6.2.2电路定律的相量形式 - 相量图的有关概念与应用——【江苏大学电路原理 精】
电路原理习题答案相量法
第八章相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1将下列复数化为极坐标形式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）(因在第三象限)故的极坐标形式为（2）（在第二象限）（3）（4）（5）（6）注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即,它们相互转换的关系为：和需要指出的，在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限，它关系到的取值及实部和虚部的正负。
8－2将下列复数化为代数形式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）8－3若。
求和。
解：原式=根据复数相等的定义，应有实部和实部相等，即虚部和虚部相等把以上两式相加，得等式解得所以8－4求8－1题中的和。
解：8－5 求8－2题中的和。
解：8－6若已知。
（1）写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图；（2）与和与的相位差；（3）绘出的波形图；（4）若将表达式中的负号去掉将意味着什么（5）求的周期T和频率f。
解：（1）故，和的相量表达式为其相量图如题解图（a）所示。
题解8－6图（2）（3）（t）的波形图见题解图（b）所示。
（4）若将（t）中的负号去掉，意味着的初相位超前了180。
即的参考方向反向。
（5）（t）的周期和频率分别为注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在比较相位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率；（2）同函数，即都是正弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。
电路相量图的原理及应用
电路相量图的原理及应用1. 什么是电路相量图电路相量图是一种用于表示电路中电压、电流及其相位信息的图形工具。
相量图使用矢量的长度和角度来表示电压和电流的振幅和方向。
通过使用相量图，我们可以更直观地理解和分析电路中的信号传输和变换。
2. 电路相量图的原理在电路相量图中，电压和电流被表示为复数的形式，其中实部表示振幅，虚部表示相位。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，我们可以推导出电阻、电容和电感的相量图表示。
•电阻的相量表示为：Z R=R•电容的相量表示为：$Z_C = \\frac{1}{j\\omega C} = \\frac{-j}{\\omega C}$•电感的相量表示为：$Z_L = j\\omega L$3. 电路相量图的应用3.1 直流电路分析通过使用电路相量图，我们可以更加简洁和方便地分析直流电路。
相量图可以帮助我们计算电流和电压的大小和方向，从而更好地理解和解决直流电路中的问题。
例如，当我们需要计算电阻串联电路中总电阻时，可以将每个电阻的相量图相加得到总阻抗。
3.2 交流电路分析在交流电路中，相量图发挥着重要的作用。
交流电压和电流的相量图可以用于计算电路中电压的幅值、相位和频率响应。
通过将电路的各个元件转换为相量图形式，我们可以方便地计算电路中电压和电流的大小和相位差，进而计算功率、阻抗和电流的分布。
3.3 三相电路分析在三相电路分析中，电路相量图也是必不可少的工具。
通过将三相电压和电流表示为相量的形式，我们可以更好地理解和分析三相电路中的功率传输、电压平衡和相序问题。
3.4 系统稳定性分析电路相量图可以用于分析系统的稳定性。
通过计算电路的传输函数，并绘制相量图，我们能够评估系统的稳定性和抗干扰能力。
相量图可以帮助我们观察电路中的衰减、相位移和共振频率。
4. 总结电路相量图是一种重要的工程工具，它帮助我们直观地理解和分析电路中的信号传输和变换。
通过使用电路相量图，我们可以更好地计算电压和电流的大小、相位差和频率响应。
《电路》教学大纲
《电路》教学大纲一课程简介本课程是高等工科院校电类专业的一门专业基础课程。
课程编号：课程名称：电路英文名称：electric circuit课程类型：本课程是高等工科院校电类或非电类专业的一门专业基础课程。
学时数：60 学分数：3开课对象：自动化、电气工程及其自动化、电子信息、通信工程、机械设计制造、金属材料工程、材料成型及控制工程、物联网工程等先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《积分变换》、《复变函数》、《大学物理》等参考教材：电路基础. 蔡启仲.清华大学出版社，2013.二课程的性质、任务和目的通过对本课程的学习，让学生了解电路原理的概况，理解其基本理论，基本知识、基本技能，培养学生分析和解决实际问题的能力，为学生学习后续的专门课程，为今后从事有关电的工作，为自学、深造、拓宽和创新打基础。
三教学基本内容和要求第一章电路模型和电路定律理解集总假设、电阻元件、电压源、电流源及受控电源的电压电流关系(VCR)。
充分了解电压、电流、能量、功率等物理量及其参考方向、关联一致性、两类约束及基尔霍夫定律。
第二章电阻电路的等效变换充分了解等效的概念，理解串、并联等效方法、电阻的Y形连接和△形连接的等效变换方法和输入电阻的求法，并了解实际电源的两种模型及其相互等效变换方法。
第三章电阻电路的一般分析了解图、连通图、有向图、树、树支、连支、单连支回路等图论有关概念，了解KCL 方程及KVL方程独立性的含义，熟悉并理解电路分析的一般方法即支路电流法、网孔电流法、回路电流法及结点电压法等。
第四章电路定理理解叠加定理、戴维宁定理、诺顿定理。
了解替代定理。
*第五章含有运算放大器的电阻电路（自学）了解含有运算放大器电阻电路的分析方法。
第六章储能元件了解电容元件、电感元件的电压、电流关系以及电容元件、电感元件的串联和并联的等效参数。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析理解换路定则和动态电路的分析方法；理解一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应及分解。
教学课件PPT电路定律的向量形式
i u
eL i
N L i
或
N L i i
u
L为线圈的电感(或自感)，它是线圈 的结构参数。 进而：
eL
L
di u e L L dt
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
二、正弦交流电路中的电感元件(Inductance)
1、瞬时分析 2、相量分析 3、相量电路 4、相量图 5、瞬时功率
容对电流的阻力情况，描述电容电路中电压、电流 有效值之间的关系，且只对正弦量有效。
I U C IX C C
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
2、相量分析
i 2 I cos( t i ) 2 CU cos( t u u 2U cos( t u )
7.4
电路定律的相量形式
相量形式KCL
瞬时形式KCL ∑i=0
I 0
U 0
瞬时形式KVL
∑u=0
相量形式KVL
欧姆定律
u=Ri
相量形式
U RI
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
一、 正弦交流电路中的电阻元件
二、 正弦交流电路中的电感元件
i
u
i
R
根据 欧姆定律
u iR
2 RI cos t i ) （
则
u Ri
比较两个电压表达式得：
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
结论：（1）U=RI
欧姆定律的有效值形式 电阻上电压、电流同相
（2） i u
u,i
0
t
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
二、相量分析
江苏大学830电路大纲
全国硕士研究生入学统一考试电路考试大纲I 考查目标全国硕士研究生入学统一考试中的“电路”是为我校招收电机与电器、电力系统及其自动化、高电压与绝缘技术、电力电子与电力传动、电工理论与新技术、信号与信息处理、控制理论与控制工程、检测技术与自动化装置、农业电气化与自动化、生物医学工程、电气工程、控制工程、流体机械及工程、水利水电工程等硕士生而设置的具有选拔性质的考试科目。
其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读以上各专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的专业人才。
考试要求学生掌握电路理论的基本知识、基本分析计算方法，为从事工程技术工作、科学研究以及开拓性技术领域打下坚实的基础。
II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间180分钟。
二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。
允许使用计算器，但不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。
三、试卷内容与题型结构1. 试卷内容：电路原理的基本概念与基本计算方法；2. 题型：全部为计算与分析题。
III 考查内容与参考书1. 考查内容：第1章电路基本概念和电路定律：理解电流和电压的参考方向的概念；掌握功率的计算；熟练掌握电阻、电压源、电流源等电路元件的电压电流关系；了解受控源元件的特点；熟练掌握基尔霍夫定律。
第2章电阻电路的等效变换：熟练掌握电阻的串联、并联和串并联计算；了解电阻的丫形联接和△形联接等效变换的方法；掌握电压源、电流源的串联和并联以及电源的等效变换的计算方法。
第3章电阻电路的一般分析：理解电路的图的概念；掌握确定KCL和KVL的独立方程数；熟练掌握支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法的计算方法。
第4章电路定理：熟练掌握叠加定理、戴维宁定理、特勒根定理、互易定理的计算方法；了解替代定理、诺顿定理、对偶定理的分析方法。
第四章 正弦交流电路(江苏大学)
a
+1
式中: a r cos ψ b r sin ψ
r a 2 b2 b ψ arctan a
复数的模 复数的辐角
江苏大学电工电子教研室 江苏大学电工电子
正弦交流电路
正弦量
复数表示
相量
正弦量的运算即相量的运算即复数的运算 复数的运算 1. 加 、减运算（用代数形式）
设：
U 1 a1 jb1 U 2 a2 jb2
i I m sin(t i ) ( t u ) ( t i )
O
ψu ψi
ωt
两个同频率正弦量的相位差即初相位之差，不随时间变化。 相位差用来描述同频率正弦量的相位关系：
若
ψu ψi 0
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称电压超前电流，或电流滞后电压
前两种不便于运算，所以引入相量表示法。
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正弦交流电路
正弦量的相量表示法 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线 段在纵轴上的投影值来表示。
u U m sin t
ω
Um
t
有向线段长度 =
Um
初相位
有向线段与横轴夹角 =
有向线段以角速度 ω 按逆时针方向旋转
141.4 30 10030 A I 2
求： i 、u 的相量
311.1 60 220 60 V U 2
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正弦交流电路
例
已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为：
第20讲 电路定律的相量形式、阻抗与导纳
频域
&L = I L∠φi I
& UL
有效值关系 UL=ω L IL
UL = ωLIL π φu = φi + 2
& IL
& U
+ L
π φ + = ωL I L∠ i 2
相位关系 uL 超前 iL 90° °
& U
jω L
L
相量模型
相量图
& IL
感抗 U=ω L I XL= U/I =ω L= 2π f L， 单位 欧 π ， 单位: 感抗的物理意义： 感抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比。 感抗和频率成正比。 XL
& U
φ = U∠ u
π φ + & I = ω C U∠ u 2
有效值关系 I=ω C U
+
I&
U&
1 jω C
& I
& U
相位关系 i 超前 90° 超前u °
-
相量模型
相量图
容抗 I=ω CU
U 1 = I ωC 容抗的物理意义： 容抗的物理意义：
1 XC = ωC
def
错误的写法 1 u = ωC i
θ = φu - φi
θ
R 阻抗三角形
X
具体分析一下 R-L-C 串联电路 Z=R+j(ω L-1/ω C)=|Z|∠
ω L > 1/ω C ，X>0， >0，u领先 ，电路呈感性； 领先i， ， ， 领先 电路呈感性； ω L<1/ω C ，X<0， <0，u落后 ，电路呈容性； 落后i， ， ， 落后 电路呈容性； ω L=1/ω C ，X=0， =0，u与i同相，电路呈电阻性。 同相， ， ， 与 同相 电路呈电阻性。
电路基本定律的相量形式
i
L
u
U IX L di jX L 则 uL X L L dt jL u 2 IL sin(t 90 )
jX C
i 2 I sin t
UI
I
u领先 i 90°
U I jX L
0
I2XL
设
i
C
u
iC
du dt
1 j C 1 j C
？
？
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i 复数 阻抗 设 电压、电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率
u 2U sin t
I
U IR
U
R
u
u iR
R
则
U IR
UI
0
i 2 I sin t
设
u、 i 同相
图 KVL的相量形式
回路的电压方程： 其KVL相量表达式为：
u1 u 2 u 3 u 4 0
U1 U 2 U 3 U 4 0
小 结
电路参数
R L
基本关系 复阻抗
u iR
R
I
U
U
电路参数
基本关系
复阻抗
电路参数
jX L j L
di uL dt
项目十九 电路基本定律的相量形式
电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、基尔霍 夫定律 。
i
R
u
L
uR uL
u uR uL di iR L dt
电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、 基尔霍夫定律。
I
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则：I1 1090 A j10A
I2
100 5 j5
A
10
2 45 A
I I1 I2 100 A I 10A
I1 C1 I ＋U2 －
＋ j10 ＋ I2
U
U1 5 j5
－
－
已知： I1=10A、 U1 =100V，
求：I、U
因为 I I1 I2 100 A U1 1000 V
U R
I
注意：
1. 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中
2. 选定一个参考相量(设初相位为零。)
选 ÙR为参考相量
+ U L -
I R
+ IL jwL
U
1
jwC
IC+ U- C R
+
U
-
R
U L
IC
IL U
-
IR
U R U C
例1：已知：I1=10A、U1 =100V， 求： I 、U
I1 C1 I ＋U2 －
R2
U I2
220 2
110 Ω
求Z3
方法一： 画相量图。以电压 U 为参考相量
I1 A1
+
A2
A3
–
I 2 R2 I 3 Z3
•
•
I2
U
2
3
3•
4
I3
•
I1
根据余弦定理：
42= 32+ 22–232cos
42 32 22 cosθ
1,
θ 104.5o
242
4
φ 3 180o θ 180o 144.5o 75.5o
C：电流超前电压90º
支 RL支路：电压超前电流角 (0°< <90°) 路 RC支路：电流超前电压角
3. 依据KCL、KVL组合相量图。
＋ IR＋-ULR-RC－串联＋交流电U路L 相UUCL量图
U
L UL
U
－
－
＋
C
U
－
C
U C
U R
I
U L
先画出参
相量表达式：
U
U C 考相量
U U R U L UC
所以 U U2 U1 j10 I U1
j100 100 V 100 2 45 V
U 100 2V
I1 C1 I ＋U2 －
＋ j10 ＋ I2
U
U1 5 j5
－
－
已知： I1=10A、 U1 =100V，
求：I、U
解法2:利用相量图进行运算
(1) 先画参考相量 U1 1000 V (2) 由欧姆定律画 I1 及 I 2 (3) 根据KCL作 I
16= 4+12cos 3+9
cos3
3 12
0.25
3
75.5
Z3 Z3 3 73.375.5
18.4 j71 Ω
I
U1
I2
I1
(4) 由VCR作U 2 (5) 由KVL作 U
U U2
(6) 由相量图，得I =10A，U=141V
例2
I1 A1
+
பைடு நூலகம்A2
U
–
I 2 R2
A3
I 3 Z3
解：设Z3 =|Z3| 3
已知：U=220V，电流表
A1的读数为4A，A2读数 为2A，A3读数为3A，Z3 为感性负载。
试求：R2和Z3。
＋ j10 ＋ I2
U
U1 5 j5
－
－
解题方法有两种： 1.利用复数进行相量运算 2.利用相量图求结果
I1 C1 I ＋U2 －
＋ j10 ＋ I2
U
U1 5 j5
－
－
已知： I1=10A、 U1 =100V，
求：I、U
解法1: 利用复数进行相量运算
设： U1 为参考相量， 即：U1 1000 V
知识点
电路的相量图
相量图可直观反映各电压、电流量的 关系，可用于辅助电路的分析计算（指导 如何计算、判断结果是否正确）。
画相量图步骤: 串联电路选择电流相量
1. 选取参考相量: 并联电路选择电压相量
2. 根据元件(支路)的电压、电流关系，逐步画出 对应的相量图
R：电压与电流同相
元 件
L：电压超前电流90º
I1 I2 I3 4 20 3 3
从而：4cos +j4sin =2+3cos 3–j3sin 3 由上式可得： 4cos =2+3cos 3 (1)
4sin = –3sin 3 (2)
由 (1)2+(2)2 得：
16 =(2+3cos 3)2+(–3sin 3)2
16=4+12cos 3+9(cos 3)2+9(sin 3)2
U 220 | Z3 | I3 3 73.3Ω,
Z3 73.375.5o Ω 18.4 j71Ω
I1 A1
+
A2
–
I 2 R2
A3
I 3 Z3
求Z3 方法二：直接列写方程.
Z3
U3 I3
220 73.3 3
设 U 2200 V
则 I2 20 A, I3 3 3A, I1 4A