电磁场导论时变电磁场
流密度为， JD(z,t)1r5 0sin t(z)er
求：电场强度E和磁场强度H。
5-3 已知媒质的 = 103 S/m， = 6.50 ， = 0 。传
导电流密度为 J0.0s2i1n9 0t 求位移电流密度和单位体积消耗的功率。
2021/3/7
电磁场导论时变电磁场
10
5.2 坡印亭定理与坡印亭矢量
2021/3/7
电磁场导论时变电磁场
12
W J2
VE eJdVt VdVS (E H )dS
电源提供 的电磁功 率（VA）
物理意义
电磁场储 能增加率 （J/S）
导电媒质 中消耗的 电磁功率
(W)
流出闭合 面的电磁 功率（VA）
时变电磁场的电磁功率平衡方程——坡印亭定理
静态场
VJ2dVS(EH)dS
由于理想导体1∞，内部E1=0、B1=0，由衔接条件知 理想导体表面存在 自由电荷积累成的面电荷 = D2n
沿导体表面流动的面电流 K= H2t 理想导体外表面附近 电力线与其表面垂直 E2t = 0
磁力线平行于其表面 B2n = 0
2021/3/7
电磁场导论时变电磁场
9
作业
5-1 设同轴电缆介质参数分别为20 、0、=0。位移电
分别为l和h的矩形闭合 回路，其中Δh→0。
由麦克斯韦第二方程
lEdlSB t dS
1 11
E 2t E2 2 22
l 图 5-1
E 1t h 0
得
E 1 tΔ l E 2 tΔ lΔ l ih 0 [m ( B t)nΔ lΔ h ] 0
因此
E1 t = E2 t
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电磁场导论时变电磁场
H (z,t) 1 3 1 00 s 11 i n 8 t0 3 z ()e y 1 1 4 π 2 0 s1 i0 8 n t 0 3 z ( )e y
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电磁场导论时变电磁场
6
5.1.2 时变电磁场的分界面衔接条件
时变电磁场的分界面衔接条件与静态场相同
在媒质分界面上取边长
E1
E0
H t
ex ey ez ex ey ez
E x
y
0 z
0
z E zxey130 3co1s80 t (3 z)ey
Ex Ey Ez Ex 0 0
由于
0 H ty130 3co1s80 t(3 z)
对时间变量t 进行不定积分，可得
Hy 130101sin1(0 8t3 z)C
式中C由初始条件确定，在正弦稳态情况下可取C=0
导电媒质中消耗的焦耳 功率是通过其表面S由外 部进入的电磁能流提供的。
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电磁场导论时变电磁场
13
例5-2 已知自由空间中
x
E ( z ,t) 10 c2 o 0 1 s 0 7 t0 (0 .4 z ) e 2 x E
H
E SH
S
H (z ,t) 2 .6c 5 o 2 1 s7 t0 ( 0 .4z ) e 2 y y
本课程不涉及导体在恒定磁场中运动产生感应电场问题 E B t
根据高斯散度定理
SBdS 0
SDdSVdV
B0 D
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电磁场导论时变电磁场
3
例5-1 已知无限大自由空间中电场强度 E(z,t)10 3si1 n80 t(3 z)ex
试用麦克斯韦方程求磁场强度H。
解法一：时变电场产生的位移电流密度为
w E H E JH ( E ) t
W t V (E H H E E J )d V
由矢量恒等式 ( E H ) H E E H
改写为
W t V (E H )d VV E Jd V
设体积V中含有电源， Ee为局外场强
J(EEe)
E
J
Ee
散度定理
则得
VE eJdV W tVJ 2dVS (E H )dS
根据斯托克斯定理
D S( H )d Ss(JC tv)d S
本课程不涉及运流电流的磁场问题
HJC
D t
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电磁场导论时变电磁场
2
法拉第定律
lE id lS B td Sl(v B )d l
根据斯托克斯定理 B
S( E )d S s td S l(v B )d l
Jc 0Et 0t[103sin1(08t3z)ex] 0105co1s08(t3z)ex
ex ey ez ex ey ez
由于 H x
y
0 z
0
z
Hy z
ex
Hx Hy Hz 0 Hy 0
2021/3/7
电磁场导论时变电磁场
4
由麦克斯韦第一方程
HJc
0
E t
可知
H zy 015 0co1s8 0t(3 z)
7
由麦克斯韦第一方程
Dห้องสมุดไป่ตู้
lHdlS(Jct)dS
得
H 1 t l H 2 t l lh i0 [m J ( D t)n l h ] 0
即
H1 tH2 t= K
当分界面上没有面电流时K=0，则 H1 t = H2 t
同理可推导出D和B的分界面衔接条件 B1 n = B2 n
D2 n –D1 n =
对空间坐标z进行不定积分，可得
自由空间没 有传导电流
Hy30150 si1 n80 (t3 z)C
式中C为由边界条件确定的积分常数，在无限大空间 情况下可去C=0。故得
H(z,t)30105sin1(08tZ3)ey 110240sin1(08tZ3)ey
2021/3/7
电磁场导论时变电磁场
5
解法二：由麦克斯韦第二方程
第五章 时变电磁场
5-1 电磁场基本方程组 5-2 坡印亭定理与坡印亭矢量 5-3 动态位及其解的特性 5-4 正弦电磁场 5-5 电磁辐射
2021/3/7
电磁场导论时变电磁场
1
5.1 电磁场基本方程组
由麦克斯韦方程组的积分形式，推导微分形式：
5.1.1麦克斯韦方程组的微分形式
全电流定律
lH dlS(JC D tv)dS
当分界面上没有自由电荷时σ=0, D1 n = D2 n
D 1n D 1
1 11 2 22
S h 0
S
D 2 D 2n
图 5-2
2021/3/7
电磁场导论时变电磁场
8
当分界面不存在自由面电荷σ和传导面电流K时， 同样可以得到电磁场的折射定律
tan1 1 tan2 2
tan 1 1 tan 2 2
麦克斯韦假设，时变电磁场的能量体密度
wwewm1 2DE1 2BH
以下推导电磁场的能量守恒和转化定律
5.2 . 1 坡印亭定理
在线性、各向同性媒质中
w (1E 2 1H 2 ) E D H B
t t2 2
t t
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DHJ t
电磁场导论时变电磁场
B E t
11
得 体积分
求：电场强度E和磁场强度H。
5-3 已知媒质的 = 103 S/m， = 6.50 ， = 0 。传
导电流密度为 J0.0s2i1n9 0t 求位移电流密度和单位体积消耗的功率。
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5.2 坡印亭定理与坡印亭矢量
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W J2
VE eJdVt VdVS (E H )dS
电源提供 的电磁功 率（VA）
物理意义
电磁场储 能增加率 （J/S）
导电媒质 中消耗的 电磁功率
(W)
流出闭合 面的电磁 功率（VA）
时变电磁场的电磁功率平衡方程——坡印亭定理
静态场
VJ2dVS(EH)dS
由于理想导体1∞，内部E1=0、B1=0，由衔接条件知 理想导体表面存在 自由电荷积累成的面电荷 = D2n
沿导体表面流动的面电流 K= H2t 理想导体外表面附近 电力线与其表面垂直 E2t = 0
磁力线平行于其表面 B2n = 0
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作业
5-1 设同轴电缆介质参数分别为20 、0、=0。位移电
分别为l和h的矩形闭合 回路，其中Δh→0。
由麦克斯韦第二方程
lEdlSB t dS
1 11
E 2t E2 2 22
l 图 5-1
E 1t h 0
得
E 1 tΔ l E 2 tΔ lΔ l ih 0 [m ( B t)nΔ lΔ h ] 0
因此
E1 t = E2 t
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电磁场导论时变电磁场
H (z,t) 1 3 1 00 s 11 i n 8 t0 3 z ()e y 1 1 4 π 2 0 s1 i0 8 n t 0 3 z ( )e y
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6
5.1.2 时变电磁场的分界面衔接条件
时变电磁场的分界面衔接条件与静态场相同
在媒质分界面上取边长
E1
E0
H t
ex ey ez ex ey ez
E x
y
0 z
0
z E zxey130 3co1s80 t (3 z)ey
Ex Ey Ez Ex 0 0
由于
0 H ty130 3co1s80 t(3 z)
对时间变量t 进行不定积分，可得
Hy 130101sin1(0 8t3 z)C
式中C由初始条件确定，在正弦稳态情况下可取C=0
导电媒质中消耗的焦耳 功率是通过其表面S由外 部进入的电磁能流提供的。
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例5-2 已知自由空间中
x
E ( z ,t) 10 c2 o 0 1 s 0 7 t0 (0 .4 z ) e 2 x E
H
E SH
S
H (z ,t) 2 .6c 5 o 2 1 s7 t0 ( 0 .4z ) e 2 y y
本课程不涉及导体在恒定磁场中运动产生感应电场问题 E B t
根据高斯散度定理
SBdS 0
SDdSVdV
B0 D
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例5-1 已知无限大自由空间中电场强度 E(z,t)10 3si1 n80 t(3 z)ex
试用麦克斯韦方程求磁场强度H。
解法一：时变电场产生的位移电流密度为
w E H E JH ( E ) t
W t V (E H H E E J )d V
由矢量恒等式 ( E H ) H E E H
改写为
W t V (E H )d VV E Jd V
设体积V中含有电源， Ee为局外场强
J(EEe)
E
J
Ee
散度定理
则得
VE eJdV W tVJ 2dVS (E H )dS
根据斯托克斯定理
D S( H )d Ss(JC tv)d S
本课程不涉及运流电流的磁场问题
HJC
D t
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2
法拉第定律
lE id lS B td Sl(v B )d l
根据斯托克斯定理 B
S( E )d S s td S l(v B )d l
Jc 0Et 0t[103sin1(08t3z)ex] 0105co1s08(t3z)ex
ex ey ez ex ey ez
由于 H x
y
0 z
0
z
Hy z
ex
Hx Hy Hz 0 Hy 0
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电磁场导论时变电磁场
4
由麦克斯韦第一方程
HJc
0
E t
可知
H zy 015 0co1s8 0t(3 z)
7
由麦克斯韦第一方程
Dห้องสมุดไป่ตู้
lHdlS(Jct)dS
得
H 1 t l H 2 t l lh i0 [m J ( D t)n l h ] 0
即
H1 tH2 t= K
当分界面上没有面电流时K=0，则 H1 t = H2 t
同理可推导出D和B的分界面衔接条件 B1 n = B2 n
D2 n –D1 n =
对空间坐标z进行不定积分，可得
自由空间没 有传导电流
Hy30150 si1 n80 (t3 z)C
式中C为由边界条件确定的积分常数，在无限大空间 情况下可去C=0。故得
H(z,t)30105sin1(08tZ3)ey 110240sin1(08tZ3)ey
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解法二：由麦克斯韦第二方程
第五章 时变电磁场
5-1 电磁场基本方程组 5-2 坡印亭定理与坡印亭矢量 5-3 动态位及其解的特性 5-4 正弦电磁场 5-5 电磁辐射
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5.1 电磁场基本方程组
由麦克斯韦方程组的积分形式，推导微分形式：
5.1.1麦克斯韦方程组的微分形式
全电流定律
lH dlS(JC D tv)dS
当分界面上没有自由电荷时σ=0, D1 n = D2 n
D 1n D 1
1 11 2 22
S h 0
S
D 2 D 2n
图 5-2
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电磁场导论时变电磁场
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当分界面不存在自由面电荷σ和传导面电流K时， 同样可以得到电磁场的折射定律
tan1 1 tan2 2
tan 1 1 tan 2 2
麦克斯韦假设，时变电磁场的能量体密度
wwewm1 2DE1 2BH
以下推导电磁场的能量守恒和转化定律
5.2 . 1 坡印亭定理
在线性、各向同性媒质中
w (1E 2 1H 2 ) E D H B
t t2 2
t t
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DHJ t
电磁场导论时变电磁场
B E t
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得 体积分
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电磁场第五章 时变电磁场
)媒
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关 , 称为各向同性 (isotropic) 媒 质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色
散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium 在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由 麦克斯韦方程组,=0,J=0 D
麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关 系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场 和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。
D H J t H J D 0 E 0 B t E B 0 B 0 t t B 0 D D
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式
本构关系
Constitutive equations
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
( J )dV dV V V t
J t
I S
V
电流连续性方程积分形式 电流连续性方 程的微分形式
J 0 t
位移电流
另一方面，由
0 J 在时变情况下 0 t t
H J J H 0
电磁场导论 第五章 时变场
它表明： f1是一个以速v度 v 沿 r 方向前进的波。
31
f2(t
r v
)
的
物
理
意
义
当时间从 t t 位置从 r v t 时
f2(ttrvvt)f2(tv r)
它表明： f2 在 t 时间内, 以速度 v 向( -r )方向
前进了( v t ) 距离, 故称之为反射波。
在无限大均匀媒质中没有反射波，则 f2 = 0
解：理想导体中 J E为有
限值，当,E 0;
E B0, B C(常)数 , t
若 C0,B由 0 C的建立过B 程 0,中 即E 必 0有 图5.2.1 媒质分界面 t
JE, 所,以 只有 BC0
因此：在理想导体内部没有电磁场，即 E=0，B=0 ；
分界面介质侧的衔接条件为
E t 0 ,D n, H t k ,B n 0 电磁波的全反射 18
WVwdV V1 2 （ DEBH ） dV 19
设体积元储存w能dV量 随时间的变化率为
(wdV) t
t
(
1 D 2
E1B 2
H)dV
(E D H B ) d V E ( H J ) H ( E ) d V
t t
M1
M2
利用矢 量 (E H 恒 )H 等 ( E )式 E ( H )
则有 (w) d V ( (E H ) E J )dV
t
取体积分，得 tVwd V S(E H )d SV E J dV
tV wd V S (E H )d S V E J dV
20
若体积内含 ,则J 有 电 (E源 Ee ), 将EJ/Ee代入上式,整 第理 二得 项
J2 W
工程电磁场导论时变电磁场
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，适用于处理规则的几 何形状和网格划分。
边界元法
01
边界元法是一种将偏微分方程的求解域离散化为边界离散点的 方法，通过在边界上应用离散化的方程来求解问题。
02
在时变电磁场中，边界元法可以用来求解电磁波散射和辐射等
问题。
边界元法的优点在于精度高，适用于处理复杂的几何形状和边
介电常数
描述电场中物质电容特性的物理量，单位 为法拉/米（F/m）。介电常数的大小与物 质的极化程度有关。
VS
磁导率
如前所述，描述材料对磁场响应能力的物 理量。在时变电磁场中，磁导率是复数， 其实部表示物质的磁性，虚部表示物质的 损耗。
铁电材料与铁磁材料
铁电材料
具有自发极化且在一定温度范围内铁电体从 顺电相转变为铁电相的材料。其特点是具有 较高的介电常数和较弱的磁导率。
包括四个基本方程，其中三个描述了电场和磁场的变化，一个描述了电荷 与电流的关系。
适用于所有频率和波长的电磁波，包括无线电波、可见光、X射线等。
波动方程
是描述波动现象的基 本方程，包括声波、 光波、电磁波等。
波动方程是偏微分方 程，需要求解以获得 电场和磁场的分布和 变化。
在时变电磁场中，波 动方程描述了电场和 磁场在空间中的传播 和变化。
铁磁材料
具有显著磁性的材料，其特点是具有较高的 磁导率和较弱的介电常数。在时变电磁场中， 铁磁材料的磁导率可能表现出强烈的非线性。
06
时变电磁场中的数值计算 方法
有限元法
01
有限元法是一种将连续的求解 域离散化为有限个小的、相互 连接但不重叠的单元，然后对 每个单元进行求解的方法。
02
在时变电磁场中，有限元法可 以用来求解复杂的电磁问题， 如电磁波传播、电磁散射和辐 射等。
边界元法
01
边界元法是一种将偏微分方程的求解域离散化为边界离散点的 方法，通过在边界上应用离散化的方程来求解问题。
02
在时变电磁场中，边界元法可以用来求解电磁波散射和辐射等
问题。
边界元法的优点在于精度高，适用于处理复杂的几何形状和边
介电常数
描述电场中物质电容特性的物理量，单位 为法拉/米（F/m）。介电常数的大小与物 质的极化程度有关。
VS
磁导率
如前所述，描述材料对磁场响应能力的物 理量。在时变电磁场中，磁导率是复数， 其实部表示物质的磁性，虚部表示物质的 损耗。
铁电材料与铁磁材料
铁电材料
具有自发极化且在一定温度范围内铁电体从 顺电相转变为铁电相的材料。其特点是具有 较高的介电常数和较弱的磁导率。
包括四个基本方程，其中三个描述了电场和磁场的变化，一个描述了电荷 与电流的关系。
适用于所有频率和波长的电磁波，包括无线电波、可见光、X射线等。
波动方程
是描述波动现象的基 本方程，包括声波、 光波、电磁波等。
波动方程是偏微分方 程，需要求解以获得 电场和磁场的分布和 变化。
在时变电磁场中，波 动方程描述了电场和 磁场在空间中的传播 和变化。
铁磁材料
具有显著磁性的材料，其特点是具有较高的 磁导率和较弱的介电常数。在时变电磁场中， 铁磁材料的磁导率可能表现出强烈的非线性。
06
时变电磁场中的数值计算 方法
有限元法
01
有限元法是一种将连续的求解 域离散化为有限个小的、相互 连接但不重叠的单元，然后对 每个单元进行求解的方法。
02
在时变电磁场中，有限元法可 以用来求解复杂的电磁问题， 如电磁波传播、电磁散射和辐 射等。
工程电磁场导论-第四章 时变电磁场
H y z
d
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) A / m2
2. 分界面上的衔接条件 ( Boundary Conditions )
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前 三章类同，应用积分形式的基本方程：
法向分量
lD dS q
电场的切向分量 lB dS 0
布，不存在电流，则在分界面处的边界条件为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
折射定律
n
B1
1 1,1
2
B2
2,2
tg1
B1t B1n
1H1t
B1n
tg 2
B2t B2n
2 H 2t
H2n
tg1 1 tg2 2
n
D1
3 1,1
4
D2
2,2
tg3
D1t D1n
1E1t
dt
S t
称为感生电动势，为变压器工作原理，亦称变压器电势。
感生电动势
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2）磁场不变，回路运动切割磁力线
f qv B
E f vB
e dm
q (ν B) dl
dt
l
称动生电动势，是发电机工
作原理，亦称发电机电势。
若B均匀，且l、B、v三
者垂直，则
动生电动势
e Blv
② 遵循麦克斯韦方程； ③ 电场和磁场相互联系成为不可分割的整体。
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法拉第（Michael Faraday, 1791-1867），伟大的英国物理学 家和化学家.他创造性地提出场的 思想，磁场这一名称是法拉第最 早引入的.他是电磁理论的创始人 之一，于1831年发现电磁感应现 象，后又相继发现电解定律，物
电磁场与电磁波时变电磁场基础知识讲解
例 已知电场强度复矢量
Em (z) ex jExm cos(kz z)
其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量
解： E(z, t) Re[ex jExm cos(kz z)e jt ]
j(t π )
Re[ex Exm cos(kz z)e 2 ]
ex
Exm
cos(kz
z)
cos(t
π 2
麦克斯韦方程组微分形式
H
(r,t)
J
(r,
t)
D(r, t
t
)
E
(r,
t)
B(r , t ) t
B(r,t) 0
D(r,t) (r,t)
J (r,t) (r,t)
t
H (r) J (r) j D(r)
E(r) j B(r)
D(r) (r)
B(r) 0
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题： 坡印廷定理 坡印廷矢量 典型问题的应用？
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题！ 典型问题的应用： 时谐电磁场问题
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
推导
t
不利点： 磁矢位与电位函数不能分离！
洛仑兹规范条件
必须引入规范条件的原因：未规定 A的散度。
库仑规范： A 0（静态场）
对时变场问题：
A
t
洛伦兹规范条件
引入洛伦兹规范条件，电位方程为达朗贝尔方程
2
2
2t
2 A
2 A t 2
J
磁矢位与电位函数分离 磁矢位只依赖于电流 电位函数只依赖于电荷
电磁场理论-04 时变电磁场
2
例: 计算铜中的位移电流密度和传导电流之比
值。设电场为 E0 sin2ft,铜的电导率为 5.8 107 s/m, 0
J 传导 E E0 sin 2 ft 解： D E Jd 2 fE0 cos 2 ft t t Jd 2 f 2 f 0 19 9.6 10 f J 传导
√ ？ √
L
H dl J 传导 ds I
S1
L
H dl J 传导 ds 0
S2
×
S2
L
H dl
S2
J
传导
J d ds J d ds I
证明： H dl J d ds I
B r , t ds 0 D r , t ds
S S
磁通连续性定律
自由 r , t dv
V
高斯定律
注：若场矢量不随时间变化，就是静态场方程
二、麦克斯韦方程的微分形式： D r , t H r , t J 传导 r , t t B r , t E r ,t t B r ,t 0
E in
E in
I
L
四、法拉第电磁感应定律
d d B L Ein dl in dt dt S B ds S t ds B L Ein dl S t ds
2、微分形式 1、积分形式
B S Ein ds L Ein dl S t ds B Ein t
• 结构方程
D E
• 意义：全面体现了电场（包括库仑电场和旋涡 电场）与它的源（电荷、变化磁场）的关系。
例: 计算铜中的位移电流密度和传导电流之比
值。设电场为 E0 sin2ft,铜的电导率为 5.8 107 s/m, 0
J 传导 E E0 sin 2 ft 解： D E Jd 2 fE0 cos 2 ft t t Jd 2 f 2 f 0 19 9.6 10 f J 传导
√ ？ √
L
H dl J 传导 ds I
S1
L
H dl J 传导 ds 0
S2
×
S2
L
H dl
S2
J
传导
J d ds J d ds I
证明： H dl J d ds I
B r , t ds 0 D r , t ds
S S
磁通连续性定律
自由 r , t dv
V
高斯定律
注：若场矢量不随时间变化，就是静态场方程
二、麦克斯韦方程的微分形式： D r , t H r , t J 传导 r , t t B r , t E r ,t t B r ,t 0
E in
E in
I
L
四、法拉第电磁感应定律
d d B L Ein dl in dt dt S B ds S t ds B L Ein dl S t ds
2、微分形式 1、积分形式
B S Ein ds L Ein dl S t ds B Ein t
• 结构方程
D E
• 意义：全面体现了电场（包括库仑电场和旋涡 电场）与它的源（电荷、变化磁场）的关系。
电磁场与电磁波课件之时变电磁场要点
E
H
能流密度矢量的瞬时值为
E
H
S (r , t ) E (r , t ) H (r , t )
S
可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度 和磁场强度的瞬时值的乘积。
只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻
电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上
等于求解 1 个标量方程。 必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与磁矢势有关，不能
据此认为磁感应强度由磁矢势决定而与电标势无关。因为在时变情形
下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得 时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系。
由麦克斯韦方程组微分形式
D H J t B E t B 0 D
E H t
0 H E
J 0
H E t H 0
E 0
则此区域中麦克斯韦方程为
, ,
E
H
V
D H J t B E t ( H ) 0 ( E ) 0
利用矢量恒等式 ( E H ) H E E H ，将上式代入
2 H 2 H 0 2 t 2 H 2 H 2 J t
P175
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J 2 t
2 2 2 t
根据位函数定义式及麦克斯韦方程，得 2 A A J t 2 t A t
H
能流密度矢量的瞬时值为
E
H
S (r , t ) E (r , t ) H (r , t )
S
可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度 和磁场强度的瞬时值的乘积。
只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻
电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上
等于求解 1 个标量方程。 必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与磁矢势有关，不能
据此认为磁感应强度由磁矢势决定而与电标势无关。因为在时变情形
下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得 时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系。
由麦克斯韦方程组微分形式
D H J t B E t B 0 D
E H t
0 H E
J 0
H E t H 0
E 0
则此区域中麦克斯韦方程为
, ,
E
H
V
D H J t B E t ( H ) 0 ( E ) 0
利用矢量恒等式 ( E H ) H E E H ，将上式代入
2 H 2 H 0 2 t 2 H 2 H 2 J t
P175
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J 2 t
2 2 2 t
根据位函数定义式及麦克斯韦方程，得 2 A A J t 2 t A t
《电磁场与电磁波教程》教学课件—时变电磁场
其方向表示能量的流动方向；
其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位
面积的能量。
H E E
t
(H) 0
E H
t
( E) 0
第五章 时变电磁场
(E H) H E E H
(E
H
)
t
H
2
2
t
E2 2
E2
将上式两边对区域V求积分，得
体积V中单位时间内减 少的储能
在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数； 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与 磁场相互依存，构成统一的电磁场。
第五章 时变电磁场
电磁感应定律
全电流定律
Maxwell方程组
分界面上边界条件
动态位A ,
达朗贝尔方程
正弦电磁场
坡印亭定理与坡印亭矢量
电磁幅射( 应用 )
第五章 时变电磁场
计算导线损耗的量
例5. 2 同轴电缆的内外导体半径分别为a和b，其间为真空，如 图所示。导体内通有电流I，内外导体间电位差为U，求能流密 度S和功率P。
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
解 若内外导体均为理想导体利用高斯定律和安培环路定律，
得
Er
U r ln
b
er
H
I
2 r
e
a
S
§5.1 时变电磁场的波动性
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零， 即J=0、 0
在线性、各向同性的均匀媒质中，E和H满足的麦 克斯韦方程为
E = - H
t
H = E
t
E =0
H =0
第五章 时变电磁场
( E) = - ( H )
电磁场理论-时变电磁场
J
，即得：
H
J
D
t
上式就是修正后的适用于时变场的安培环路定律，它
与时变场的电流连续性方程是相容的。
第5章 时变电磁场
Maxwell 从物理概念上解释了这一结果：在没有传导
电流的极板之间，由于两个极板上的正负电荷是随着外加
交变电压而改变，效果上相当于通过两个极板之间发生了
电荷相互转移（实际上电荷的转移是通过连接极板的外电
t
CU m
sin
t
ic
第5章 时变电磁场
可见引入位移电流之后，一开始的例中的矛盾也就不
复存在，因为：
H
dl
l
S
J
D t
dS
J
dS
S1
ic
S2
D t
dS
id
在两极板之间，电流以位移电流的形式存在，从而保
持了电流的连续性。
第5章 时变电磁场
5.3 麦克斯韦方程组
麦克斯韦推广了法拉弟电磁感应定律，得出交变的磁 场产生电场的结论；又于 1862 年提出了位移电流的假说， 说明交变的电场也能产生磁场。这表明了电场与磁场之间 的紧密联系，二者相互依存、相互制约，成为统一的电磁 场的两个方面。
上述各方程不能反映媒质对场的影响，需要补充各场
量之间的关系，在各向同性的线性媒质中：
D
E
BJ
H E
— 媒质的本构方程 或 电磁场的辅助方程
第5章 时变电磁场
从以上方程不难看出，前面讨论过的静电场，恒定电
场和恒定磁场的基本方程都不过是 Maxwell 方程组在
d dt
0
时的特例。
Maxwell 方程组的正确性已为实验所证实，它适用于
电磁场导论时变电磁场
本课程不涉及导体在恒定磁场中运动产生感应电场问题 B E t 根据高斯散度定理
B dS 0
S
B 0
V
D dS
S
dV
第五章时变电磁场
D
2
2018/10/25
例5-1 已知无限大自由空间中电场强度 z 3 8 E ( z , t ) 10 sin(10 t ) e x 3 试用麦克斯韦方程求磁场强度H。 解法一：时变电场产生的位移电流密度为
2018/10/25 第五章时变电磁场 5
5.1.2 时变电磁场的分界面衔接条件
时变电磁场的分界面衔接条件与静态场相同
在媒质分界面上取边长 分别为l和h的矩形闭合 回路，其中Δh→0。
由麦克斯韦第二方程
E1 1 1 1 E2t E2 2 2 2 l 图 5-1 E1t h0
E dl
x E H y
例 5-2 题图
S
E H
S z
求：流入平行六面体（长1m、横截面 0.25m2）中的净功率流。
解:
E ( z, t ) H ( z, t ) 1000cos(2ft 0.42z) 2.65cos(2ft 0.42z) (e x e y )
2650cos2 (2ft 0.42z ) e z
EUerH NhomakorabeaI
e
当导体不是理想导体时，载流导体内部存在沿电流方向的电 场E1=J/。导体外表面的电场强度E2不再垂直于导体表面。
E 2 E2 z e z E2 r e r
⊙
⊗ ⊗
⊙
⊗ ⊗
⊙
⊗ ⊗
⊙
⊙
⊙
导体外的坡印亭矢量 S 2 E2 H 2 ( E2 z e z E2r er ) H 2 e E2 z H 2 (er ) E2r H 2ez