0 0.0156- 0.0156- 0.0313- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.5000 0 0.0078- 0.0078- 0.0156- 0.0313- 0.0625- 0.1250- 0.2500- 0.5000 1A .......在此不再一一列举，都可以用上述程序算出；5：编制计算对称正定阵的Cholesky 分解的通用程序，并利用你编制的程序计算b Ax =，其中11,)(-+=∈=⨯j i a R a A ij n n ij ，b 可以有你自己取定，对n 从10到20验证程序的可靠性。