辽宁省大连市二十中2016届高三上学期期末考试数学(文)试卷

2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试卷（文科）考试时间：120分钟 试题分数：150分 命题人：卢永娜参考公式：球的体积公式：343V R π=，其中R 为半径. 卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集R U =，集合}32|{},42|{≤≤-=<<=x x B x x A ，则)(B C A R 等于 A ．)2,1( B ．)4,3( C ．)3,1( D ．)4,3()2,1(2.已知,21,21i z i m z -=+=若2121-=z z ，则实数m 的值为 A ．2 B ．2- C ．21 D ．21-3. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4,613==a S ，则公差d 等于 A ．1 B ．35C ．2-D ．3 4.已知向量)1,(),4,3(x b a ==，且||)(a b b a =⋅+，则实数x 的值为A ．3-B ．2-C ．0D ．3-或05.已知31)2sin(=+απ，则)2cos(απ+等于 A ．97B ．97-C ．92D ．32-6. 实数y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+0002204y x y x y x ，则y x z -=的最小值为A ．2-B ．1-C ．0D ．17. “2=m ”是“直线0)7()1(3=--++m y m x 与直线032=++m y mx 平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8. 从抛物线x y 42=图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5||=PM ，设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为A ．10B ．20C ．40D ．809. 某四面体的三视图如右图所示，其主视图、左视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为A ．34π B ．π3 C ．π23 D ．π (10. 若执行右下的程序框图，则输出的k 值是A ．4 B. 5 C. 6 D. 711. 定义运算：⎩⎨⎧<≥=∇)0( )0( xy y xy x y x ，例如：343=∇，44)2(=∇-，则函数)2()(22x x x x f -∇=的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．412. 已知函数)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称，且当)0,(-∞∈x 时，0)()(<'+x f x x f 成立（其中)(x f '是)(x f 的导函数），若),3(log )3(log ),3(33.03.0ππf b f a ⋅=⋅=)91(log )91(log 33f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．函数3lg )(-+=x x x f 的零点有______个.14．已知x 是]4,4[-上的一个随机数，则使x 满足022<-+x x 的概率为___________.15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线经过点)6,3(，则该渐近线与圆16)2(22=+-y x 相交所得的弦长为___________.16．设}{n a 是等比数列，公比2=q ，n S 为}{n a 的前n 项和.记*12,17N n a S S T n nn n ∈-=+，设0n T 为数列}{n T 的最大项，则=0n ___________.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分） 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边长，且.53cos cos c A b B a =- （Ⅰ）求BAtan tan 的值；（Ⅱ）若︒=60A ，求222sin cb a Cab -+的值. 18．（本小题满分12分）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷” 冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与。

志愿者的工作内容有两类:1.到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；2.整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：（Ⅱ）用分层抽样的方法在从参与整理、打包衣物工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人. 那么至少有一人是女生的概率是多少？ 参考公式：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=. 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90PAB ABC ∠=∠= ，//AD BC ，2PA AB BC AD ===，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ；（Ⅱ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，离心率12e =，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点,A B ，线段AB 的中点的横坐标为14，且AF FB λ= （其中1λ>）. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求实数λ的值. 21．（本小题满分12分）设函数()x x b e f x a =++在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y ++=．（自然对数的底数CD2.718)e =⋅⋅⋅（Ⅰ）求,a b 值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0x ≥时，24()f x x >-．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，F 为BD 中点，连接AF 交CH 于点E ，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ； （Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O 的半径．( 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24(sin cos )40ρρθθ-++=，. （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=．（Ⅰ）求证：22213a b c ++≥； （Ⅱ）求证：2221a b c b c a ++≥．E F H C B OAD2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试卷（文科）参考答案一．选择题1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．A 8．A 9．C 10．A 11．D 12．B 二．填空题13． 1 14．83 15．5516 16．4 三．解答题17．解：（Ⅰ）由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，得,sin 53cos sin cos sin C A B B A =- 又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，,cos sin 58cos sin 52A B B A =∴ 可得.4cos sin cos sin tan tan ==AB BA B A …………(6分) （Ⅱ）若︒=60A ，则3tan =A ，得,43tan =Babc b a C 2cos 222-+=， 2351tan tan tan tan 21)tan(21tan 21cos 2sin sin 222-=-+⋅=+-===-+∴B A B A B AC C C c b a C ab …(12分)18. 解：（Ⅰ）2250(1218128)251.923 3.8412030242613χ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ……………………2分没有理由认为志愿者对工作的选择与其性别有关. …………………………4分（Ⅱ）参与整理、打包衣物工作的志愿者中男生12人，女生18人，共30人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51306= 所以，被抽中的男生有11226⨯=人，记作,a b ； 被抽中的女生有11836⨯=人，记作,,x y z . …………………………8分 从这5人中选2人的所有可能情况有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a x a y a z b x b y b z x y x z y z ，共10种用事件A 表示“至少有一人是女生”，则它所包含所有可能情况有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a x a y a z b x b y b z x y x z y z ，共9种所以9()10P A =……………………………………………………12分19. （Ⅰ）证明：取PB 中点F ，连接,EF AF ，由已知////EF BC AD ，且22EF AD BC ==， 所以，四边形DEFA 是平行四边形，于是//DE AF ，AF ⊂平面PAB ，DE ⊄平面PAB ，因此//DE 平面PAB ． ……………………………………………………6分（Ⅱ）侧面PAB ⊥底面ABCD ， 且90PAB ABC ∠=∠= 所以BC ⊥平面PAB ，AF ⊂平面PAB ，所以AF BC ⊥，又因为PA AB =，F 是PB 中点，于是AF PB ⊥，PB BC B = ，所以AF ⊥平面PBC ，由（Ⅰ）知//DE AF ，故DE ⊥平面PBC ， 而DE ⊂平面PCD ，因此平面PCD ⊥平面PBC ． ……………12分20. 解：（Ⅰ）由条件可知，1,2c a ==，故2223b a c =-=，椭圆的标准方程是22143x y +=. ………（4分）（Ⅱ）由AF FB λ=，可知A ，B ，F 三点共线，设1122(,),(,)A x y B x y 点点若直线AB x ⊥轴，则121x x ==，不合题意.当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为(1)y k x =-.由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=. ①由①的判别式4222644(43)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>.因为2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ………（6分） 所以212281432k x x k +==+，所以214k =. ………（8分）将214k =代入方程①，得242110,x x x --==解得 . ………（10分） 又因为1122(1,),(1,)AF x y FB x y =--=- ，AF FB λ= ，1121--=x x λ ，所以.253+=λ………（12C D分）21. 解：（Ⅰ）()x a f x e '=+，由已知，(0)1f '=-，(0)1f =-，故2a =-，2b =-，2()x f x e '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，0()f x '<，当(ln 2,)x ∈+∞时，0()f x '>，故()f x 在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增；……（6分）（Ⅱ）方法1：不等式24()f x x >-，即2221xx x e+-<， 设22()2x x x g x e +-=，24()xx g x e -'=，[0,2)x ∈时，()0g x '>，(2,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在[0,2)递增，在(2,)+∞递减， 当0x ≥时，()g x 有最大值16)2(2<=eg ， 因此当0x ≥时， 24()f x x >-． …………（12分） 方法2：设22()()(4)22xg x f x x e x x =--=--+，()22()x g x e x f x '=--=在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，因为(0)10g '=-<，06)2(2>-='e g ，0ln 22<<， 所以()g x '在[0,)+∞只有一个零点0x ，且0(0,2)x ∈，0022x ex =+，当0[0,)x x ∈时，0()g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，0()g x '>，()g x 在0[0,)x 单调递减，在0(,)x +∞单调递增，当0x ≥时，0220000()()2240xg x g x e x x x ≥=--+=->， 因此当0x ≥时， 24()f x x >-． …………（12分）22. （Ⅰ）证明：因为AB 是直径， 所以∠ACB ＝90°又因为F 是BD 中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB 因此∠BCF=∠CAB ……………………5分 （Ⅱ）解：直线CF 交直线AB 于点G ， 由FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FECD可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG 由切割线定理得：（1＋FG ）2＝BG×AG=2BG 2 ……① 在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ……② 由①、②得：FG 2-2FG-3=0解之得：FG 1＝3，FG＝－1（舍去） 所以AB ＝BG＝所以⊙O .………10分23. 解：（Ⅰ）将11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，化为普通方程20x y +-= 再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入20x y +-=，得cos sin 2ρθρθ+=……………………………5分（Ⅱ）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程 2cos sin 24(sin cos )40ρθρθρρθθ+=⎧⎨-++=⎩ 因为0,02ρθπ≥≤<，所以可解得1120ρθ=⎧⎨=⎩或2222ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，因此l 与C 交点的极坐标分别为(2,0)，(2,)2π．……………………………10分24. 证明：（I ）∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，∴222a b c ab bc ca ++≥++，∵2()1a b c ++=，∴2222221a b c ab bc ca +++++=， ∴2223()1a b c ++≥，即22213a b c ++≥； …………5分（II ）∵22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222a b c a b c b c a ++≥++， ∵1a b c ++=，∴2221a b c b c a++≥．…………10分。