电路基本定律的相量形式.
一、KCL的相量形式
时域内KCL为
i 0
在正弦交流电路中，上式各项电流均为同频 率的正弦量。 因此，相量形式的KCL为: 对任一节点满足
I 0
正弦电流用相量表示后，KCL仍然适用。
二、KVL的相量形式
时域内的KVL为:
u 0
在正弦交流电路中，上式各项电压均为同频 率的正弦量。
（2）平均功率 P0
+
0
+ – –
t
电容不消耗功率， 是储能元件。
（3）无功功率
Q UI X C I 2
电容与电源之间能量交换的规模称为无功功 率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var) 乏。
1 当 L一定时,线圈的感抗与频率f 成正比。频率越高， 感抗的倒数称为感纳，即： BL 单位：西[门子] 感抗越大，在直流电路中感抗为零，可视为短路。 XL
2. 电压电流的相位关系 0 0 i I m sin t I m I m0 U m U m90 u L I m cos t U m sin( t 90 ) u i u 超前i i u 2 e u e滞后i 2 0 3. 电压电流的相量关系
i Im sin( ω t 90 )
I 900 I m mu i i 2 Nhomakorabeau
0
t
•
I
jI X U C
U
C
I
U 相量图
•
3、功率
设：u U m sin t i I m sin( t 90 ) 其波形图如右：
i
u
t
0 p
（1）瞬时功率 p ui UI sin 2 t
i
p
（1）瞬时功率
p ui UI (1 cos 2 t)
1 T U2 P pdt UI I 2R T 0 R
（2）平均功率 （有功功率）
P=U I
0
t
四、电感元件的电压电流关系的相量式
设在电感元件的交流电路中 ，电压、电流参考方向如图示。 + u i 1.电压电流的数值关系 L 瞬时值 设： i I m sin t – di 则 u L dt u L I m cos t U m sin( t 90 ) 电感的电压与 电流有效值、 最大值、有效值 最大值满足欧 X L L Um I m L I m X L 姆定律形式。 感抗() U IL IX L
U 90 0 U U m m 0 m 90 0 jX L Im I m I m 0
jI X U L
+ U –
2
+ u i –
e
L
e
t
U I E
• •
•
I
E L 相量图
4. 功率 设：i Im sin t u U m sin( t 90 ) 0 其波形图如右： （1）瞬时功率
因此，相量形式的KVL为: 对任一闭合回路满足
U
0
正弦电流用相量表示后，KCL仍然适用。
三、电阻元件电压电流关系的相量形式
设在电阻元件的交流电路中 ，电压、电流参考方向如图示。 1.电压电流的数值关系 0 瞬时 设： I I 0 i I m sin t m m 值 则 u Ri RIm sin t Um sin t U 00 最大值、有效值 U U m m U m Um RIm 或 I I R
m
+ u i –
R
2. 电压电流的相位关系 u i u 、i 同相 3. 电压电流的相量关系 + I U 0 m I R U U R I 相量图 – m
电阻的电压 与电流瞬时 值、有效值 、最大值都 满足欧姆定 律。 u i
t
3、功率
i + u – R 0
u
t
i I m sin t u U m sin t
p
u
i
t
p ui UI sin 2t
0
（2）平均功率
+
+
P0
–
–
t
（3）无功功率 2 U 2 电感不消耗功率， Q UI X L I XL 是储能元件。 电感与电源之间能量交换的规模称为无功功 率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var) 乏。
五、电容元件的电压电流关系的相量形式
当 C一定时,电容的容抗与频率f 成反比。频率越高， 感抗越小，在直流电路中容抗为无限大，可视为开路。
2. 电压电流的相位关系
u U m sinω t
U 0 U m m
0
i u C
i 超前u 2 3. 电压电流的相量关系
0 U m U m 0 jX C 0 I 90 I m m
设在电容元件的交流电路中 ，电压、电流参考方向如图示。 1.电压电流的数值关系 瞬时值 设：u U m sinω t
du 则 iC dt
i
u
C
i Cω Um cosω t Im sin( ω t 90 ) 电容的电压与 电流有效值、 最大值、有效值 最大值满足欧 1 XC 1 姆定律形式。 C Um Im Im X C Cω 容抗()
最新电工学电力学课程第八章《电路定律的相量形式》
由相量形式KVL有 : V V 1 V 2 600 8090 (V)
（2）相量图解法
60 j80 10053.1 (V) 故 : |V | 100(V)
相量法的三个基本公式
UR RIR
U L jL IL
1
UC
j
C
IC
以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件
错误的写法
1 u
C i
1
C
U I
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
0, XC , 直流开路( 隔直作用) ;
XC
, XC 0, 高频短路（旁路作用）;
(3) 由于容抗的存在使电流领先电压。
4、受控源 如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量， 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。
i 超前u 90° I
0
所示，反映电压电流瞬时 值关系的波形图如图(b)所示。由此图可以看出电容电流超 前于电容电压90°，当电容电压由负值增加经过零点时，其 电流达到正最大值。
容抗
I= CU
U 1
I C
容抗的物理意义：
X
C
定义
1
C
(1) 表示限制电流的能力；
相量关系
+
U R R I
U R
-
有效值关系：UR = RI 相位关系：u , i 同相
I
R
U
相量图
相量模型
2. 电感
时域
频域
i(t)
i(t) 2I cost
+ u (t)
u(t) L di(t)
电工基础5.3 电路基本定律的相量形式
结论：①电容元件电压电流大小关系为：
U 1 I
C
②电容元件电压电流相量关系为：
i
u
2
或i
u
2
即电流I超前电压U π/2.
3、容抗与容纳
（1）容抗Xc：表示电容对正弦电流得
1 单位为欧【姆】()
2f C
① ω＝0，Xc→∞ 电容元件相当于开路 ② ω →∞ ，Xc＝0 电容元件相当于短路
3、KVL在相量图上体现为——封闭多 边形。 三、电阻元件电压电流关系的相量形式： 1、电阻元件 （1）电阻元件时域 形式的电压与电流 关系：
u = Ri
图4-18电阻元件电压电流瞬时值关系
（2）电阻元件的相量形式：
U RI
结论：①电阻元件的电压与电流关系
U=RI 或 I=GU(G=1/R)
①
电感相当于短路
② 0, X L 0 电感相当于开路
（2)感纳： 表示电, X感L 对正弦电流的导通能力。
单位西【门子】（S）
BL
1 XL
故又得：
U jX L I
I jBL U
例4－6：已知0.5H的电感两端电压为
uL 220 2 sin(314t 30)V ，求：XL、BL和IL， 并画出相量图。
2、电容元件的相量形式
I jCU
U
1
jC
或U
1
I j
1
I
jC
C
证：2I
sin(t
i )
d dt
[
电工技术第四章正弦交流电路习题解答
tωAi /A222032πtAi /A 2032π6πA102i 1i 第四章 正弦交流电路［练习与思考]4—1-1 在某电路中,()A t i 60 314sin 2220-=⑴指出它的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位，并画出波形图。
⑵如果i 的参考方向选的相反,写出它的三角函数式，画出波形图，并问⑴中各项有无改变？ 解：⑴ 幅值 A I m 2220有效值 A I 220=频率 3145022f Hz ωππ===周期 10.02T s f==角频率 314/rad s ω=题解图4。
01初相位 s rad /3πψ-=波形图如题解图4.01所示 (2） 如果i 的参考方向选的相反, 则At i ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32 314sin 2220π，初相位改变了，s rad /32πψ=其他项不变。
波形图如题解图 4.02所示。
题解图4。
024—1-2已知A)120314sin(101 -=t i ，A )30314sin(202+=t i⑴它们的相位差等于多少？⑵画出1i 和2i 的波形。
并在相位上比较1i 和2i 谁超前，谁滞后。
解：⑴ 二者频率相同，它们的相位差︒-=︒-︒-=-=1503012021i i ψψϕ+1+1（2）在相位上2i 超前,1i 滞后。
波形图如题解图4.03所示。
题解图4。
03 4—2—1 写出下列正弦电压的相量V )45(sin 2201 -=t u ω，)V 45314(sin 1002 +=t u 解：V U ︒-∠=•4521101 V U ︒∠=•4525024-2-2 已知正弦电流)A60(sin 81 +=t i ω和)A 30(sin 62 -=t i ω，试用复数计算电流21i i i +=,并画出相量图.解：由题目得到A j j j j I I I m m m ︒∠=+=-++=︒-︒+︒+︒=︒-∠+︒∠=+=•••1.231093.32.9)32.5()93.64()30sin 630cos 6()60sin 860cos 8(30660821 所以正弦电流为)A 1.23(sin 101 +=t i ω题解图4.04 相量图如题解图4.04所示。
电路基本定律相量形式
当 C一定时,电容的容抗与频率f 成反比。频率越高， 感抗越小，在直流电路中容抗为无限大，可视为开路。
2. 电压电流的相位关系
uUms iω nt
iImsiω nt (90 )
U mUm00 ImIm900
i uC
i 超前u
2
3. 电压电流的相量关系
ui u
i
UImm
p
（1）瞬时功率
p u U i( 1 c I2 o t)s
（2）平均功率
（有功功率）
0
PT 10 TpdtU IU R 2I2R
t
P=U I
t
四、电感元件的电压电流关系的相量式
设在电感元件的交流电路中
，电压、电流参考方向如图示。
+
1.电压电流的数值关系
ui L
瞬时值 设： iImsi nt
2. 电压电流的相位关系
iImsi nt ImIm00U mUm900 u+
u L I m co t U m s sit n 9 )( 0
u 超前i
eu 2 e滞后i
ui
u
i
–
e
i
e
L
2
3. 电压电流的相量关系
0
t
U Im mUIm m 09000U Im m900jXL
Um00 Im900
jXC
I
0
2
•
UjIXC
U
CHale Waihona Puke ItU• 相量图
3、功率
设：uU m sin t
iu
iIm si n t(90 ) 0
t
其波形图如右：
电气新手必知：电路基本定律的相量形式
电气新手必知：电路基本定律的相量形式时间过去了这么久，大家是否还记得我们之前所学的电路基本定律：基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）？回想一下，我们当时在学习这两个定律的时候，有没有区分交直流电路？显然是没有的，也就是说，不管是交流电路亦或是直流电路，都必须遵循基尔霍夫定律。
那么，在正弦交流电路中，用相量表示的各种正弦电气量，结合基尔霍夫定律又是怎样的形式呢？接下来就让我来给大家揭晓电路基本定律（即基尔霍夫定律）的相量形式是怎么样的吧！学习之前，我先带大家回顾一下之前所学的基尔霍夫定律：（1）基尔霍夫电流定律（KCL）：任何时刻，流向任一结点的电流之和等于流出该结点的电流之和，即Σ入=Σ出，或者说，任何时刻，一个结点上电流的代数和为0，即Σi=0；（2）基尔霍夫电压定律（KVL）：任何时刻，从回路中任一点出发，沿回路循行一周，则在这个方向上的电位升之和等于电位降之和，或者说，任何时刻，沿任一回路循行方向，回路中各段电压的代数和恒等于零。
这里的任何时刻其实就已经表明了基尔霍夫定律的同时适用于交直流电路的。
在上一次学习中，我们知道了正弦量的相量表示与运算，在这个基础上，电路基本定律的相量形式这个知识点可以说是没有难度的。
难就难在怎样应用相量形式的基尔霍夫定律解决实际中的问题。
1、基尔霍夫电流定律的相量形式正弦交流电路中，连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数和为零。
如下图31-1所示，由相量形式的KCL可知，正弦交流电路中连接在一个节点的各支路电流的相量组成一个闭合多边形。
图31-11-1中图（1）所示的节点中，各支路电流的瞬时值满足基尔霍夫电流定律，各电流瞬时值的代数和为零；同理，根据正弦量相量表示的定义，如图31-1中图（2）所示，各支路电流的相量也满足基尔霍夫电流定律，即各电流相量的代数和亦为零。
设电流流出节点为正，流进节点为负，此时电流i1、i2为正，电流i3、i4为负，其代数式如图31-1所示。
电路基础知识总结
电流的参考方向可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则i>0，反之i<0。
电压的参考方向也可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则u>0反之u<0。
2．功率平衡一个实际的电路中，电源发出的功率总是等于负载消耗的功率。
3．全电路欧姆定律：U=E-RI负载越小。
5．电路的断路与短路电路的断路处：I＝0，U≠0 电路的短路处：U＝0，I≠0 。
1．几个概念：支路：是电路的一个分支。
结点：三条（或三条以上）支路的联接点称为结点。
回路：由支路构成的闭合路径称为回路。
网孔：电路中无其他支路穿过的回路称为网孔。
（1）定义：任一时刻，流入一个结点的电流的代数和为零。
或者说：流入的电流等于流出的电流。
（2）表达式：i进总和=0 或：i进=i出（3）可以推广到一个闭合面。
3．基尔霍夫电压定律（1）定义：经过任何一个闭合的路径，电压的升等于电压的降。
或者说：在一个闭合的回路中，电压的代数和为零。
或者说：在一个闭合的回路中，电阻上的电位的概念（1）定义：某点的电位等于该点到电路参考点的电压。
（2）规定参考点的电位为零。
称为接地。
（3）电压用符号U表示,电位用符号V表示（4）两点间的电压等于两点的电位的差。
（5）注意电源的简化画法。
四．理想电压源与理想电流源1．理想电压源（1）不论负载电阻的大小，不论输出电流的大小，理想电压源的输出电压不变。
理想电压源的输出功率可达无穷大。
（2）理想电压源不允许短路。
2．理想电流源（1）不论负载电阻的大小，不论输出电压的大小，理想电流源的输出电流不变。
理想电流源的输出功率可达无穷大。
（2）理想电流源不允许开路。
3．理想电压源与理想电流源的串并联（1）理想电压源与理想电流源串联时，电路中的电流等于电流源的电流，电流源起作用。
（2）理想电压源与理想电流源并联时，电源两端的电压等于电压源的电压，电压源起作用。
4．理想电源与电阻的串并联（1）理想电压源与电阻并联，可将电阻去掉（断开），不影响对其它电路的分析。
基本元件的相量形式(3)
电流与电压同相
电工基础
三、电感元件的相量形式： 电感元件的相量形式：
i
L
Z L = ωL∠90 = jωL = j 2πfL
ɺ I
ZL
相量图
+
u
−
ɺ U
ϕi
ɺ I
+
ɺ U
−
i (t ) = I m sin(ωt + ϕi ) A u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
u(t ) = L ⋅
Q=
ωt
t
2 UC
XC
电 源
i 电
源
(var) : 电容元件 电
u
电工基础
例：求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 ɺ ZC C = 10µF i C I
+
u
解： X C =
− u (t ) = 100 2 sin(1000t + 30 )V
ɺ UC
电工基础
u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
ϕ
ɺ I +1
电流与电压同相
ɺ I = I∠ϕi (A) ɺ U = U∠ϕ u (V )
ɺ U Z= ɺ = Z ∠ϕ z I
u(t ) = R ⋅ i(t )
= R ⋅ I m sin(ωt + ϕ i )
大小关系： 大小关系： m = R ⋅ I m U
ϕ z = ϕu − ϕi
电工基础
电感元件的功率： 电感元件的功率：
1）瞬时功率: 瞬时功率:
p ( t ) = u ( t )i ( t )
84 电路定律的相量形式
一. 基尔霍夫定律的相量形式 正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都
是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL转 换为相量形式。
•
i(t) 0 I 0
•
u(t) 0 U 0
注：但一般 I 0 ， U 0
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
1. 电阻
相量模型
IL IC IR
jLIL
1
jC
IC
U S
RIR
1
jC
IC
相量形式代数方程
相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
例8-6：正弦电流源的电流，其有效值IS=5A，角频率 ω=103rad/s， R=3Ω，L=1H，C=1μF。求电压uad和ubd。
ai
b
c
iS
+ uR - + uL - +
i(t)
+ uR(t) -
已知 i(t) 2I cos(t ) 则 uR (t) Ri(t) 2RI cos(t )
R
相量形式：
I I
U R RI I
相量关系
U R R I
+
U R
-
有效值关系：UR = RI
相位关系：u , i 同相
I
R
U
相量图
相量模型
2. 电感
时域
频域
i(t)
i(t) 2I cost
= 15 /0 °V
•
•
U L jL I = 5000 / 90°V
•
UC j
1
•
I
= 5000 / - 90 °V
C
•
第20讲 电路定律的相量形式、阻抗与导纳
频域
&L = I L∠φi I
& UL
有效值关系 UL=ω L IL
UL = ωLIL π φu = φi + 2
& IL
& U
+ L
π φ + = ωL I L∠ i 2
相位关系 uL 超前 iL 90° °
& U
jω L
L
相量模型
相量图
& IL
感抗 U=ω L I XL= U/I =ω L= 2π f L， 单位 欧 π ， 单位: 感抗的物理意义： 感抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比。 感抗和频率成正比。 XL
& U
φ = U∠ u
π φ + & I = ω C U∠ u 2
有效值关系 I=ω C U
+
I&
U&
1 jω C
& I
& U
相位关系 i 超前 90° 超前u °
-
相量模型
相量图
容抗 I=ω CU
U 1 = I ωC 容抗的物理意义： 容抗的物理意义：
1 XC = ωC
def
错误的写法 1 u = ωC i
θ = φu - φi
θ
R 阻抗三角形
X
具体分析一下 R-L-C 串联电路 Z=R+j(ω L-1/ω C)=|Z|∠
ω L > 1/ω C ，X>0， >0，u领先 ，电路呈感性； 领先i， ， ， 领先 电路呈感性； ω L<1/ω C ，X<0， <0，u落后 ，电路呈容性； 落后i， ， ， 落后 电路呈容性； ω L=1/ω C ，X=0， =0，u与i同相，电路呈电阻性。 同相， ， ， 与 同相 电路呈电阻性。
电路定理的相量形式
i(t ) 10 2 cos( 5t 36.9 )A
0
U _ I
+
I
1
-j10 15 j20
I2
返 回
I3
上 页 下 页
3. 电容元件相量形式的VCR
iC(t)
+ u(t) -
时域形式： uC (t ) 2U sin(t Ψ u ) duC (t ) iC (t ) C 2CU cos( t Ψ u ) C dt π 2CU sin( t Ψ u ) 2 相量形式：
1 jωC
A0 ＝I0max=?
3. Z1 jX L , Z 2为何参数
A0 ＝?
A0 Z1 A1 A2 Z2
U
A0 ＝I0min=?
解
1. I 0 82 62 10A
2. Z 2 R，I 0 max 8 6 14A 3. Z 2 jX C , I 0 min 8 6 2A
|XC| 容抗和频率成反比
0， |XC| 直流开路(隔直) ，|XC|0 高频短路
1 I jX I UC C C jC
相量表达式
I C j CU C
返 回 上 页 下 页
波形图及相量图
电流超前 电压900
iC
pC u
IC
u
U
o 瞬时 功率
第三节 电路基本定律的相量形式
1. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式 来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和 KVL可用相应的相量形式表示：
i(t ) 0
I 0
U 0
u (t ) 0