第一章 有理数 复习小结
第一章 有理数复习小结
• 乘法三结合 • 1.积为整数结合
• 2.两个倒数结合
• 3.能约分的结合
1 1 1 计算： 24 3 4 6 1 1 1 解：原式 24 24 24 3 4 6
=8+6－4 =10
计算： －14+(－2)2－23－(－2)3
解：原式=－1+4－8－(－8) = －1+4－8+8
8.科学记数法、近似数
• 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整 数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数 法. • 一只苍蝇的腹内细菌多达2800万个，你能用科学 记数法表示吗? • 2800万个=2.8×103（万个) • 或 2800万个=28 000 000个=2.8×107个
=3
小明家门口有一条东西向的马路，在他 家的东面0.5 km处有一个图书馆，在图书 馆的东面1 km处有一个体育馆，在他家 的西面2 km处有一个超市。某天，小明 的爸爸开车从家里出发，先去图书馆，后 又到体育馆，然后到超市，最后回到家里 若汽车的耗油量为 0.1 升 / km ，则该汽车 画一条数轴，以原点表示小明家，向东 用求绝对值和的方法计算小明爸爸这一 共耗油多少升？ 为正方向，在数轴上表示图书馆、体育 天所行使的路程？ 馆、超市？
3.数轴
单位长度和 正方向 的 • 数轴是一条具有 原点 、 直线，它能帮助我们认识数的符号、绝对值，帮 助我们比较数的大小，还能帮助我们理解一对相 反数之间的关系。 • 将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接
3.数轴
－4 －3 －2 －1
0
1
2
3
4
• ①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； • ②正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数； • ③所有有理数都可以用数轴上的点一一表示。
人教版七年级数学上册第一章有理数知识点总结
第一章有理数期末复习一、正数：大于0的数叫做正数。
负数：正数前加上符号“—”（负）的数叫做负数。
注意：0既不是正数，也不是负数；0是正数和负数的分界。
考点题目：1.如果80m表示向东走80m，那么-60m表示_____________2.在跳远测试中，合格的标准是4.00m，小明跳出了3.96m，记做-0.04m，小强的成绩被记做+0.18m，则小强跳了______m3.洗衣粉包装袋上有：“净重：300±5g”，请说明这段文字的含义袋号 1 2 3 4 5净重 303 298 300 294 305根据上面的数据解释这5袋洗衣粉的净重是否合格。
4.飞机在距地面800m的高空做飞行表演，它第一次上升了200m，第二次下降了300m，第三次又上升了-100米，此时它距地面多高？二、有理数：整数和分数统称为有理数。
整数：正整数，0，负整数统称为整数；分数：正分数，负分数统称为分数注意：小数可以化为分数，所以把小数看成分数；百分数也是分数。
正有理数：正整数，正分数有理数｛ 0负有理数：负整数，负分数有理数｛整数：正整数负整数 0分数：正分数负分数含有“π”的数均不是有理数。
考点题目：1.“0”的意义：①0是整数，也是有理数。
②0不是正数也不是负数。
③0是自然数2.把下列各数填在相应的集合中：-22，-π，-5%，92 ，-0.66……，0.121121112……，3.14正整数集合：。
负整数集合：。
负分数集合：。
有理数集合：。
负有理数集合：。
三、数轴：规定了单位长度，原点，正方向的直线。
考点题目：1.数轴上表示表示3的点和表示-6的点之间的距离是_____2.数轴上-3与2之间有___个整数，有____个有理数。
3.点A为数轴上表示-2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度时，它所表示的数是_____4.在数轴上到原点的距离等于2的点所表示的数为_______5.把数轴上表示2的点移动5个单位长度后，所得的对应的点表示的数是_______6.画出数轴并标出下列各数对应的点四、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数注意：a和-a互为相反数（a表示任意一个数，正数，负数，0）0的相反数是0；互为相反数的两个数相加得0考点题目：1.-3的相反数是_______；0的相反数是_______；2.化简各数的符号：-（-5）=_______ +（+5）=_______ +（-5）=_______（+5）=________3.如果a=-a，那么表示数a的点在数轴的位置是_______4.如果a+2的相反数是-8，那么a=_______如果a的相反数是-9，那么a=_______5.一个数在数轴上所对应的点向左移动8个单位后，得到表示他的相反数的点，这个数是_______6.若a+2的相反数是-8，那么a=_______五、绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
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一、正数，负数的定义：大于 0 的数叫做正数；小于 0 的数叫做负数。
注意：1、0 既不是正数也不是负数。2、a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；
当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0
练习：1、带+号的数是正数，带-号的数是负数，对吗？
5…也是奇数。
练习：观察下面 9 个数，并给它们进行分类．
5、5.6、-6、-3.7、0、3、-2、9/3、-1/2、 20 00 、π
整数：
分数：
正数：
负数：
3、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 注意：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数（如， 数轴上的点 π 不是有理数）
c0ba
四、相反数：有符号不同的两个数叫做互为相反数。一般地 a 的相反数是–a 特别：0 的
相反数还是 0
注意：1、互为相反数的两个数一定一正一负或者同时为 0；
2、相反数的和为 0 即
a，b 互为相反数，则 a+b=0
a
3、相反数的商为-1.即 a，b 互为相反数，则 ==
-1(a 0,b
b
练习 1、．在数轴上记出下列各数： －2， －2．5，＋2，＋1.5，
2、、如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点 A 表示的数为（ ）
A、30
B、50
C、60
D、80
3、数轴上到 1 距离 5 个单位长度的点表示的数是（ ） A +6 B -4 C+6 或-4
4、有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示，求 a b c 的值 abc
0))
第一章 有理数知识点、考点、难点总结归纳
第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳大家好，今天我们来聊聊有理数这个知识点。
有理数是我们日常生活中经常会遇到的一种数，它们可以表示为两个整数的比值，比如1/2、3/4等等。
有理数在数学中非常重要，因为它们可以帮助我们解决很多问题。
有理数有哪些知识点呢？下面我们就来一一梳理。
我们来说说有理数的基本概念。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
正有理数就是大于零的有理数，比如1/2、3/4等等；负有理数就是小于零的有理数，比如-1/2、-3/4等等；零是有理数，但它既不大于零也不小于零。
我们来看一下有理数的运算。
有理数的加法、减法、乘法和除法都很简单，我们可以通过以下几个例子来说明。
例一：正有理数相加。
假设我们有两个正有理数a和b,那么它们的和就是a+b。
例如，1/2+1/3=5/6。
例二：正有理数相减。
假设我们有两个正有理数a和b,那么它们的差就是a-b。
例如，3/4-1/2=1/4。
例三：正有理数相乘。
假设我们有两个正有理数a和b,那么它们的积就是a*b。
例如，1/2*3/4=3/8。
例四：正有理数相除。
假设我们有两个正有理数a和b(b≠0),那么它们的商就是a/b。
例如，3/4÷1/2=3/2=1.5。
有理数的运算还有很多其他的形式，比如负有理数的加法、减法、乘法和除法等。
但是这些都比较复杂，我们以后再学吧。
除了基本的运算之外，有理数还有一些重要的性质和定理。
比如，有理数的相反数是它的负倒数；有理数的绝对值是它的大小；有理数的平方根有两个，一个是正的，一个是负的；有理数的小数部分可以无限精确地表示为分数形式等等。
这些性质和定理在解决一些实际问题时非常有用。
我们来说说有理数的解题方法。
其实，有理数的解题方法和其他类型的题目差不多。
我们需要先理解题目的意思，然后根据题目的要求选择合适的方法进行计算。
有时候，我们还需要运用一些特殊的技巧来简化计算过程。
只要我们掌握了有理数的基本知识和解题方法，就可以轻松地解决很多数学问题了！今天我们就来聊到这里。
七年级上册第一章有理数知识点总结
第一章有理数 一、 知识结构：二、 知识点： 1、正数和负数是表示两种具有 的量。
2、有理数的分类：可以按（ ）和（ ）分类注意：常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。
如：0.0100100010001000010000010000001……3、数轴三要素是 、 、 。
数轴是 线。
4、数轴上表示一个数的点到原点的 叫这个数的绝对值。
绝正数和负数 有理数 数轴 绝对值 有理数的大小比较 减法乘法 除法乘方 加减混合运算乘法法则 运算律除法法则乘除混合运算乘方运算、混合运算科学记数法加法 加法法则 加法运算律 减法法则近似数与有效数字 相反数 有理数 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 有理数 （ ）（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ）对值具有非负性，即┃a┃ 0.互为相反数的两个数的绝对值。
若表示两个非负数的式子和为0（或这两个式子互为相反数），则这两个式子都等于。
即非负条件式。
如：若（x-3）2+┃x+y+7┃=0，求y x的值。
5、数轴上的两点之间的距离就是表示这两个点的数的差的绝对值：表示数a的点A与表示数b的点B之间的距离AB=︱a-b︱或AB=︱b -a︱。
与表示数m的点的距离为a（a＞0）的点有两个：表示的数是m±a.6、数轴上在两侧且到的距离相等的两个点表示的两个数互为相反数(几何定义)，只有符号不同的两个数互为相反数(代数定义)。
0的相反数是，a的相反数是。
求一个数的相反数就是在这个数前添“”号后再化简。
7、互为倒数的两个数的乘积等于。
互为倒数的两个数符号。
互为负倒数的两个数的乘积等于。
互为相反数的两个数的商等于。
8、有理数的绝对值的取法：(a＞0) (a≥0) (a＞0)|a|= （a=0）或|a|= 或|a|=___(a＜0) (a＜0) (a≤0)9、有理数的大小比较：异号两数大；两个负数大的反而小；0大于而小于；数轴上原点边的数大于边的数。
人教版七年级数学上册第一章有理数全章知识点归纳
人教版七年级数学上册第一章有理数全章知识点归纳人教版七年级数学上册第一章有理数全章知识点归纳一、知识要点1、正数和负数大于的数叫做正数。
在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
数既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。
在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
2、有理数凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数。
注意：即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2.不是有理数；正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。
3、数轴【重点】用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
它满足以下要求：1.在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；2.通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；3.选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。
数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。
注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
4、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-(a+b)=-a-b；非零数的相反数的商为-1；相反数的绝对值相等。
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。
3、相反数的概念a和-a互为相反数。
一个数的相反数是指，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
每个数都有它自己的相反数。
4、相反数的运用在任意一个数前面添加“-”号，这个新的数就表示原数的相反数。
如果两个数a和b互为相反数，那么a+b=0；反之，如果a+b=0，则a和b互为相反数。
第一章 有理数小结与复习
加法的交换律
加法的结合律
2.有理数的减法 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 3.有理数的乘法 (1)乘法法则 乘法的交换律
(2)乘法的运算律 乘法的结合律 乘法的分配律 4.有理数的除法
除法法则：
除以一个数，等于乘以这个数的倒数.
5.有理数的乘方 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方. 幂
4
Hale Waihona Puke 64 11 1 ＝ 16 9 12 4 41 ＝ . 12
针对训练
9.计算 (1) 3 8 7 15 (2) 23 6 (3) 2 (4)
3 (3) 1.53 0.75 0.53 3.4 0.75 4 1 (4) 4 3 ( 2) 2 5 答案：(1)-17 (2)33
-3.5 3 1 -1 -2 5 3 0 0.5 -2 -1 0 1
|-2|
2 3
3.5 4
-4
-3
3 1 3.5 ＞|-2|＞ 0.5 ＞ 0 ＞ - ＞ -1 ＞ -2 ＞ -3.5 5 3
解法二：正数大于0，0大于负数，正数大于负
数；两个负数，绝对值大的反而小． 3 1 3.5 ＞|-2|＞ 0.5 ＞ 0 ＞ - ＞ -1 ＞ -2 ＞ -3.5 5 3
第一章 有理数
小结与复习
要点梳理
一、正数和负数 1.小学学过的除0以外的数都是正数. 在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数. 2.用正、负数表示具有相反意义的量
二、有理数
1.有理数的概念
整数和分数统称有理数
2.有理数的分类 (1)按定义分类 正整数 整数 有理数 分数 零 负整数 正分数 自然数 (2)按符号分类 正有理数
第一章《有理数》复习总结
第一章《有理数》复习总结有理数是整数和分数的统称，包括正数、负数和零。
有理数可以表示为p/q的形式，其中p和q都是整数，且q不等于0。
p称为分子，q称为分母。
1.有理数的大小比较：(1)对于同号的有理数，绝对值越大，数值越大；(2)对于异号的有理数，正数大于负数，绝对值越小，数值越大。
2.有理数的加减乘除：(1)加法：拆分有理数，按照整数部分和小数部分相加；(2)减法：将减数变为相反数，再进行加法运算；(3)乘法：分别计算分子和分母的乘积，然后化简；(4)除法：将除数变为倒数，再进行乘法运算。
3.有理数的约分和化简：(1)约分：将分子和分母同时除以最大公因数，使得分数不可再约分；(2)化简：将带有分数线的有理数化为最简形式。
4.有理数的绝对值：(1)正数的绝对值是其本身；(2)负数的绝对值是其相反数；(3)零的绝对值是零。
5.有理数的相反数：(1)正数的相反数是负数；(2)负数的相反数是正数；(3)零的相反数是零。
6.计算混合数的值：(1)将整数部分和小数部分分开，分别计算；(2)将结果相加或相减，得到最终的结果。
7.有理数的乘方：(1)有理数的整数次方，将底数连乘或连除相应次数；(2)底数是分数，将底数化为整数的形式进行计算。
8.有理数的乘法逆元：(1)有理数的乘法逆元是其倒数；(2)除零外，任意非零有理数的乘法逆元存在。
9.有理数的混合运算：(1)先进行括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算；(2)若有多个加法或减法运算，按照从左到右的顺序进行。
10.有理数在坐标轴上的表示：(1)正数表示点在原点的右侧；(2)负数表示点在原点的左侧；(3)零表示点在原点。
有理数在数学中有着广泛的应用，比如在数轴上定位、计算中的加减乘除、分数和小数的运算等。
学好有理数不仅需要掌握各种运算规则和性质，还需要大量的练习和实践。
通过不断的练习和思考，可以提高解决实际问题的能力，培养思维和逻辑思维能力。
总之，有理数作为数学的一个重要概念，是我们平日生活中接触最多的数的形式。
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1 1 2 计算： （1）0.125 + (+3 ) + ( −3 ) − ( −11 ) − 0.25 4 8 3 1 1 2 解： 0.125 + (+3 ) + ( −3 ) − ( −11 ) − 0.25 4 8 3
；
1 1 1 2 1 ＝ + 3 − 3 + 11 − 8 4 8 3 4 1 1 1 1 2 ＝( − 3 ) + (3 − ) + 11 8 8 4 4 3 2 ＝11 . 3
【问题 5】谈谈通过本节课的复习， 有哪些新的收获？
作 业
教科书第 51 页复习题 1 第 1～6、10 题．
4
2 2 1 1 ( − 2 ) ÷ (2 ) + 5 × ( − ) − ( − 0.5) 2 解： 3 2 6 8 2 11 1 1 2 ＝ − 16 ÷ ( ) + × (− ) − (− ) 3 2 6 2
4
64 11 1 ＝ −16 ÷ − − 9 12 4 9 11 1 ＝ −16 × − − 64 12 4
每组数中的第 3 个数是第 1 个数乘第 1 个数的 2 倍与 1 的差所得积的相反数；
（3）第 50 组数的 3 个数分别是 50，－502 ， －50 × 2 × 50－1 ， （ ）
它们的和为：
2
50+（－50 ） [－50 × 2 × 50－1 ] + （ ）
=50-2 500-4 950 =-7 400.
＝21－27＋30－10
＝14.
1 1 计算： （3）( −2) ÷ ( − ) ÷ ( − ) ； 12 12
1 1 解：(−2) ÷ (− ) ÷ (− ) 12 12
1 1 ＝ −2 ÷ ÷ 12 12
＝ −2 × 12 × 12 ＝ −288.
2 2 1 1 计算： （4）( − 2 ) ÷ (2 ) + 5 × ( − ) − ( − 0.5) 2. 3 2 6
【问题 3】怎样解决有关数的规律探索性问题 （结合例 1）？
例 2
结合具体的数的运算，归纳有关特例， 然后比较下列数的大小： （1）小于 1 的正数a ， a 的平方， a 的立 方； （2）大于－1 的负数b ，b 的平方，b 的 立方．
例 3
若 a ＞0，b ＜0，且 a + b＜0，把 a 、− a 、b 、−b 、 0 按从大到小的顺序进行排列．
解：由 a＞0，b＜0， a + b＜0， 根据有理数加法法则，得 b ＞ a ．
在数轴上画出表示 a 、 − a 、b 、 −b 的点，
b －a 0 a －b
由上图，得 −b＞a＞0＞ − a＞b．
【问题4】从例2、例3的解题方法中， 问题4 从例2 的解题方法中， 你受到哪些启发？ 你受到哪些启发？
9 11 1 41 ＝− − − ＝− . 4 12 4 12
有理数运算中，应该注意哪些问题？ 【问题 2】有理数运算中，应该注意哪些问题？
例 1
观察下列五组数：1，-1，-1； 2，-4，-6； 3，-9，-15； 4，-16，-28； 5，-25，-45； …… （1）每组数中的第 2 个数与第 1 个数有什么关系？ （2）每组数中的第 3 个数与第 1 个数有什么关系？ （3）计算第 50 组数的和．
第一章
有理数
复习小结
天津市和平区教师进修学校 顾洪敏
【问题1】本章学习了哪些知识？ 问题1 本章学习了哪些知识？ 它们之间的联系是什么？ 它们之间的联系是什么？
加 法
减 法
有理数 有理数
有理数的运算 有理数的运算
交换律 结合律
分配律
点与数的对应 数 轴 乘 法 除 法
比较大小
乘 方
练习
计算：
1 1 2 （1）0.125 + (+3 ) + (−3 ) − (−11 ) − 0.25； 4 8 3 7 3 5 5 （2）(− + − + ) × (−36) ； 12 4 6 18 1 1 （3）(−2) ÷ (− ) ÷ (− ) ； 12 12 2 2 1 1 4 2 （4）(−2 ) ÷ (2 ) + 5 × (− ) − (−0.5) ． 3 2 6
7 3 5 5 计算： （2）( − + − + ) × (−36) ； 12 4 6 18 7 3 5 5 解： ( − + − + ) × (−36) 12 4 6 18
7 3 5 5 ＝( − ) × ( −36) + × ( −36) − × ( −36) + × (−36) 12 4 6 18
解： （1）每组数中的第 2 个数分别是： 2 2 2 2 2 －1 ，－2 ，－3 ，－4 ，－5 ，… 每组数中的第 2 个数是第 1 个数的平方 的相反数；
（2）每组数中的第 3 个数分别是： －2 －3 －4 －5 … －1× 1， × 3， × 5， × 7 ， × 9，
（2 ） （2 ） 即－1× × 1－1 ，－2 × × 2－1 ， －3 × × 3－1） －4 × × 4－1 ， （2 ， （2 ） －5 × × 5－1） （2 ，…